Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Trêng §¹i häc Vinh Céng hßa x héi chñ nghÜa ViÖt Nam §éc lËp Tù do H¹nh phóc §Ò thi tuyÓn sinh cao häc n¨m 2005 M«n §¹i sè Ngµnh To¸n Thêi gian lµm bµi 180 phót C©u 1 T×m tÊt c[.]
Trang 1Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2005
Môn: Đại số Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 Tìm tất cả các ma trận vuông cấp hai A trên trường các số thực Ă sao cho A2 = 0
Câu 2 Cho ánh xạ f :Ă 3 →Ă xác định bởi : f(x, y) = (2x - y, x + y, x - 2y + 2a).2
a) Tìm a để f là ánh xạ tuyến tính
b) Tìm Ker(f) và Im(f) trong trường hợp f là ánh xạ tuyến tính
Câu 3 Chứng minh rằng:
a) Có duy nhất một đồng cấu từ nhóm cộng các số hữu tỷ Ô đến nhóm cộng các số
nguyên Â
b) Nhóm cộng các số hữu tỷ Ô không phải là nhóm Cyclic
c) Nhóm thương Ô / Â không đẳng cấu với nhóm cộng các số hữu tỷ Ô
Câu 4 Kí hiệu  [i] là vành các số phức dạng a + bi, với a, b là các số nguyên (với phép cộng và nhân số phức)
a) Chứng minh rằng, ánh xạ f xác định bởi f(a + bi) = a - bi là một tự đẳng cấu của vành
 [i]
b) Tìm tất cả các tự đẳng cấu của  [i]
c) Mô tả vành thương  [i]/ A, trong đó A là Ideal của vành  [i], gồm các số phức dạng
a + bi, với a, b là các số nguyên chẳn
Câu 5 Cho X là một miền nguyên Chứng minh rằng, X là một trường khi và chỉ khi X chỉ có hai
Ideal tầm thường là {0} và X