Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Trêng §¹i häc Vinh Céng hßa x héi chñ nghÜa ViÖt Nam §éc lËp Tù do H¹nh phóc §Ò thi tuyÓn sinh cao häc n¨m 2002 M«n §¹i sè Ngµnh To¸n Thêi gian lµm bµi 180 phót Bµi 1 a) Cho ph[.]
Trang 1Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2002
Môn: Đại số Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1 a) Cho phép biến đổi tuyến tính ϕ của Ă đối với cơ sở đơn vị có ma trận là:3
8 1 5
2 3 1
4 1 1
− −
− −
Hãy tìm giá trị riêng và vectơ riêng củaϕ
b) Chứng tỏ rằng nếu A là ma trận vuông phần tử thực thỏa mãn A 2 + = I 0 thì A không
có giá trị riêng thực Từ đó suy ra không tồn tại ma trận vuông A cấp 3 phần tử thực thỏa mãn
A + = I (Trong đó I là ma trận đơn vị cùng cấp với A ).
Bài 2 Cho nhóm G và AutG là nhóm tất cả các tự đẳng cấu của G với phép toán nhân ánh xạ.
Với mỗi a ∈ G, xét ánh xạ fa : G → G
x a a-1xa a) Chứng minh rằng fa là một tự đẳng cấu của G, và ta gọi đó là tự đẳng cấu trong xác
định bởi a
b) Chứng minh rằng tập tất cả các tự đẳng cấu trong của G lập thành một nhóm con, ký hiệu là IntG của nhóm AutG Hơn nữa, IntG ∆AutG
c) Chứng minh rằng một nhóm con H của G là ước chuẩn của G khi và chỉ khi fa(H) = H với mọi fa ∈ IntG
d) Chứng minh rằng nếu G không giao hoán thì IntG không thể là Cyclic, do đó AutG cũng không là Cyclic
Bài 3 Cho tập X = x y : ,x y 3
y x
∈
−
Z , trong đó Â là trường các lớp đồng dư theo3 modul 3
a) Chứng minh rằng X cùng với phép cộng và nhân ma trận lập thành một trường
b) Tìm đặc số của trường X
Bài 4 a) Chứng minh rằng nếu K là một trường thì vành đa thức K[x] là một vành chính.
b) Chứng minh rằng miền nguyên P không phải là trường thì P[x] không là vành chính c) Gọi I = <x, 2> là Ideal sinh bởi hai phần tử x và 2 trong vành  [x] Chứng minh rằng I gồm tất cả các đa thức với hệ số tự do là số nguyên chẵn và I không phải là Ideal chính