1 1 bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn 46tr đặng việt đông image marked

Điều kiện của một bất phương trình Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số để x f x và g x có nghĩa là điều kiện xác định hay gọi tắt là điều kiện của bất phương

BÀI 2_CHƯƠNG 4_ĐẠI SỐ 10 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1 ẨN

I – KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

1 Bất phương trình một ẩn

Bất phương trình ẩn là mệnh đề chứa biến có dạng x

( ) ( ) ( ( ) ( )) 1( )

f x <g x f x £g x

trong đó f x( ) và g x( ) là những biểu thức của x.

Ta gọi f x( ) và g x( ) lần lượt là vế trái của bất phương trình ( )1 Số thực x0 sao cho

là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình ( ) ( ) ( ) ( )0 0 ( 0 0 )

Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm

Chú ý:

Bất phương trình ( )1 cũng có thể viết lại dưới dạng sau: g x( )>f x( ) ( )(g x ³f x( )).

2 Điều kiện của một bất phương trình

Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số để x f x( ) và g x( ) có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình ( )1

3 Bất phương trình chứa tham số

Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem với các giá trị nào của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm các nghiệm đó

II – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

Hệ bất phương trình ẩn gồm một số bất phương trình ẩn mà ta phải tìm nghiệm chung của x x

chúng

Mỗi giá trị của đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một x

nghiệm của hệ bất phương trình đã cho

Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó

Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm

III – MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1 Bất phương trình tương đương

Ta đã biết hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu " Û " để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó

Tương tự, khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau và dùng kí hiệu " Û " để chỉ sự tương đương đó

2 Phép biến đổi tương đương

Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

có thể bị thay đổi Vì vậy, để tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị của thỏa x

mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới

2) Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình P x( )<Q x( ) với biểu thức f x( ) ta cần lưu ý đến điều kiện về dấu của f x( ). Nếu f x( ) nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trường hợp Mỗi trường hợp dẫn đến hệ bất phương trình

3) Khi giải bất phương trình P x( )<Q x( ) mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt xét hai trường hợp

a) P x Q x( ) ( ), cùng có giá trị không âm, ta bình phương hai vế bất phương trình

b) P x Q x( ) ( ), cùng có giá trị âm ta viết

P x <Q x Û -Q x <-P x

rồi bình phương hai vế bất phương trình mới

1 Dạng 1: ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ CẶP BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

a) Phương pháp giải tự luận.

 

x x

Ví dụ 3 Bất phương trình nào sau đây không tương đương với bất phương trình x 5 0?

Tập nghiệm của bất phương trình này là T2 5; +

Vì hai bất phương trình này không có cùng tập nghiệm nên chúng không tương đương nhau.

Ví dụ 4 Khẳng định nào sau đây đúng?

Vì a b    a c b c,  c  Trong trường hợp này c x 

   

3

; 4

x éê ùú

Î ê úë ûCâu 6 Cho bất phương trình: 8 1 1  Một học sinh giải như sau:

Hỏi học sinh này giải sai ở bước nào?

+ < +-

Câu 13 Bất phương trình: (x+1) x x(  2)  0 tương đương với bất phương trình:

A (x+1) x x 2  0 B (x 1) (2x x 2)  0

x x x x

Câu 14 Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 25 Với giá trị nào của m thì hai bất phương trình (m+ 3)x³ 3m- 6 và (2m- 1)x£ +m 2 tương đương:

a) Phương pháp giải tự luận.

Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình: 5 1 4 2 7 là:

*Giải theo tự luận:

5

x

x    x 14x    14 x 1

Vậy Tập nghiệm của bất phương trình là: S    ; 1.

*Giải theo pp trắc nghiệm:

Thay x 2 , thỏa mãn  Loại A, D

Thay x0 , không thỏa mãn  Loại B Vậy chọn đáp án C

Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình: 2x 1 x là S  a b; Tính P a b ?

