CÁC PHÉP BIÉN ĐỔI
3. Phân tích thành tổng các phân thức tối giản
6.3. Ưng dụng phép bỉến đổi ĩ^aplace
6.3.1. Gỉảí phương trình vi phân tuyến tính hộ số hằng
• ỉìưtrc ỉ: Bien dôi Laplace hai ve cũa phương trình vi phân, ta được một phương trình bậc nhất với hàm can tìm là y<5)
• Bưức 2: Tìm nghiệm T(5) theo 5.
• ĩìưởc 3: Đùng biến đối Laplace ngược dể lim y(z) --- {Y(s) \.
Đẻ cho dơn giãn, ta viet Y thay cho T(5), y thay cho y(ỉ)- Ví dụ 6.36 Giải phương trình vi phân y' — 2v — 3e‘; y(0) - —1.
1 16 Chương 6. CÁC PHÉP ỈÌỈỀN DÔI Giải: Lấy biên đối Laplace hai ve:
.vK - y(0) - 2Y -- —3—-■
5—1 Thay v(0) — — 1 và giải theo Y •.
w 4-5 “3 , 2
“ (5 - 1 )<5 - 2) " 5 - 1 4 s - 2 Vậy nghiêm y = — 3>el T 2e2í.
Ví dụ 6.37 Giài phương trình vi phân y' + 3y — e~3t; y(0) — 2.
Cỉiứỉ: Lay biến đổi Laplace hai vế:
sY - ỵ(0) 4- 3T - ——
5 -1- 3
Thay điều kiện dầu và giải nghiêm theo Y, ta dược
25 T 7 ~ 1 1
Y -- 2—4- ---•
(5 4- 3)2 5 4- 3 (5 4' 3)2 Vậy nghiêm V = 2ơ-3/ 4- ỉe~3í.
Ví dụ 6.38 Giải phương trình vi phân y" 4- V — í vứi diêu kiện dầu y(0) = I, y'(())== -2.
Giái: Lây biên đôi Laplace hai ve:
s2Y — s.y(O) — /(()) 4- Y -!-■
52 Thay ,ỵ(0) = 1, y'CO) —2 và giải theo Y:
1 5-2 15 3
Y = . 4- . = _L 4- --- 52(52 4- 1) s2 4- I 52 52 4 1 52 I 1 Suy ra ỵ = / 4- cos t — 3 sin z.
Ví dụ 6.39 Giải phương trình vi phân
y" - 3y' 4- 2y = 4e2'; y(0) - -3, y7(0) = 5.
Toán chuyên đề ngùnh Diện — Trương Thuận 117 Giải: Lấy biên đối Laplace hai vê:
[?s'2y - x.v(O) - y'(O)l - 3[.vy - y(())] -1 2Y - -A_
Thay các điều kiện đầu và giải theo Y:
—3x2 T 20x - 24 —7 4 4 7 (X - 1)(5 -2)2 " v _ I |_ 7^2 b (5 _ 2)2' Suy ra V’ —■ —7í? I- 4<?2/ 4- 4/íj2L
Ví dụ 6.4(1 Giải phương trình vi phân
y" 4- 4y X 2 sin 2/; y (0) - 0, y'm - -- - 1.
Giải: Lay bien doi Laplace hai vổ:
s2Y - s.y(O) - y'(0) I- 4L - ■—
■ X2 4- 4
4 12 2 1
hay Y (X2 4- 4)2 ~ X2 4- 4 "" X2 4- 4 ' X2 + 4 _ X2 4 4* Suy ra
— —cơs 2/ H—- sin 2í — —I cos 2/.
4 2
Ví dụ 6.41 Giài phương trình vi phân
y’” + y’ 1; y (0) = /(()) 3= y"(0) z= 0.
Gìái: Lay bien đoi Laplace hai vê:
(.v’y - .V2.>•((>) - .v.y'(0) - y"(())| + |.s F - y(())] = 1.
X
Suy ra nghiệm y = t — sin/.
118 Chương 6. CÁC PHÉP MÈN DÓ ỉ Ví dụ 6.42 Giải phương trình vi phân y' - y
( 1 khi 0 t < 2 / 0 khi í > 2
: 0,
Giải: Biến dối hàm f(t) --- ?/(/) — u(ỉ —2) và vê phương trình đã cho: sY — y(0) — Y —
láy biến đối Laplace hai '-2.V
X
1
y — e
0 và giải theo Y, la được
—2.V 1
5’ 5’
t
e‘ — e
Nhắc lại công thức Cramer giái hệ phương trình tuyến tính:
Ta tính các định thức hỵ
Ơ2
Cỵ hỵ
X
trình được tính theo công thức
Ví dụ 6.43 Giải hộ phương trình vi phân
+
-T y
y
0
0 ; A(0) - l.y(O)
y(0)
0 0
I 19
(5 4 1)4 Giai hệ trên
.V (.V 4 2)2
5
4 Nghiệm
2
e
.V 4 4 2
—2/
.V 4 2
í 2z Ví dụ 6.44 Giai hệ phương trình vi phân
t _v(0) -- 0, 4(0) — 0.
