Toán chuyên đề ngành điện

Các phép biên đối Nội dụng giáo trình đáp tứng đây đủ các yêu cầu của đề cươn g chỉ tiết môn học đã được Khoa duyệt.. Tim nghiém g4n ding cua phuong trinh Quá trình tìm nghiệm gần đúng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP

THANH PHO HO CHi MINH

Lời nói đầu

Đề dáp ứng như câu học tập của sinh viên chuyên ngành Điện, tác

@td đã biên soạn tập bài giảng

TOAN CHUYEN DE NGÀNH ĐIỆN

nè nấm học 2015—2016 theo để cương chỉ tiết môn học của Khoa Khoa học Cơ bản — Trưởng Đại học Công nghiệp Thành phố Hỗ Chí Minh Qua quá trình giảng dạy, tác giả thấy rằng cần hiệu chỉnh và bổ sung thêm để cung cấp cho sinh viên những công cụ toán học tối hơn Kế từ năm học 2017—2018, được sự chấp thuận của Trưởng khoa Khoa học

Co ban và tập thể tổ Toán, tập bài giảng được nâng lên thành giáo trình, nội dung được biên soạn bám: sát hon nữa những đặc thủ cảa chuyền ngành,

Giáo trình được chỉa thành 6 chương:

e Chương 1 Giải phương trình phi tuyến

e Chương 2 Giải hệ phương trình tuyến tính

® Chương 3 Giải phương trình vị phân

e Chương 4 Số phức — Hàm biến phức

® Chương 5 ích phân hàm phúc

e Chương 6 Các phép biên đối

Nội dụng giáo trình đáp tứng đây đủ các yêu cầu của đề cươn g chỉ tiết môn học đã được Khoa duyệt Kiến thức trong giáo trình được trừnh bảy chỉ tiết một cách logic, dễ hiểu Nhằm giảm nhẹ tính hàn lâm, tác giả không đưa vào phần chứng mình cho các định lý (sùnh viên có thể xem chứng mình trong các tải liệu tham khao 1, 2, 4), thay vào đó là rất nhiều ví dụ có lời giải chỉ tiết giúp sinh viên dễ tiếp cận hơn với môn học Đặc biệt trong chương 6, tác giả có mình họa một số ví dụ

2

tứng dụng của phép biên đổi trong việc giải nạch điện Tuy nhiên, rác gid khong di gud sdu vao cde vi du minh hoa mang tinh chuyén sdu ve chuyên ngành Điện VÌ sự hạn chế của tắc gid vé link vic nay

Tác giá xin chân thành cám ơn quỷ thầy cô trong tổ Toán của Khoa Khoa học Cơ bản — Trưởng Đại học Cổng nghiệp Thành pho Hồ Chí Minh đã đóng góp nhiều Ý kiên quý báu

Mọi sai sót (nêu có) trong giáo trình này đều thuộc về tác gid Quý thầy tham gia phản biện giáo trình: Huỳnh TIữu Dinh, Trần Mạnh Tuấn, Lã Ngọc Linh

Thành phô Hồ Chỉ Minh, tháng 7 năm 2017

Tác giả

Mục lục

1.1.3 Sai số tương đối NT 9

1.2 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình 10

1.2.1 Khoảng cách ly nghiệm " 10 1.2.2 Phuong phap tim nghiém gan ding " 1]

! Phương pháp chia đơi, Lone ]]

2 Phuong phap lAp don .2.2 13

3 Phuong phap tiép tuyén (phuong phap Newton) 16 Bai tap chuongy 1 2 ee ee eee, Le 19

2.1 Hệ phương trình tuyến tính kh xa 2!

2.1.1 Định nghĩa .2 222 2224 21 2.1.2 Các phép biến đổi sơ cấp trên dong ma tran 22 2.2 Các phương pháp ÒauSsS Quà Ty 22

