Toán chuyên đề ngành điện 2

Định nghĩa Trong mặt phẳng phức, cho đường cong Jordan C trơn từng khúc với điểm đầu ¿, điểm cuối ð và một hàm phức ⁄ xác định, liên tục trên Œ... Dinh ly Cauchy XéI trường hợp đặc bi

Chương 5S TICH PHAN HAM PHUC

5.1 Tich phan dudéng ham phức

Tích phân của hàm biến phức thường dùng nhất là tích phân đọc theo đường cong trong mặt phẳng phức

5.1.1 Định nghĩa

Trong mặt phẳng phức, cho đường cong Jordan C trơn từng khúc

với điểm đầu ¿, điểm cuối ð và một hàm phức ⁄ xác định, liên tục trên Œ

với ZZ là điểm trên cung Zx-lZx, & = l, m

Nếu khi max I2 — Z¿_¡| —> 0, giới hạn của tống (5.1) tỒn tại và

abe cả

không phụ thuộc cách chia đường cong C và cách chọn 2 thì giới hạn

76 Chương 5 TÍC/H PHAN HAM PHUC

đó dược gọi là tích phán dọc thco dường cong CC và ký hiệu là

“ /(z)đz —= lim >) ED CK — 2p 1) (5.2)

“or max vi £ Zk—Z,-_.¡ k i |—>U km]

Khi C là đường cong kín, ta viết f(z)dz, voi C theo chiéu

C đương, tức chiều đi trên biên thầy miễn bên trong từ bền trái

Từ đó, theo dinh nghĩa tích phân đường loại hai, ta có

| /(Z)đz = | udx —udy +i | vdx +udy (5.3)

a) C la doan thắng nối điểm z = 0 đến điểm z = 2 +†-7

b) C có phương trình tham số x = 3/,y —/? (—l<¿/ <4)

Toán chuyên để ngành Điện — Trương Thuận 77

Giai: a) C co phuong trinh z = 04+ [((2+1/)—O]f = (2-++1)t,0 <7 <1, —=

Toản chuyên để ngành Điện — Trương Thuận ; 79

I

đường thắng đứng Re(z) = | tt —ico dén +ioo

Ví dụ 5.5 Tính tích phân J = dz lay doc theo C là

Giới: Taco z=1+ fy, -cw Sy SX +0

Tr (5.3), suy ra tích phân của hàm phức dọc thco đường cong có

tinh chat nhu tích phân đường loại hai

1 Với ad, b là hai hăng số phức, fq CÓ

80 Chương 5 TICH PHAN HAM PHUC

Vi du 5.6 Tính tích phân 7ƒ = [ Z4z, với C có điểm đầu z == 1 va

JC điểm cuôi Z —= ¿, trong hai trường hợp sau

Giai: a) C gồm hai đoạn thắng (hình 5.4(a)):

C\ có phương trình z = I+(D— l1)? = I—/,O</? SỈI;

Tích phân 7 = [ Zdz lay doc theo hai đường khác nhau thì nhận

hai giá trị khác nhau

Toán chuvên để ngành Điện — Trương Thuận 81

5.2 Dinh ly Cauchy

XéI trường hợp đặc biệt hàm dưới dâu tích phân là hàm giải tích, kết quả cơ bản nhận được là định lý Cauchy ở các dạng khác nhau

5.2.1 Dinh ly Cauchy cho miền đơn Hiên

Dinh ly 5.1 Nếu / gidi tich trong mién don lién D va liên tục trên Điên

Ví dụ 5.8 Tính tích phân J = p man với € :|z — l| = I

Giai: Ham {(z) = pl có hai điềm bat thugéng z = +r déu nam

7

ngoài đường tròn C Vay /(Z) giải tích trong miền |z — !| < 1

Ap dung định lý Cauchy, ta được 7 = 0 L]

Nhdn xét:

Đẻ xác định xem điểm zp c6 nam trong dudng tron C : |z—a| =r

hay không, ta có thé tinh |z — a] va so sanh véi r:

1 Néu |zo —a@| <r thi diém zy nim trong C

2 Nếu |Zo—đ| >7 thì điểm zu năm ngoài C

Qua ví dụ 5.9, ta thay néu / có điềm bất thường năm trong C thì

định lý Cauchy không còn đúng nữa

82 Chuong 5 TICH PHAN HIÀN PHUC

5.2.2 Định lý Cauchy cho miền đa liên

Dinh ly 5.2 Cho D la mién da lién voi bién géim dirong cong ngodi Cy

vì các đường cong trong C,,C2, ,Cn Néu ( giải tích trong D va

liền tuc trén bién thi

/(z)dz == ⁄#Œz)đz + /(Z)dđz -|- -} p /(z)dz

Cy

trong do chiéu di trén bién Cy, Cy, Cy la chiếu (HƯƠNG

Néu dat C -= Cy UC, U UC, Ja biên của mién D, ta co dang tương đương của định lý Š.2:

Định ly 5.3 Với giá thiết nh ở định lý Š.2 thì

Gidi: Goi D la mién giới hạn bởi C

a) Néu zy ¢€ D thi f{(z) = Gzam giả! tích trong Z2 và liên tục

Z — “0

trên biên C Theo dịnh lý Cauchy: 7 =

b) Nêu z¿ € DPD thì /(Z) giải tích trong miễn nhị liên giới hạn bởi

Œ và đường tròn Cu : |Z — zu| —r hay z = za re”, 0<? < 27m `

Toán chuyên để ngành Điện — Trương Thuận 83

5.3 Tích phân không phụ thuộc đường đi

>.3.1 Định nghĩa

Cho zp va 2; la hai diém trong mién Ø2 Tích phân / =f /(z)dz

được gọi là không phụ thuậc đhờờng đi nếu nó có cùng một gia iri voi moi duong cong C nằm trong 2 với điểm đầu z¿ và điểm cuối z¡ Khi đó, ta viết / =Ƒ /(z)dz

Za

Từ định lý Cauchy, ta có KẾt quả sau:

Định lý 5.4 (tích phân không phụ thuộc đường đi) Nếu f giải tích

trong mién don liên D và CÓ là dường cong Đắt kỳ năm: trong D thì /(Z)đ4z không phụ thuộc đường di

C

5.3.2 Nguyên hàm và công thúc Newton — Leibnitz

Cho / là hàm số liên tục trong miền D Ham F duge goi la nguyén ham cia f néu F’(z) = f(z), WZ € 2 Khi d6, F(z) C cũng là nguyền hàm của / (z),v với C là bằng số phức

Tập hợp tất cả các nguyên hàm của / được gọi là £ích phân bat dinh cua /, kỹ hiệu là | ⁄(z)dz

Vì nguyên hàm Z# của hàm / có đạo hàm tại mọi điềm trong D

nên Z' giải tích, từ đó # liên tục tại mọi điểm trong 2

Định lý 5.5 (công thức Newton — Leibnitz) Cho / lad ham số Hến tục

trong mién D va ⁄ là một nguyên hàm của / trong Ì) Khi do voi moi duong cong C năm trong D voi điểm ddu zy va điểm cudi 21, ta co

84 Chương 5 TICH] PHAN HAM PHIUC

Gidi: Ap dung cong thirc Newton—Leibnitz, ta có

P= e7|6t = et —1 = (ecos| —1) + fesint

Định lý 5.6 Vếu hàm liên tạc có một nguyên hàm F trong D thì tích

phán | ((2z)}dz không phụ thuộc đưởng đi

Cc

Hơn nữa, ta cũng có điều kiện đủ để tồn tại nguyên hàm:

Định lý 5.7 Nếu hàm / liên tục và | /(Z)đz không phụ thuộc chường

di thi f CÓ tHÔI nguyén ham trong D

5.4 Công thúc tích phân Cauchy

5.4.1 Công thức tích phần Cauchy

Dinh ly 5.8 Néu / giải tich trong mién D va lién tuc trén bién C cua

D thi voi moi zo © D, ta co

l ` /(Z)

