Đề thi toán THPT quốc gia 2022 (35)

Khi nuôi tôm trong một hồ tự nhiên, một nhà khoa học đã thống kê được rằng: nếu trên mỗi mét vuông mặt hồ thả x con tôm giống thì cuối vụ mỗi con tôm có cân nặng trung bình là... Gọi l

ĐỀ TOÁN CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA 2021-2022 Câu 1 Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ tập A2, 3, 4, 5, 6

Câu 4 Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau

Hàm số đạt cực đại tại điểm





 D ylog3x

Câu 8 Cho hàm số bậc ba y f x  có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Số nghiệm của phương trình f x 1 là:

Câu 9 Tập xác định của hàm số  3

51

C x



D e31

Câu 15 Xét 1  

2022 2

u du

1 2022 0

u du

3 2022 2

2 u du D

3 2022 2

a

336

a

3312

a

Câu 21 Cho hình nón có bán kính đáy R 3 và độ dài đường sinh l4 Tính diện tích xung quanh

Câu 24 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2 ; 3) và mặt phẳng

( ) : 3P x4y7z 2 0 Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng ( )P có phương

Câu 27 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại B , AB3a, BC 3a ; SA vuông góc

với mặt phẳng đáy và SA2a Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy ABC bằng

Câu 28 Cho hàm số bậc bốn y f x  Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ như sau

Hàm số y f x  nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A  1; 4 B 1;1 C  0;3 D ; 0

Câu 29 Khi nuôi tôm trong một hồ tự nhiên, một nhà khoa học đã thống kê được rằng: nếu trên mỗi

mét vuông mặt hồ thả x con tôm giống thì cuối vụ mỗi con tôm có cân nặng trung bình là

A ab1 B ab2 C 1

2

ab D ab0 Câu 31 Tích tất cả các nghiệm của phương trình 2 2 5 4

55

Câu 36 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,  P là mặt phẳng đi qua điểm M1; 2;3 và cắt các

tia Ox Oy Oz, , lần lượt tại A B C, , (khác gốc tọa độ O ) sao cho M là trực tâm tam giác ABC

Biết mặt phẳng  P có phương trình axbycz140 Tính tổng T   a b c

Câu 37 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A7; 1; 2  và mặt phẳng

 P :x2y2z 6 0 Mặt cầu  S tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng  P có phương trình

Câu 38 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Cạnh ' ' ' BA'a 3

Khoảng cách giữa hai đường thẳng A B và ' B C là: '

Câu 39 Gọi là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số để đồ thị của hàm số

có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ tạo thành một tứ giác nội tiếp Tìm tích các phần tử của

15



Câu 40 Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình  2   2 

loga x  x 2 loga  x 2x3 Biết S m n; 

   2cos x f 1 4sin x sin 2 x f 3 2cos 2 x sin 4x4sin 2x4cosx, 0;

Câu 43 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , tam giác SAB cân tại S và thuộc

mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC, góc giữa hai mặt phẳng SCA và SCB bằng 0

60 Gọi H là trung điểm của đoạn AB Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:

A Thể tích khối chóp S ABC bằng

3216

a

B Thể tích khối chóp B SHC bằng

3216

a

C Thể tích khối chóp S AHC bằng

3264

a

D Không tồn tại hình chóp đã cho

Câu 44 Một cái bình thủy tinh có phần không gian bên trong là một hình nón có đỉnh hướng xuống

dưới theo chiều thẳng đứng Rót nước vào bình cho đến khi phần không gian trống trong bình

có chiều cao 2 cm Sau đó đậy kín miệng bình bởi một cái nắp phẳng và lật ngược bình để đỉnh hướng lên trên theo chiều thẳng đứng, khi đó mực nước cao cách đỉnh của nón 8 cm (hình vẽ minh họa bên dưới)

Biết chiều cao của nón là h a b cm Tính T  a b

Câu 48 Cho hàm số f x  với đồ thị là Parabol đỉnh I có tung độ bằng 7

BẢNG ĐÁP ÁN

11.D 12.B 13.D 14.C 15.A 16.C 17.D 18.D 19.C 20.D 21.B 22.A 23.A 24.B 25.C 26.C 27.C 28.A 29.A 30.A 31.A 32.C 33.A 34.C 35.D 36.C 37.C 38.C 39.C 40.D 41.B 42.C 43.C 44.C 45.B 46.A 47.D 48.A 49.B 50.A

ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu 1 Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ tập A2, 3, 4, 5, 6

A C54 B C64 C A54 D A64

Lời giải

Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ A là A54

Câu 2 Cho cấp số nhân  u n với u1 8 và u2 4 Công bội của cấp số nhân đã cho bằng

A 1

12

Câu 4 Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau

Hàm số đạt cực đại tại điểm

A x 3 B x 1 C x1 D x 2

Lời giải

Qua bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại điểm x 2

Câu 5 Hàm số yx4x23 có mấy điểm cực trị?