2.2.1 Phuong phap khir Gauss re 22 2.2.2 Phương pháp khứ Gauss v6i phan tirtrdi 23

2.3.1 Chuan ma tran va chuan vector 25

2.3.2 Các phương pháp lặp don 2.2 27

1 Phuong phap lap don .202022 27

2 Phuong phap lap Scidel .02 29 Bai tap chuong 2 2.200202 2 ee 3-1

3.1 Phuong phap Euler 2 2 Loe KV 36 3.2 Phuong phap Euler cai tién 2 .0.0.0000404 38 3.3 Phuong phap Runge-Kutla 2 2 Loe ee 42 Bai tap chuong 3 2 Lo ee ee Lone 43

4.1.1 Các định nghĩa .2 Ko ee 45 4.1.2 Cac phép tinh 2 2 46 4.2 Biểu diễn hình học của số phức ¬ 48

4.3 Đường cong và miễn trong mặt phăng phúc 52

4.3.1 Duong cong 2 v2 gà 52

4.5 Phép biến hình thực hiện bởi hàm biến phức 56 4.6 Giới hạn và liên LỤC Q2 ¬ 58

4.7 Đạo hàm toe ee 6]

4.7.2 Điều kién kha vi Cauchy—Riemann 63

4.7.3 Các quy tắc tinh dao ham << 65

4.7.4 Hàm giải tích Ho HH Ra + + -+ „` 6S

4.7.5 Quy tắc L'Hospial Loe 67

4.8 Hàm điều hòa Dok ek ee ee eee 67

Todn chuyén dé nganh Điện — Trường Thuận 5

4.8.2 Tiên hệ hàm giải tích với hàm điều hòa 67

5.2.1 Định lý Cuuchy cho miền đợu, siên 8]

$.2.2 Pinh ly Cauchy cho miền da liên 82

5.3.2 Nguyên hàm và công thite Newton — Leibnits 83

5.4.2 Công thức tích phần Cauchy cho dao ham S7 5.4.3 We qua cua công thức tích phân Cauchy 38

6.1.3 Biến đối Laplace cla mat sO ham thông dung 96

2 Biến đổi của ham z¿““ /£() (nh chất dịch

4 Biến đổi của đạo hàm /U2() 103

5 Bién déi cha ham ft" f(t) 104

6 Bién déi cia tich phan f) f(Qx)dx o 2 105

7 Biến đổi của hàm 2 105

8 Biến đổi của hảm tuần hoàn 106

9 Bién déi cha tích chập f(t) * g(t) 2.0 108

6.1.5 Bảng đối chiếu gốc và ảnh 109

Phép biến đổi Laplace ngược 109 6.2.1 Dinh nghia 109 6.2.2 Tính duy nhất của phép biến đổi Laplace ngược 110

6.2.3 Điều kiện đủ để một hàm có biến dỗi Laplacc

6.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược 110

1 Sử dụng tính chất của phép biến đối Laplace 110

2 Sử dụng định lý Borel 112

3 Phân tích thành tổng các phân thức tối giản — 112 Ứng dụng phép biến đổi Laplacc 115 6.3.1 Giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng 115 6.3.2 Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp |

6.4.3 Khai triển Fourier hàm có chu kỳ bất kỳ 13]

6.4.4 Khai triển Fourier hàm chẵn và hàm lẻ 132

6.4.5 Dạng phức của chuỗi Fourier 133

Phép bién déi Fourier» 0.0.20000020 135

Toản chuvên để ngành Điện — Trương Thuận

6.5.1 Tich phan Fourier

6.5.4 Các tính chất phép biến đổi Fouricr

6.5.5 Một số ứng dụng của phép biên doi Fourier

Tài liệu tham khảo

135

137

139

140 14}

145 150

Chương Í GIÁI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYNBN

rong chương này, chúng ta SẼ nghiên cứu một số phương pháp giải pần đúng phương trình f(x) = 0 wong do f(x) la ham số

1.1 Sal sô

1.1.1 S6 xap xi (s6 gan ding)

So a đƯỢợC ĐỌI là sổ gđu dưng của số đúng A, ky hicu a =~ AL neu

¿ khác A khong dang ké va duoe dtng thay ‘1 trong tinh loan

Neu a < AL, a@ duoc vor la xap xi thiéu

Nếu ứ = Ala dược gọi là xấp xỉ thưa

Ví dụ I.I 1,tl< 4⁄2 «1,342

P41 là xấp xí thiểu của 4⁄2: 1,42 là xap xỉ thửa cúa 72

I.I1.2 Sai số tuyệt đôi

Đại lượng ¿Z1 |4 — đ| được gỌi là sai sé tuyét dér cua a

Nói chung, vì tạ Không biết số đúng 24 nền không tính dược sai số tuyệt đối của a Thay diéu do, ta tinh bang sai SỐ tuyét doi gior han Sai s6 tuyệt đổi giới hạm của sỐ gần đúng a là đại lượng A,,:

