Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng Hãy cho biết mối quan hệ giữ n và ?.. được gọi là véctơ pháp tuyếnα.[r]
Trang 2§2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
I Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
* Chú ý:
n
Mçi mÆt ph¼ng cã bao nhiªu vect¬
ph¸p tuyÕn?
n
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ()
=> (k 0)) cũng là các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ()
n
kn
Hãy cho biết mối
và ?
n
* Định nghĩa :
0
) (
n
n
được gọi là véctơ pháp tuyến(α)
Trang 3Trong không gian Oyxz cho
mp() và hai véc tơ không
cùng phương :
có giá song song hoặc nằm
trong mp() Chứng minh rằng
mp() nhận véc tơ
Bài toán :
tuyến
n
a =(a ;a ;a ),1 2 3 b=(b ;b ;b )1 2 3
n
0
)
;
; ).(
;
; (
1 2 3 2 1 3 3 1 1 3 2 2 3 1 3 2 1
1 2 2 1 3 1 1 3 2 3 3 2 3 2 1
b a a b a a b a b a a b a a b a a
b a b a b a b a b a b a a a a n a
n
a
0
)
;
; ).(
; (
3 2 1 2 1 3 2 1 3 2 3 1 2 3 1 3 2 1
1 2 2 1 3 1 1 3 2 3 3 2 3 2 1
b a b b a b b a b b a b b a b b a b
b a b a b a b a b a b a b b b n b
n
b
n b
Véc tơ xác định như trên gọi là tích có hướng của hai véc tơ
Kí hiệu:
n
a vµ b
n a b n a b
hoÆc
b
a
n
b'
I Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
Điều kiện cần và đủ để vuông góc với
a vµ b
n =>mp() nhận véc tơ
= (a 2 b 3 – a 3 b 2 ; a 3 b 1 – a 1 b 3 ; a 1 b 2 –
a 2 b 1 ) làm véc tơ pháp tuyến
n
Trang 4§2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
* Ví dụ :
Trong Oxyz cho 3 điểm
A(2;-1;3), B(4;0;1), C(-10;5;3).
Hãy tìm toạ độ một véc tơ
pháp tuyến của mp(ABC)
) 2
; 1
; 2 ( )
3 1
; 1 0
; 2 4
AB
) 0
; 6
; 12 (
) 3 3
; 1 5
; 2 10 (
AC
) 24
; 24
; 12 (
) 1 12 6
2
; 2 0 12 2
; 2 6 0 1 (
là véctơ pháp tuyến (ABC)
A
B
C
n
I Véctơ pháp tuyến của mặt
phẳng
* Chú ý:
* Định nghĩa :
* Bài toán :
Tìm toạ độ của ? AB; AC
Tìm toạ độ của ?n
Trang 5n
0
M
M
0( ; ; )0 0 0
M x y z
n A B C( ; ; )
Cho mặt phẳng đi qua điểm nhận
làm VTPT Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để điểm M (x; y; z) thuộc là:
0 )
( )
( )
( x x0 B y y0 C z z0
A
)
;
;
0M x x y y z z
M M n
M M
M ( ) 0 ( ) O
0 M0M
n
0 )
( )
( )
( 0 0 0
A x x B y y C z z
Ta cú :
Trang 6Bài toán 2
Trong kg Oxyz, tập hợp các điểm thoả mãn ph ương trình
Ax + By + Cz + D = 0 (A2+B2+C20) là m ột mặt phẳng nhận Véctơ làm véctơ pháp tuyến.n A B C ( ; ; )
0 )
( )
( )
( )
( 0 0 0
A x x B y y C z z
0 ) ( 0 0 0
Ax By Cz Ax By Cz
0
)
;
;
0 x y z M
Gọi (α) là mặt phẳng đi qua điểm và nhận làm véctơ pháp tuyến
( ; ; )
n A B C
vì
Trang 7II PT TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG Bài tập vận dụng
1 Định nghĩa (sgk – 72)
trong đó A, B, C không đồng
thời bằng 0) là mp có véc tơ pháp tuyến là:, được gọi là Pt
tổng quát của mặt phẳng
Nhận xét:
a) mp() có pt Ax+By+Cz+D=0
thì có một véc tơ pháp tuyến
là: n A B C ( ; ; )
b) PT mp đi qua điểm M0(x0;
y0; z0) và có véc tơ pháp
tuyến là:n A B C ( ; ; )
A x x B y y C z z
Tìm pt mp qua điểm M0(x0; y0; z0)
và có véc tơ pháp
tuyến
( ; ; )
n A B C
Tìm một véc tơ pháp tuyến của mp() có pt
Ax+By+Cz+D=0 ?
Hãy tìm một véc tơ pháp tuyến của mp() :
4x - 2y - 6z + 7 = 0
) 6
; 2
; 4 (
n
véc tơ pháp tuyến của mp() là
2 Lập pt tổng quát của mp qua
A(1; 2 -3) và có véc tơ pháp tuyến
2;1;0) (
n
0 ) 3 (
0 ) 2 (
1
mp qua A(1; 2 -3) và có véc tơ pháp tuyến n ( 2;1;0)
Trang 8§2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
II PT TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG Bài tập vận dụng
1 Định nghĩa (sgk – 72)
trong đó A, B, C không đồng
thời bằng 0) là mp có véc tơ pháp tuyến là:, được gọi là Pt
tổng quát của mặt phẳng
Nhận xét:
a) mp() có pt Ax+By+Cz+D=0
thì có một véc tơ pháp tuyến
là: n A B C ( ; ; )
b) PT mp đi qua điểm M0(x0;
y0; z0) và có véc tơ pháp
tuyến là:n A B C ( ; ; )
A x x B y y C z z
3 Lập pt tổng quat của của
N(4; 3; 2), P(5; 2; 1)
) 0
; 1
; 4 (
) 1
; 2
; 3 (
MP
MN
) 5
; 4
; 1 ( ) 2 4 1 3
; 3 0 4 1
; 1 1 0 2
n
Là véctơ pháp tuyến(MNP)
0 2 5
4
0 ) 1 (
5 ) 1 (
4 ) 1 (
1
z y
x
z y
x