Cho X là không gian Banach trên tr ng s.. Cán b coi thi không gi i thích gì thêm.
Trang 1f x, y
x
n
n
k k
B GIÁO D C VÀ ðÀO T O
TR NG ð I H C QUY NH N
ð CHÍNH TH C
ð THI TUY N SINH CAO H C N M 2011
NGÀNH: TOÁN H C
Môn thi: GI I TÍCH
Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian phát ñ
Câu 1 Ch ng minh r ng hàm s f : 2 xác ñ nh b i
x2 y 2 sin
1
x2 y 2 khi x, y 0, 0
0 khi x, y 0, 0
liên t c, có các ñ o hàm riêng f ' , f ' gián ño n nh ng f kh vi t i 0, 0
Câu 2 a) Cho dãy s an và hàm s f : 0,1 xác ñ nh b i f 0 0 và f x an n u
x 1 , 1
v i m i n 1 Ch ng minh r ng n u a b ch n thì f kh tích trên 0,1; và
n u a n n v i m i n thì f không kh tích trên 0,1;
1
b) Xét tính kh tích Lebesgue c a f và tính L fd (n u có) v i
0
8x2011
, x 0;1
f x x2
x ln x
, x \
, x \
0;1 / 2
1 / 2;1
Câu 3 a) Xét không gian ñ nh chu n c các dãy s h i t v i chu n cho b i x sup n x n v i m i
x x n c Ch ng minh r ng t p h p c0
không ñâu trù m t trong c
các dãy s h i t v 0 là không gian con ñóng và
b) Cho X là không gian mê-tric ñ y ñ và f n : X n là các dãy hàm liên t c sao cho v i
m i x X t n t i lim f n x Ch ng minh r ng t n t i t p V X
M 0 sao cho f n x M v i m i x V và m i n
Câu 4 Cho X là không gian Banach trên tr ng s Xét dãy x*
n n0 X * và không gian vect
l1 X x xn X : n0 x n
1) Ch ng minh r ng l1 X là không gian Banach v i chu n x 0 n0 n
2) a) Gi s dãy x* b ch n V i m i n 0 ñ t A, A n : l1 X cho b i
Ax x k * x k ; A x n x k * x k x x k k 0 l 1 X
Ch ng minh r ng A, A n xác ñ nh các ánh x tuy n tính liên t c Tính các chu n A , A n
Ch ng minh r ng A n b ch n và h i t theo ñi m v A
b) Gi s ánh x A cho trong câu a) hoàn toàn xác ñ nh Ch ng minh r ng dãy x* b ch n
3) Cho dãy an S d ng câu 2) ch ng minh r ng các ñi u ki n sau là t ng ñ ng:
k 1
l v i m i x l ;
b) an l n0 n 1
- H T - Thí sinh không ñ c s d ng tài li u Cán b coi thi không gi i thích gì thêm
DeThiMau.vn