Toán chuyên đề ngành điện phần 2 IUH

ChuoTig 5 TÍCH PHÂN HÀM PHÚC 5 1 Tích phân đirông hàm phúc Tích phân của hàm biến phức thường dùng nhất là Lích phân dọc theo dường cong trong mặt phăng phức 5 1 1 Định nghĩa Trong mặt phẳng phức, cho.

Trong mặt phẳng phức, cho đường cong Jordan c trơn từng khức

với điếm đầu a, điểm cuối h và một hàm phức f xác định, lien tục

với z^ là diem trên cung ỉ?k , k ~ 1, H

Nếu khi max \Zfc “ Ị —> 0, giới hạn của tổng (5.1) tồn tại và

l^k^n

không phụ thuộc cách chia đường cong c và ctích chọn thì giới hạn

1 Nếu đặt /(z) = U 4- iV, zk—zk — \ — Axk 4- iAyk , z Y 4- iy ,

thì tông (5.1) viêl dưới dạng

n s„ = 52/(4)(z*-z4-.)

k- 1 n

Từ đó, theo định nghĩa lích phân đường loại hai, ta có)

Ị f(z)dz — I udx — vdy 4- i I vdx 4- udỵ (5.3)

Toán chuyên để ngành Điện — Trương Thuận 77

Giải: a) c có phương trình z = 0 4- [(2 -I- ỉ) — 0]z = (2 4-j)í, 0 ỉ l

a) nửa trên đường tròn đơn vị ịz| = 1 nối từ điểm z — 1 đôn điềm

h) nửa trái đường tròn đơn vị Ịz| — ỉ nôi từ diem z —ị đen điêin

z — i.

Giải: a) c có phương trình tham số z — cos t 4- i sin t — ei{, ỉ : 0 —> 7Ĩ

/ - í Ỉ.ieildỉ

Ví dụ 5.3 Tính tích phân ỉ = (j) J

Giủi: Phương trình tham số của c

suy ra Im(z) — 2sin/ và dz = ( —

f 2ĩt

Jị) j‘2ỉĩ

= 2 / (-14- c<

J 0/ sin 2ỉ

Toán chuyên đề ngành Diện — Trương Thuận 79

tính chất như lích phân đường loại hai

7 Với a,h là hai hằng số phức, ta có

4, Công thức ước lượng tích phân

f (z>dz ML

vói L là độ dài của c và M ~ max Ị / (z)|.

Toán chuyên dề ngành Diện — Truong Thuận 81

5.2 Định lý Cauchy

Xét trường hợp đặc biệt hàm dưới dấn lích phân là hàm giải tích, kết quả CƯ bân nhận được là định lý Cauchy ở các dạng khác nhau

5.2.1 Định lý Cauchy cho miền đ(/n liên

DỊnh lý 5.1 Nẻu / giải lích trong miền don liên

c = 3D thì

<Ị) f(z)dz - 0

D và liên tục trên biên

Ví dụ 5.7 Các hàm /?(z) — ế/() +ớjz + -\-anztl (a„ =/- 0), J'(z} — ez,

f (z) = sin 2, /’(z) = COSZ giải tích trưng mặt phắng phức, dư dó

với mọi đirởng cong kín c trong mật phắng phức

1

Giãi:

ngoài

ỉ làm f (z) — sin z có hai điểm bất thường z

đường tròn c Vậy f (z) giải tích trong miền |z

±/ dều nằm l| < 1

Áp dụng dịnh lý Cauchy, ta dược 7—0

Nhạn xét:

Đế xác dịnh xem diổm Z() có nam trong dường tròn c : \z — í/| r hay không, ta có thố tính ]Z() — ó/Ị và so sánh với /•:

1 Neu |Z() — a\ < r thì điểm Z(i nằm trong c.

2 Neu I ~0 — «1 > r thì điềm Zịị nằm ngoài c

Ví dụ 5.9 Ta dă biết ỉ — (J) —-—dz — 2zrí, với c : \z — a I —- r (ví

.7c z — a

1 , , ,

dụ 5.4) Sở dĩ 7 y 0 vì hàm f (z) — - co diêm bât thường z - a

nằm trong c nên f(z) không giiìi tích trong miền |z — í/| < r

Qua ví dụ 5.9, ta thấy nếu f có diem bất thường nằm trong c thì định lý Cauchy không còn đúng nữa