(ìiíii: Đặt X
A-(0) - 4(0) 4
X2 + 2 I 4)
1
2 52 4’ 2
52 4 4 5 ó'(.v2 4- 4) 4 4 s2 |- 4
4 4 4
120 Chương 6. CÁC PHÉP RỊỀN DÔ Ị 6.3.3. Giõi mạch diệnô *
Ví dụ 6.45 Cho mạch diên RC như hình 6.9. Tại thời diêm đóng mạch / = 0. tụ điện có điện the ưị} = 1 V. Tìm biêu thức dòng điện i tại thòi diêm l > 0.
_J / = 0
--- ---
1/<Í2
Hình 6.9 Cỉìài: Ta có
ơ(/) - ƯK + ưc
= Ri trong đó Cfu là điện tích của tụ
Thay các giá trị t/(z), R, c
điện tại thời diốm / — 0.
và í/o = C.L/() — 10 6, ta được 4.10“6
Đật / — và biến đổi Lu place hai VC phương trình trên:
— + 10"’/ - 4.10" -
A’ Á
ĩ 4. 10~3----——
5 + 1000 Biêu thức dòng điện trong mạch là
j(O =x /SJ-} ụ\ --- 4.1 0-3Ế>—1<)(,OÍ
Ví dụ 6.46 Cho mạch điện ỈXJ như hình 6.10. Tìm hicLi thức dòng diện í. Biết biều thức diện thổ U(ỉ) —- 10sín(5/)V\ diện trớ R --- 4_<2, cuộn cảm L — 2ĨỈ và i(0) -- 0.
Toán chuyên dề ngành Diện — Truong Thuận 121
Giải: Ta có
Hình 6.10
4/ I 2^-
cỉ ỉ 10 sin 5/
Đặt I — /y\ì ỉ và biến đói Laplace hai VC phuong trình trên:
4/ -I- 2.S / = 10
.V2
25
(52 -I 25)(.v -I- 2) Phán tích / thành tống đan gian:
25 ( I .S' 2 5
29 V .V -I- 2 ~ .S’2 + 25 1 5 ■ .S'2 I 25 Vậy biếu thức dòng điện trong mạch là
25 í _ 2
.%' 1 ị ỉ ’ — —— I e 2í — cos 5ỉ — sin 5i
29 V 5
Ví dụ 6.47 Trong mạch diện như hình 6.1 1, tại thời diem í — 0 diện tích của tụ diện bằng (). Khi mạch dóng, tìm biểu thức cùa dòng diện /1 và 72.
I 22 Chưang 6. CÁC PHÉP KIỀN Ỉ)ÓỈ
Mình 6.1 1 'Gỉảỉ: Với mạch kín A RED:
R(ỉỵ + Ì2) h — ìỵdí I ư 1 f! .
M)(i] + z'2) h T~T Ị ìỵdt — 5 0ằ2 ,/()
/■í
2/] ~|~ 2/2 “(■' / i\dỉ —" 1
./()
Với mạch kín 13FGE:
10(71 ỉ- /2) + 40/2 — 6 2/1 -I 10/2 = 1 Giai hệ (6.3) và (6.4), ta đirực
cl
8/'] H- 5 / ịỵdí --- 4 (6.5)
Đặt /] = .5Cịỉ'ì} và biến đổi Laplace hai VC phirưng trình (6.5):
^/1 4 8/, -I- 5— -- -
5 .V
/, = 4 1. 1
1 8.V I 5 2 .V I- ị
Toán chuyên dê Hịịành Diện — Trưưnịĩ Thuận 123 Vạy biêu thức của dòng diện iị và ỉ 2 là:
10 10
Ví dụ 6.48 Trong mạch điện dưới dây, điện tích ban dầu của tụ diện là Ợo — ỉmC và công tắc ở vị trí 1 đủ lâu đế thiet lập trạng thái ổn định. Sau dó công tắc chuyến tử vị trí 1 sang vị trí 2 tại thời diem í 0. Tìm bicu thức của dòng diện ị. Biel diện dung cúa tụ diện là c . .. 200/í/L
Tĩình 6.12 Cỉiâi: Khi công tác tại vị trí 1:
/■(0) 10
= 2/1 5
Khi công tắc tại vị trí 2:
0
5i ị-0,1— + ___ * f / idỉ -I 10”3^ -- 0
ch 200.10~6 Vo /
Đặt ỉ = và biến đổi Laplace hai ve phương trình trên:
____ ỉ ỉ IO-3\
5/ + 0,1 (.vZ - i (0)) + 5000 — -I- —— — 0
\ ‘s’ 5 /
1 24 Chương 6. CÁC PỈỈÉP MÈN dôị
Thay 7(0) -- 2 và giãi phương (rình theơ ĩ:
