Cực trị của hàm hữu tỷ, hàm bậc ba, hàm trùng phương.. Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị. Tính khoảng cách giữa [r]
Trang 1PHẦN 2: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
-o0o -
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1 Điểm cực trị: giả sử hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định trên 𝐷 (với 𝐷 ⊂ ℝ và 𝑥𝑜 ∈ 𝐷)
𝑥𝑜 là điểm cực đại của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) nếu tồn tại một khoản 𝑎; 𝑏 g sao cho 𝑥𝑜 ∈ 𝑎; 𝑏 ⊂ 𝐷 và
𝑓 𝑥 < 𝑓 𝑥𝑜 , ∀𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 \ 𝑥𝑜 𝑓 𝑥𝑜 gọi là giá trị cực đại của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑥𝑜 là điểm cực tiểu của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) nếu tồn tại một khoảng 𝑎; 𝑏 sao cho 𝑥𝑜 ∈ 𝑎; 𝑏 ⊂ 𝐷 và
𝑓 𝑥 > 𝑓 𝑥𝑜 , ∀𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 \ 𝑥𝑜 𝑓 𝑥𝑜 gọi là giá trị cực tiểu của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥)
2 Điều kiện cần để hàm số đại cực trị: Nếu hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 đạt cực trị tại điểm 𝑥𝑜, và hàm số 𝑦 =
𝑓 𝑥 có đạo hàm tại điểm 𝑥𝑜 thì 𝑓′ 𝑥𝑜 = 0
Chú ý: Hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó nó không có đạo hàm
3 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: giả sử hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) số có đạo hàm trên khoảng 𝐾
Quy tắc 1: Giả sử hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục trên khoảng 𝑎; 𝑏 chứa điểm 𝑥𝑜 và có đạo hàm trên các khoảng 𝑎; 𝑥𝑜 và 𝑥𝑜; 𝑏 khi đó:
Nếu 𝑓′ 𝑥 < 0, ∀𝑥 ∈ 𝑎; 𝑥𝑜 và 𝑓′ 𝑥 > 0, ∀𝑥 ∈ 𝑥𝑜; 𝑏 thì hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 đạt cực tiểu tại điểm 𝑥𝑜
Nếu 𝑓′ 𝑥 > 0, ∀𝑥 ∈ 𝑎; 𝑥𝑜 và 𝑓′ 𝑥 < 0, ∀𝑥 ∈ 𝑥𝑜; 𝑏 thì hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 đạt cực đại tại điểm 𝑥𝑜
Quy tắc 2: Giả sử hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm cấp một trên khoảng 𝑎; 𝑏 chứa điểm 𝑥𝑜; 𝑓′ 𝑥𝑜 =
0 và hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm 𝑥𝑜 khi đó:
Nếu 𝑓′′ 𝑥 < 0 thì hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 đạt cực đại tại điểm 𝑥𝑜
Nếu 𝑓′′ 𝑥 > 0 thì hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 đạt cực tiểu tại điểm 𝑥𝑜
II CÁC DẠNG TOÁN:
1 Vấn đề 1: Tìm cực trị của hàm số bằng quy tắc 1
Tìm cực trị của các hàm số:
a) 𝑦 = 𝑥3− 3𝑥2− 24𝑥 + 7
b) 𝑦 = 𝑥4− 5𝑥2+ 4
c) 𝑦 = 𝑥 + 1 3 5 − 𝑥
d) 𝑦 = 𝑥 + 2 2 𝑥 − 3 3
e) 𝑦 = 𝑥+1
𝑥 2 +8
f) 𝑦 =𝑥2−2𝑥+3
𝑥−1