82 Chưưng 5 TÍCH PHÁN HĂM PHÚC

5.2.2. Dịnh lý Cauchy cho miền đa liên

Định lý 5.2 Che) D là miền đa liên vói biên gồm dường cong ngoải Co

vờ củc đường cong trong C1,C2, , cn Neu f giải tích trong D và liên tục trên biên thì

trong dó chiều di trên biên Co, C1 cn là chiều dưong.

Neu đặt c Co u C] u u Cft là biên của mien D, la có dạng lương đương của định lý 5.2:

Định lý 5.3 Vói giả thiết như (ý định lý 5.2 thì

b) Nếu Zo C- D thì f(z) giải tích trong

và dường tròn Co : \z — zo| = r hay z —

miên nhị liên giói hạn bởi

Toán chuyên dê ngành Diện — Truong Thuận 83

5.3 Tích phân không phụ thuộc đưóng đi

Tù định lý Cauchy, ta có kết quả sau:

Đinh lý 5.4 (tích phân không phụ thuộc đuòng đi) Neu f giải lích irong miền don liên D và c là dường cong bải kỷ năm trong D thì

I J(z)dz không phụ thuộc đường di.

Jc

5.3.2 Nguyên hàm và công thức Newton — Leibnitz

Cho / là hàm số liên tục trong mien D Hàm F dược gọi là nguyên

hàm của / nếu Ff(z) - J(z), Vz e D Khi đó, F(z) T c cũng là

nguyên hàm của J (z), với c là hằng số phức

Tập hợp tất cả các nguyên hàm của / được gọi là tích phân hất

dinh của / , ký hiệu là Ị f{z)dz

Vì nguyên hàm F của hàm / có đạo hàm tại mọi diem trong D

nên F giải tích, từ đó F liên tục tại mọi điểm trong D

Dịnh lý 5.5 (công thức Newton — Leibnitz) Cho / ỉà hảm sổ liên tục trong miền D vả F lù một nguyên hàm của / trong D Khi dó vói mọi dường cong c nằm trong F) vởi diêm đâu Z() và diêm cuôì Zỵ, ta có

F(z{})

Ví dụ 5.11 Tính tích phân /

84 Chưong 5 TÍCH PHĂN HÀM PHỬC

z3 2 8 - Z3 8.1

Vậy / —— — ——- — — 4- — ĩ •

Ví dụ 5.12 Tính Lích phân ỉ = I ez dz, c là parabol y X2 nối từ

diem z 0 den diem z = 1 4- ị.

Giâi: Áp dụng công thức Newton—Leibnitz, ta có

ĩ = í>r|Ậ+z — e' H — 1 = (ốcos 1 — 1)4- ị e sin 1.

Ví dụ 5.13 Tính tích phân ĩ = Ị zezdz.

Giãi: Áp dụng công thức tích phân từng phần

= (ĨTt — 1) (cos 7T I- í sin 7ĩ) 4- 1 — 2 — i Tt

Từ định lý (5.5), ta có kết quả sau:

Định lý 5.6 Neu hàm liên tục f có một nguyên hàm F trong D thỉ tích phân j f {z)dz không phụ thuộc dường đi.

Hơn nữa, ta cũng có điều kiện dủ đe tồn tại nguyên hàm:

Định lý 5.7 Nẻu hàm f liên lục và Ị f(z)dz không phụ thuộc dường

đi thì / có một nguyên hàm trong D.