Toán chuvén dé aganh Dien — Triong Thudn 9

Set số tương đới của số gân đúng « la 6 —- In (tinh theo “%)

Sai s6 tuong doi vidi han cua so gan dang « là đại lượng o& thoa man

} > A 5

S 0g < = 4 ( f A du

Ví dụ 1.3 Do độ dài 217 ta dược a = 10 cm voi A, =O.) em và do độ

dai CD ta duge bh =5 cm với ¿4¿ =OÓ,] cm, “Pa có sai số tường đôI pIới hạn là

10 Chương | GIA] PHUONG TRINH PHI TUYEN

1.2 Tim nghiém g4n ding cua phuong trinh

Quá trình tìm nghiệm gần đúng gôm 2 bước:

e Đước ï: Tìm khoảng cách ly nghiệm, nghĩa là tìm khoảng (ct: Ð) chứa một và chỉ một nghiệm thực của phương trình

e Bước 2: Tìm nghiệm với độ chính xác hay sai sô cho trước

1.2.1 Khoảng cách ly nghiệm

Nếu /(x) lên tục trên [đư;Đ] thỏa /(2)./(b) < O0 và / '{Y) không

đổi dấu trong (z;b) thì (¿;Ð) là khoảng cách ly nghiệm

Vị dụ 1.4 Tìm khoảng cách ly nghiệm của phương trình 2*—5x—3 =- Ö

Toán chuyên đề nuành Điện — Trương Thuận 11

Vậy ta có hai khoảng cách ly nghiệm 1a (—1;0) va (4:5)

Ví dụ 1.5 Tìm khoảng cách ly nghiệm của phương trình xÌ—3v—l = 0

la — x*| < ¢€, voi © la sai s6 cho trudéc

1 Phuong phap chia déi

a) Nội dụng phương pháp

Pat Ay = (a:b), chia doi (a:b) bai diém chia c = 424

Néu /(c) = Ô thì c là nghiệm đúng cần tìm

Néu f(c) # 0 thi ta chon A; = (a1;,) là một trong hai đoạn (2:€)

và (c:) sao cho /(i)./(Bì) < 0

Ở bước thứ ø, ta có An = (dni Pn) C Ag va

b—a

an, S œ by; hy - an = 2n

Chương 1 GIAI PHUONG TRINIT PHI TUYEN

Gn + by

Khi đó, tạ lây về - là nghiệm gần đúng của a

b) Danh giá sai sô

Sa1 SỐ SỐ VỚI nghiệm dung:

fees <A + An ` lXn- > In pou a In + COT pw

Use lugng s6 lan lip: 1 > I mộ | 3,64

Toan chuvén dé nganh Dién — Truong Thuận '

T]

Đánh giá sai số ở bước lap thir S

Gidi: Pat f(x) = x —sinx — 1

Ap dung lién ti¢p phuong phap chia doi ta nhan duge bang ket qua sau:

l

lœ — x*| < —.0,025 = 0,0125 5"

Chu ý: Tốc độ hội tụ về nghiệm của phương pháp chia đôi tương đối

chậm nhưng để thực hiện và luôn tìm được nghiệm

2 Phương pháp lặp đơn

a) Nội dung phương pháp

Từ phương trình /(x) = 0, bằng cách nào đó đưa về dang x = g(x)

Sau đó chọn xạ = ath và tính xâp xi theo công thức

Xn = P(Xn-1), "Zl

14 Chương 1 GIA] PHUONG TRINH PHI TUYẾN Nghiệm gần dung lA x* = xy

b) Điều kiện hội tu

Nếu p(x) /(x) liên tục trên [đ; 6] thỏa @(x) € {[ø;ð] và |ự'(x)| <

đ < | với mọi x € (a:b) thi day nghiém gan ding {ax„} hội tụ đền

Toán chuyên đề ngành Điện — Trương Thuận 15

Vx © [0,2;0,9], ta cd

0,105361 < g(x) < 1,609438

suy ra @{x) € [0,2;0,9] (kh6ng thoa diéu kiện hội tu)