*Giải theo tự luận: 2x 1 x (1)

*Giải theo tự luận: ĐK: x 2

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S 2; 1

2

   

Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là 1

*Giải theo trắc nghiệm:

Thay x 1 ;x 1 ;x 3 ;x 0 vào bất phương trình, ta thấy x 1là nghiệm của bất phương trình, còn các giá trị khác thì không Vậy chọn x 1

b) Bài tập vận dụng có chia mức độ

NHẬN BIẾT

Câu 1: Hãy chọn kết luận đúng trong các kết luận sau:

Câu 17: Số nghiệm tự nhiên nhỏ hơn 6 của bất phương trình 5x 1 12 2x là:

Hướng dẫn giải chi tiết CÁC CÂU KHÓ

Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình x 2 x 2 là:

*Giải theo pp trắc nghiệm

Thay x 1 ;x 1 ;x 2 ;x 2 vào bất phương trình, ta thấy tất cả đều là nghiệm của bất phương trình, Vậy chọn x 2 là giá trị nguyên lớn nhất

Câu 20: Cho bất phương trình: 2 8 Số các nghiệm nguyên của bất phương trình là:

*Giải theo tự luận:

Bất phương trình mx 3 m vô nghiệm khi: 0 0

m

m m

*Giải theo pp trắc nghiệm:

Thay m0 , bất phương trình đã cho vô nghiệm Vậy chọn đáp án A

Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình m x2  3 mx4 có nghiệm?

Lời giải Chọn D.

*Giải theo tự luận:

vô nghiệm , vô lí

Vậy với  m  , bất phương trình có nghiệm

Ví dụ 3: Điều kiện của m để bất phương trình: 2m1x m  5 0 nghiệm đúng với  x  0;1 :

*Giải theo tự luận:

Vậy với m5, bất phương trình đã cho nghiệm đúng với  x  0;1

*Giải theo trắc nghiệm:

Thay m6 , bất phương trình trở thành 13 1 0 1 , bất phương trình nghiệm

13

   đúng với  x  0;1  m 6 thỏa mãn

Câu 3: Cho bất phương trình: mx 6 2x3m Tập nào sau đây là phần bù của tập nghiệm của bất

phương trình trên với m2 :

Câu 15: Với m0 thì bất phương trình mx 3 0 :

A vô nghiệm B đúng  x  C đúng  x 0 D có nghiệm x0

Câu 16: Với m2 thì bất phương trình mx 5 2x :

C có nghiệm x0 D luôn có nghiệm x1

Câu 17: Với m2 thì bất phương trình mx 5 2x :

A vô nghiệm B đúng  x  C đúng  x 0 D có nghiệm x1

Câu 18: Với 1 thì bất phương trình :

2

A vô nghiệm B đúng  x  C đúng  x 2 D có nghiệm x2

Câu 19: Với 1 thì bất phương trình có tập nghiệm là :

2

A 1; B 2m 1;  C ;2m1 D 2m 1; 

Câu 23: Cho bất phương trình : mx2m2 2x 8  Xét các mệnh đề sau:

Bất phương trình tương đương với

A Chỉ  I B Chỉ  III C  II và  III D  I , II và  III

Câu 24: Cho bất phương trình: m x3  2 m x2 1 Xét các mệnh đề sau:

(I)Bất phương trình tương đương với x m   1 2m1

(II) Với m0 , bất phương trình thỏa  x 

(III) Giá trị của m để bất phương trình đúng  x 0 là ; 1  0

Câu 25: Cho bất phương trình: 1x mx. 2  0 * Xét các mệnh đề sau:

(I)Bất phương trình tương đương với mx 2 0

(II) m0 là điều kiện cần để mọi x1 là nghiệm của bất phương trình (*)

(III) Với m0 , tập nghiệm của bất phương trình là 2 x 1

m  Mệnh đề nào đúng?

A Chỉ  I B Chỉ  III C  II và  III D  I , II và  III

Hướng dẫn giải chi tiết CÁC CÂU KHÓ

Câu 2: Cho bất phương trình: m x m   x 1 Các giá trị nào sau đây của thì tập nghiệm của bất m

phương trình là S   ;m1 :

Lời giải Chọn C.

*Giải theo tự luận:

Bất phương trình m x m    x 1 (m1)x(m1)(m1)

Để tập nghiệm của bpt là S   ;m1thì m1

Vậy chọn đáp án C



Câu 3: Cho bất phương trình: mx 6 2x3m Tập nào sau đây là phần bù của tập nghiệm của bất

phương trình trên với m2 :

A S 3; B S 3; C S   ;3 D S   ;3

Lời giải Chọn D.