5.4 Công thức tích phân Cauchy

5.4.1. Công thức tích phân Cauchy

Định lý 5.8 Neu f gidi tích trong mien D và liên tục trên hiên c của

D thì vởi mọi Zíị G /-), ta có

Toán chuyên đề ngành Điện — Trương Thuận 85

Ỷ nghĩa: Công thức tích phân Cauchy cho ta tính được giá trị của hàm giải tích tại điềm thuộc miền D khi bict giá trị của nó ở trên biên Nói cách khác, giá trị của hàm giải tích trong miền hoàn toàn được xác định bởi giá trị của nó trên biên

miên \z - 2| <

1 và z 3, ta có 1 1 — i I = ự32 4 (-1)2 ZZZ ựTÕ > 2 nên

86 Chương 5 TÍCH PHÂN HÀM PHÚC

với Z1 — và z2 = —— •

2 2a) Do |zj — 1| < 1 và |z2 — I| > 1 nên điểm Zj nam trong c

Toán chuyên đề ngành Diện — Truong Thuận 87

5.4.2. Công thúc tích phân Cauchy cho đạo hàm

Định lý 5.9 Nếu Ị' giai tích trong miền D \>ủ liên tục trên biên c của

D thì Vzo e D hàm / có đạo hàni den cấp n tại Z() vừ

b) Vì Ị — 1 -I- z| = -v/2 < 3 và |2 -|- /’I — x/S < 3 ncn z - —I và

z — 2 đêu năm trong đường tròn c, do đó

5.4.3 Hẹ quả của công thức tích phân Cauchy

Định lý 5.10 (đạo hàm cúa hàm giải tích là giải tích) Nếu / giải

í ích trong mien dơn liên D ỉ hỉ J có dạo hàm mọi cấp tụi mọi diêm

z trong D \>à các dạo hàm là cức hàm giải tích trong ỉ).

Định lý 5.11 (bất đắng thức Cauchy) Neu f giải tích trong hình tròn

Toán chuyên đề ngành Điện — 'Ị'ru-ơng Thuận 89

~2Ĩ t rtl + ỵ 27Ĩ /"

n\M fn

Số M trong (5.6) phụ thuộc đường tròn |z — Z()Ị —- F, nhưng chú

ý rằng nếu K — 0 thì M >: |/(z0)| Nói cách khác, cận trên M của

I /'(z)| không thề nhỏ hơn ị/'(z0)Ị

Định lý 5.12 (định lý Liouville) Hàm giải tích vả bị chặn trên (C là

hàm hằng.

Chứng minh:

Giá sử /’ là hàm giải lích và bị chặn Iren c, nghĩa là |/’(z)| M, với

mọi z Khi đó, vứi z thuộc đường tròn \z — Z()| r, ta có Ị / (Zo)| C- — (theo

Oiải: Do / (0) — (), / — ỉ nên hàm Ị (z) — sin" không là hàm

hàng Hàm / giải tích và không là hàm hàng nen / không bị chặn

Định lý 5.13 (định lý CO' bân ciía đại số) Mọi (ỉa thức bậc n:

Pn (2-) "() +í/ị2 + + anzn ( với an -ỷ- 0) dền có dứng n nghiệm.

khi Iz \ -■> OG>, suy ra /’ bị chặn

Như vậy, /■ giãi tích và bị chặn, theo định lý Liouville, / là hàm hang

Suy ra Pn(z) cùng là hàm hằng (mâu thuẫn)

Định lý 5.14 (định lý Morera) Nếu f liên tục trong miền đon liên D

vừ (ị) J\z}dz = 0 VÓ7 c là dường cong nằm trong D, thì f giải tích trong D.

Chừng minh:

Đo (7) f\z~)dz — 0 nên lích phân Ị f(t)dl lấy dọc theo đường cong nối

điếm "() (diêm co định) den diem z (diem tùy ý trong D), không phụ thuộc

đường di Theo định lý 5.7, nếu hàm F xác định bởi F(z) = I f(t)dt thì

F!{z} — f(z) Từ dây, suy ra F giải lích trong D

Áp dụng định lý 5.10, suy ra J\z) - F'(z) giai lích trong D.