2s - 50
52 4- 50.V 4- 50000 2s - 50
(ả 4- 25)2 4- 49375 ' Á’ - 25
2 —_______________ - (.V 4 25)2 4- 222,2 2
2 ( s 25
\ (.y 4- 25)2 4 222,22
50 222,2
222.2 ' (Ã-Ị-^^T2-0’222,2- Bien thức dòng diện là
i 2 (e~25í cos 222,2/ - —1^— e~25t sin 222,2/
\ 222,2
_6,-25' (0,45 sin 222,2/ -2cơs222,2/)
= e~25í r cơs(222,2/ 4- a) vời
r - y'0,452 4- 22 -- 2,05, a - arc tan —~~ 0,22 Vậy
i — 2,05c“2Sz cơs(222.2/ I 0,22)
Ví dụ 6.49 Chơ mạch điện như hình 6.13. Biết /1(0) — /2(0) — 0. Tìm biêu thức dòng diện /2-
A / =: 0 10X2 20X2 F
Hình 6.13 Giáì: Với mạch kín ABED:
10/1 4~ IO(/1 — ì2) ' 4
Toán chuyên dê ngành Diện - Truong Thuận 125 10/] - 5/2 2
Vứi mạch kín BFCfE\
í/ị2 20/2 + 0,1-22.
dỉ Thay /■] = —-(2 |-1 5/2), hì dược
(ỉ i 2
250/2 í- 20 dỉ
Đặt Ị --- và biển dối Laplace hai vế phương trình trên:
250/ -I- (,v/ - /2(0)) 20 Thay /‘2(0) 0 và giải phương trình theơ ĩ:
Vậy biêu thức dòng diện /'2 lả
Ví dụ 6.50 Cho đoạn mạch điện xoay chiều RLC mac nói tiếp, với R = 20Í2, /, •--- 0,05//, c --- 10-4/z và hiệu diện thố hai cĩầư mạch ư = 100 cos 200/. Cho bict dòng điện trong mạch và diện tích của tụ điện đều bang 0 lại thời điểm / 0. Tìm biếu thức dòng điện / trong mạch lại thời diem /.
Giải: Ta có
Thay các giá trị đã cho trong mạch, ta được 400/ + -2- 4- 200000 / Ị (lí
dỉ 2000cos200/
126 Chương 6. CÁC PHÉP PIRN DÔỉ Đặt Ị — /Y\i\, biên dôi Laplace hai vô và thay 7(0) ■■ ():
. ...7 ~... ,S' 4007 ỉ sĩ -I 200000— 2000 V _____ _
,v X2 I 2002 7 2000————— •V2' ... ■ ■ ---——-
(ó-2 + 4005 + 200000)(x2 I 2002) 5 }- 200 1 1 1 400
~(x -I 200)2 b 4002 4 T ' (s -I- 200)2 -I- 4002
5 ~ 200
I- - 2 „ ____
52 4- 2002 X2 4- 2002 Biêu thức dòng diện:
7 — cos400/ -I- -i-!^-2*”" sin 400/ 4 cos 200r - 2 sin 200/
2
Ví dụ 6.51 Một nguồn điện áp xung chữ nhật khi / < 0 khi 0 < / <2 khi / > 2 duực áp che mạch diện RC như hình 6.14.
đâu ra.
Tìm hiệu điện the u(/) ở
Giải: Bicu diễn điện áp của nguồn dưới dạng:
Voờ) = w(/) — li(ỉ — 2)
Toán chuyên đề ngành Diện — Trương Thuận 127 Tại thời diem í bất kỳ:
Vn(ỉ) = Ri 4 ~ idt 4- Ợo
Công thức liên hệ giữa dòng điện i và hiệu điện thế v(z) là
= C (£id'
suy ra
dx) dt Vì vậy
RC 4- V ~ u(ỉ) — u(t — 2) dt
Thay RC = 1C)6.1()“6 = 1:
~~~ du V = u(í) — u(í — 2) dí
Đặt V — và biến dổi Laplace hai vế phương trình trên:
1 ^“2-v sV - ĩ;(O) 4- V = - — - ---
5' ỏ’ Vì v(0) — 0, ta có
1 e 2s (á T 1) L — — 4- ---
A’ A'
1 í>-2v V = -- ---—.... x
A (5 4- 1) .v(5 4- 1)
__ 1 1 ứ-2s e~2x
s s 4-1 5 * A’ -I- 1 Vạy hiệu điện the V là
V — I — e~l — u(i — 2) 4- u(ỉ — 2).e~t + 2
128 Chương 6. CÁC PĨĨẺP BIẾN DÕI