*Giải theo pp tự luận

Bất phương trình mx 6 2x3m(m2)x3(m  2) x 3(với m2)

Vậy phần bù của tập nghiệm là S  ;3

Vậy chọn đáp án D



Câu 5: Với giá trị nào của thì bất phương trình m m2 m 1x5mm22x3m1 vô nghiệm

?

Lời giải Chọn A.

*Giải theo pp tự luận

*Giải theo pp tự luận

Bất phương trình m2m x m  6x 2 (m2)(m3)x 2 m có tập nghiệm là R khi

*Giải theo pp tự luận

m x m  x m  m m x  

TH1: Nếu m1 thì BPT 0x0 nên BPT vô nghiệm

TH2: Nếu m1 thì BPT (m1)x m 3 vô nghiệm 1 0 không có m thỏa mãn

3 0

m m

 



   

Vậy chọn đáp án B



Câu 10: Cho m và bất phương trình 3mx x 2m5 có tập nghiệm mà T   1;  T Khi

đó:

Lời giải Chọn B.

*Giải theo pp tự luận

*Giải theo tự luận:

m







Tập nghiệm của bất phương trình là 7 3 ;

3

m S

*Giải theo tự luận:

m S

Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với  x 1thì  ;1 ;2 2 6 ,

2

m m

Vậy không có m thỏa mãn

Câu 23: Cho bất phương trình : mx2m2 2x 8  Xét các mệnh đề sau:

Bất phương trình tương đương với

Vậy  I ,  II sai;  III đúng

Câu 24: Cho bất phương trình: m x3  2 m x2 1 Xét các mệnh đề sau:

(I)Bất phương trình tương đương với x m   1 2m1

(II) Với m0 , bất phương trình thỏa  x 

(III) Giá trị của m để bất phương trình đúng  x 0 là ; 1  0

A Chỉ  II B  I và  II C  II và  III D  I , II và  III

Lời giải Chọn B.

Với m0 , bất phương trình (1) luôn đúng

Với m1 , bất phương trình trở thành : 2 1

1

m x

m



  

Vậy để bất phương trình đúng  x 0 thì ; 1  0

a) Phương pháp giải tự luận.

Ví dụ 1: Tập nghiệm của hệ bất phương trình 3 2 2 3 là:

Ví dụ 2: Tập nghiệm của hệ bất phương trình 2 1 3 2

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

Câu 6: Tập nghiệm của hệ bất phương trình là:

2 1

1 3

4 3

3 2

5 Dạng 5: TÌM THAM SỐ ĐỂ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

a) Phương pháp giải tự luận.

Ví dụ 1 Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng ?

Lời giải Chọn D

2 5

Hệ bất phương trình vô nghiệm m  1 3  m 2.

Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình 3 6 3 có nghiệm

5

72

A m 11 B m 11 C m 11 D m 11.

Lời giải ChọnA

x m

ìï - ïïï

ï - £ ïî

ï £ +ïî

nghiệm duy nhất

13

m= m>7213 m<7213 m³1372

Câu 15 Tìm giá trị thực của tham số để hệ bất phương trình m có nghiệm duy nhất.

ï - £ - + ïî

ï £ +ïî

-ïï + £ - + íïï

ï + > - + ïïî

ï + £ ïî

-A m> 1. B m³ 1. C m< 1. D m£ 1.

Bảng đáp án

Hai bất phương trình tương đương

Giải bất phương trình bậc nhất 1 ẩn

Tìm tham số

để bất phương trình bậc nhất 1 ẩn

có nghiệm thỏa đk

Giải hệ bất phương trình bậc nhất 1 ẩn

Tìm tham

số để hệ bất phương trình có nghiệm thỏa đk

A.x3 hay x5 B.x 5 hay x 3 C. x 3 hay x 5.D.  x .