Bài tập chuvng 5

5.1 Tính tích phân ĩ — Ị (2z — l)r/z, với c là doạn thảng

Jc

a) nôi diêm z = i đến điểm z - 2 -! /

b) nôi diem z — 0 den diem z — 37

c) nối diem z = 0 den diem z 1 4- i

5.2 Tính tích phân ỉ - / (2a* 4 ìy)dz, c là đoạn thẳng

Toán, chuvên dề ngành Điện — Trương Thuận 91

b) / = / Rc(")i/s, c cỏ phương trình X —Ty - ỉ2 (0 1)

a) / X.: I zdz, c là

7 c

i nửa trên đường tròn \z\ — 2 từ z 2 đen z - —2

ii nửa dưới đường tròn ỊzỊ = 2 từ z 2 den z — —2

b) / — / — dz, c có điềm đầu z — —ị và điểm cuối z — í, trong

J C “

hai trường hợp sau

i c là nửa trái đường tròn \z\ = 1

ii c lả nửa phải đường tròn |z| — 1

c) ĩ - Ị 3dz theo ellip c : —■ —|- y2 — 1 từ diem z — 2 dên diêm

—i oo den 4-ioo.

b) ỉ — / — - ; ——dz láy dọc theo c là dường thắng dứng

7c z2 - 42 + 8

Rc(z) — 2 tìr —zoo đến +ZOO

Chirong 6

Chương này sẽ đè cập đến các phép biến đối tuyến tính đối vời các hàm số có lính chất liên tục từng khúc, bao gồm phép biến đổi Laplace, phép biến dot Fourier

Các phép biến đổi này có vai trò ứng dụng rai quan trọng trong các ngành kỷ thuật nói chung và ngành Điện - Điện tử - Viền thông nói riêng Đặc biột chúng là công cụ gián tiếp rất hữu ích trong phân tích tín hiệu, phân tích và thiết ke các hệ thống tuyến tính

Với cách liếp cận thuần túy toán học, nội dung của chương này được trình bày theo nguyên tắc; dưa ra các công thức toán học cho từng phép biến đoi, CÍÌC định lý liên quan đen sự tồn tại của phép biên doi và các tính chai cho từng phép biến doi

6.1 Phép biến đối Lapỉace

6.1.1 Định nghĩa

Cho / (/) là hàm số xác định với mọi / > 0 Biến dôi Laplace của /(/) là hàm biển phức ổ' — a + Z/3, ký hiệu F(.v) hoặc Z’l /OJ, xác định bởi tích phân suy rộng

/• 1-00

/•-(.V) 3 ^ị/íl)ị = / e~'vr(6.1)

ỉ làm /7(.v) được gọi là hàm ảnh của f(t) qua phép bien doi Laplace.

Phép biến đổi (6.1) không ton tại với mọi hàm /(/) mà chỉ tồn lại với một lóp hàm mà ta gọi là hàm gốc

Hàm gốc f\t) là hàm thỏa màn các diều kiện sau:

1- /(O và các đạo hàm cấp cao của nó liên lục từng khúc (nghĩa là hàm liên tục trà một số điềm gián đoạn hữu hạn mà tai dó hàm

có giới hạn trái và giới hạn phải hữu hạn)

94 Chương 6 CÁC PHÉP Ỉ3ỈÈN DÔ ỉ 'l fụ) 0 khi / < 0.

3 Tồn tại các số M > 0, ữ() 0 sao cho V/ >: 0 : I /'(7)1 Meữt,-‘(tức là hàm số f(ỉ) không quá lớn) Khi đó ư(} dược gọi là so

mũ tăng của f(t).

Khi ! —> +oo, hàm gốc /’(/) là hữu hạn hoặc tăng Oó, nhưng không nhanh hon hàm mũ eư,> 1

mà giá trị của nó thay đối đột ngột tại một thời diem ỉ xác dinh Một

ví dụ phô biên là sự thay đôi diện áp của một mạch diện tại thời diem

Hàm bậc thang dơn vị '(hay còn gọi là hàm Heaviside) ?/(/) là hàm

số được định nghĩa bởi

1 -Hình 6.1

*Mộl số tài liệu khác định nghía 1/(Z) là hàm ỉiấc đưn vị hay hàm bước nháy dơH

»7

Toán chuyên đề ngành Diện — Trương Thuận

Hàm u(/) lả hàm gốc vì |u(/)| íS 1 nên điều kiện 3 thỏéi mãn nếu chọn M = 1, ư() — 1

