Gọi E n+1Là không gian véctơ tất cả các đa thức một ẩn có bậc n≤ với hệ số thực.. Hãy chứng minh ∂ là một ánh xạ tuyến tính.. Chứng minh rằng mọi nhóm con G cũng là nhóm Xyclic.. Hãy tìm
Trang 1Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999
Môn: Đại số Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 Gọi E n+1Là không gian véctơ tất cả các đa thức một ẩn có bậc n≤ với hệ số thực Trong
1
+
n
E cho các đa thức u k ( )x với 0 ≤k ≤n được xác định như sau:
0
0 =
u ;u k ( )x =x ( )( x− 1 x−2) ( L x−k+1) với 0 ≤k ≤n a) Chứng minh rằng các đa thức { }n
k k
u = 0 lập thành một cơ sở của E n+1 b) Hãy chứng tỏ tồn tại duy nhất một phép biến đổi tuyến tính ϕ của E n+1 thoả mãn n+1
điều kiện ( ) k
k
u
ϕ , k =0 ,1, , K ,n Và ϕ là một song ánh
c) Xác định ánh xạ ∂ :E n+1 → E n+1 bởi điều kiện ∂ [ ] p ( )x = p( ) ( )x+1 − p x ; ∀p x ( ) ∈ E n+1 Hãy chứng minh ∂ là một ánh xạ tuyến tính Tìm nhân và ảnh của∂ Tìm các đa thức ( )
( u k x )
∂ ;k =0 ,1, , K ,n
Câu 2 a) Cho G là một nhóm Xyclic Chứng minh rằng mọi nhóm con G cũng là nhóm Xyclic.
b) Gọi x là phần tử sinh của nhóm Xyclic G Hãy tìm tất cả các nhóm con của G đẳng
cấu với G
c) Chứng tỏ rằng mọi nhóm con cấp hữu hạn nguyên tố đều là nhóm Xyclic
Câu 3 Ta gọi một trường là nguyên tố nếu nó không chứa một trường con thực sự nào.
a) Chứng minh rằng trường các ssó hữu tỉ ⁄ và trường các lớp đồng dư Â (với p là sốp
nguuyên tố ) là trường các số nguyên tố
b) Cho X là một trường nguyên tố bất kì Chứng tỏ rằng X≅ ⁄ hoặc X≅ Â (với p là một sốp
nguyên tố nào đó)
Câu 4 Giả sử phép biến đổi tuyến tính ϕ của không gian R3 đối với cơ sở đơn vị có ma trận là:
8 1 5
2 3 1
4 1 1
A
− −
a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của ϕ
b) Tìm một cơ sở của R3 mà đối với nó ma trận của ϕ có dạng tam giác Viết ma trận đó
c) Giá trị riêng của ϕ có thay đổi không khi ta thay đổi cơ sở
DeThiMau.vn