Toán chuyên đề ngành điện phần 1 IUH

KHOA KHOA HỌC cơ BẢN TÔ TOÁN TRUONG THUẬN TOÁN CHUYÊN ĐÈ NGÀNH ĐIỆN t = 0 I0Í2 40Í? ( LƯU HÀNH NỘI Bộ ) ii TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIẸP THÀNH PHÓ HÔ CHI MINH TRUONG THUẬN TOÁN CHUYÊN ĐÈ NGÀNH ĐIỆN TRƯ.

KHOA KHOA HỌC cơ BẢN - TÔ TOÁN

* ii TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIẸP

THÀNH PHÓ HÔ CHI MINH

Lô’i nói đâu

giã dà hiên soạn tập hải giảng

TOÁN CHUYÊN ĐÈ NGÀNH ĐIẸN

học Cư hán — Trường ĩ)ại học Công nghiệp Thảnh pho nồ Chi Minh

Qua quá trình giảng dạy, tác giả thấy rằng cần hiệu chỉnh và hồ sung

thêm dê cung cấp cho sinh viên những công cụ toán học tot hơn Ke từ

chuyên ngành.

• Chương 1 Giải phương trình phi tuyên

• Chương 2 Giải hệ phương trình tuyến tính

Các phép biên đối

tiết môn học đã dược Khoa duyệt Kiến thức trong giáo trình được trình

xem chứng minh trong các tài liệu tham khảo ỉ , 2, 4), thay vảo dó là

môn học Đặc biệt trong chương 6, tác giả có minh họa một so ví dụ

giả không di quá sâu vào các vỉ dụ minh họa mang tính chuyên sâu vê

Tác giá xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong tô Toán của Khoa

Minh đã đóng góp nhiều ý kiến quỷ báu.

Mọi sai sót (nếu có) trong giáo trình này dểu thuộc vẻ tác già.

Quý thầv tham gia phan biện giáo trình: Huỳnh ĨĨŨL1 Dinh, Tran Mạnh Tuấn, Lã Ngọc Linh

Tác giả

Mục lục• *

Chuvng 1 GIÃI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYỀN 8

1.1 Sai số 8

1.1.1 So xấp xì (số gần đúng) 8

1.1.2 Sai số tuyệt đối 8

1.1.3 Sai số tương doi 9

1.1.4 Cách viet so xấp xi 9

1.2 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình 10

1.2.1 Khoảng cách ly nghiêm 10

1.2.2 Phương pháp tìm nghiệm gần đúng 11

ỉ Phương pháp chia dôi 11

2 Phương pháp lặp đơn 13

3 Phương pháp tiếp tuyến (phương pháp Newton) 16 Bài tập chương 1 19

Chinmg 2 GIẢI HẸ PHƯƠNG TRÌNH TUYẺN TÍNH 21 2.1 Hệ phương trình tuyến tính 21

2.1.1 Định nghĩa 21

2.1.2 Các phép biến dổi sư cấp trên dòng ma trận 22

2.2 Các phương pháp Gauss 22

2.2.1 Phương pháp khử Gauss 22

2.2.2 Phương pháp khử Gauss với phần tử trội 23

2.3 Các phương pháp lặp 25

2.3.1 Chuẩn ma trận và chuẩn vector 25

4 MỰC LỤC

2.3.2 Các phương pháp lặp don 27

1 Phương pháp lặp đơn 27

2 Phương pháp lặp Scidcl 29

Bài tập chương 2 34

Chuxrng 3 GIĂĨ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 36 3.1 Phương pháp Euler 36