Lời giải

Hàm số yx4x23 có ab1.    1 1 0, suy ra hàm số yx4x23 có 3 điểm cực trị

Câu 6 Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 5 1

2

x y x

Ta có:

2

5 2lim

2

x

x x

2

x

x x

x x

 





Phương trình trên vô nghiệm

Câu 12 Trên khoảng  ; 2, họ nguyên hàm của hàm số ( ) 1

u du

1 2022 0

u du

3 2022 2

3 2022 2

Câu 17 Cho hai số phức z1  1 2i, z2  2 6i Tích z z bằng 1 2

a

336

a

3312

a

Lời giải

Vì SAABC nên ta có SA là đường cao của hình chóp hay hSAa

Do đáy của hình chóp là tam giác đều cạnh a nên ta có:

234

a

Khi đó thể tích của khối chóp đã cho là: 1

Hình chiếu của điểm M x y z lên mặt phẳng  ; ;  Oyz là  M0; ;y z

Nên M0; 2;3 là hình chiếu của điểm A1; 2;3 trên mặt phẳng Oyz 

Câu 24 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2 ; 3) và mặt phẳng

( ) : 3P x4y7z 2 0 Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng ( )P có phương trình là

Gọi u là véc tơ chỉ phương của đường thẳng ( ) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ta có véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )P : n p (3; 4;7)

Vì

1 3( ) ( ) (3; 4; 7)

Câu 27 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại B , AB3a, BC 3a ; SA vuông góc

với mặt phẳng đáy và SA2a Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy ABC bằng

Câu 28 Cho hàm số bậc bốn y f x  Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ sau

Hàm số y f x  nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Do đó hàm số y f x  đồng biến trên các khoảng 1;1 và 4; , nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và  1; 4

Vậy hàm số y f x  nghịch biến trên khoảng  1; 4 là đúng

Câu 29 Khi nuôi tôm trong một hồ tự nhiên, một nhà khoa học đã thống kê được rằng: nếu trên mỗi

mét vuông mặt hồ thả x con tôm giống thì cuối vụ mỗi con tôm có cân nặng trung bình là

Trên khoảng (0;) hàm số f x( ) 108 xx3 đạt GTLN tại x6

Vậy nên thả 6 con tôm giống trên mỗi mét vuông mặt hồ thì cuối vụ thu hoạch được nhiều tôm nhất

Câu 30 Xét tất cả các số dương a và b thỏa mãn log3alog3blog9 ab Tính giá trị của ab

Vậy tích các nghiệm của phương trình là 1

Câu 32 Số nghiệm nguyên của bất phương trình

2

3x

5 21

55

Vì x nên x 0;1 Vậy bất phương trình có 2 nghiệm nguyên

Câu 33 Cho hàm số f x  liên tục trên đoạn  0;1 , có đạo hàm f x thỏa mãn

Theo giả thiết ta có a bi  2 a bi  9 2i

Điều này tương đương với 3a  9 b 2i0

x y z

Câu 36 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,  P là mặt phẳng đi qua điểm M1; 2;3 và cắt các

tia Ox Oy Oz, , lần lượt tại A B C, , (khác gốc tọa độ O ) sao cho M là trực tâm tam giác ABC

Vậy OM1; 2;3 là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng  P và  P đi qua M nên  P có phương trình: x 2y 3z 14       0 T a b c 6

Câu 37 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A7; 1; 2  và mặt phẳng

 P :x2y2z 6 0 Mặt cầu  S tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng  P có phương trình

Câu 38 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Cạnh ' ' ' BA'a 3

Khoảng cách giữa hai đường thẳng A B và ' B C là: '

B

C E

A

Câu 39 Gọi là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số để đồ thị của hàm số

có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ tạo thành một tứ giác nội tiếp Tìm tích các phần tử của