g) 𝑦 =𝑥2+𝑥−5
h) 𝑦 = 𝑥−4 2
𝑥 2 −2𝑥+5
i) 𝑦 =𝑥2−2𝑥+3
𝑥−1
j) 𝑦 = −𝑥2 𝑥2+ 2 k) 𝑦 = 𝑥2− 𝑥 − 20 l) 𝑦 = 𝑥 − 4 𝑥3 2
m) 𝑦 = 𝑥 3 − 𝑥
Trang 2n) 𝑦 = 𝑥 − 6 𝑥3 2
o) 𝑦 = 7 − 𝑥 𝑥 + 53
p) 𝑦 = 𝑥
10−𝑥 2
2 Vấn đề 2: Tìm cực trị của hàm số bằng quy tắc 2
Chú ý:
quy tắc 2
giác
Tìm cực trị của các hàm số:
a) 𝑦 = 𝑥4− 2𝑥2+ 1
b) 𝑦 =𝑥4
4 + 2𝑥2+ 6 c) 𝑦 = sin 2𝑥 − 𝑥
d) 𝑦 = sin 2𝑥 − cos 2𝑥
e) 𝑦 = sin 𝑥 − 3 cos 𝑥 + 𝑥 + 1
f) 𝑦 = cos 𝑥 +1
2cos 2𝑥 + 1 g) 𝑦 = sin 2𝑥 + 2 sin 𝑥
h) 𝑦 = sin2𝑥
i) 𝑦 = 𝑥3− 6𝑥2+ 9𝑥 − 4
j) 𝑦 = 𝑥 − 1 2 2𝑥 + 3
k) 𝑦 = 𝑥 − 2 3+ 4x
l) 𝑦 = −𝑥4 + 3x2 + 2
m) 𝑦 =𝑥4
2 − 4𝑥2− 1
n) 𝑦 =3𝑥−1
𝑥+2
o) 𝑦 = 𝑥2
𝑥−2
p) 𝑦 =𝑥
2− 3 + 1
2x−1
q) 𝑦 = 1
𝑥 2 −𝑥+1
r) 𝑦 = 𝑥3 3 − 3𝑥 − 2 s) 𝑦 = 3𝑥 − 𝑥2
t) 𝑦 = 𝑥 + cos 𝑥 u) 𝑦 = sin2𝑥 − 3 cos 𝑥 𝑥 ∈ 0; 𝜋 v) 𝑦 = 2 sin 𝑥 + cos 2𝑥 𝑥 ∈ 0; 𝜋 w) 𝑦 = cos 𝑥 − sin 𝑥
3 Vấn đề 3: Các dạng toán khác
Trang 31) Cho hàm số 𝑦 = 𝑥3+ 6𝑥2+ 9𝑥 + 3
a Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số
b Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
c Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
2) Định 𝑚 để hàm số sau, có cực đại và cực tiểu
a 𝑦 = 𝑥3− 𝑚𝑥2+ 𝑥 + 3
b 𝑦 = 𝑥3+ 2 𝑚 + 3 𝑥2− 𝑚𝑥 + 2
c 𝑦 = 𝑚𝑥3− 3𝑚𝑥2+ 3𝑥 − 1
d 𝑦 = 1 − 𝑚 𝑥3+ 6𝑚𝑥2 − 6𝑚𝑥 + 5
e 𝑦 =𝑥2−𝑚𝑥 +2
𝑥−1
f 𝑦 =𝑥2− 𝑚 +1 𝑥+2𝑚 −1
𝑥−𝑚
3) Định 𝑚 để hàm số:
a 𝑦 = 𝑚𝑥4+ 𝑚 − 3 𝑥2+ 5 có 3 cực trị
b 𝑦 = 𝑚𝑥4+ 𝑚2− 9 𝑥2 + 10 có 3 cực trị
4) a Cho hàm số 𝑦 =𝑥3
3 − 2𝑚2𝑥2+ 𝑚 + 1 𝑥 − 5𝑚 + 1 Xác định 𝑚 để hàm số đạt cực đại tại
𝑥𝑜 = 1
b Cho hàm số 𝑦 = 𝑥3+ 6𝑚2𝑥2+ 3 𝑚 + 2 𝑥 − 𝑚 + 1 Xác định 𝑚 để hàm số đạt cực đại tại
𝑥𝑜 = −1
c Cho hàm số 𝑦 =𝑥2−𝑚𝑥 +1
𝑥−𝑚 Xác định 𝑚 để hàm số đạt cực đại tại 𝑥𝑜 = −2
d Cho hàm số 𝑦 =𝑥3
3 − 𝑚𝑥2+ 𝑚2 − 𝑚 + 1 𝑥 + 1 Xác định 𝑚 để hàm số đạt cực tiểu tại
𝑥𝑜 = 2
e Cho hàm số 𝑦 =𝑥2−𝑚𝑥 +2
𝑥−1 Xác định 𝑚 để hàm số đạt cực tiểu tại 𝑥𝑜 = 3
f Cho hàm số 𝑦 = 𝑥 − 3 3− 3𝑥 Xác định 𝑚 để hàm số đạt cực tiểu tại 𝑥𝑜 = 0
g Cho hàm số 𝑦 = 𝑥3 − 𝑚𝑥2+ 𝑚 −2
3 𝑥 + 5, có cực trị 𝑥𝑜 = 1 Khi đó hàm số đạt cực tiểu hay cực đại? Tính cực trị tương ứng
5) Xác định 𝑚 để hàm số đạt cực trị tại 𝑥𝑜 khi đó 𝑥𝑜 là cực đại hay cực tiểu
a) 𝑦 = − 𝑚2+ 5𝑚 𝑥3+ 6𝑚𝑥2 + 6𝑥 − 6 (𝑥𝑜 = 1)
b) 𝑦 =𝑥2+𝑚𝑥 +1
𝑥+𝑚 𝑥𝑜 = 2 c) 𝑦 =𝑥2+3𝑚𝑥 +5
𝑚𝑥 +1 (𝑥𝑜 = 3 − 1) 6) a Định 𝑚 để hàm số 𝑦 = 𝑥3 − 3(𝑚 − 1)𝑥2 + 3 2𝑚 − 3 𝑥 + 1 có cực trị
b Định 𝑚 để hàm số 𝑦 = − 𝑚2+ 5𝑚 𝑥3+ 6𝑚𝑥2 + 6𝑥 − 6 có cực trị
c Cho hàm số 𝑦 =𝑚𝑥2−(2𝑚 +1)𝑥+3
𝑥−2 Định 𝑚 để hàm số có cực trị
d Cho hàm số 𝑦 =𝑥2+2𝑚𝑥 −3
𝑥−𝑚 Định 𝑚 để hàm số không có cực trị
e Cho hàm số 𝑦 =𝑚𝑥 −1
𝑥+𝑚 Định 𝑚 để hàm số không có cực trị
f Cho hàm số 𝑦 =𝑥2−𝑚𝑥 −2𝑚2+1
𝑥−2𝑚 Định 𝑚 để hàm số có cực trị
g Cho hàm số 𝑦 =𝑥2−𝑥−2
𝑚𝑥 +1 Định 𝑚 để hàm số có cực trị
Trang 4h CMR hàm số 𝑦 = 𝑥3+ 𝑚𝑥2− 1 + 𝑛2 𝑥 − 5(𝑛 + 𝑚) luôn có cực trị với mọi giá trị của 𝑚 và 𝑛 7) a Tìm các hệ số của 𝑎; 𝑏; 𝑐 sao cho hàm số: 𝑓 𝑥 = 𝑥3+ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, đạt cực tiểu tại điểm
𝑥𝑜 = 1; 𝑓 1 = −3 và đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2
b Tìm các số thực 𝑝; 𝑞 sao cho hàm số: 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑝 + 𝑞
𝑥+1 đạt cực tiểu tại điểm 𝑥𝑜 =
−2; 𝑓 −2 = −2
c Cho hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥3+ 𝑏𝑥2+ 𝑐𝑥 + 𝑑 tìm 𝑎; 𝑏; 𝑐; 𝑑 để hàm số đạt cực đại tại 𝑥𝑜 = 1; 𝑓 1 =
3 và đạt cực tiểu tại 𝑥𝑜 = 3; 𝑓 3 = −1
d Cho hàm số 𝑦 = 𝑥 + 𝑎 2 𝑥 + 𝑏 Tính 𝑎; 𝑏 để hàm số đạt cực trị tại điểm 𝑥𝑜 = 3; 𝑓 3 = −4
e Tìm 𝑎; 𝑏 để các cực trị của hàm số 𝑓 𝑥 =5
3𝑎2𝑥3+ 2𝑎𝑥2− 9𝑥 + 𝑏 đều là những số dương và
𝑥𝑜 = −5
9 là điểm cực đại
8) a Cho hàm số 𝑦 =𝑥2−𝑥+𝑚 −1
𝑥+1 Định 𝑚 để hàm số có hai giá trị cực trị cùng dấu
b Cho hàm số 𝑦 =𝑥2+ 𝑚 +1 𝑥−𝑚 +1
𝑥−𝑚 Định 𝑚 để hàm số có hai giá trị cực trị trái dấu
c Cho hàm số 𝑦 =𝑥2+𝑚𝑥 −𝑚 +2
𝑥−𝑚 +1
CMR hàm số luôn có cực trị với mọi 𝑚
Tìm 𝑚 để giá trị cực đại và giá trị cực tiểu cùng dấu
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị
9) Cho hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑥3− 3𝑚𝑥2 + 3 𝑚2− 1 𝑥 − 𝑚3
a Định 𝑚 để hàm số có cực đại và cực tiểu
b Định 𝑚 để hàm số có hai giá trị cực trị cùng dấu
c Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
10) Cho hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑥3− 3(𝑚 − 1)𝑥2+ 2𝑚2+ 3𝑚 + 2 𝑥 − 𝑚(𝑚 − 1)
a Định 𝑚 để hàm số có hai cực trị
b Cho 𝑚 = −1, Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
11) Cho hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑥3− 3𝑥2 + 3𝑚𝑥 + 1 − 𝑚 𝐶𝑚 Giả sử 𝐶𝑚 có điểm cực đại 𝑀1(𝑥1; 𝑦1) và điểm cực tiểu 𝑀2 𝑥2; 𝑦2 CMR
𝑦1− 𝑦2
𝑥1− 𝑥2 𝑥1𝑥2− 1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 12) Tìm 𝑎 sao cho:
a 𝑓 𝑥 = 𝑥4+ 4𝑎𝑥3+ 3(𝑎 + 1) có cực tiểu mà không có cực đại
b 𝑓 𝑥 = 𝑥4+ 𝑎𝑥3+ 𝑎𝑥2+ 𝑎𝑥 + 1 có cực đại, cực tiểu
13) Cho hàm số 𝑓 𝑥 = 2𝑥3+ 3 𝑚 − 3 𝑥2+ 11 − 3𝑚 𝐶𝑚 Tìm 𝑚 để hàm số có 2 điểm cực trị là
𝑀1(𝑥1; 𝑦1) và 𝑀2 𝑥2; 𝑦2 Tìm 𝑚 để các điểm 𝑀1; 𝑀2 và 𝐵 0; −1 thẳng hàng
14) Cho hàm số 𝑦 =𝑥2+ 2𝑚 +1 𝑥+𝑚2+𝑚 +4
2(𝑥+𝑚 ) Tìm 𝑚 để hàm số có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
-o0o -