Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Trêng §¹i häc Vinh Céng hßa x héi chñ nghÜa ViÖt Nam §éc lËp Tù do H¹nh phóc §Ò thi tuyÓn sinh cao häc n¨m 2004 M«n §¹i sè Ngµnh To¸n Thêi gian lµm bµi 180 phót C©u 1 Cho n lµ[.]
Trang 1Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2004
Môn: Đại số Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 Cho n là số nguyên dương, Pn(R) là tập hợp tất cả các đa thức ẩn x với hệ số thực có bậc không vượt quá n
không gian véc tơ thực
b) Chứng minh rằng hệ véc tơ , x − , (x−1) 2 ,K ,(x−1)n là một cơ sở của Pn(R) Tìm số chiều của Pn(R)
Câu 2 Giả sử V là không gai véc tơ n chiều trên trường K và V1 là không gian con của V với số chiều bằng m, 0 <m <n
a)Chứng minh rằng tồn tại không gian con V2 của V sao cho V=V1 ⊕ V2 Tìm số chiều của V2
b) Hãy nờu cách xây dựng không gian véc tơ thương V /V 1 và tìm số chiều của không gian đó
Câu 3 Giả sử Ê là nhóm nhân các số phức khác không, H là tập hợp các số phức của * Ê nằm*
trên trục thực và trục ảo , Ă là nhóm cộng các số thực, Â là nhóm cộng các số nguyên
a) Chứng minh rằng H là ước chuẩn của Ê *
b) Chứng minh rằng  là ước chuẩn của Ă
c) Chứng minh rằng nhóm thương Ê / H đẳng cấu với nhóm Ă / Â *
Câu 4 Giả sử Â là vành các số nguyên Lập tích đề các V=Â ì Â
a) Chứng minh rằng V cúng với phép toán cộng và nhân xác định bởi :
(a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)
(a,b).(x,y)=(ax,by) là một vành giao hoán có đơn vị Tìm ước của không trong vành đó
(a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)
(a,b).(x,y)=(ax,ay+bx+by) là một vành gaio hoán có đơn vị Tìm ước của không trong vành đó