3.2 Phương pháp Euler cái tiến 3X 3.3 Phương pháp Rungc-Kưtta 42

Bài tập chương 3 43

Churnig 4 SỐ PHÚC - HÀM BIÉN PHỨC 45 4.1 Số phức và các phép tính 45

4.1.1 Các dinh nghĩa 45

4.1.2 Các phép tính 46

4.2 Biểu diền hình học của số phức 4X 4.3 Đường cong và miền trong mặtphăng phức 52

4.3.1 Đường cong 52

4.3.2 Miền 53

4.4 Hàm biến phức 55

4.5 Phép biên hình thực hiện bời hàm biến phức 56

4.6 Giới hạn và liên tục 5X 4.6.1 Giới hạn 5S 4.6.2 Liên tục 60

4.7 Đạo hàm 61

4.7.1 Định nghĩa 61

4.7.2 Điều kiện khả vi Cauchy—Riemann 63

4.7.3 Các quy tắc tính đạo hàm 65

4.7.4 Hàm giải tích '65

4.7.5 Quy tắc L'Hospital 67

4.S Hàm diều hòa 67

Toán chuyên cỉê HỊịừnh E)iện — Trirtnt} ’ 'Thuận 5

4.8.1 Định nghĩa 67

4.8.2 Liên hệ hàm giai tích với hàm điều hòa 67

4.9 Các hàm sộ sơ cấp 69

Bài tập chương 4 70

Chuông 5 TÍCH PHÂN HÀM PHỨC 75 5.1 Tích phân đường hàm phức 75

5.1.1 Định nghĩa 75

5.1.2 Cách lính 76

5.1.3 Tính chất 79

5.2 Định lý Cauchy 81

5.2.1 Định lý Cauchy chơ miên dơi hèn 81

5.2.2 Định lý Cauchy chơ miền da liên 82

5.3 Tích phân không phụ thuộc dường di 83

5.3.1 Định nghĩa 83

5.3.2 Nguyên hàm và công thức Newton — I.eibnilz 83 5.4 Công thức tích phân Cauchy 84

5.4.1 Công thức lích phân Cauchy 84

5.4.2 Công thức lích phân Cauchy chơ dạơ hàm 87

5.4.3 Hẹ quâ cùa cỡng thức tích phân Cauchy 88

Bài tập chương 5 90

Ch trưng 6 CÁC PHÉP B1ÈN DÕI 93 6.1 Phép biến dơi Laplace 93

6.1.1 Định nghĩa 93

6.1.2 Điều kiện tơntại 96

6.1.3 Biến dổi Laplace của một số hàm thông dụng 96 6.1.4 Các tính chất cơ bản 99

1 Biến đổi tuyến lính 1 99

2 Biến đỏi của hàm eut f ụ } (tính chất dịch chuyển ảnh) 99

6 MỰC LỤC

3 Biến đổi của hàm u(t — T).f(t — T) (tính

chất trễ) 100

4 Biến đổi của đạo hàm /<")(/) 103

5 Biến đổi của hàm 104

6 Biến đổi củatích phân /( f(x)dx 105

7 Biến đổi của hàm 105

8 Biến đổi của hàm tuần hoàn 106

9 Biến đổi của tích chập /(/) * ỉỉ(t) 108

6.1.5 Bảng đối chiếu gốc và ảnh 109

6.2 Phép biến đổi Laplace ngược 109

6.2.1 Định nghĩa 109

6.2.2 Tính duy nhất của phép biển dối Laplace ngược 1 10 6.2.3 Điều kiện đủ để một hàm có biến dổi Laplace ngược 110

6.2.4 Các phương pháp tìm biến đối Laplace ngược 110 1 Sử dụng tính chất của phép biến đổi Laplace 1 10 2 Sử dụng định lý Borel 112

3 Phân tích thành tổng các phân thức toi gian 1 12 6.3 ủng dựng phép biến đồi Laplace 115

6.3.1 Giải phương trình vi phân tuyến tính hệ so hang 1 15 6.3.2 Giải hệ phương trình vi phân luyến tính cap 1 hệ số hằng 118