Ví dụ 6.2 Ilồtn trễ T đơn vị thời gian là hàm nhận giá trị 0 cho đến

khi ỉ — T, sau đó nhận giá trị 1:

96 Chương 6 CÁC PHKP IÌĨÉN DÔ!Hàm này dùng đổ mô tả các tín hiệu chi xuất hiện trong khoang thời gian từ /1 đen /2-

1 Khi viết hàm /(?)> ta hiếu ngâm dó là hàm uự) /'(í)

2 Giới hạn phải của f(t) khi / —> 0"|' được viết là /(0)

6.1.2 Điều kiện tồn tại

Định lý 6.1 (Định lý tồn tại ảnh) Neu fụ) là hàm gốc với sổ mũ tăng

ơ() thì hảm ảnh F(s) hội tụ trong nửa mặt phang Rc(.v) > ư() và ỉà hàm giải tích trong miền dó.

Định lý 6.2 Neu F (s) là ảnh của f (t) vói sổ mũ tăng Cf ịị thì

lim F(s) = 0.

Re(.v)- >00

6.1.3 Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng

a) Hàm bậc thang đon vị f (t) — khi t < 0

Toán chuyên dể ngành Diện — Trương Thuận 97Nếu Re(.v) > 0 thì lim e sb = 0.

Vậy

1 }với Rc(.v) > 0

b) Hăm /’(z) — eưí, với a lả hằng số phức

Toán chuvên đẻ ngành Diện — Truong Thuận 99

6.1.4 Các tính chất co' bản

1 Biến đổi tuyến tính

Định lý 6.3 Nếu -Sâ'{./(/)} = F(.v) vả ỉ/?{g(ỉYf - G(s) íhì

.¥'{afụ} 4- Z>A'(r)} — aF(s) 4- hG(s)

vời a, h lả các hăng sổ phức.

3 2

Ví dụ 6.4 ^<’3 - 2/ ỉ = 3 .^<í 1 ỉ - 2 /S{t

.S'

S-Ví dụ 6.5 Ta đã biết Í/T{eai} = —**— , suy ra

/’(/)} có được bàng cách thay hàm ânh F(s) bời hàm F(s —a).

Nhận xét: Khi hàm gốc / (/) nhân với eat, biên đói Laplace tương ứng

ĐỊnh lý 6.5 Nếu ií'{./</)(• = F($) thì vứi mọi 7’ > 0

í ° khỉ t < T , ' , r trong đó u(t — T) = < /ừ hàm trê 7 dtm vị thời gian.

[ 1 khi ỉ 'ỷ 7'

Nhận xét:

1 Neu hàm goc f (t) có đồ thị là đường cong (C) thì đồ thị của

hàm ư(t — 7'Yf(t — 7’) là đường cong (Cz) suy ra từ (C) bằng

cách tịnh tiến theo trục hoành qua phải một đoạn bằng 7\ Neu

f(l) biểu diễn một quá trình nào đỏ theo thời gian / thì hàm

u(t — T).f(t — 71) biểu diễn tre một khoảng thời gian 7’ của quá

trình trên (hình 6.4)

2 Tính chât trễ thường dùng de tìm hàm ảnh khi hàm gốc cho bởi

nhiều công thức trên những khoảng khác nhau

Ví dụ 6.8 Tìm biến đối Laplace của các hàm

i>(í) ĩf(Ị — 3).e2í — u(f — 3).ứ2(,_3).í/’

suy ra /'(/ — 3) — e2(,-3).e6 hay /’(/) - e6.ú'2í

102 Chương 6 CÁC PHÉP lì! ÉN DÕI Cách ỉ: Sử dụng định nghĩa của phép biên dối Laplace

Cách. 2; Biến đổi hàm tg(0 liỤ — ỉ)./ cỏ dạng u(t — I) /(/ — 1) vói /(ỉ — 1) — I = (/ — 1)4- 1, suy ra /(/) ■■ ■ ỉ -4- 1

Vậy

Ví dụ 6.10 Tìm biến dổi Laplace của hàm

( 0 khi í < 0 g(O = \ I 4- 1 khi 0 < t < 1

Giâi: Viết lại hàm

A'ơ) - o.ỉí(/ -0) + (ỉ 4- 1 )Jz/(z -0) - u(ỉ - I)] 4- 3.ĩf(f - I)

