CÁC PHÉP BIÉN ĐỔI
2. Phép biến đổi Fourier là một phép lọc tần số cao
Giõ sử la cú tớn hiệu ^x(l) —- A'(z) + ằ(/), trong đú /7(z) ỉà thành phần tín hiẹu nhiễu với tan so cao lẫn vào. Ta có thể lọc A'(z) ra khỏi Ã(/) bang cách tính ảnh Fourier của tín hiệu jv(z), sau đó bó di tất ca các thành phân tan so cao hơn (i)# trong X ụ cư) theo công thức
X( ị cư) — X (ị cư ). W(cư) trong đó
Ỉ01 khikhi > cư#Ioj I cưL,
rồi chuyến lại thành A'(z).
3. Bộ lọc điện • • •
Xét mạch điện RC như hình 6.15. Giâ sử U)(z) là hiệu diện the cung cap, /(Z) là dòng điện trong mạch và u(z) là hiệu điện the ra. Bài toán đặt ra là hãy tính v(z) khi biết U)(z).
Công thức liên hệ giừa dòng điện Z(z) và hiệu diện the cung cap Uo(r) là:
1?o(z) = Ri 4- — idt (6.24)
Toán chuyên dê ngành Diện — Trưưng Thuận 143
Hình 6. ỉ5
trong đỏ ợ() là điộn tích ban đầu của tụ điện.
Công thức liên hệ giữa dòng điện z(Z) và diện thố u(z) là
= ^7 (y idí I
Từ (6.24) và (6.25) suy ra í/b’
R c -I- n — J?() dí
Điều kiên ban dầu của hiệu điện thế ra là v(()) =
(6.25)
(6.26)
Giâ thiết Vo(/) là dãy diện xung tuần hoàn chu kỳ 7’ như hình 6.16
Hình 6.16
144 Chương 6. CÁC PHÉP BIÊN DÔ ỉ Đe xác định !?(/), ta viết Vo(/) dưới dạng chuỗi Fourier
>•„(') - £2 (6.27)
k ~—00 2jtẩ:
trong đó (t)k — •
Nghiệm của phương trình (6.26) là tong của nghiệm phương trình thuần nhất
í/ỉ? _ ,
RC-r I- V 0 (6.28)
di
tức là ae~^liC (a là hằng số) và nghiệm riêng của (6.26).
Vì vt)(ỉ) tuần hoàn nên ta có thế tìm nghiệm riêng luân hoàn dạng
00
E 4ô'""“
k■——00
Như vậy, nghiệm của (6.26) có dạng
00
v(r) - ae~í/liC + cke'CUkl k —00
Từ đây và (6.27) suy ra
ck 1 I i (i)k Rc
trong dó hệ số Fourier Ck của Ư(>(/) dược tính bằng còng thức
I ựTỊi ưsinị^^
ck = A / cie~ití>kl dt = 2--- -?---
I J-T/2 / c°k
Nghiệm phương trình thuần nhất (6.28) dược gọi là hiệu ứng tạm thời vì nó tat dần khi ỉ —> 00. Nghiệm riêng tuần hoàn dược gọi là hiệu ứng thường xuyên.
Như vậy, hiệu diện thế ra v(t) hoàn toàn được xác định và dược xấp xỉ bởi hiệu ứng thường xuyên khi ỉ đủ lớn.