6.3.3 Giải mạch điện 120

6.4 Chuỗi Fourier - 128

6.4.1 Khai triển chuỗi Fourier 128

6.4.2 Điều kiện hội tụ 130

6.4.3 Khai triển Fourier hàm có chu kỳ batkỳ 131

6.4.4 Khai triển Fourier hàm chần vàhàm lẻ 132

6.4.5 Dạng phức của chuồi Fourier 133

6.5 Phép biến dổi Fourier 135

Toán chuyên đề ngành Diện — Truong Thuận 7

6.5.1 Tích phân Fourier 135

6.5.2 Phép biến đối Fourier 137

6.5.3 Ỷ nghĩa vật lý 139

6.5.4 Các tính chất phép biếnđổi Fourier 140

6.5.5 Một sổ ứng dụng của phép biến đổi Fourier 141 Bài tập chương 6 145

Tài liệu tham khảo 150

(HẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

'Trong chưưng này chúng ta sẽ nghiên cứu một sô phương pháp

giai gần đúng phương trình /( v) — 0, trong dó /‘(.v) là hàm sô

1.1 Sai số

1.1.1 Sỗ xấp xỉ (số gần đúng)

Số a dược gọi là sổ gần đúng cũa so dứng /1, ký hiệu (í /í, nêu

a khúc 1 không dáng kê và dược dùng thay/1trong tính toán

Nên (I < /1, a dược gọi là xãp xí thiêu

Neu í7 > /1, a dược gọi là xấp xí thừa

Ví dụ 1.1 1,41 < x/2 <1,42

1,41 là xấp xi thiếu cua ự2; 1,42 là xáp xí thừa cứa x/2

1.1.2 Sai sỗ Luyêt đối

Dại lượng. A I/1 — a\ được gọi là sai số tuyệt đổi của a.

Nói chung, vì tct không biết số dứng ,4 nên không lính được sai sô tuyệt doi cùa r/ Thay diêu dó, ta tính bang sai so tuyệt dối giói hạn

Sai so tuyệt ílối giời hạn của số gần dứng a là dại lượng A a '.

Toán chuyên dề HỊiành Diện — Truong Thuận

Sai số tuyẹl đối giới hạn không duy nhất, thông thường la chọn A)

là số dương nhơ nhai có the có

1.1.3 Sai số tinrng đối

Sai sâ tương đôi của sô gân đúng a là ố‘ - ——

Sai sổ tương dồi giới hạn của

Sai sơ tương dơi giời hạn dặc trưng chơ dộ chính xác cúa phép dơ

Ví dụ 1.3 Dơ dộ dài A B la dược a 10 cm với A(l -0,1 cm và dơ dợdài Cĩ) la dược b =5 cm vói A/, - 0,1 cm Ta cớ sai sô lương dỡi giới

10 Chương 1 GĨÁỈ PHƯƠNG TRÌNH PHỈ TUYỀN

1.2 Tìm nghiệm gần đúng cua phuong trình

Quá trình tìm nghiệm gàn dúng gồm 2 bước:

• Rước ỉ: Tìm khoảng cách ly nghiệm, nghĩa là tìm khoảng (ct\b)

chứa một và chi một nghiệm thực của phương trình

• Rước 2: Tìm nghiệm với độ chính xác hay sai số cho trước

Toán chuyên đề ngành Điện — Truong Thuận

Vậy ta có hai khoảng cách ly nghiệm là (—!;()) và (4; 5)

Ví dụ 1.5 Tìm khoảng cách ly nghiệm của phương trình A3—3.Y—1 — 0

Ịư — x*| £, với E là sai so cho trước

1 Phương phảp chia đôi

Đặt zA() = {a\h), chia đôi (a\b) bởi điểm chia c —

Chương 1. GIÁ! PHƯONG TRÌNH PH! TUYKN

Toán chưyén đề Hịiừnh Diện — Trưony Thitụn

Ví dụ 1.7 Tìm nghiệm gần đúng cửa phương trình A' — sin.v 1 trong

(1,2;2) bang phương pháp chia đôi qua 5 bước lặp

Đánh giá sai so ở bước lặp thứ 5

1 _

la -X* -7.0,025 - 0,0125

1 2

Chứ ý: Tốc độ hội tụ về nghiệm cửa phương pháp chia dôi tương đối

chậm nhưng dễ thực hiện và luôn tìm được nghiệm

2, Phuong pháp lặp đo’ n

a) Nộỉ dung phuong pháp

Từphương trình f (x) — 0, bàng cách nào đó đưa về dạng A' — <p(x).