Toán chuvên đê ngành Điện — Trương Thuận %5

Ý nghĩa: Công thức tích phân Cauchy cho ta tính được giá trị của hàm

giải tích tại điểm thuộc miền Ð khi biẾt giá trị của nó ở trên biên Nói

cách khác, giá trị của hàm giải tích trong miễn hoàn toàn được xác

định bởi giá trị của nó trên biển

Gidi: a) Cho (z — 1)(z — 3) = 0, ta duoe z = 1 va z = 3 là các điểm

bat thuong cha /(Z) — ————- -

Œ — 1)Œ — 3)

Vì |I— 2| =: 1 > = va |3— 2| = 1 > 5 nên z = l và z = 3 đều

năm ngoài CC, Đo đó / giải tích trong miền |z — 2| < 2

Theo dinh ly Cauchy: / =

b) Tại các điểm bất thường Z = Và Z 3, ta có |l —/| =

VỚI /(Z) = 5 là hàm giải tích trong miền |z —/| < 2

Vậy 7 = 27zri¡./(l) = —3zZi

86 Chương 5 7ÍCH PHAN HAM PHUC

Toán chuyển để ngành Điện — Trương Thuận “7

5.4.2 Công thức tích phần Cauchy cho dao ham

Định lý 5.9 Nếu / giải tích trong niền 2 va lién tục trên Điền CC cua

D thì Vzụ € D ham / có dạo hàm đến cáp n tai Zg va

Ap dụng công thire (5.5) voi zp c= i, = 2:

Le _f te) dz = J7 „ = 27r1

" singez

Ví dụ $5.17 Vinh / =: sự —————axtz, Cl: |z — 1| =

c (22 — 1)2

Gidi: Cho (z2 — 1)? = 0, ta duge z = £1 1a cdc diễm bất thường,

trong đó z == 1 nim trong C

88 Chương 5 TICH PHAN HAM PHUC

Vìi|—I—1|=:2> 3 và |2 — lÌ = L< 3 nên Z2 = 2 nam trong C

Vivay 7 = | Lf) „, VỚI /(Z) = zat giai tich trong mién

5.4.3 Hệ quả của công thúc tích phân Cauchy

Dinh ly 5.10 (dao ham cúa hàm giải tích là giải tích) Nếu f giải

tích trong mién don liên D thì Ƒ có đạo hàm mọi cấp tại mọi điểm

z trong D và các dao ham / 1à các hàm gidi tich trong D

Dinh ly 5.11 (bat dang thire Cauchy) Néu £ giải tích trong hùnth tron

D: |z-20| <r vd lién tuc trén bién C : |z—zu| :- r và MỸ = max |[/(2)|

Todn chuyên đế nướành Điện — Trương Thuận as & Ct S0

L/09(z0)] =: 2 (6S —————¿(iz| < _— Œ Jt) ze zu)?? 1 27 piel M -Qnr= iM rn

SỐ M trong (5.6) phụ thuộc đường tròn |z — zs;[ = r, nhưng chú

y rang neu nm = O0 thị ă > |/(zo)| Nói cách khác, cận trên ÄZƒ của L/(z)| không thê nhỏ hơn | /Œo)|

Định ly 5.12 (dinh ly Liouville) Ham gidi tich và bị chặn trên C là

ham hang

C hưng nưnh:

Gia sử / là hàm giải tích và bị chặn trên €”, nghĩa Ja | /(z)| < WV, von

mọi z Khi đó, với z thuộc đường tròn |2 —zo{ == #, ta có |//Œa)| Z — (theo định lý 5.11) dung voi moi r

Cho r —> Go thì ta duoc /'(zo) = 0, vGi moi Zy trong mat phăng phức

90 Chuong S TICH PHAN HAM PHÚC

Vậy tôn tại zZ¡ sao cho Øz(Z¡) = O

Phân tích py (z) = (Z — Z1)Ø,u„—I(Z), VỚI Øg—i(Z) là đa thức bậc (2 ~ 1) Lap lIuận tương tự, phân tích Øøz_¡(Z) và tiếp tục phân ch cho đến khi

Pr(2Z) = (Z — Z4)(Z — Z2) (Z — Zn)