15

Câu 40 Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình  2   2 

loga x  x 2 loga  x 2x3 Biết S m n; 

Câu 41 Cho hàm số y f x  liên tục trên đoạn 0;

Ta có: 2cos x f 1 4sin xsin 2 x f 3 2cos 2 xsin 4x4sin 2x4cosx (*)

Lấy tích phân từ 0 đến 2 hai vế của (*) ta được:

Gọi M là điểm biểu diễn của z

Do z 1 2i 2 nên M thuộc đường tròn  C tâm I 1; 2 , bán kính R2  C có phương trình là   2 2

Từ hình vẽ của  C và  E ta thấy chúng có 2 giao điểm nên có 2 số phức thỏa mãn yêu cầu

Câu 43 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , tam giác SAB cân tại S và thuộc

mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC, góc giữa hai mặt phẳng SCA và SCB bằng 0

60 Gọi H là trung điểm của đoạn AB Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:

A Thể tích khối chóp S ABC bằng

3216

a

B Thể tích khối chóp B SHC bằng

3216

a

C Thể tích khối chóp S AHC bằng

3264

a

D Không tồn tại hình chóp đã cho

Lời giải

Tam giác SAB thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCSH ABC, từ đó suy

ra đường cao của hình chóp S AHC là SH

60120

AKB AKB

 



Nếu AKB600 thì dễ thấy KAB đều KAKBABAC (vô lí) Vậy AKB1200

khi đó KAB cân tại K và AKH 600 0

Câu 44 Một cái bình thủy tinh có phần không gian bên trong là một hình nón có đỉnh hướng xuống

dưới theo chiều thẳng đứng Rót nước vào bình cho đến khi phần không gian trống trong bình

có chiều cao 2 cm Sau đó đậy kín miệng bình bởi một cái nắp phẳng và lật ngược bình để đỉnh hướng lên trên theo chiều thẳng đứng, khi đó mực nước cao cách đỉnh của nón 8 cm (hình vẽ minh họa bên dưới)

Biết chiều cao của nón là h a b cm Tính T  a b

Lời giải

Để ý rằng có 3 hình nón đồng dạng: Phần không gian bên trong bình thủy tinh (có thể tích V ),

phần không chứa nước khi đặt bình có đỉnh hướng lên (có thể tích V ), phần chứa nước khi đặt 1

bình có đỉnh hướng xuống (có thể tích V ) Do tỷ số đồng dạng bằng với tỷ số của chiều cao và 2

8 cm

2 cm

do m nguyên thuộc 2021; 2022 nên có 2021 giá trị thỏa mãn

Câu 47 Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình   2

1 ln( 1) 2 1

m e  mx  e e  có 2 nghiệm phân biệt không lớn hơn 5

x mx  y my  x y

Thay x y vào (1)ta được xln(mx1) hay e xmx1(4)

Rõ ràng x0 là 1 nghiệm của phương trình (4)

Với x0 ta có (4) 1

x

e m x

Bảng biến thiên của g x( ):

Để phương trình e x 1 ln(mx1)m có 2 nghiệm phân biệt không lớn hơn 5 thì phương trình ( )

mg x có duy nhất 1 nghiệm bé hơn hoặc bằng 5 Ta có

51(5) 29, 5

m nên có 28 giá trị thỏa mãn

Câu 48 Cho hàm số f x  với đồ thị là Parabol đỉnh I có tung độ bằng 7

Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng 1 AB

Tập hợp điểm N biểu diễn số phức z là đường thẳng BC 2

Ta thấy P BP1 2 P BA1 ABCCBP2 PBAABCPBC2ABC

5sin sin

Ta có:  d1 đi qua điểm A1;1;1 có VTCP u1 2;1; 2 

 d2 đi qua điểm B3; 1; 2  có VTCP u2 1; 2; 2

 d3 đi qua điểm C4; 4;1 có VTCP u3 2; 2;1 

Ta có u u1 2 0, u u2 3 0, u u3 1 0 d1 ,  d2 ,  d3 đôi một vuông góc với nhau

Vì mặt cầu tâm I a b c ; ;  tiếp xúc với 3 đường thẳng  d1 ,  d2 ,  d3 nên bán kính

1

,

AI u R

2

,

BI u u

3

,

CI u u

  khi đó R2,12