Sau đó chọn Xo — và tính xấp xỉ theo công thức

An — <p(a„-i), n 1

14 Chương 1 GĨẢỈ PHUONG TRÌNH PHỈ TUYẾN

Nghiệm gần đúng là A* — A,r

b) Điều kiên hội tụ

Neu ỳ?(a), < p '( x ) liên tục trên [ế/;/?] thỏa ẹ>(x) e- [ơ;/;] và |ự/(A’)|

ợ < 1 với mọi A G (a\b) thì dày nghiêm gần đúng {xn} hội tụ dennghiệm đúng ư

c) Đánh giá sai số

|ơ — x * I T1 -q~~ lx " “ Xfl~x I (1.1)hay

(1.2)

Công thức (1.2) thường được sử dụng để ước lượng số lần lặp n:

Ví dụ 1.8 Giải phương trình e x — A = 0 trong (0,2;0,9) bàng phương

pháp lặp đơn qua 5 bước lặp Đánh giá sai số ở bước lặp thử 5

Già ì: Từ phương trình e~x — X = 0, suy ra

Toán chuyên đề ngành Điện — Trương Thuận 15

Va- g [0,2;0,9], ta có

0,105361 <p(x} 1,609438

Vậy ta chọn ự>(A') — e~x và lặp theo công thức

16 Chương 1 Gỉ ẢI PHƯƠNG TRÌNH PHỈ TUYÊN

suy ra ự?(x) [1,2] (không thóa điều kiện hội tụ)

F)ây là phương pháp thông dụng nhất để tìm nghiệm gan dứng của

phương trình phi tuyến

Toán chitvên đê ngành Điện — Truong Thuận 17

Lặp theo công thức

Nghiệm gần đúng là A'* — xn.

b) Diều kiện hội tụ

Neu /'(x) và f"(x) không đỏi dấu trong (íi;h) và chọn A() trong [<?;/>] sao cho f (Xị}) f"(Xo) > 0 thì phương pháp tiep tuyên hội tụ

Cụ thể, ta có thể chọn Xo = a nếu / '(a) /"(í/) > 0 hoặc chọn A’o = b nếu f'(h) f”(h) > 0

Ta minh họa điều kiện hội tụ bàng hình 1.1 sau:

18 Chương 1 GỈÁỈ PHƯƠNG TRÌNH PHỊ TUYÊN

Nếu trong (ư;h) ta có 0 < m |./,(-v)| và \ f"(x)| íỉ M thì

lo' — -<*] — xn —J |2

2/W

Ví dụ 1.10 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình A'4 — A — 10 — 0

trong (1,5;2,5) bằng phương pháp tiếp tuyến qua 4 bước lặp Đánh giá

Toán chuyên đề ngành Điện — Truong Thuận 19

Bài tập chiTOTig 1

1.1 Tìm khoảng cách ]y nghiệm của các phương trình sau

a) A'3 - 3x2 T 1 = 0

b) A' -1- 2 = e x

1.2 Giải các phương trình sau bằng phương pháp chia đôi qua 5 bước

lặp Đánh giá sai sổ ở bước lặp thứ 5

a) COSA- — 2a' 4- 1 = 0 trong (0,5;1)

3b) ln(A' 4- 1) — ex = trong (—0,8; —0,6)

c) 2a' — 1 — 2 sin A- = 0 trong (1 ;2)

d) X2 4- ựx - 1 - 4 trong (1,5;2)

lặp Đánh giá sai so ở bước lặp thứ 5

20 Chương 1 GỈẢĨ PHƯƠNG TRÌNH PHÍ TUYÊN

a) Tìm khoảng cách ly nghiêm của phương trình (1)

b) Với khoảng cách ly trên, để giải phương trình (1) bằng phương

pháp lặp đơn với sai số không quá 10~5 thì so bước lặp loi thicu

là bao nhiêu?