Dinh ly 5.14 (dinh ly Morera) Néu / liên tục trong niền don lién D

va /(z)đz —= OQ với CC là dưởng cong nam trong D, thi f gidi tich trong D

Chung minh:

Do /(z)dz = Onén tích phân f #Œ)đr lây đọc theo đường cong nồi

điểm zy (diém cé dinh) dén điểm z (điểm tùy ý trong /2), không phụ thuộc

đường đi Theo định lý 5.7, nếu hàm # xác định bởi F(z) = J /⁄Œ}đr thì F'(z) = f(z) Tu đây, suy ra #' giải tích trong Ð

Ap dung định ly 5.10, suy ra f(z) = # /(Z) giải tích trong D

Bai tap chuong 5

$.1 Tinh tích phân 7 = Í (2z — 1)đz, với C là doạn thắng

JC

a) nor diém z =f dén điềm z = 2-3-7

b) n& diém z = 0 dén diém z = 3/

c) nối điểm z = O đến điểm z — 1+7

5.2 Tính tích phân 7 =: / (2x -+ iy)dz, C là đoạn thắng

Toán chuyên dễ ngành Điện — Trương Thuận 9]

¡ nửa trên đường tròn |z{ = 2 từ z == 2 dén z == —2

ii nửa dưới đường tròn |z| = 2 từ z = 2 đến z = —2

` , i r oa x - ` ge A: -

b) / = —dz, C c6 diém đầu Z = —/ và điềm cudi z = 1, trong -”

7 ”

hai trường hợp sau

I CC là nửa trái đường tròn |z| = |

1 CC là nửa phải đường tròn |Z| =

b) ) /ƒ = Ừ 22—4z+8 ——————¿iz lầy y dọc dọc theo C là dường thăng đứng ( 8 8 B

Re(z) = 2 ty —ico dén +ice

92 Chương 5 TÍCH PHAN HÀM PHÚC

5.6 Tính tích phân 7ƒ = Ị (2Z — 3i)dz, với CC có điểm đầu z = 71,

JC điểm cudi z = Í, trong các trưởng hợp sau

Chương 6 CAC PHEP BIEN DOI

Chương này sé dé cập dến các phép biến đối tuyến tính dối với các hàm số có tính chất liên tục từng khúc, bao gồm phép biến di

Laplace, phép bién déi Fourier

Các phép biến đổi này có vai trò ứng dựng rất quan trọng trong các ngành kỹ thuật nói chung và ngành Điện - Điện tử - Viễn thông nói riêng Đặc biệt chúng là công cụ gián tiếp rất hữu ích trong phân tích tín hiệu, phân tích và thiết kế các hệ thống tuyến tính

Với cách tiếp cận thuần túy toán học, nội dụng của chương này

được trình bày theo nguyên tắc: dưa ra các công thức toán học cho từng phép biến đổi, các định lý liên quan đến sự tỒn tại của phép biến đối và các tính chất cho từng phép biến đổi

6.1 Phép biến déi Laplace

6.1.1 Dinh nghia

Cho f(t) la ham số xác định với mọi / = 0 Biến dõi Laplace cua

/(7) là hàm biên phức « = œ + 7/6, ký hiệu F(s) hodc 2{/(t)}, xac

định bởi tích phân suy rộng

> ]|:'O

F@) =.Z{/0)}= / em! f(r)d 0 (6.1)

Ham F(s) dugc gọi là ham đmh của /(7) qua phép bién dot Laplace Phép bién déi (6.1) khéng tdn tai voi moi ham /(7) mà chỉ tôn tại

voi mét lop ham ma ta goi la ham gốc

Flam gốc /(1) là hàm thỏa mãn các điêu kiện sau:

1 (7) và các đạo hàm cấp cao của nó liên tục từng khúc (nghĩa là

hàm liên tục trừ một sô điêm gián đoạn hữu hạn mà tại đó hàm

có giới hạn trái và giới hạn phải hữu hạn)

94 Chương Óó CÁC PHEP BIEN DOT

JQ) = O khi st < 0

3 T6n tai cac s6 M > 0, a =O sao cho Vt =O: | fC)}| < Meret

(tức là hàm số /(7) không qua lớn) Khi d6 ay duoe voi là sé

tư tĩng cua f(t)

