1 bất đẳng thức 10tr đặng việt đông image marked

Tính chất của bất đẳng thức.. A.Hàm số f x  chỉ có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất.. B.Hàm sốf x  chỉ có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất.. Hàm số f x  khô

Trang 1

BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH

§ 1 BẤT ĐẲNG THỨC



Cộng hai vế với số bất kì a b    a c b c (1)

một số dương: c 0 a b ac bc (2 )a

Nhân hai vế

một số âm: c 0 a b ac bc (2 )b

c d

 

   

 

Nhân từng vế BĐT khi biết nĩ dương a b 00 ac bd

c d

  

  

Mũ lẻ a b a2 1n b2 1n (5 )a

Nâng lũy thừa với

0

Lấy căn hai vế

Nếu a, b cùng dấu: ab 0 a b 1 1

a b

Nghịch đảo

Nếu a, b trái dấu: ab 0 a b 1 1

a b

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (AM – GM)

  a 0; b 0 thì ta cĩ: . Dấu xảy ra khi và chỉ khi

2

a b  ab " "  a b

  a 0; b 0; c 0 thì ta cĩ: 3 Dấu xảy ra khi và chỉ khi

3

a b c   abc " "  a b c 

BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACƠPXKI (CAUCHY SCHWARZ)

 x y a b; ; ;   thì: Dấu xảy ra khi

2 2 2 2

a x b y a b x y



y

 x y z a b c; ; ; ; ;   thì:

a x b y c z a b c x y z





Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi x y z

a b c  ( ; ; a b c 0).

 x y;   và a 0, b 0 thì x2 y2 (x y)2 Dấu xảy ra khi



 " "  x y

a b 

 x y z; ;   và a 0, b 0, c 0 thì x2 y2 z2 (x y z)2 Dấu

 

  " " x y z

a b c

    

Câu 1. Cho bất đẳng thức a b  a b Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

4

Chương

Trang 2

A.a b B.ab0 C.ab0 D.ab0.

Hướng dẫn giải Chọn B.

Tính chất của bất đẳng thức

Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x23 x với xlà:

4

2

Hướng dẫn giải Chọn C.

0

x x



 



 

Câu 3. Cho biểu thức f x  1x2 Kết luận nào sau đây đúng?

A.Hàm số f x  chỉ có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất

B.Hàm sốf x  chỉ có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất

C Hàm số f x  có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất

D Hàm số f x  không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất

Ta có: f x 0 và f  1 0; f x 1 và f  0 1

Vậy hàm số f x  có giá trị nhỏ nhất bằng và giá trị lớn nhấtbằng 0 1

Câu 4. Cho hàm số   12 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

1

f x

x





A. f x  có giá trị nhỏ nhất là , giá trị lớn nhất bằng 0 1

B. f x  không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng 1

C. f x  có giá trị nhỏ nhất là , giá trị lớn nhất bằng 1 2

D. f x  không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất

Ta có: 0 f x   1; x  và f  0 1 Vậy f x  không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng 1

Câu 5. Cho biết hai số và có tổng bằng Khi đó, tích hai số và a b 3 a b

A có giá trị nhỏ nhất là 9 B có giá trị lớn nhất là

4

9 4

C có giá trị lớn nhất là 3 D không có giá trị lớn nhất.

2

Hướng dẫn giải Chọn D.

Vì và là hai số bất kì nên không xác định được giá trị lớn nhất của tích a b ab

Câu 6. Cho ba số ; ; thoả mãn đồng thời: a b c a b c  0; b c a  0; c a b  0 Để ba số ; a

; là ba cạnh của một tam giác thì cần thêm đều kiện gì ?

b c

A Cần có cả a b c, , 0 B Cần có cả a b c, , 0

C Chỉ cần một trong ba số a b c, , dương D Không cần thêm điều kiện gì.

Câu 7. Trong các hình chữ nhật có cùng chi vi thì

Trang 3

A Hình vuông có diện tích nhỏ nhất.

B Hình vuông có diện tích lớn nhất.

C Không xác định được hình có diện tích lớn nhất.

D Cả A, B, C đều sai.

Ý nghĩa hình học của bất đẳng thức Cô si

Câu 8. Tìm mệnh đề đúng?

  

C.a b và c d ac bd D.a b ac bc c , 0

Câu 9. Suy luận nào sau đây đúng?

c d





 

 ac bd

a b

c d





 



 

c d





 

    a c b d

0 0

a b

c d

 



  

 ac bd

Câu 10 Trong các tính chất sau, tính chất nào sai?

c d





 

    a c b d

0 0

a b

c d

 



  



 

0

a b

c d

 



  

 ac bd

a b

c d





 

    a c b d

Câu 11. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

  a b ac bc a b

c d





 

 ac bd

Câu 12. Mệnh đề nào sau đây sai?

c d





 

    a c b d

a b

c d





 

 ac bd

c d





 

Câu 13. Cho biểu thức P  a a vớia0 Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A.Giá trị nhỏ nhất của P là 1 B.Giá trị lớn nhất của P là

4

1 4

Trang 4

C.Giá trị lớn nhất của P là 1 D P đạt giá trị lớn nhất tại

2

1 4

a

4 2 4

P  a a   a  a   a  

 

 

Câu 14. Giá trị lớn nhất của hàm số   2 2 bằng

5 9

f x



 

4

4 11

11 8

8 11

2

2 5 11 11

2 4 4

x  x x     x

 

Suy ra:   2 2 8 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng

5 9 11

f x

 

 

8 11

Câu 15. Cho f x  x x2 Kết luận nào sau đây là đúng?

A. f x  có giá trị nhỏ nhất bằng 1 B. có giá trị lớn nhất bằng

4 f x  1

2

C. f x có giá trị nhỏ nhất bằng 1 D. có giá trị lớn nhất bằng

4

 f x  1

4

  2 2 1 1 1 1 2 1

4 4 4 2 4

f x  x x  x  x   x  

   

   

1 1

2 4

f   

 

Câu 16. Bất đẳng thức  2 tương đương với bất đẳng thức nào sau đây?

4

m n  mn

1 1 0

0

m n   m n  2

2

m n  mn

 2

4

m n  mn m22mn n 2 4mn m2n2 2mn

Câu 17. Với mọi a b, 0, ta có bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

A.a b 0 B.a2ab b 20 C.a2ab b 2 0 D.a b 0

2 2 4 2 4

a ab b a  a    a     b

   

   

Câu 18. Với hai số , dương thoả x y xy36, bất đẳng thức nào sau đây đúng?

A.x y 2 xy 12 B.x y 2xy72 C.4xy x 2y2 D.

2

36 2

x y

xy



   

 

 

Hướng dẫn giải Chọn A.

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm , Ta có: x y x y 2 xy 2 36 12

Câu 19. Cho hai số , dương thoả x y x y 12, bất đẳng thức nào sau đây đúng?

Trang 5

A. xy 6 B.

2

36 2

x y

xy   

  

 

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm , Ta có: x y 6

2

x y

 

Câu 20. Cho , là hai số thực bất kỳ thỏavà x y xy2 Giá trị nhỏ nhất của A x 2y2

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x2 và y2 Ta có:

Đẳng thức xảy ra

 2

1

a x

a a





  2

1 1

b y

b b





 

1

a

x  a



1

b

y  b

 Suy ra: 1 1   1  1 

a b

a 11b 11

   1 a 11b 1 0

x y 1 1

  x0 y0 1 1 x y

x  y

Câu 22. Với a b c d, , , 0 Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề sai?



  



  



C a c a a c c D Có ít nhất hai trong ba mệnh đề trên là sai.



   



 

a b c

a a c





 

 

Câu 23. Hai số a b, thoả bất đẳng thức thì

2

a b a b 

  

2

a b a b 

2a 2b a b

     2

0

a b

    a b

Câu 24. Cho a b, 0 Chứng minh a b 2 Một học sinh làm như sau:

b a 

Trang 6

I) a b 2

b a  a2 b2 2 1 

ab



 

II)  1 a2b2 2ab a2b22ab0 (a b )2 0

0

b a 

Cách làm trên :

Câu 25. Cho a b c, , 0 Xét các bất đẳng thức sau:

a b

 

   

 

Bất đẳng thức nào đúng?

A Chỉ I) đúng B Chỉ II) đúng C Chỉ III) đúng D Cả ba đều đúng.

b a  b a   a b c 33 a b c 3  II

b c a   b c a   đúng

2

1 1 1

2



 





  



a b 1 1 4

a b

  (III)

a b c  a b c

 

) Bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức trên là đúng?

a b c

A chỉ đúng.I B chỉ II đúng C chỉ III đúng D.I II III, , đều đúng

b a  b a   a b c 33 a b c 3  II

b c a   b c a  

đúng

3

3 3

a b c abc



  





   



a b c 1 1 1 9

a b c

1 1 1 9

   

   III

Câu 27. Cho a b c, , 0 Xét các bất đẳng thức:

I) a b c  33abc II)a b c 1 1 1 9 III)

a b c

 

     

  a b b c c a     9 Bất đẳng thức nào đúng:

A Chỉ I) và II) đúng B Chỉ I) và III) đúng.

 a b c  33abc  I đúng;

3

3 3

a b c abc



  



   



a b c 1 1 1 9

a b c

  1 1 1 9  II

a b c   a b c 

 

Trang 7

 a b 2 ab; b c 2 bc; c a 2 ca a b b c c a     8abc  III sai.

Câu 28. Cho a b c, , 0 Xét các bất đẳng thức:

      

   

   

2 2 2

64

         

   

   

III) a b c abc   Bất đẳng thức nào đúng?

C Chỉ I) và II) đúng D Cả ba đều đúng.

  1 a 1 b 1 c 8 a b c 8

1

2 b

b

a  a 1 c 2 c

2

b c

2

4 ac

c a

2

4 ab

a b

Suy ra: 2 b c 2 c a 2 a b 64  II đúng

          

   

   

3 abc a b c abc     abc  3 abc3 3 III

Câu 29. Cho x y z, , 0 và xét ba bất đẳng thức(I) x3y3z33xyz; (II) 1 1 1 9 ; (III)

x  y z x y z

  Bất đẳng thức nào là đúng?

3

x y z

y  z x

A Chỉ I đúng B Chỉ I và III đúng C Chỉ III đúng D Cả ba đều đúng.

đúng;

 

x y z  x y z  xyz I

sai;

3

3 3

x y z xyz



  







   



1 1 1

9

x y z

  1 1 1 9  II

x  y z x y z 

 

đúng

 

3

3 3

III

y  z x y z x  

Câu 30. Cho a b, 0 và ab a b  Mệnh đề nào sau đây đúng?

A a b 4 B a b 4 C a b 4 D a b 4

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:  2

4

a b

ab 



Do đó: ab a b    2

4

a b



a b  a b   a b a b   

4 0

a b

    a b 0   a b 4

Câu 31. Cho a b c d   và xa b c d   , ya c b d   , za d b c    Mệnh đề nào

sau đây là đúng?

A x y z  B y x z  C z x y  D x z y 

Hướng dẫn giải

Trang 8

Chọn A.

Ta có: x y a b c d     a c b d   a c d   b c d  a b d  c b d 

     0

a c b bd cd d a b c

Suy ra: x y

Tương tự: x z a c d b     0 x z; y z a b d c      0 y z

Câu 32. Với m, n0, bất đẳng thức: mn m n  m3n3 tương đương với bất đẳng thức

A.m n m   2n20 B.m n m   2n2mn0

0

m n m n  

  3 3 2 3 2 3 0

mn m n m n m n m mn n 

   

m m n n m n

0

   

Câu 33. Bất đẳng thức: a2 b2 c2 d2e2 a b c d e    ,  , , , a b c d tương đương với bất

đẳng thức nào sau đây?

0

2 2 2 2

            

       

       

0

2 2 2 2

            

       

       

0

2 2 2 2

            

       

       

D.  2  2  2 2

0

a b  a c  a d  a d 

a b  c d e a b c d e  

0

2 2 2 2

       

            

       

Câu 34. Cho x y, 0 Tìm bất đẳng thức sai?

4

x y x y



 2

1 4

xy  x y

  2  2 2

2

x y  x y

đẳng thức xảy ra

x y 1 1 4 1 1 4



Câu 35. Chox2y2 1, gọi S x y  Khi đó ta có

A.S 2 B.S 2 C. 2 S 2 D.  1 S 1

Ta có: 1x2y2 2xy 2xy1

Trang 9

Mặt khác: 2  2 2 2

S  x y x  xy y    2 S 2

Câu 36. Cho x y, là hai số thực thay đổi sao cho x y 2 Gọim x 2y2 Khi đó ta có:

A giá trị nhỏ nhất của m là 2 B.giá trị nhỏ nhất của là m 4

C giá trị lớn nhất của m là 2 D.giá trị lớn nhất của là m 4

Ta có: x y    2 y 2 x

2 2 4 4 2 1 2 2;

m x y x  x  x  x  x    x 

Vậy giá trị nhỏ nhất của m là 2

Câu 37. Với mỗi x2, trong các biểu thức: , 2 , , , giá trị biểu thức nào là nhỏ nhất?

x

2 1

x

2 1

x

1 2

x 2

x

2 1

x

2 1

x

1 1

x  x x

 

1

2 2

x x



      

2 4

0; 2

2 1 2 1 2 1

x

  

 

     

2

2 1

x x

 



Câu 38. Giá trị nhỏ nhất của hàm số   2 với là

2 1

x

f x

x

 

 x 1 

f x

Vậy hàm số f x  có giá trị nhỏ nhất bằng 5

2

Câu 39. Cho x2 Giá trị lớn nhất của hàm số f x  x 2 bằng

x





2 2

1 2

2 1 2 1 1 1 1 1

8 4 8 2 2

x

         

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 1

2 2

Câu 40. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x  2x 1 với là

x

  x 0

Trang 10

Ta có: f x  2x 1 2 2 x 1 2 2.

Vậy hàm số f x  có giá trị nhỏ nhất bằng 2 2

Câu 41. Với a b c, , 0 Biểu thức P a b c Mệnh đề nào sau đây đúng?

b c c a a b

  

  

2

P

  3

2P 4

3P 3

2P

b c c a a b

       

  

x  y z x y z

  b c c a a b1  1  1  2a b c9 

2 2

P   P a b c 

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	310,67 KB