Vậy ta chon g(x) = c~* và lặp theo công thức

16 Chương 1 GIÁI PHUONG TRINH PHI TUYEN

(thea diéu kién héi tu voi g = 0,209987)

Ta chon g(x) = (¥ + 1)3 và lặp theo công thức

Xp == P(Xn-1) = (Xn-1 + 1)

] 2 VỚI Xọ, —= ~ = 1,5

Từ công thức đánh giá sai số (1.1), để |œ — x„| < I0 thì

Nghiém gan ding x* = x5 = 1,324760

3 Phương pháp tiép tuyén (phuong phap Newton)

Đây là phương pháp thông dụng nhất để tìm nghiệm pần đúng của phương trình phi tuyên

Toán chuyên đề ngành Điện — Trương Thuận 17 a) Nội dụng phương pháp

b) Điều kiện hội tụ

Nếu //v) và /”(x) không đổi đấu trong (2:Đ) và chọn Au trong [¿; 2] sao cho /(vo) /“Xo) > Ô thì phương pháp tiếp tuyển hội tụ

Cụ thể, ta có thể chọn xọ = a néu f(a) f"’(a) > Ø hoặc chon

18 Chương 1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYEN Nếu trong (¿:Ð) ta có 0< mm < |[//C{v)| và |/2(x)| < M thi

M

|œ — x*] = Tan en —NXn-} |?

Vi du 1.10 Tim nghi¢m gan đúng cua phuong trình x4 — 7 — 10 = 0 trong (1,5;2,5) bằng phương pháp tiếp tuyến qua 4 bước lặp Đánh gia sai số ở bước lặp thứ 4

20 Chương 1 GIẢI /"HƯƠNG TRÌNH PIH TUYẾN

a) Chitng to rang voi x € (0:1), ham g(x) = — thỏa điều kiện

b) Với hàm g(x) trén, hay tìm nghiệm gần ding x, sao cho |x, —

a) Tìm khoáng cách ly nghiệm của phương trình (])

b) Với khoảng cách ly trên, để giải phương trình (1) bằng phương pháp lặp đơn với sai số không quá 107 thì số bước lặp tối thiểu

là bao nhiều?

Chuong 2

GIAI HE PHUONG TRINH TUYEN TINH

Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày lai phirong phap Gauss, một phương pháp tìm nghiệm đúng của hệ phương trình tuyến tính gồm

có phương trình vá ø biến thực Sau đó, chúng ta sẽ nghiên cứu các

22 Chuong 2 GIA] HE PHƯƠNG TRÌNH! TUYẾN TÍNH

2.1.2 Các phép biên đôi sơ cập trên dòng ma trận

e Hoán đổi 2 dòng của ma trận:

Giải hệ tam giác trên từ dưới lên

Chi ¥: Phương pháp khử Gauss thực hiện được nều a) AOk = in

Toán chuyên đề ngành Điện — Trương Thuận 23

Ví dụ 2.1 Giải hệ phương trình

2x 1 + 4x2 + 3X4 = 4 3X4 +- X2 — 2X3 = —2?

Giải ngược từ dưới lên ta được nghiệm xa — 2, Xa = —Ì, Xị = 1

2.2.2 Phương pháp khử Gauss với phần tử trội

Chú ý răng khi chia cho mỘt số thì sai số tính toán cảng nhỏ khi sẽ

bị chia có trị tuyệt đôi càng lớn

VỚI dị, = Gif, Aigy4 yy — Đị

Bước ï: Hoàn vị đòng sao cho

(chọn phần tử Ở cột Ï có trị tuyệt đối lớn nhất)

24 Chuong 2 GIA] HE PHUONG TRINH TUYEN TINH

Bước p (bước tổng quát):

