Chuong III 2 Phuong trinh mat phang

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.... Vậy phương trình mặt cầu S là:..[r]

TỔ TOÁN - TIN

- -Giáo viên thực hiện: Lê Văn Nam

TỔ TOÁN - TIN

TIẾT 32 – HÌNH HỌC LỚP 12

§2

I VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG

II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG

III ĐiỀU KiỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG, VUÔNG GÓC

- -§2

IV.

Nội dung câu hỏi:

Biết thể tích của tứ diện ABCD bằng ⅔ cm³ và diện tích tam giác BCD bằng  Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mp(BCD) Tính độ dài đoạn AH ?

3 cm²

Bài làm:

H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (BCD )

AH l_ (BCD)

.

1

3

ABCD A BCD BCD

3 3

ABCD BCD

V AH

S

B

A

D

C

H

TỔ TOÁN - TIN

§2

IV KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐiỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

M O

H

P)

†

†

- -Khoảng cách từ điểm M o đến mặt phẳng (P), Ký hiệu:

d(Mo,(P))

HM o = d(M o ,(P))

§2

┐

M o

H

P)

†

†

+ Bài toán: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình: Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M o (x o ;y o ;z o )

Khoảng cách từ điểm M o đến mặt phẳng (P) được tính theo công thức nào?

x

y

z

O

Giải

Gọi H(x H ;y H ;z H ) là hình chiếu vuông góc

của M o trên mặt phẳng (P)

Khi đó: d(Mo,(P)) = HMo = |HM →o|

n

→

M o

H

P)

†

†

z

O

Giải

Gọi H(x H ;y H ;z H ) là hình chiếu vuông góc

của M o trên mặt phẳng (P)

HM→o =(x o -x H ;y o -y H ;z o -z H )

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): n = (A;B;C)

→

HM o và n cùng phương , suy ra: │HM o │.│ n │= │HM o n│

→

→

→

Các em theo dõi phần giải thích.

Khi đó: d(M o ,(P)) = HM o = │HM→o│

n

→

HM o và n cùng phương , suy ra: |HM o |.| n | = |HM o n|

Giải thích:

Định nghĩa tích vô hướng: → →a.b = |a|.|b| cos(a,b)→ → → →

a và b cùng hướng

Góc giữa hai vectơ Kết quả

Phương, hướng của

hai vectơ a và b→ →

(a,b) = 0º→ →

(a,b) = 180º→ →

a và b ngược hướng

a và b cùng phương

a.b = |a|.|b|

a.b = -|a|.|b|

|→ →a.b | = |a|.|b|→ →

M o

H

P)

†

†

Giải :

Gọi H(x H ;y H ;z H ) là hình chiếu vuông góc

của M o trên mặt phẳng (P)

HM→o =(x o -x H ;y o -y H ;z o -z H ),

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): n = (A;B;C)

→

HM o và n cùng phương , suy ra: |HM o |.| n | = |HM o n|

→

→

→

|A(x o -x H )+B(y o -y H )+C(z o -z H )|

|HM→o |.| →n | =

= |Ax o -Ax H +By o -By H +Cz o -Cz H|

= |Ax o +By o +Cz o -(Ax H +By H +Cz H )| (1)

H Є (P), ta có: Ax H +By H +Cz H +D=0 D = -(Ax H +By H +Cz H ) (2)

Từ (1) và (2) ta có: d(M o ,(P)) = |HM O | = |HM O n| |Ax

o +By o +Cz o +D|

√A²+B²+C²

| n | =

→

→

→

→

Sử dụng biểu thức tọa độ tích vô hướng

n

→

M o

H

P)

+ Định lý: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có

phương trình: Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M o (x o ;y o ;z o )

Khoảng cách từ điểm M o đến mặt phẳng (P) được tính theo công thức:

d(M o ,(P)) = |Ax o +By o +Cz o +D|

√A²+B²+C²

x

y

z

O

n

→

+ Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ điểm M(2;4;-3) đến mặt

phẳng (P): 2x – y + 2z – 9 = 0

d(M o ,(P)) = |Ax o +By o +Cz o +D|

√A²+B²+C²

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức

tính khoảng cách từ một

điểm

M o đến một mặt phẳng (P):

Giải:

d(M,(P)) = Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P):

+ Ví dụ 2:

d(M,(ABC)) = 1

2x – 1y + 2z – 9 = 0

|2.2-1.4+2.(-3)-9|

√2²+(-1)²+2² =

15

─

3 = 5

Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(2;0;0), B(0;1;0),

C(0;0;1) Tính Khoảng cách từ điểm M(1;-2;1) mặt phẳng (ABC).

P)

• M

H

Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q), với (P): 2x+y-2z-6=0 và (Q): 2x+y-2z+9=0

+ VD 3:

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Giải:

Chọn điểm M(0;6;0) Є (P)

(P)//(Q) d((P),(Q))=d(M,(Q))

d((P),(Q))= |0+6+0+9|

√4 + 1 + 4 = 5

• I

• H

R

+ VD 4: Viết phương trình mặt cầu (S)

tâm I(1;2;-3) và tiếp xúc với mặt

phẳng (P): 3x + 4z – 1 = 0

(P) tiếp xúc với (S)

d(I,(P)) = R

Giải:

( P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên suy ra d(I,(P)) = R

(R là bán kính của (S))

R = d(I,(P)) =

|3+0-12-1|

√9 + 0 + 16 =

10

─

5 = 2 Vậy phương trình mặt cầu (S) là:

(S): (x-1)² + (y-2)² + (z+3)² = 4

Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P): 2x + 2y – z + 17 = 0 và khoảng cách từ điểm M(1;-2;3) đến mặt phẳng (Q) bằng 4

+ Ví dụ 5:

Giải: (Q) // (P): 2 x + 2 y – z + 17 = 0

(Q) : 2 x + 2 y – z + D = 0 (D ≠ 17)

Ta có: d(M,(Q)) = 4 │2 – 4 – 3 + D│

D = – 7

¯

_

(loại)

Vậy phương trình mặt phẳng (Q): 2x + 2y – z – 7 = 0

+ Câu 1 :

A

B

C

D

3 2

4

1 Khoảng cách từ điểm A(4;-2;2) đến mặt phẳng (Q): 3x + 4y + 1 = 0 bằng:

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P): 2x – y + 3z + 5 = 0 và (Q): 2x – y + 3z + 1 = 0 bằng:

+ Câu 2 :

A

B

C

D

4

4 14

6

6 14

Cho (S) là mặt cầu tâm I(2; 1; -1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P)

có phương trình: 2x – 2y – z + 3 = 0 Bán kính của (S) bằng:

+ Câu 3 :

A

B

C

D

2

2 3 4 3 2 9

Mặt phẳng (P) qua A( 1; -2; -5) và song song với mặt phẳng (Q): x – y + 1 = 0 cách (Q) một khoảng có độ dài bằng:

+ Câu 4 :

A

B

C

D

2 4

2 2 2

1 Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P):

(P): Ax + By + Cz + D = 0 Điều kiện: A² + B² + C² > 0 Vectơ pháp tuyến của (P): n = (A; B; C)→

2 Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc.

3 Công thức tính khoảng cách từ điểm Mo(x ;y ;z ) đến mặt phẳng (P):

d(M o ,(P)) = |Ax o +By o +Cz o +D|

√A²+B²+C²

Làm các bài tập: 9 và 10 trang 81 ( SGK Hình học 12)

o o o

Chân thành cảm ơn quý Thầy

Cô và các em

- -Giáo viên : Lê Văn Nam

Tổ Toán - Tin