1 8 dấu của tam thức bậc hai bất phương trình bậc hai PII 57tr đặng việt đông image marked

CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI...4  DẠNG TOÁN 1: XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC CHỨA TAM THỨC BẬC HAI.. ...44  DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRONG CHỨNG MI

§6 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 3

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT .3

1 Tam thức bậc hai 3

2 Dấu của tam thức bậc hai 3

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 4

 DẠNG TOÁN 1: XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC CHỨA TAM THỨC BẬC HAI .4

1 Phương pháp giải .4

2 Các ví dụ minh họa .4

3 Bài tập luyện tập .9

 DẠNG TOÁN 2: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN TAM THỨC BẬC HAI LUÔN MANG MỘT DẤU .16

1 Các ví dụ minh họa .16

3 Bài tập luyện tập .18

§7 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 21

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT .21

1 Định nghĩa và cách giải 21

2 Ứng dụng 21

 DẠNG TOÁN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 21

1 Các ví dụ minh họa .21

2 Bài tập luyện tập .25

 DẠNG TOÁN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN .29

1 Các ví dụ minh họa .29

3 Bài tập luyện tập 34

 DẠNG TOÁN 3: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẤU THỨC 38

1 Các ví dụ minh họa .39

2 Bài tập luyện tập .44

 DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT. 46 1 Phương pháp giải .46

2 Các ví dụ minh họa .47

3 Bài tập luyện tập .49

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN .54

TỔNG HỢP LẦN 1 54

TỔNG HỢP LẦN 2 65

§6 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Nghiệm của phương trình ax2bx c 0 được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai f x ax2bx c ;

và theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai

2 Dấu của tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau

f x ax bx c a 0

  a f x    0, x 0

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

 DẠNG TOÁN 1: XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC CHỨA TAM THỨC BẬC HAI.

1 Phương pháp giải.

Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai để xét dấu của biểu thức chứa nó

* Đối với đa thức bậc cao P x( ) ta làm như sau

 Phân tích đa thức P x  thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất)

 Lập bảng xét dấu củaP x  Từ đó suy ra dấu của nó

* Đối với phân thức ( )(trong đó là các đa thức) ta làm như sau

( )

P x

Q x P x Q x   ,

 Phân tích đa thức P x Q x   , thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất)

 Lập bảng xét dấu của ( ) Từ đó suy ra dấu của nó

( )

P x

Q x

Cho tam thức bậc hai ax2bx c Xét nghiệm của tam thức, nếu:

* Vô nghiệm khi đó tam thức bậc hai f x ax2bx c cùng dấu với với mọi a x

* Nghiệm kép khi đó tam thức bậc hai f x ax2bx c cùng dấu với với mọi a

B x35x2 dương khi và chỉ khi x   1 2; 1  2

C x35x2 âm khi và chỉ khi x   1 2; 1  2

D x35x2 dương khi và chỉ khi x   1 2; 1  22;d)

C 22 6 âm khi và chỉ khi

c) Tam thức g x( ) có a  2 0, có    7 0 g x( ) 0 (cùng dấu với a)  x R

Bài 4.85: Xét dấu các biểu thức sau

2x 5x2 + 0 – | + 0 + | + f(x) + 0 + 0 + 0 – 0 +

2x 5x2 + 0 + | – 0 + | + f(x) + 0 – 0 + 0 + 0 +

2x 5x2 + 0 – | + 0 + | + f(x) + 0 – 0 + 0 – 0 +

2x 5x2 + 0 – | – 0 + | + f(x) + 0 – 0 + 0 – 0 +

x  -1 0 1 2 3 4 2

D.

x  -1 0 1 2 3 4 2

3

x  x + | + 0 – | – | – 0 + | +

2 3 4

x  x + 0 – | – | – | – | – 0 + 2

x  x + | + | + 0 – 0 + | + | + f(x) + || – 0 + || – || + 0 – || +

Lời giải:

Bài 4.85: a) Ta có: x25x   4 0 x 1;x4

2x 5x2 + 0 – | – 0 + | + f(x) + 0 – 0 + 0 – 0 +

x  x + 0 – | – | – | – | – 0 +

2 3 2

x  x + | + | + 0 – 0 + | + | + f(x) + || – 0 + || – || + 0 – || +

Bài 4.86: Xét dấu các biểu thức sau

Nếu m1, khi đó g x( )là tam thức bậc hai có a m 1 và  ' 2(m1), do đó ta có các trường hợp sau:

* 0;3 có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi giá trị của thì m

a) Phương trình mx23m2x 1 0 luôn có nghiệm

b) Phương trình m25x2 3m2x 1 0 luôn vô nghiệm

Vì tam thức 9m28m4 có a m  9 0, '   m 20 0 nên 9m28m 4 0 với mọi m

Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

b) Ta có  2  2  2

Vì tam thức m24 3m8 có a m   1 0, '   m 4 0 nên m24 3m 8 0 với mọi m

Do đó phương trình đã cho luôn vô nghiệm với mọi m

Ví dụ 2: Tìm các giá trị của để biểu thức sau luôn âmm

m m

b) Với m4 thì g x   1 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với m4 thì g x   m4x22m8x m 5 là tam thức bậc hai dó đó