Hoan vi dong sao cho

ja? | = max pp » k= ppt ty n

Todn chuyén dé nganh Dién — Truong Thuận 25

Bước kết thúc: Cát ngược từ dưới lên,

Chit y: Phuong phap khử Gauss tìm được nghiệm đúng nhưng do qua

trình tính toán làm tròn sô nên chỉ nhận được nghiệm gân đúng Nêu

trong quá trình tính toán mà

3 lI—2 | —2 iy ore hy onal 4 II 7 7

26 Chương 2 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Chuẩn của ma trận vuông ⁄4 = (;) là một số thực, ký hiệu là J|41]|, thỏa cac tinh chat sau:

i) {JAlf = 0, || Af] = 0 = A = O (ma trận không}

ii) Va CIR: |laAl] = le] |] A]

¡ chuẩn cột: J|x|ly = Ji] + [x2] + + |aal

ii) chudn dong: |{x||,, = max |x; |

iii) chudn Euclide: |Jx|], = /x? + x2 + 4 x2

Vi du 2.4 Cho x = , ta cd

Toán chuyên để ngành Điện — Trương Thuận 27

a) Nội dung phương pháp

Đưa hệ phương trình ⁄1x = ð vê dạng x = Öx + £, trong đó ma trận Z# và vector ø suy ra từ ⁄1 băng cách nào đó

Sau đó ta lặp theo công thức

x = 8x0!) L pø (n> 1)

voi vector x = ø,

Nghiệm gần đúng la x* = x,

b) Điều kiện hội tụ và đánh giá sai số

Phương pháp lặp đơn hội tụ nếu || B|| = g < 1

Đánh giá sai số (so với nghiệm đúng ơ):

ln —x*]] < = |x — x1) | (2.2)

l—gq hay

chang bạn trưởng hợp 44 có đường chéo chính là đường chéo trội, tức

|Z;; | > lai Ì + + laig—1)| + laige4-1)| ¬+- -+ |; |

thì hệ 1x = ð viết dưới đạng

28 Chuong 2 GIAI HE PHONG TRINH TUYEN TINH

xy = „(6n — &12N2 — 2 — Gin Xn)

Vo == ma (bạ — đ21XỊ — —(12„,X„}

Nyy ay (Pn ~ Uny Ny a GAn(n—1)NVa—1)

Vi du 2.5 Giai hé phuong trinh

102x, — O,05x;y — O/lxa = 0,795

—0,llx:y + 41,0342 — O,05x3 = 0,840 mu» — QO,12x2 + %1,04x%3, = 1,398

Kiểm tra điều kiện hội tụ:

Bil = max 0:05 , 1 O11 4, 0,05 0,11 | 012 4) : -+- Ö +- :

=0,2211547=j< ]

Vậy phương pháp lặp hội tụ

Tién hanh lap theo céng thire x? = Bx“) 4 g, ta duoc bang két qua sau:

Vậy ta có nghiệm

x, = 0,981079 + 0,001626 x2 = 1,004124 + 0,001626 x3 = 1,56285! + 0,001626

2 Phương pháp ldap Scidel

Phương pháp lặp Seidcl tương tự phương pháp lặp đơn Ý tưởng của phương pháp là sử dụng thông tin có được càng sớm càng tÔI Đưa hệ phương trình /1x = bh vé dang x = Bx + gv với ||B|| < 1,

§ 1

B = (b;;) la ma trận vuông câp n va g =

&u Lap theo công thức

X1 = £1 + by, x$ ) + biax§ ) + + by )

30 Chương 2 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

xế ce ga + bại x + baaxt£F”) + + Pay xi?

VK) = gs + bại a) + đạn coe) + te bay xo?

bị địa Piz Pin

0 hạy hại ban

Toán chuyên đề ngành Điện — Trương Thuận 31

trong đó 6 = max a i£=1,2, ,n

pi = 0

p2 = |hai|

P32 = |h3;| + [haa2|. - Pa = |Pni| + [n2l + L5aœ—n|

Gi = |Oi1| + [bia] + + [Oia

2 = |h22| + |ho3a| + - + |Panl, - da = |Pan|

Công thức (2.6) thường được sử dụng để ước lượng số lần lặp

Ví dụ 2.6 Giải hệ phương trình

1,02x, — 0,05x2 O,lx3; = 0,795

—O,lix,; 1,03.x2 0,05x3 = 0,849

—O,1]1x; — 0,12x2 1,04x3 = 1,398

bằng phương pháp Seidel qua 3 bước lặp

Giải: Biến đổi hệ phương trình về dạng

32 Chuong 2 GiAl HE PHUONG TRINH TUYEN TINH

Ve = Teh ager Í Tae c 004716

ay, 1398 | OFF a) OT? 2 1 se3005

Vi du 2.7 Giai hệ phương trình

0,09x¡ -È 3va Ắ— 0151 9

0,044.4 — 0,08 AO ¬‡_ 4X 3 Sa (0)

