Chương IV - Bài 1: Bất đẳng thức

§ 2: ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH... 2 Bất phương trình tương đương: ĐỊNH NGHĨA: Hai bất phương trình cùng ẩn được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm... 3 Biến đổi tương đ

§ 2:

ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1.Khái niệm bất phương trình một ẩn

NH NGH A

Cho hai hàm s y = f (x) và y = g(x) có t p xác đ nh ố y = f (x) và y = g(x) có tập xác định ập xác định ịnh

l n l t là Dần lượt là D ượt là D

l n l t là Dần lượt là D ượt là D f và Dg Đặt D + DĐặt D + Dt D + Dt D + Df Dg

M nh đ ch a bi n có m t trong các dạng: ệnh đề chứa biến có một trong các dạng: ề chứa biến có một trong các dạng: ứa biến có một trong các dạng: ến có một trong các dạng: ột trong các dạng:

M nh đ ch a bi n có m t trong các dạng: ệnh đề chứa biến có một trong các dạng: ề chứa biến có một trong các dạng: ứa biến có một trong các dạng: ến có một trong các dạng: ột trong các dạng:

f (x) < g(x), f (x) > g(x), f (x) < g(x), f (x) > g(x) đ c ượt là D

g i là b t ph ng trình m t n ; x g i là n s ọi là bất phương trình một ẩn ; x gọi là ẩn số ất phương trình một ẩn ; x gọi là ẩn số ương trình một ẩn ; x gọi là ẩn số ột trong các dạng: ẩn ; x gọi là ẩn số ọi là bất phương trình một ẩn ; x gọi là ẩn số ẩn ; x gọi là ẩn số ố y = f (x) và y = g(x) có tập xác định

g i là b t ph ng trình m t n ; x g i là n s ọi là bất phương trình một ẩn ; x gọi là ẩn số ất phương trình một ẩn ; x gọi là ẩn số ương trình một ẩn ; x gọi là ẩn số ột trong các dạng: ẩn ; x gọi là ẩn số ọi là bất phương trình một ẩn ; x gọi là ẩn số ẩn ; x gọi là ẩn số ố y = f (x) và y = g(x) có tập xác định

(hay n) và D g i là t p xác đ nh c a b t ph ng ẩn ; x gọi là ẩn số ọi là bất phương trình một ẩn ; x gọi là ẩn số ập xác định ịnh ủa bất phương ất phương trình một ẩn ; x gọi là ẩn số ương trình một ẩn ; x gọi là ẩn số

(hay n) và D g i là t p xác đ nh c a b t ph ng ẩn ; x gọi là ẩn số ọi là bất phương trình một ẩn ; x gọi là ẩn số ập xác định ịnh ủa bất phương ất phương trình một ẩn ; x gọi là ẩn số ương trình một ẩn ; x gọi là ẩn số

trình đó

Khái niệm “nghiệm” cũng được định nghĩa tương tự

cho các bất phương trình dạng:

f (x) < g(x), f (x) > g(x), f (x) < g(x), f (x) > g(x)

(hay tìm

Biểu diễn tập nghiệm của mỗi bất phương trình sau

bởi các kí hiệu khoảng hoặc đoạn:

ta có -0.5x > 2 (=) x > -4

vậy x [ -4 ; = + )

b) x < 1

ta có x = 1

(=) x = 1 hoặc x = -1 vậy x trong khoảng (-1 ; 1) H1

2) Bất phương trình tương đương:

ĐỊNH NGHĨA:

Hai bất phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm Nếu f 1 (x) < g 1 (x) tương đương với f 2 (x) < g 2 (x) thì ta viết: f 1 (x) < g 1 (x) (=) f 2 (x) < g 2 (x)

Các khẳng định sau đây đúng hay sai? Vì sao?

a) x + x + 2 > x + 2 (=) x > 0 ; b) ( x + 1 ) 2 < 1 (=) x - 1 < 1

H1

3) Biến đổi tương đương các bất phương trình:

ĐỊNH LÍ :

Cho bất phương trình f(x) < g(x) có tập xác định D,

y = h(x) là một hàm số xác định trên D

Khi đó, trên D, bất phương trình f(x) < g(x) tương

đương với mỗi bất phương trình:

1) f(x) + h(x) < g(x) + h(x) ; 2) f(x)h(x) < g(x)h(x) nếu h(x) > 0 với mọi x € D g€ D g D ; D ; 3) f(x)h(x) > g(x)h(x) nếu h(x) < 0 với mọi x € D g€ D g D D

Ví dụ

a) bất phương trình x > -2 tương đương với bất phương trình

x - x > -2 - x b) Bất phương trình x > -2 không tương đương với bất phuương trình

x- x > -2 - x

Các khẳng định sau đây đúng hay sai? Vì sao?

H4

1

a)

b) x( x - 1 )

HỆ QUẢ

Cho bất phương trình f(x) < g(x) có tập xác định D

1) Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc ba

f(x) < g(x) (=) [f(x)]3 < [g(x)]3 2) Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc hai Nếu f(x) và g(x) không âm với mọi x thuộc D thì

f(x) < g(x) (=) [f(x)]2 < [g(x)]2

Giải bất phương trình sau đây (bằng cách bình phương hai vế), giải thích rõ các phép biến đổi tương đương đã thực hiện:

x + 1 < x

H5