= (/ I- 1) + u(t - 1 ).(2 — /) = (/ 4- 1) 4- u(ỉ - 1).|1 - (ỉ - 1)1

11/1 1 \Suy ra 5C'x(ỉ)ị = 3 + 7 4- I 1 - -L ) e \

.V ó’ V 5 52 /

Ví dụ 6.11 Tim biến dổi Laplace của hàm

Toán (‘huyên dề ngành Diện — Truong Thuận 103

4 Biốn đổi của đạo hàm / ^(z)

Đỉnh lý 6.6 Nếu ¥'{ f\l}\ /7(.S’) và hàm gốc fụ) có dạo hừm den

Ví dụ 6.12 Tìm biến đối Laplacc của hàm

g(f) = y"(í) - 3v'(O + 4y(z) - 2 với điều kiện đầu y(0) — —1, y'(0) -••• 2

Toán chuyên dề ngành Diện — Truong Thuận 105

6 Biến đối của tích phân

F(s) í hì

■'/(.r)</.vỊ

place của các hàmX

3 n3/, F(s) 27'{ f\t)} - - -

106 Chương 6 CÁC PHÉP HIÊN ĐÔI

Ví dụ 6.16 Tìm biến đổi Laplace của hàm

8. Biến đổi của hàm tuần hoàn

Định lý 6.10 Nếu f(t) ỉà hàm íuần hoàn vói chu kỳ 7’ > 0 ĩ hỉ

Toán chuyên dề ngành Diện — Truong Thuận 107

Toán chuyên dề ngành Diện — Truong Thuận 109

8 ỉn eat (s—ư }n 1 n\ 20 e«t _ei.t ư—h (a-— <í)(1 a’— /j)

(.v—ư)2 1 k2 22 ./() rz sin X Ị X íiA ị arc lan - A’ ỏ’

1 ỉ eưt s\n[k í 4- (p) kcosy 1 (.V—u)sinự> (a•—«)2 + k 2 23 e(,t

1 10 Chương 6 CÁC PHÉP Bĩ ẺN DÓ ỉ

6.2.2 Tính duy nhất của phép bỉến đổỉ Laplace ngược

DỊnh lý 6.12 (công thúc Mellin) Neu f(t) lả hàm gốc vói số mũ tăng

ơ() vờ /'(a) ĨZ2{ ,f\t)\ thì tại mọi diêm liên tục của Ị'(/), ta cá

trong dó tích phân ỉấỵ dọc theo đường thăng dửng Rc(.v) — ư > ữ|) từ

—i oa den ị- ioo.

Công thức (6.2) cho la thấy biến đỏi Laplace ngược nếu tồn tại thì duy nhất

6.2.3 Điều kiện đù dể một hàm có biến dối Laplace ngmrc

Định lý 6.12 cho phép ta tìm hàm goc của một hàm ánh bất kỳ cho trước Tuy nhiên còn tồn tại van đề là cho trước một hàm phức /?(a) với diều kiện nào thì nó là một hàm ánh?

Định lý sau cho ta điều kiện dủ đổ F(s) là một hàm tinh:

Định lý 6.13 Giả sử F(s) ỉà một hàm biến phức thỏa các diều, kiện sau:

ỉ F(s) giải tích trong nửa mạt phang Rc(á) a > ư().

2 |77(a')Ị í? Mli vói lim MỊì — 0 vờ mọi s thuộc dường tròn

Khi dó F(s) ỉà ánh của một hàm goc J(Ị) cho bởì công thức (6.2).

1 Sử diJng tính chất ciìa phép biến đổi Laplace

— 1

Toán chuyên dề ngành Diện — Truong Thuận

ị (.'■ -F 1 ) 4 J±ì =- 1

.V 4 i 3!'

I -■ !^Ị =

3. Phân tích thành tổng các phân thức tối giản

Một phân thức hữu tỷ F(s) — (với P(s), Q(s) là các đa thức)

được gọi là phân thức thực sự nếu bậc của QÁs) lớn hơn bậc của P(.v).