Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Trêng §¹i häc Vinh Céng hßa x héi chñ nghÜa ViÖt Nam §éc lËp Tù do H¹nh phóc §Ò thi tuyÓn sinh cao häc n¨m 2002 M«n Gi¶i tÝch Ngµnh To¸n Thêi gian lµm bµi 180 phót C©u 1 XÐt sù[.]
Trang 1Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2002
Môn: Giải tích Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm ∑n ∞= 1n( 1+n2x2)
x
Câu 2 Cho hàm số
( ) ( ) ( )
( ) ( )
=
≠ +
=
0 0 ,
0
0 0 ,
1 cos
3
y x
y x y
x
x y x f
nếu nếu
a)Xét tính khả vi của hàm f tại điểm ( )0 ,0
b) Xét tính liên tục của các đạo hàm riêng của f tại điểm ( )0 ,0
Câu 3 Khảo sát tính khả tích Rieman, khả tích Lơbe và tính các tích phân đó (nếu có ) đối với
hàm
( )
≠
=
=
n x e
n
x y
x f
x 1
1
sinx ,
nếu
nếu
, n =12,3,K trên đoạn [ ]0 ,1
Câu 4 Giả sử l ∞ ={ { }x n ⊂R: supn x n <∞};
A = { e n =( 0 ,K ,0,,10,0,K),n=12,K}
Chứng minh rằng :
a) Các công thức ( ) ∑∞
=
−
= 1
1 ,
n
n
n y x y
x
d , d ∞ ( ) x, y =supn x n −y n với x = { }x n ; y ={ }y n
lần lượt xác định mêtric trên l ;1 l ∞
b) l1 ⊂ l∞ nhưng ( l 1 ,d∞) không đóng trong ( l ∞ , d∞)
c) SpanA trù mật trong ( )l 1 ,d1 nhưng không trù mật trong ( l ∞ , d∞), trong đó SpanA là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của A
d) ánh xạ ϕ : ( l ∞, ∞) ( )→ l1, 1 với ( ) , { }
2
n
n n
x
liên tục Tính ϕ ( x ∞ =supn x n ; ∑∞
=
= 1
1
n n
x
x ) với x = { }x n )
Câu 5 Chứng minh rằng { }A là dãy các tập mở trong không gian mêtric đầy đủ X sao cho n
X
A = thì với mọi n thì =I∞=
1
n n
A