Khi / —> -+©o, hàm gốc /(/) là hữu hạn hoặc tăng Go, nhưng không nhanh hơn hàm mũ e*“°“,

Ví dụ 6.1 Trong kỹ thuật, người ta thường phí nhận được các hàm số

mà giá trị của nó thay đổi đột ngột tại một thời điểm ¿ xác định Một

ví dụ phổ biến là sự thay đổi điện áp của một mạch điện tại thời điểm khi đóng hoặc ngắt mạch

Thông thường giá trị / = O được chọn là thời điểm bắt đầu cho việc đóng hoặc ngắt mạch Quá trình đóng, ngắt mạch nói trên có thể

mo ta bang mô hình toán học bởi hàm bậc thang đơn vị (hay còn được

biết với tên gọi là hàm Heaviside)

Hàm bác thang đơ?m vị '(hay còn goi la ham Heaviside) u(t) la ham

số được định nghĩa bởi

Toán chuvên để ngành Điện — Trương Thuận 9S

Ham w(t — 7) được dùng đề mô tả các tín hiệu xuât hiện đột ngột lúc / = 7' Đồ thị của nó có được băng cách tịnh tiên đỗ thị hàm bậc

thang đơn VỊ (7) qua phải một đoạn băng 7'

96 Chuong 6 CAC PHEP BIEN BOI

Ham nay dùng đê mô tả các tín hiệu chỉ xuât hiện trong khoảng thời gian tử /¡ đền í¿

với g(/) la ham s6 so cap, la ham gộc

Nhận xét: Các hàm sô sơ cấp /(7) đêu thỏa diễu kiện 1 va 3, nhung chưa phải là hàm gộc Tuy nhiên, hàm số

0 khis < 0 w(t)./(1) = Qt) khit =O

là hàm gốc

Ouy ude:

1 Khi viết hàm /(), ta hiểu ngầm đó là ham u(t) /(1)

2 Giới hạn phải của /Œ) khi / > 0-]- được viết là /(0)

eA on ^ *

6.1.2 Điều kiện tôn tại

Định lý 6.1 (Định ly t6n tai anh) Néu /() la han ĐÓC VỚI so mii tdng

Oo tht ham anh F(s) héi tu trong nua mdt phdng Re(s) > ag va la ham gidi tich trong mién do

Định lý 6.2 Nếu F(s) id ảnh cúa f(t) với số mũ tăng ay thi

lim #(s) = 0

Re()->oo

6.1.3 Biến đối Laplace của một số hàm thông dụng

QO khit <0

a) Ham bdc thane don vi f(t) =

& PIO =) nip so

Fis) = / e ”'ƒ(Œ)đti = lim e “dt = lim ( x )

0 b->-+-=o O b—>-+ So S h)

Toán chuyên đề ngành Điện — Trương Thuận 97 Néu Re(s) > O thi lim e7? = 0

h—>-‡-oo

Vậy

I LAY =

s voi Re(s) > 0

b) Ham /(1L) = e@, với a là hăng số phúc

hb-> Foo LS — a& S—-a

Néu Re(s —a) > 0 hay Res) > Re(a) thi lim eae (),

98 Chuong 6 CAC PHEP BIEN DO!

e) Ham /(1) — sin kí, với k > 0 la số thực

Todn chuvén đó ngành Điện — Truong Thuận 99

6.1.4 Các tính chất cơ bản

1 Biến đối tuyến tính

100 Chuong 6 CAC PHEP BIFN POI

3 Bién déi eta ham u(t — 7) f(t — T) (tinh chat trễ)

Dinh ly 6.5 Néu £3 f(t)} = F(s) thi voi moi T > 0

Liutt—T) ft —T)} =e! F(s)

QO khit <T ~ trong doutt—-T)= ¢ la ham tré T don vị thời gian,

l khit>T Nhận xét:

1 Nếu hàm gốc S(t) cd dd thị là đường cong (C ) thì đồ thị của

ham u(t — 7) f(t — 7) la duang cong (C?) suy ra từ (C) bằng cách tịnh tién theo truc hoanh qua phai mét doan bang 7 Néu S(t) biểu điễn một quá trình nào đó theo thời gian ¿ thì hàm

w(?£ — T}.ƒŒ — 7) biểu diễn trễ một khoảng thời gian 7 cha qua trình trên (hình 6.4)

2 Tinh chat trễ thường dùng để tìm hàm anh khi ham gốc cho bởi nhiều công thức trên những khoảng khác nhau

Toán chuvên để ngành Điện — Trương Thuận 101

g(f) = trítU — 3).e2“U —= tr — 3).c2U~3) „®

suy ra /(Œ — 3) —= e2ữ—3) ø® hay /(} - c0.e?t,

102 Chương 6 CÁC PHÉP BIẾN ĐỜI Cách 1: Sử dụng định nghĩa của phép biến đổi Laplace

Toán chuyên để nuành Điện — Trương Thun 103

ed) =¢t.fuce—0)~ ud — 1)] + (2 —7).fJud — 1) — ud — 2)) 4 OL — 2)

4 Biến đổi của đạo ham / (7)

Định lý 6.6 Nếu ⁄1/()} = F@) Hải hàm góc /(1) có đạo hàm đến cấp nova cac dao ham cing la ham gốc thi

Ví dụ 6.12 Tìm biến đổi Laplacc của ham

gŒ) = yˆŒ)— 3y) + 4y() — 2

với điều kiện đầu y(0) —= —I, y(0) = 2

104 Chương 6 CAC PHEP BIEN DO!

Giai: Dat Y(s) -= “iy()}, ta cd

Toán chuyên để ngành Điện — Trương Thuận 105

Chuong 6 CAC PHEP BIEN POI

§ Biến đổi của hàm tuần hoàn

Dinh ly 6.10 Néu /() là hàm tuần hoàn voi chu kv T > 0 thi

T7

Í eœT*t ƒ/(1)dr

Z+‡/Œ)} = Sas

Triản chuyên đề ngành Điện — Trương Thuận 107

TS peep S tứ

(i — eTxay2

7 AY _ (1 — ere ye I }— e*4 Suy ra F (+) =?

108 Chuong 6 CAC PHEP BIEN POI

9 Biến đối của tích chập /(Œ) * g(t)

Định lý Borel thưởng dùng đê tìm hàm gốc của tích bai hảm ảnh

Vi du 6.21 Tim ham géc f(t) cha ham F(s) = S209 1)

6.1.5 Bang déi chiéu géc va anh

8, peut G=mmm 20 eine =m <=

1Ô e“ coskt Gon Tk 22 | 4 SX dy = arctan ~

ll | e@ sinter + gy) | SeeetGmadsing sone mee 23 = Je

12 | e@! cos(kt + @}) (races pene 24 pe eat ee Ta

Néu F(s) = 2 { f€e)} thì Z0) được gọi là Điển déi Laplace ngược

cla F(s) va viét f(t) = &7'{F(s)}.

110 Chuong 6 CAC PHEP BIEN DO! 6.2.2 Tính duy nhất của phép biến đối I[uaplacc ngược

Dinh lý 6.12 (công thức Mellin) Nều /(Œ} là hàn! Đốc VỚI số mũ tăng

6.2.3 Điêu kiện đủ đê một hàm có biên đôi I2aplacc ngược

Định lý 6.12 cho phép ta tìm hàm g6c cua mot ham anh bat ky cho

trước “uy nhiền còn tôn tại vân để là cho trước một hàm phức #v) với điều kiện nào thì nó là một hàm ảnh?

Định lý sau cho ta điều kiện đủ để Ƒ(š) là một hàm anh:

Dinh ly 6.13 Gid sw F(s) la mét ham bién phức thỏa các diéu kién sau: / F(s) gidi tich trong nita mdt phẳng Res) =: & > a

2 |F(s)} < Mer vot lim Me = 0 vad moi s thude diuong tron

Toán chuyên đề ngành Điện — Trương Thuận II]

112 Chuong 6 CAC PHEP BIEN DO!

voi F(s) = = Y4sin20} Ap dung tinh chat 5