4 00,





    

Vậy với m4 thì biểu thức g x  luôn âm

Ví dụ 3: Tìm các giá trị của để biểu thức sau luôn dươngm

Do đó h x  luôn dương khi và chỉ khi h x'   x2 4m1x 1 4m2 luôn âm

Suy ra với mọi ta có m g x m x2 22mx m 2   2 0, x  (2)

Vậy tập xác định của hàm số là D

3 Bài tập luyện tập.

Bài 4.88: Chứng minh rằng với mọi giá trị của thì m

a) Phương trình x22m2 x m 3 0 luôn có nghiệm

b) Phương trình m21x2 3m2x 2 0 luôn vô nghiệm

Vì tam thức m2 5m7 có a m 1 0, '   m 2 0 nên x 4, x0 với mọi m

Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

3m 2 8 m 1 5m 4 3m 4

Vì tam thức 5m24 3m4 có a m   5 0, ' m 0 nên 5m24 3m 4 0 với mọi Do đó m

phương trình đã cho luôn vô nghiệm với mọi m

Bài 4.89: Tìm các giá trị của để biểu thức sau luôn âmm

b) Với m0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với m0 thì g x 4mx24m1x m 3 là tam thức bậc hai dó đó

Vậy với m 1 thì biểu thức g x  luôn âm

Bài 4.90: Chứng minh rằng hàm số sau có tập xác định là với mọi giá trị của  m

Lời giải:

Bài 4.90: a) ĐKXĐ: m x2 24mx m 22m 5 0 (*)

Với m0 thì điều kiện (*) đúng với mọi x

Với m0 xét tam thức bậc hai f x m x2 24mx m 22m5

Vậy không có m thỏa mãn yêu cầu bài toán

b) Hàm số có nghĩa với mọi x

(1)2

(m 1)x 2(m 1)x 3m 3 0 x

* m 1không thỏa mãn

' ( 1)( 2 4) 0

m m

Bất phương trình bậc hai (ẩn ) là bất phương trình có một trong các dạng x

, trong đó là một tam thức bậc hai

  0, ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0

f x  f x  f x  f x  f x( )

Cách giải Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.

2 Ứng dụng

Giải bất phương trình tích, thương chứa các tam thức bậc hai bằng cách lập bảng xét dấu của chúng

 DẠNG TOÁN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

b) Tam thức f x x2 x 12 có a 1 0 và có hai nghiệm x1 4; x2 3

( f x( ) trái dấu với hệ số ).a

A m0 B  2 m C   2 m 0 D. 0

2

m m

b) Với m 1 phương trình trở thành 2x   2 0 x 1 suy ra m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toánVới m 1 phương trình có nghiệm khi và chỉ khi  0

Vậy với   2 m 0 thì phương trình có nghiệm

Ví dụ 3: Tìm để mọi m x  1;1 đều là nghiệm của bất phương trình

m

m m

khi và chỉ khi  1;1 2;4 1 4 2

3

m m

m

m m

A T  B T \ 1  C T    1;  D T \ 3;7 d) 7x2x26

A T       ; 3  2;  B T    ; 3

C T    3; 2 D T    2; 

m m

m m

m m

b) Với m1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với m1 phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi  ' 0

Lời giải:

Bài 4.94:Với m0, bất phương trình trở thành:   1 0 bất phương trình vô nghiệm

Với m 0 f x( )mx22mx m 1 là tam thức bậc hai có a m , ' m

13

x x

x x

Khi m1 theo câu a ta thấy cũng không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Khi 0 ta có hệ bất phương trình nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi các bất phương trình trong hệ

00

Ta đi giải bài toán phủ định là: tìm để bất phương trình (1) vô nghiệm trên m S

Tức là bất phương trình f x mx22 2 m1x5m 3 0 (2) đúng với mọi x S

 m0 ta có (2) 2 3 0 3 nên (2) không đúng với

21

x x







m m

m m

m m

2

32

m m

5 102

Do đó yêu cầu bài toán

2 2 1

7 2

m m

x

m m

Kết luận: với m 1;  thì phương trình (1) có nghiệm x1.

b) Để phương trình (1) có nghiệm x 1 phương trình (2) có nghiệm t0

Kết luận: với m 1;2 thì phương trình (1) có nghiệm x1

c) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa x1 1 x2  phương trình (2) có 2 nghiệm:

t   t m  m    m

Kết luận: với 1 m 2 thì phương trình (1) có hai nghiệm x1 1 x2

d) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa x1x2  1 phương trình (2) có 2 nghiệm:

1 2

1 0' 0

Kết luận: không tồn tại m để phương trình (1) có nghiệm x1x2 1

 DẠNG TOÁN 3: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA

x  x + 0 – | – 0 +

VT 0 + 0 0 +  Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

3x 2x 8

   | 0 + 0 + | + | + 0   

VT || + || 0 + 0 || + ||     Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

9 x 0 + | + | + 0  

2 8

x  + | + 0 | + | +

VT 0 + || || + 0    Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

[ 3; 2 2) (2 2;3]

Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau

Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

 2  2 2

Dựa vào bảng xét dấu và đối chiếu điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

 1;0 [1; 3)

S   

Nhận xét: Ở câu b chúng ta phải đặt điều kiện thì khi đó các phép biến đổi trên mới đảm bảo là phép biến

đổi tương đươc

+ 0 || + 0 || + || 0 +  

Tập nghiệm của bất phương trình     là

2 2

TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT.

a



 



 Nếu BĐT cần chứng minh có dạng: A2 4BC (hoặc A2 BC) ta có thể

chứng minh tam thức f x( )Bx2Ax C (hoặc f x( )Bx22Ax C )

luôn cùng dấu với B Khi đó ta sẽ có  0

2 Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Cho hai số thực x y, Chứng minh rằng 3x25y22x2xy 1 0

Lời giải:

Viết bất đẳng thức lại dưới dạng 3x22(y1)x5y2 1 0

Đặt f x( ) 3 x22(y1)x5y21 xem là tham số khi đó y f x  là tam thức bậc hai ẩn có hệ số x

Nhận xét: * Khi gặp bài toán chứng minh BĐT có dạng: f a a( , , , ) 01 2 a n 

mà là một tam thức bậc hai với ẩn có hệ số , ta có thể sử

Bất đẳng thức viết lại 1y z x2 2 24xyz y 2z2y z2 22yz 1 0

Đặt f x  1 y z x2 2 24xyz y 2z2y z2 2 2yz1, khi đó f x  là một tam thức bậc hai ẩn có x

y y

Đẳng thức xảy ra    x y z 1 hoặc ( ; ; ) (2; 2;0)x y z  và các hoán vị

Bài 4.106: Cho các số thực dương x,y,z Chứng minh rằng: xzy2(x2y2z2) 8 5(  x y z  )

Lời giải:

Bài 4.106: Trong ba số x,y,z luôn tồn tại hai số cùng không nhỏ hơn 1 hoặc cùng không lớn hơn 1 Ta giả

sử hai số đó là x và y Khi đó ta có:

Bài 4.108: Cho a b, là các số thực thỏa mãn 2 2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu

Bài 4.110: Nếu 2 3 thì bất đẳng thức dễ dàng được chứng minh

Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai thì bài toán được chứng minh

Bài 4.111: Cho a và b là các số thực thỏa mãn 2 2 Chứng minh rằng

Theo giả thiết ta có 9a28ab7b2 6 nên 7a5b12ab9

Bài 4.112: Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn: x y z  1 Tìm giá trị lớn nhất của:

48

x1

8

x14

Khai triển và rút gọn, ta thu được: P 11x210y211x10y12xy

Tương đương với 11x2(12y11)x10y210y P 0  *

Coi đây là tam thức bậc hai ẩn x, do điều kiện tồn tại của x nên suy ra (*) phải có nghiệm, tức

(12y 11) 44(10y 10y P) 0

Hay296y2 176y121 44 P0 Tương đương 74 2 22 121

Câu 6. Tam thức y x 22x3 nhận giá trị dương khi và chỉ khi

A x–3 hoặc x–1 B x–1 hoặc x3 C x–2 hoặc x6 D –1 x 3

Câu 7. Tam thức y x 212x13 nhận giá trị âm khi và chỉ khi

Câu 32 Tập nghiệm của bất phương trình 2 1 là

Câu 50 Phương trình x2(m1)x 1 0có nghiệm khi và chỉ khi

A 2 . B . C . D .

;3

x y

12

x y

Câu 15 Dấu của tam thức bậc 2: f x( )=- + - được xác định như saux2 5x 6

A f x < với 2( ) 0 < < và ( ) 0x 3 f x > với x < hoặc 2 x > 3

B. f x < với 3( ) 0 - < <- và ( ) 0x 2 f x > với x <- hoặc 3 x >- 2

C. f x > với 2( ) 0 < < và ( ) 0x 3 f x < với x < hoặc 2 x > 3

D f x > với 3( ) 0 - < <- và ( ) 0x 2 f x < với x <- hoặc 3 x >- 2

Câu 16 Giá trị của m làm cho phương trình (m-2)x2-2mx m+ + =3 0có 2 nghiệm dương phân biệt là:

Câu 24 Cho bất phương trình (2m+1)x2+3(m+1)x m+ + >1 0(1) Với giá trị nào của m thì bất

phương trình trên vô nghiệm

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28