Bộ giáo dục và đào tạoTrường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999 Môn: Giải tích Ngành: Toán Thời gian làm bài:
Trang 1Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999
Môn: Giải tích Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu1 1) Giả sử hàm f R2 →R
: cho bởi công thức
( )
= +
≠ + +
=
0
0
0
,
2 2
2 2 2
2 2
y x
y x y
x
y x y
x f
nếu nếu
a) Xét tính liên tục của f trên 2
R
b) Xét tính khả vi của hàm f tại điểm ( )0 ,0 2) Tìm miền hội tụ của chuỗi
n
n
n
x
x
+
− +
∑∞
1 1 2
1
0
Câu 2 Kí hiệu l 1= { }
∑∞
= 1
,
; :
n n n
x
1
=
−
=
n
n
x y
x
1
1
2
−
= ∑∞
=
n
n
x y
x
d với x = { }x n ; y = { }y n thuộc l 1 Chứng minh rằng
a)d 1, d 2lần lượt là các mêtric trên l 1;
b) không gian ( )l 1 ,d1 đầy đủ ; khả li
c) Không gian ( l 1 ,d2) không đầy đủ
Câu 3 Giả sử C [ ]0,1 là không gian định chuẩn các hàm số thực liên tục trên [ ]0 ,1 với chuẩn sup
và A:C [ ] 0 , 1 →C [ ] 0 , 1 biến x thành Ax cho bởi ( )( ) Ax t = t2x( )t với mọi x ∈C [ ] 0 , 1 và t∈[ ]0,1
a) Chứng minh rằng A là ánh xạ tuyến tính liên tục Tính A
b) Chứng tỏ rằng A ( )C [ ] 0 , 1 là không gian con đóng của C [ ] 0 , 1
Câu 4 nh xạ f : X →Y từ không gain tôpô X vào không gian tôpô Y được gọi là đóng nếu với tập đóng A bất kì ta có f ( )A đóng trong Y Chứng minh rằng f : X →Y là đóng khi và chỉ khi
DeThiMau.vn