bằng phương pháp Scidel qua 3 bước lặp

Đánh giá sai số ở bước lặp thứ 3

Giải: Biên đỗối hệ phương trình

4x, -+ 0,24x12 — 00,0843 == 8 O,D9xi + 3x — 0,15.x3 == 9 0,04x; — 0,08x2 -+ 444 = 20

xX, = 2— 0,06.x> -} 0,02.4

<> X> = 3 —-—0,034X, 4- 0,05 x5

x3 = 5—-0,01x%, 4+- 0,021.2

Toán chuvên để ngành Điện — Trương Thuận 33

Ta có 8l „ -z 0.08 < 1 Vay phương phap Scidel hoi tu

Chọn x2) + ở và áp dụng công thức lặp Seidel ta dược kết quả

34 Chương 2 GIẢI /1E PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

b) XY] + 3x2 — 5X3 — LÕ.xa = —]

3X1 + 5X2 — 3X3 — 5X4 = 5

Xr + Sxq + Sx3 + 2x, = It

2.2 Giải các hệ phương trình ở bài tập 2.1 bằng phương pháp khử

€auss với phần tử trội

2.3 Giải các hệ phương trình sau băng phương pháp lặp đơn qua 4 bước lặp Đánh giá sai sô ở bước lặp thứ 4

6x; + 2x; + x3 = #14

a) 2X; + 5x2 — 2x, = 10

XY — 2X2 + 8X3 = 17 lOxy _ X2 = 9

Toda chuyên để ngành Điện — Trương Thuận 35

2.5 Giải các hệ phương trình ở bài tập 2.3 bằng phương pháp Seidel qua 4 bước lặp Đánh giá sai sô ở bước lặp thứ 4

2.6 Sử dụng phương pháp Seidel, giải các hệ phương trình sau qua 3 bước lặp Đánh giá sai sô ở bước lặp thứ 3

Chuong 3 GIAI PHUONG TRINH VI PHAN

Nhiều bài toán khoa học kỹ thuật dẫn đến việc giải phương trình

vị phần Bải toán đơn giản nhất của phương trình vị phân la bài toán Cauchy: tim nghiệm y' = y(x) thỏa mãn

ví —=ễ L(x, y) /

y(Xu) = Vo °

trong đó /(x, y) là một hàm số cho trước với hai biển sỐ v ý: Aụ, X, Đụ

là các số cho trước Điều kiện ¥(X0) == Yọ được gọi là điều kiện đầu

Như đã biết trong toán cao cấp, với bài toán (3.1) ta có thể tìm

được nghiệm đúng của một số phương trình vi phân đơn gián như biến

số phân ly, đẳng cấp, tuyến tính, .Nhưng nếu về phải /(Xx.Y) có dang bất kỷ thì bài toán (3.1) nói chung không có phương pháp giải

đúng Vì vậy, việc tìm nghiệm gần đúng của bải toán (3.1) có mỘt vai trò quan trọng trong thực tẾ

Trong chương này, ta sẽ nghiên cứu một số phương pháp iad gan

đúng Đặc điểm của các phương pháp nay la chi tim các giá trị xấp xi

của nghiệm đúng của bài toán (3.I) tại các điểm chia Xo,.VỊ v.Vy =

X Kết quả lả la SẼ nhận được các giá trị xấp xí của nghiệm đúng

dưới dạng bảng số

XÉI bải toán

Dé tim cae giá trị gần đúng của nghiệm đúng v(x) của bài toán

(3.2), ta chia đoạn [vạ., X] thành 7 đoạn nhỏ băng nhau bởi các điểm

chia x;: