Đề thi toán THPT quốc gia 2022 (36)

Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng P có phương Câu 27: Cho hình chóp S ABC... có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với

ĐỀ TOÁN CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA LẦN 2 2021-2022 Câu 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ tập A2, 3, 4, 5, 6

Câu 4: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau

Hàm số đạt cực đại tại điểm

Số nghiệm của phương trình f x 1 là:

Câu 9: Tập xác định của hàm số  3

51



D e31

Câu 15: Xét 1  

2022 2

1 2022 0

3 2022 2

2 u du D

3 2022 2

A B

C

Thể tích của khối chóp đã cho bằng:

A

334

a

336

a

3312

phẳng Oyz là 

A M0; 2;3 B N1;0;3 C P1;0;0 D Q0; 2; 0

Câu 24: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 2 ; 3) và mặt phẳng

( ) : 3P x4y7z 2 0 Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng ( ) P có phương

Câu 27: Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại B , AB3a, BC  3a; SA vuông góc

với mặt phẳng đáy và SA2a Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy ABC bằng

Câu 28: Cho hàm số bậc bốn y f x  Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ như sau

Hàm số y f x  nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A  1; 4 B 1;1 C  0;3 D ; 0

Câu 29: Khi nuôi tôm trong một hồ tự nhiên, một nhà khoa học đã thống kê được rằng: nếu trên mỗi

mét vuông mặt hồ thả x con tôm giống thì cuối vụ mỗi con tôm có cân nặng trung bình là

5 21

55

Câu 36: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,  P là mặt phẳng đi qua điểm M1; 2;3 và cắt các

tia Ox Oy Oz, , lần lượt tại A B C, , (khác gốc tọa độ O ) sao cho M là trực tâm tam giác ABC

Biết mặt phẳng  P có phương trình axbycz140 Tính tổng T  a b c

Câu 37: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A7; 1; 2  và mặt

phẳng P :x2y2z 6 0 Mặt cầu  S tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng  P có phương

Câu 38: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Cạnh BA'a 3

Khoảng cách giữa hai đường thẳng A B và ' B C' là:

yx  m x m  có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O

tạo thành một tứ giác nội tiếp Tìm tích các phần tử của S

15



Câu 40: Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình  2   2 

loga x  x 2 loga  x 2x3 Biết S m n; 

Câu 43: Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, tam giác SAB cân tại S và thuộc

mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC, góc giữa hai mặt phẳng SCA và SCB bằng 0

60 Gọi H là trung điểm của đoạn AB Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:

A Thể tích khối chóp S ABC bằng

3216

a

B Thể tích khối chóp B SHC bằng

3216

a

C Thể tích khối chóp S AHC bằng

3264

a

D Không tồn tại hình chóp đã cho

Câu 44: Một cái bình thủy tinh có phần không gian bên trong là một hình nón có đỉnh hướng xuống

dưới theo chiều thẳng đứng Rót nước vào bình cho đến khi phần không gian trống trong bình

có chiều cao 2 cm Sau đó đậy kín miệng bình bởi một cái nắp phẳng và lật ngược bình để đỉnh hướng lên trên theo chiều thẳng đứng, khi đó mực nước cao cách đỉnh của nón 8 cm (hình vẽ minh họa bên dưới)

8 cm

2 cm

Biết chiều cao của nón là h a bcm Tính T  a b

Đồ thị hai hàm số đó cắt nhau tại ba điểm phân

biệt có hoành độ x x x1, 2, 3 thoả mãn

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ tập A2, 3, 4, 5, 6

A C54 B C64 C A54 D A64

Lời giải

Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ A là A54

Câu 2: Cho cấp số nhân  u n với u18 và u2 4 Công bội của cấp số nhân đã cho bằng

A 1

12

Câu 4: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau

Hàm số đạt cực đại tại điểm

A x 3 B x 1 C x1 D x 2

Lời giải

Qua bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại điểm x 2

Câu 5: Hàm số yx4x23 có mấy điểm cực trị?

Lời giải

Hàm số yx4x23 có ab1.    1 1 0, suy ra hàm số yx4x23 có 3 điểm cực trị

Câu 6: Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 5 1

2

x y x

A yx3x2 x 1 B y x C 1

2

x y x

Lời giải

Ta có phương trình đã cho 1 2x 3

1

x x

x x

 





Phương trình trên vô nghiệm

Câu 12: Trên khoảng  ; 2, họ nguyên hàm của hàm số ( ) 1

1 2022 0

3 2022 2

3 2022 2

Vậy phần ảo của số phức liên hợp của z là 2

Câu 17: Cho hai số phức z1 1 2i, z2  2 6i Tích z z1 2

bằng

A  10 2i B 2 12i C 14 10i D 14 2i

Thể tích của khối chóp đã cho bằng:

A

334

a

336

a

3312

C

Vì SAABC nên ta có SA là đường cao của hình chóp hay hSAa

Do đáy của hình chóp là tam giác đều cạnh a nên ta có:

234

Câu 21: Cho hình nón có bán kính đáy R 3 và độ dài đường sinh l4 Tính diện tích xung quanh

Hình chiếu của điểm M x y z lên mặt phẳng  ; ;  Oyz là  M0; ;y z

Nên M0; 2;3 là hình chiếu của điểm A1; 2;3 trên mặt phẳng Oyz 

Câu 24: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 2 ; 3) và mặt phẳng

( ) : 3P x4y7z 2 0 Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng ( ) P có phương

Gọi u là véc tơ chỉ phương của đường thẳng ( ) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ta có véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )P : n p (3; 4;7)

Câu 26: Một em bé có bộ 7 thẻ chữ, trên mỗi thẻ có ghi một chữ cái, trong đó có 2 thẻ chữ T giống

nhau, một thẻ chữ H, một thẻ chữ P, một thẻ chữ C, một thẻ chữ L và một thẻ chữ S Em bé xếp theo hàng ngang ngẫu nhiên 7 thẻ đó Xác suất em bé xếp được dãy theo thứ tự THPTCLS là

Câu 27: Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại B , AB3a, BC  3a; SA vuông góc

với mặt phẳng đáy và SA2a Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy ABC bằng

Lời giải

S

A B

Câu 28: Cho hàm số bậc bốn y f x  Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ sau

Hàm số y f x  nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Vậy hàm số y f x  nghịch biến trên khoảng  1; 4 là đúng

Câu 29: Khi nuôi tôm trong một hồ tự nhiên, một nhà khoa học đã thống kê được rằng: nếu trên mỗi

mét vuông mặt hồ thả x con tôm giống thì cuối vụ mỗi con tôm có cân nặng trung bình là

Trên khoảng (0;) hàm số f x( )108xx3 đạt GTLN tại x6

Vậy nên thả 6 con tôm giống trên mỗi mét vuông mặt hồ thì cuối vụ thu hoạch được nhiều tôm nhất

Câu 30: Xét tất cả các số dương a và b thỏa mãn log3alog3blog9 ab Tính giá trị của ab

Vậy tích các nghiệm của phương trình là 1

Câu 32: Số nghiệm nguyên của bất phương trình

2 3x

5 21

55

5 2 3 5 2 21

Vì x nên x 0;1 Vậy bất phương trình có 2 nghiệm nguyên

Câu 33: Cho hàm số f x  liên tục trên đoạn  0;1 , có đạo hàm f x thỏa mãn

Theo giả thiết ta có a bi  2 a bi  9 2i

Điều này tương đương với 3a  9 b 2i0

x y z

Câu 36: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,  P là mặt phẳng đi qua điểm M1; 2;3 và cắt các

tia Ox Oy Oz, , lần lượt tại A B C, , (khác gốc tọa độ O ) sao cho M là trực tâm tam giác ABC

Vậy OM1; 2;3 là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng  P và  P đi qua M nên  P có phương trình: x 2y 3z 14       0 T a b c 6

Câu 37: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A7; 1; 2  và mặt

phẳng P :x2y2z 6 0 Mặt cầu  S tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng  P có phương trình là

Câu 38: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Cạnh BA'a 3

Khoảng cách giữa hai đường thẳng A B và ' B C' là:

Câu 40: Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình  2   2 

loga x  x 2 loga  x 2x3 Biết S m n; 

Gọi M là điểm biểu diễn của z

Do z 1 2i 2 nên M thuộc đường tròn  C tâm I 1; 2 , bán kính R2  C có phương trình là   2 2

Từ hình vẽ của  C và  E ta thấy chúng có 2 giao điểm nên có 2 số phức thỏa mãn yêu cầu

Câu 43: Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , tam giác SAB cân tại S và thuộc

mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC, góc giữa hai mặt phẳng SCA và SCB bằng 0

60 Gọi H là trung điểm của đoạn AB Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:

A Thể tích khối chóp S ABC bằng

3216

a

B Thể tích khối chóp B SHC bằng

3216

a

C Thể tích khối chóp S AHC bằng

3264

a

D Không tồn tại hình chóp đã cho

Lời giải

Tam giác SAB thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCSH ABC, từ đó suy

ra đường cao của hình chóp S AHC là SH

60120

AKB AKB

 



Nếu AKB600 thì dễ thấy KAB đều KAKBABAC (vô lí) Vậy AKB1200

khi đó KAB cân tại K và AKH 600 0

tan 60 2 3

KH

Trong SHC vuông tại H ta có 1 2 1 2 12

Câu 44: Một cái bình thủy tinh có phần không gian bên trong là một hình nón có đỉnh hướng xuống

dưới theo chiều thẳng đứng Rót nước vào bình cho đến khi phần không gian trống trong bình

có chiều cao 2 cm Sau đó đậy kín miệng bình bởi một cái nắp phẳng và lật ngược bình để đỉnh hướng lên trên theo chiều thẳng đứng, khi đó mực nước cao cách đỉnh của nón 8 cm (hình vẽ minh họa bên dưới)

Gọi H là hình chiếu của Ntrên đường thẳng d' đi qua I M, , ta có: 1 1

f x x  x  m x  x m , với mlà tham số Có bao nhiêu giá

trị nguyên của m thuộc đoạn 2021; 2022 để hàm số y f x 20212022 có số điểm cực trị nhiều nhất?

Lời giải

Hàm số y f x 20212022 có số điểm cực trị nhiều nhất là 7 khi và chỉ khi phương trình f x 20212022 có 4 nghiệm phân biệt hay phương trình f x 2022 có 4 nghiệm phân biệt

do m nguyên thuộc 2021; 2022 nên có 2021 giá trị thỏa mãn

Câu 47: Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình   2

m e  mx  e e  có 2 nghiệm phân biệt không lớn hơn 5

Trừ (1) và (2) theo vế ta được: x y ln(my 1) ln(mx1) hay xln(mx  1) y ln(my1)với m0 thì hàm số f x( ) x ln(mx1)đồng biến trên tập xác định nên

Thay x y vào (1) ta được xln(mx1)hay e xmx1(4)

Rõ ràng x0 là 1 nghiệm của phương trình (4)

Với x0 ta có (4) 1

x e m x



 

Xét hàm số ( ) 1

x e

Bảng biến thiên của ( )g x :

Để phương trình e x 1 ln(mx1)m có 2 nghiệm phân biệt không lớn hơn 5 thì phương trình ( )

mg x có duy nhất 1 nghiệm bé hơn hoặc bằng 5 Ta có

51

m nên có 28 giá trị thỏa mãn

Câu 48: Cho hàm số f x  với đồ thị là Parabol đỉnh I có tung độ bằng 7

Diện tích miền tô đậm gần số nào nhất trong các số sau đây?

Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z1 là đường thẳng AB

Tập hợp điểm N biểu diễn số phức z2 là đường thẳng BC

3 1 3 3 4

z   z    PA PC AC  Tập hợp điểm P biểu diễn số phức z3 là đoạn AC

Khi đó MNNPPM PM1 MNNP2PP1 2

Ta thấy P BP1 2 P BA1 ABCCBP2 PBAABCPBC2ABC

Ta có:  d1 đi qua điểm A1;1;1 có VTCP u12;1; 2 

 d2 đi qua điểm B3; 1; 2  có VTCP u2 1; 2; 2

 d3 đi qua điểm C4; 4;1 có VTCP u3 2; 2;1 

Ta có u u1 2 0, u u2 3 0, u u3 10  d1 ,  d2 ,  d3 đôi một vuông góc với nhau

,

AI u R

2

,

BI u u

3

,

CI u u

R

  khi đó R2,12