Chirong 2

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYÉN TÍNH

Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày lại phương pháp Gauss, một phương pháp tìm nghiệm đúng của hệ phương trình tuyến tính gồm

có n phương trình vấ n biến thực, Sau đó, chúng la SC nghiên cứu các

phương pháp lặp đe tìm nghiệm gần đúng

22 Chương 2 G/ÁĨ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYÊN TỈNH

• Hoán đỏi 2 dòng của ma trận:

Giải hệ tam giác trên từ dưới lên

Chú ý: Phương pháp khử Gauss thực hiện được nếu

Toán chuyên đề ngành Diện — Trương Thuận 23

mở rộng(/1|/7) -

234

4

1

3-27

4

-2

7

34

2

1 1

1,5

—27

2-2

71

00

2

—53

2

31,5

Giải ngược từ dưới lên ta được nghiệm A'3 — 2, = -1, x( - 1

2.2.2 Phuong pháp khỉr Gauss vói phần tủ- trội

Chú ý rằng khi chia cho một số thì sai số tính toán

bị chia có trị tuyệt đoi càng lớn

24 Chuông 2 GỈÁJ HẸ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Khử = 0 băng phép biên dôi sơ câp

Hước p (bước tổng quát):

Hoán vi dòng sao cho

I !>!> I 1 = max a1 k!> ,, ’ , /c • - p , p 4- Ị /7

Khứ al ^ p = 0 bàng phép biến đổi sơ cấp

dk ■> dk — ak„

aỊ>p

Toán chuyên đê ngành Diện — Trương Thuận 25

ĩìưởc kếỉ thúc: Giải ngược từ dưới len

Chú ý: Phương pháp khử Gauss tìm được nghiệm dứng nhưng do quá

trình tính toán làm tròn số nên chỉ nhân được nghiệm gẩn đúng Nổutrong quá trình tính toán mà

26 Chương 2 GỈÁỈ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYÈN TỈNH

Chuân của ma trộn vuông A — (ctịị) là một sô thực, ký hiêu là IIA II,

thỏa các tính chat sau:

Toán chuyên đề ngành Điện — Truong Thuận

a) Nội dung phinmg pháp

Đưa hệ phương trình /1a' = b về dạng X — Bx -I- g, trong đó matrận B và vector g suy ra Lừ /1 bằng cách nào dó

Sau đó la lặp theo công thức

x(n) = Bxin~l) + g 1)với vector x(0) = g.

Nghiệm gần đúng là X* =

Phương pháp lặp dơn hội tụ nếu II B II — q < 1

Đánh giá sai số (so với nghiệm đúng ơ)i

chẳng hạn trường hợp A có đường chéo chính là đường chéo trội, lức là

l^iỉ Ị > l^r 1 I + • • • + ị^i(ỉ —1)1 + Ị^i(ỉ I 1)1 4" • • “I" |đfn|

thì hệ Ax = b viết dưới dạng

28 Chương 2 GỈÁỈ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYÊN TĨNH

0,121,04

- 0,221154 = q < 1

Vậy phương pháp lặp hội tụ

Tiến hành lặp theo công thức x(w) = + £, ta được bảng kếtquả sau:

Toán chuyên đề ngành Diện — Truong Thuận 29

30 Chương 2 GỈẢỈ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYỀN TỈNH

•vỉ*1 v)*>

Toán chuyên đề ngành Điện — Trương Thuận 31

= 0,795

= 0,849

= 1,398bằng phương pháp Seidel qua 3 bước lặp

Giải: Biốn đổi hệ phương trình về dạng

X] 0,795 1,02

0.K49

-Ị- 0,051 ọạ-^20,11

4- 10,1 ,02 x 3 V-.,

0’05

*2 1,03 i'()3A 1 —I~• 1,03 A 3 -*3 1,39S1,04 0,1 1l,04A1 4- ó: 12,, L04X2

Lặp theo công thức

= 4* ’ =

•A, —

0,795

1,020,849

1 ,03

1,398

1,04

0,05 _(£-!) 0,1 (fc-Ị)1,02 A 2 ■; 1,02 30,11 „(k) 0,05 (A—1)