Toán chuyên đê ngành Diện — Trưang Thuận 145
Bài tập chưoĩig 6
6.1 Tìm biến đổi Laplace của các hàm
a) ĩỉ(í) = e* + 3ểj-2í -1- /3 0 x(t) - cos2 ỉ b) £ơ) — sin 2/ — cos —z
2 g) Ỉĩ(ỉ) --- 1(1 -2)e'
cẠ = e~3t sin 2í h) ỉỉ(J) == í-^e-1 l- 2íel - 5 d) A’(O = 3/ cos 4/ i) tẹ(z) — e-3l(ỉ2 - 3ỉ H- 5) c) A'ơ) — sin 2/ — 2í cos 2/ j) ỉỉV) 7-~ 2ỉ sin ỉ —Se1 cos 2/ 1-3 6.2 Tìm biến dối Laplace của các hàm
a) ơ2' - 1
g) ỈỈV) - / X cos 2xdx ỉ ./0
b) c)
ỉĩ(í) A’(O
sin Ị
rl Ị
Iỉ(t - 3).(/ - 3)2el~3
h) ịỉ(f) Ị e~2x sin Sxcỉx J1)
/* l d) gơ)
£(/)
w(í—1 ).e'~1 cos(z—1 )
= i/(t - 2).(t2 - 2)
i) íi(O - 1 sin2 3xdx J(ì
rl
f) ỉỉ(ỉ) u(ỉ — 1 ).3te~2t j) Árơ) = / x3e2xdx 6.3 Tìm biến dối Laplace của các hàm
a) ỈỈ(O
( e2(j n khi í >. 1
( 0 khi t < 1 d) ĩỉ(ỉ) =
( 2 khi () ■</<
j l2 khi ỉ >- 1
c 1
í () khi t < Tĩ
b) A'(O
( 2 — Ị khi 0 < l <
( 0 khi t 2
2 e) ỉỉ(f) = < cos i khi 7T <
{ 0 khi l
í <
3ĩĩ 2
í 1 khi 0 ỉ < 2 c) K(i)
_ j / khi 0 í < 4 Ị 1 khi í 4
0 - 1-1 khi 2 < t
1 0 khi ỉ =5 3
< 3
146 Chương 6. CÁC PHÉP IỈỈỀN DÔ Ị 6.4 Tìm biến dối Laplace của các hàm tuần hoàn chu kỳ 7’
a) /■(,) ) 1 khi 0 5$
( -2 khi 2 4 t 4 3 3 b) /(') =
( e~' khi 0 4 ( 3 khi 1 4
y\.T : Ị 4 2 2 c) ./■(/) ■
( ỉ khi 0 <
( -1 khi 3 4 í 4 4 4 6.5 Tìm biến dồi Laplace ngược của các hà m
a) 1
i) F (.V) - 1
5 4 52 - 4
b) r(.s-) - 1
j) /-(A) :: 1
5 2 + 3 (52 l-4)(.v2-| 9)
c) /7(.v) - 1
k) /'(A) - •V - 2 (>'■ — 2)3 5(.v2 -1- 4) d) /7(.v) - 5 1- 1
1) F(s) - 6 (.V 4 l)2 ỉ 9 •V 3 -1- 5 2
1 m) F{s) 5 4 1
e) F(s) - .V2 - 45 + 5 (.V 1- 2)2(.v - 1) f) /7(5) =
5 n) F(s) = e ~7rs'
52 -Ị- 4.V + 1 3 52 + 1 g) /q.v) =
5 - 4
<>) /•'(.s) =
e-2.v 52 - 6.S’ + 1 1 (5 - 4)3 h) /■(.'■) = 2s - 1
p) F(s) - c-3,v (5 + 1 )(.v + 3) 52 - 5.V ỉ- 6 6.6 Sử dụng biến dối Laplace giải các phương trình vi phân
a) y' - 2y 2í'-'; v(0) - 1 b) y' — 3y — c3/; v(0) — —3
7'oún chuyên đề ngành E)ịện — Triccmg Thuận 147 c) y' 4 4y K y(0) - 0
d) y' — y /; y(0) — —2
c) y" — 3y' I 4_y =- 4/ - 3; y(0) --- 0, y'(0) — 1 í’) y" 4- 4y sin ỉ; y(0) — 0, >7(0)--- I
g) y" - y = í- y(0) -1, y'(0) 0
h) y" - 3y' 4- 2y = 3e~2t; y(0) - 1, y'(O) = -1 i) y" _ 4y' -ị- 3y e‘; y (0) = 1, y'(0) 0 j) y" - 6y' 4- 9y = e3t\ >’(()) - 0, y'(0) - 0 k) y" 4- 4y' 4 4y = íe~2t \ y(0) --- 0, >7(0) --- 0
1) >7' I- 9y — cos3/; >’(()) = 0, y'(0) = 1
m) y" — V --4 sin ( 4- 5 cos 2/; y (0) -- 1, >7(0) — 0 n) >7" 4- 4y' = I; y(0) -.rr: y'(0) = y"(0) - 0
o) ytf' - 2y" - y' 4- 2y e~2í ■, y(0) = 0, y'(0) 0, >7'(0) -= 2 p) y(4) - y ■-= 0; y(0) = 1, _y'(0) =- y"(0) yw(0) == 0
6.7 Sử dụng biến đói Laplace giải các phương trình vi phân a) y" — 4y khi 0 < t < 1
khi t >. 1 ; y(0) = y'(0) = 0 b) y" + 4y khi 0 y l
khi ỉ 1 ; y(0) - y'(0) - 0
6.8 Sử dụng biến đối Laplace giải các hẹ phương trình vi phân
; A'(0) = 1, y(0) = 0 4- 4a -|- 4y
4" 2 A 4- 6,y
J’ ; A-(0) = 3, j(0) = 15
148 Chưưng 6. CÁC PHÉP IỈỈÈN DòỊ
. Ị x' — 2x — 4y cosr . _ ...
