CÁC PHÉP BIÉN ĐỔI
3. Phân tích thành tổng các phân thức tối giản
6.5. Phép biến đổi Fourier
6.5.1. Tích phân Fourier
Xét hàm /(/) xác dịnh trên 1R ì [-7; 7’1. Ta có
và thỏa điều kiện khai tricn Fourier
Ch)
2
oo /?7T/
—---- F hn sin Hĩĩ Ị
/ z 1 n 1
với
rz n n 7Ĩ ỉ { /(u)cos du bn
1 f1 , niĩĩi
—• / / (w) sin ———dll (6.13) vào (6.1 I) và ký hiệu Ờ^Ị = nir
, ta được
2T
/■ T Z. 7’
cosứ?„z / /(ĩ/) cos(i)nitdu -| sin (Jử„ỉ I fụ) sin(I)niidu
J-T ' J-T
Đặt Aa> --- oj/t +ì —
T
71 ...'
—■, ta co T
oo . fT
cos(Jửn udu + si n O)n 1 Ị sin O)nudỉi A(J)
!ĩ
(6.14)
136 Chương 6. CÁC PHÉP IM ÉN DÔI Giả thiết rằng /(/) khả tích tuyệt đối, tức là
Cho T —> +oo, với giả thiết (6.15), ta có —— Ị 'll J-T (6.14) trở thành
cos col cos(OUdu -| sinoư sin con du dco
o
COSỪ)(/ — u)(lu dco
0
hay
1 /\u) cosco(t — Iỉ)dtí dco
(vì hàm Mặt
dirới khác
(vì hàm dưới
dấu tích phân là hàm chằn theo co).
2zr
dấu tích phân là hàm lẻ theo co).
Từ (6.16), (6.17) và công thức Euler, ta được
2tt — oo
I f(ĩỉ)elcư(t u)du deo
—oo
~i<ứUdu ei(ứtdeo (6.18)
Nhận xét: Công thức tích phân Fourier là mở rộng của chuỗi Fourier nhàm mục đích biếu diễn cho hàm không tuần hoàn trên (-OO. + oo).
Toán chuyên đê ngành Diện — Trưcmịi Thuận 137 6.5.2. Phép biến đổi Fourier
Neu ký hiệu
F(ico) — / f (u)e~IMUdu J-co
thì công thức (6.18) có dạng
/■(z) = -í- / F<Jcư)eituídco
^TT J-OQ
(6.19)
(6.20) Phép biến đối F hàm thành hàm F(ỉco) theo công thức (6.19) được gọi là phép biến đối Fourier của hàm f, ký hiệu là
F{ỉco) (6.21)
Phép biến đổi hàm F(ĩco) thành hàm f(í) theo cóng thức (6.20) dược gọi là phép biến đoi Fourier ngưực, ký hiệu là
^-'{Eíico)} = _fịl) = —1 /*— / F(ị °° co)eia>t dl
Irc (6.22)
Biến dổi Fourier tác động lên hàm f (í) ở mien biên số thực t được hàm F(ịco) nhận giá trị phức ở miền biến số co.
Chú ý:
1. Ta ký hiệu ở miền co là F{ico) đế thể hiện mối quan hệ giữa biến doi Fourier và biến đối Laplace. Đế) là lý do mà hệ số ở công thúc bien đoi Fourier ngược. Trong các tài liệu lien quan den xử lý tín hiệu và lý thuyết truyền thông, biến sổ f eé> dơn vị là vòng trên giây, được thay cho biến so co cỏ đơn vị là radians trên giây. Khi đó khi thay co —- 2/r/' thì không có hệ so ■— trong công thức biến dối Fourier ngược.
2. Điều kiên de tích phàn Fourier tồn tại là /2Xo I / < I-oo nen các hàm so sau không có biến doi Fourier:
* /(/) — /1 là hàng số
* / (/) /ô, V/7 1
* /(/) — eaí, íí là hằng số
138 Chương 6. CÁC PHÉP HIÊN DÔI ' Ví dụ 6.57 Tìm biến đổi Fourier của hàm
/•(/) - Iỉ(ỉ)e~at vói ơ 0 và u(ỉ) 0 khi Ị < 0 ,,
là hàm bậc (hang đon vị.
1 khi t 0 Giải: Ta có
CXD
e-ale~iMtdt o
a + ì cư 0
Ví dụ 6.58 Tìm biến đổi Fourier củíi hàm f\l) e tz|r* vói Cỉ Giải:
• 0
fụ)e^icưídt eat dl
g—ịa—iarìt
•/ —oo
ị,—(ư-i-ị (ư)í
o a — Ịcư a 4- ị cư
1
a — 7 Ct> a + i cư í/2 + cư2
0 ’ o
2a
Ví dụ 6.59 * Tìm biến dổi Fourier của một xung chù’ nhật ./■(O - khi |í Ị <
2 khi |/| > 2 k
0 Giải: Ta có
f \ >
t./ (1) (
Khi (ii 0 thì F{f(lYị = 4/<.
Khi Cú 7^ 0 thì
/ce-íí"' 2 i cư -2
2.k —e 2i(ưt sin 2cư
— ---_--- = 2k-
cư 2i cư
Toán chuyên đê ngành Diện — Trưong Thuận 139 6.5.3. Ý nghĩa vật lý
Bân chất vật lý của biến doi Fourier ngược (6.20) có the hieu rõ hơn nếu ta hieu biếu diễn này của hàm /ụ) như là sự chong chat các dao dộng hình sin vời mọi tan so có thế. Sự chong chat này dược gọi
là biểu dien pho của J(í).
Bây giờ la giải thích ý nghía cưa -— / ị/7(7m)và sè thấy 2zr ./.oo
nó là năng lượng toàn phẩn của hệ vật lý.
Ta băt dâu với hệ dao dộng điêu hòa cửa một khôi lượng m trcn một lò xo:
my" + k y -- 0 (6.23)
Nhân hai vê với v\ rồi tích phân hai vố tri dược
1 7.1,7
— /77 ư I- —ky =-•- /10 2 2 -
ờ diìy V -- y' là vận tốc. Do dó so hạng thứ nhât là dộng năng, so hạng llìử hai là thế năng và vì vậy hang so tích phân là năng lượng loàn phần cua hệ.
'ra xét thêm /?() bicu diễn the nào qua nghiệm của phương trình dao dộng (6.23). Nghiệm của phương trình này là
y(ỉ) -- /1coswp/ 4- /?sincU()/ - CeilOiìl I Ce-"ứ"‘
/T 1 1
với OJ() --- ằ/—-,6 ~-(d 4 7/7). c --- ~-( A — ị R). Do do V /77 2
/ìo — (C/aw"*'' 1 ^k (Cei,lhit 4CK"""')2
Với (ỹcuị))2 — —cu 2 và ma>2ị -- k, ta tính dược
Eí) = 2/cCC -- 2/<|C|2 - ^/<(/l2 I /72)
Vậy năng lượng 7í() tỷ lộ với bình phương biên dộ |C|2.
Chuyển sang trường hợp phức tạp hon khi hệ là phức lạp ớ mức chuyên dộng ỵ(z) là tuần hoàn bicư diễn được bởi chuồi Fourier. Khi
140 Chương 6. CÁC PỈĨÉP Ỉ3ỈÈN ĐÔ ĩ đó thay cho số hạng duy nhất đặc trưng cho năng lượng là ịc ị2, ta được cỏc chuỗi bỡnh phương y |c„J2ằ với cfl là hệ số Fourier
= 7^- í y(í)e~lntdl oc
của hàm y(0 = Ỵ7 cneint (xem mục dạng phức của chuồi Fourier).
H— —OO
Trường hợp này ta cỏ phổ rời. rạc gồm các số đốm được các lần số tách biệt, tương ứng đóng góp |c„ |2 vào nãng lượng toàn phần.
Cuối cùng, nếu nghiệm y(/) của hệ biểu diễn bởi (6.20) thì phố không còn rời rạc nữa mà đã liên lục và các hệ số k’/ỉ|2 trở thành
1 S.2 >
tích phân —— I \ b (ico)\ dco và dây chính là năng lượng toàn phân 2/r J-OO
của hệ.
6.5.4. Các tính chất phép biến đổỉ Fourier 1. Biến đổi tuyến tính
Nếu J-~ỉ/'(/)} — F(ico) và — G(ìco) thì íF{af(ỉ) 4- bfĩ(ỉ)} = aF(ico) 4- bG(ìco) với ay h là các hang so phức.