Câu 9 Tập nghiệm của bất phương trình x      x 3 3 x 3 là:

Câu 13 Cho bất phương trình : 1x mx 20 (*) Xét các mệnh đề sau:

(I) Bất phương trình tương đương vớimx 2 0;

(II) m0 là điều kiện cần để mọi x1 là nghiệm của bất phương trình (*);

(III) Vớim0 , tập nghiệm của bất phương trình là 2 x 1

m  Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I) B. Chỉ (III) C. (II) và (III) D. Cả (I), (II), (III)

Câu 14 Cho bất phương trình m x m   x 1  0 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để tập m

nghiệm của bất phương trình đã cho là S   ;m1

Câu 18 Tập nghiệm của hệ bất phương trình là:

2 2

(I) Khi m0 thì hệ bất phương trình đã cho vô nghiệm

(II) Khi m0 thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là 

(III)Khi m0 thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là 2

;5

 

(IV)Khi m0 thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là 2

;5

HƯỚNG DẪN MỘT SỐ CÂU VẬN DỤNG Câu 13 Cho bất phương trình : 1x mx 20 (*) Xét các mệnh đề sau:

(I) Bất phương trình tương đương vớimx 2 0;

(II) m0 là điều kiện cần để mọi x1 là nghiệm của bất phương trình (*);

(III) Vớim0 , tập nghiệm của bất phương trình là 2 x 1

m  Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I) B. Chỉ (III) C. (II) và (III) D. Cả (I), (II), (III)

Lời giải Chọn C

 Ta có : 1x mx 20 1 0 Vậy (I) sai

12

12

2

1

  x m

(I) Khi m0 thì hệ bất phương trình đã cho vô nghiệm

(II) Khi m0 thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là 

(III)Khi m0 thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là 2

;5

Lời giải Chọn D

2 5

Hệ bất phương trình vô nghiệm m  1 3  m 2

Câu 24 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình 3 6 3 có

5

72

Với 1 thì Hệ này có nghiệm duy nhất Vậy (III) đúng.

77

Vậy (II) đúng

IV – BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Câu 1. Bất phương trình nào sau đây tương đương với bất phương trình x2018 0 ?

Câu 14.Tập nghiệm của bất phương trình 3 2 x 2  x x 2x là

Câu 16.Nghiệm của bất phương trình

25

Hỏi học sinh này giải sai ở bước nào?

Câu 20.Cho bất phương trình: 1x mx  2 0 (*) Xét các mệnh đề sau:

(I) Bất phương trình tương đương với mx 2 0

(II) m0 là điều kiện cần để mọi x1 là nghiệm của bất phương trình (*)

(III) Với m0, tập nghiệm của bất phương trình là 2 x 1

m  

Mệnh đề nào đúng?

Câu 21.Cho bất phương trình: m x3 2m x2 1 Xét các mệnh đề sau:

(I) Bất phương trình tương đương với x m   1 2m1

(II) Với m0, bất phương trình thỏa  x 

(III) Giá trị của m để bất phương trình thỏa  x 0 là 1 hoặc

Mệnh đề nào đúng?

A Chỉ (II) B (I) và (II) C (I) và (III) D (I), (II) và (III)

Câu 22.Số x 1  là nghiệm của bất phương trình 2m3mx21 khi và chỉ khi

4

m

Câu 30.Tập nghiệm của bất phương trình 2 1 0 là

3

x x

Câu 34.Cho bất phương trình : 1x mx  2 0 (*) Xét các mệnh đề sau:

(I) Bất phương trình tương đương vớimx 2 0;

(II) m0 là điều kiện cần để mọi x1 là nghiệm của bất phương trình (*);

(III) Vớim0 , tập nghiệm của bất phương trình là 2 x 1

m  

Mệnh đề nào đúng?

A Chỉ (I) B Chỉ (III) C (II) và (III) D Cả (I), (II), (III).

Câu 35.Cho bất phương trình: m x2 2m x2 1  Xét các mệnh đề sau:

(I) Bất phương tŕnh tương đương vớix  2 x 1;

(II) Vớim0, bất phương tŕnh thoả  x ;

(III) Với mọi giá trị m thì bất phương tŕnh vô nghiệm

Mệnh đề nào đúng?

A Chỉ (II) B (I) và (II) C (I) và (III) D (I), (II) và (III).

Câu 36.Hệ bất phương trình 2 1 3 4 có tập nghiệm là:

Câu 37.Hệ bất phương trình có tập nghiệm nguyên là:

A.x3 hay x5 B.x 5 hay x 3 C x 3 hay x 5 D  x 

Câu 43.Hệ bất phương trình có nghiệm khi:

2 1 00

4 3

32

x

x x