Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Trêng §¹i häc Vinh Céng hßa x héi chñ nghÜa ViÖt Nam §éc lËp Tù do H¹nh phóc §Ò thi tuyÓn sinh cao häc n¨m 2001 M«n §¹i sè Ngµnh To¸n Thêi gian lµm bµi 180 phót C©u 1 Cho V lµ[.]
Trang 1Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001
Môn: Đại số Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 Cho V là không gian tất cả các đa thức một ẩn có bậc n≤ với hệ số thực và ϕ : V → V là
ánh xạ biến mỗi đa thức thành đạo hàm của nó
a) Chứng minh rằng ϕ là một phép biến đổi tuyến tính của không gia véc tơ V.
b) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của ϕ
Câu 2 Cho ánh xạ f :Ă Ă xác định bởi2 − 3
f ( ) ( x,y = 2x−y,x+ y,x−2y+m)
a) Tìm m để f là ánh xạ tuyến tính
b) Tìm ker và f dim ( )imf trong trường hợp f ánh xạ tuyến tính.
Câu 3 a) Chứng minh rằng mọi vành con của vành số nguyên  đều có dạng m với m∈Â
b) Tìm tất cả các tự đồng cấu của vành  [5] các số thực có dạng a + b 5 với a, b là các
số nguyên
Câu 4 Cho K là một trường có đặc số nguyên tố p Chứng minh ánh xạ p
x
x → ( x ∈ K ) là một
tự đồng cấu khác không của trường K Từ đó hãy chứng minh định lí Fecma bé: Với mọi số nguyên a và số nguyên tố p ta có a p ≡ a( modp)
Câu 5 Xét nhóm Ô các số hữu tỉ với phép cộng thông thường.
a) Chứng minh rằng Ô không phải là nhóm Xyclic
b)Nhóm thương Ô /Â có đẳng cấu với Ô hay không?