e) I ỳ' + A -I- 2y sin/ ’
6.9 Cho đoạn mạch diẹn xoay chiều RLC mắc noi tiếp vói hiệu điện the ở hai đầu mạch là u. Cho biết R — 16Ấ2, /. = 2//, c 0,02/' và lại thời điểm t — 0, dỏng diện trong mạch và diện tích của tụ diện dêu bang 0. Tìm biểu thức diện tích ó/(/) của tụ diện và dòng diện /(/) trong mạch tại thời diem Ị nếu
*
a) u ■■■ 300V
b) u 100sin(3/)K
6.10 Cho mạch diện như hình 6.17 với í/o là điện tích ban dầu của tụ diện. Tìm biêu thức diện lích í/(f) của tụ diện và dòng diện í (í) trong mạch tại thời diem ỉ > 0.
i c
I • --- 11---
ĩ linh 6.17
6.11 Tìm chuỗi Fourier của các hàm tuần hoàn chu kỳ 2/r vời công thức đã cho trên một chu kỳ
a) /(í) ) 1 khi
~ I —1 khi
__ 7T . ,,
2 2
zr 3ĩĩ
1 ' 2
b) /(f)
( t khi - 1 0 khi ặ
- 4 < { <4-
2 : 2
< ỉ <
' 2
c) /(í) ■- /, —7T ỉ < 7T
6.12 Tìm chuỗi Fourier của các hàm tuần hoàn chu kỳ 2jr, lừ dó chứng minh các công thức cho tống của chuỗi
a) /(0 - khi - f
khi ậ < í < Ạp-
Toán chuyên dè HỊịành Điện — ĨTưcrnịĩ Thuận 149
1 1 1 7T
1 _ 3 1 5 ~ 7 1 ■ ■ ■ ZJ *4 /2
b) ./ơ) n I < Tĩ
1 11 7T:
1 1 + ~ 4" ~~~ 4“ . —....
4 9 16 6
1 1 I 712
1 — — T ~ 4“ ■ 3L4T. —■
4 9 16 12
6.13 Tìm chuỗi Fourier cúa thức đã cho trên một chu kỳ
các hàm luân hoàn chu kỳ 27’ với công 0
2
khi - 2 4 ỉ < 0 khi 0 4 l <2 b) ./■(/) - I J
c) fỤ) -1-4
khi — 1 4 í < 0 khi 0 4 Ị < 1 -1 4 ỉ < 1 d) ./•(/) - IH, -2 4 f < 2
6.14 Khai triển Fourier dưới dạng phức -1 khi — 7T < z < 0
khi 0 4 ỉ < ĨT b) /(/) L~ /, — 7T 4 í < Jĩ
c) f(ỉ) — ỉ, 0 4 Ị < 2tt
6.15 Tìm biến dối Fourier của các hàm sau
< e 1 khi ỉ > 0 a) /(/) =
( ° khi ỉ < 0 ( Ế>2ií khi Ị e (-L b) /(/) =
(0 khi ỉ ệ. (-1, c) ./ (0 -
( { khi z G (0,3) ) 0 khi ỉ ỷ (0, 3) d) ./•(/) =
( Í khi t c (—2, 2) 1 ° khi 1 (-2, 2)