1 Ọ3%1 + 14)3 A 30,11 (ky , 0^r(*>

32 Chương 2. GỈÁỈ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYỀN TÍNH

Ví dụ 2.7 Giai hệ phương trình

.vị” 0,849

1,03

4-IHl.v',” -4- 1,03 ’

1,398

1,04

°’795

1,02_ 0,8491,03

^ịv p

-1-1,03 1

1 (3)1,04 1

0,1 21,04

0,1

1,020,051,03

0 ] 2

1,04

0,11,02

005

1.03 0,1 2

I-0,24x2 — 0.08.\ , 83vỊ - 0.1 5 A3 - 90,08a*2 -I- 4X4 20 bằng phương pháp Seidel qua 3 bước lập

Đánh giá sai số ờ bước lặp thứ 3

í 4a" Ị -b 0,24x2 - 0,08x3 8

ỉ 0,09X1 i 3a-2 — 0,15x3 9( 0,04X1 - 0,08X2 + 4X3 20X1 =z 2 - 0,06X2 -I 0,02X3 X2 - 3 - 0,03X1 4- 0,05x3 X3 = 5 - 0,01xi 4- 0,02X2

Toán chuyên (ỉề ngành Diện — Truong Thuận 33

Ta cói — 0,08 < 1 Víìy phương phrìp Seidel hội tụ

Chọn A'(o) g và áp dụng công thức lặp Seidel la dược kct quà

34 Chương 2 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYÊN TỈNH

2.3 Giải các he phương trình sau bang phương pháp lặp đơn qua 4

bước lặp Đánh giá sai sổ ở bước lặp tlrứ 4

Toán chuyên đề ngành F)iện — TrutniỊỊ Thuận 35

2.4 Cho hệ phương trình

A'10,2X1

2.5 Giải các hệ phương trình ở bài tập 2.3 bàng phương pháp Seidelqua 4 bước lặp Đánh giá sai số ở bước lặp thứ 4

2.6 Sử dụng phương pháp Seidel, giải các hệ phương trình sau qua 3

bước lặp Đánh giá sai so ở bước lặp thứ 3

Chuwng 3

GIẢI PHUONG TRÌNH VI PHÂN

Nhiều bài loan khoa học kỹ thuật dẫn dẽn việc giái phương trình

vi phân Bài toán đơn giản nhất của phương trình vi phân là bài toán

Cauchy: tìm nghiệm y = y(x) thỏa mãn

( y' = /(x, y)

I y(A*o) — Vo A o < A- < X (3.1)trong đỏ /(.V, y) 1'à một hàm số cho trước với hai biến số A, y; Ab, X, Vo

là các số cho trước Điều kiện y(A'o) Vo được gọi là điều kiện đầu

Như đà biết trong toán cao cấp, với bài toán (3 í) la có the tìm được nghiệm dứng của một so phương trình vì phân don gián như biến

số phân ly, dang cấp, tuyên lính, Nhưng neu ve phai /(A' y) có

dạng bat kỳ thì bài toán (3.1) nói chung không có phương pháp giaiđúng Vì vậy, việc lìm nghiệm gần dứng của bài toán (3.1) có một vai

trò quan trọng trong thực tế

Trong chương này, ta sẽ nghiên cứu một so phương pháp giai gan đúng Đặc điểm của các phương pháp này là chỉ tìm các giá trị xap xỉ

của nghiệm đúng của bài toán (3.1) tại các diem chia Aị),.V|, v„ —

X Ket quả là kỉ sẽ nhận dược các giá trị xấp xí cua nghiêm dứng

dưới dạng bảng số

3.1 Phuơng pháp Euler

Xét bài toán

( y' = /(x, V)

ị y(A'o) = y<) A'() V X

Đe tìm các giá trị gần đúng của nghiệm đúng y(x) cứa bài toán

(3.2), ta chia đoạn [a'o,X] thành n doạn nhỏ bằng nhau bởi các diem

chia A‘j: