Ôn tập Chương III. Phương trình. Hệ phương trình

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều là số nguyên dương.. B.A[r]

CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH

HD: Điều kiện xác định của phương trình 9−x

HD: Điều kiện xác định của phương trình 3 x−2

Ta thấy phương trình 4 x −10=0 có cùng tập nghiệm với phương trình

2 x −5=0 nên 2 phương trình là tương đương

Câu 7 Phương trình hệ quả của phương trình x2 −3=0 là:

x ( x−1) hay x=1 là nghiệm ngoại lai.

Câu 9 Số nghiệm của phương trình x2

Câu 11.Số nghiệm của phương trình x+1=4√x−3 là:

HD: Điều kiện xác định của phương trình là x>1

A m=0 ;m=1. B m=1.

C m=−2

3 Đáp án:

Câu 20. Cho phương trình x2 −5 x+3√x2 −5 x+10=0. Đặt t=√x2−5 x +10(t ≥ 0)

Khi đó, phương trình đã cho trở thành phương trình

Khi đó, phương trình đã cho trở thành phương trình t2 +3 t−10=0.

Câu 21 Trong các khẳng định sau, khẳng định sai là:

HD: B sai vì 2 phương trình tương đương là có chung tập nghiệm Mà phương trình x (x−1) x−1 =1 vô nghiệm, còn phương trình x=1 có nghiệm x=1 Khi đó

2 phương trình không chung tập nghiệm hay không tương đương

Câu 22 Cho phương trình x2−(2+√3)x+2√3=0 Khẳng định nào sau đây về phương trình đúng?

A Có 2 nghiệm trái dấu B Có 2 nghiệm âm phân biệt

C Có 2 nghiệm dương phân biệt D Vô nghiệm

Đáp án: C

HD: x2−(2+√3)x+2√3=0⟺ x=2 ; x=√3

⟹ Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt

Câu 23.Cho phương trình x4

+x2 −2018=0 Kết luận nào sau đây đúng?

A Phương trình có hai nghiệm nguyên

B Phương trình có nghiệm không nguyên

C Phương trình không có nghiệm dương

D Phương trình không có nghiệm thực

⟹ Phương trình có nghiệm không nguyên

Câu 24 Nếu a là nghiệm của phương trình |x−1| =2 x +3 thì a thuộc khoảng

Giả sử (x ; y ) là nghiệm của hệ

phương trình, khi đó −2 x +4 y−1 bằng

Đáp án: A

HD: Điều kiện: x ≠ 0 ; y ≠ 0

Câu 30 Cho hệ phương trình {2 x−3 y + 4 z=−5−4 x +5 y−z=6

3 x +4 y−3 z=7 Giả sử (x ; y ; z) là nghiệm của

C vô số nghiệm D có ba nghiệm.

−2 x−3 y+z =2 Giả sử (x ; y ; z) là nghiệm của

hệ phương trình Trong các khẳng định sau, khẳng định đúng là:

⟹ z> x> y ⟹ B sai

Câu 35.Cho hệ phương trình {−2 x +5 y=94 x +2 y=11 Giả sử ( x ; y¿ là nghiệm của hệ

phương trình Trong các khẳng định sau, khẳng định sai là:

⟺[x= y= x= y=1−1

2

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm

Câu 37.Số nghiệm của hệ phương trình {x2−xy =24

Vậy hệ phương trình vô nghiệm

Câu 38.Số nghiệm của hệ phương trình {x3=x +3 y

Câu 39 Số nghiệm của hệ phương trình {x2x− y=2

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm

Câu 40.Số nghiệm của hệ phương trình {x2 −3 xy =−2

−2 x + y=1 là:

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm.

Câu 41.Số nghiệm của hệ phương trình {x2+y2+xy=7

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm.

Câu 42. Giá trị của m để hệ phương trình {mx+(m−2) y=m (m +1) x+ my=2 có nghiệm duy nhất là:

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì −(m+2)≠ 0⟺ m≠−2.

Câu 43. Giá trị của m để hệ phương trình {x +(m+2) y=2 mx− y=1 vô nghiệm là:

Câu 44.Giá trị của m để hệ phương trình {mx+ y=m2

x +my=1 vô nghiệm là:

A Hệ phương trình có nghiệm duy nhất nếu m≠ 1

B Hệ phương trình có vô số nghiệm nếu m=1

C Hệ phương trình vô nghiệm nếu m=3

D Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

 Hệ phương trình vô nghiệm khi

{−m2+4 m−3=0

2−m≠ 0 ⟺{ [m=1

m=3 m≠ 2

⟺[m=1 m=3 ⟹ C đúng

Câu 47 Cho hệ phương trình {mx+(m+2) y=1 x +my=−1 Trong các khẳng định sau, khẳngđịnh đúng là:

A Hệ phương trình vô nghiệm khi m=0

B Hệ phương trình có vô số nghiệm khi m=−1

C Hệ phương trình có nghiệm duy nhất với m=2

D Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

 Hệ phương trình vô nghiệm khi

{−m2+m+2=0

1+m≠ 0 ⟺{ [m=−1 m=2

m≠−1

⟺ m=2 ⟹ A sai

Câu 48 Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là 40 m và diện tích là 96 m2

Độ dài chiều dài và chiều rộng lần lượt là:

Đáp án: D

HD: Gọi chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là x ; y (m) ( x> y>0¿

Theo đề bài ta có: {2( x + y )=40

x y =96 ⟺{x + y=20 x y=96 ⟹ x ; y là nghiệm của phương trình

X2−20 X+96=0⟹ x=12 ; y=8

Câu 49 Một mảnh vườn hình chữ nhật hiệu hai cạnh là 12,1 m và diện tích là

1089 m2 Độ dài chiều dài và chiều rộng lần lượt là:

HD: Gọi cạnh lớn, cạnh bé của mảnh vườn lần lượt là b ;a (m) ( b> a>0¿

Theo đề bài ta có: {a+b=11 a b=24 a ;b là nghiệm của phương trình

X2−11 X +24=0⟹ a=3 ;b=8

PHỔ ĐIỂM 7 – 8

Câu 1.Cho phương trình x2−4 |x−1| =2( x+1) Chọn kết luận đúng

A Phương trình có 2 nghiệm phân biệt và tổng các nghiệm là 2

B Phương trình có 4 nghiệm phân biệt và tích các nghiệm là 3

C Phương trình có 4 nghiệm phân biệt và tổng các nghiệm là 2

D Phương trình có 2 nghiệm phân biệt và tích các nghiệm là 3

⟹ Phương trình có 2 nghiệm và tổng các nghiệm bằng 2

Câu 2.Cho phương trình |x +3| + 1= |2 x−1| Trong các khẳng định sau, khẳng định đúng là:

A Phương trình có nghiệm trên (−∞ ;0)

+ Phương trình có tích các nghiệm là – 5 ⟹ B sai.

+ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt dương ⟹ C sai

+ Phương trình có tổng các nghiệm là 4 ⟹ D sai

Câu 3 Cho phương trình √4 x2 −20 x +34+|2 x−5|=9 Trong các khẳng định sau, khẳng định đúng là:

A Phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều là số nguyên dương

B Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn (x1+x2)2=4

C Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x2 = 9 x1

D Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 x2=9.

Vậy phương trình có 4 nghiệm.

Câu 5.Số nghiệm của phương trình 5+ |x +2| + |2 x +3| + |3 x +4| =x|4 x+5| là:

Đáp án: C

Vậy phương trình có 1 nghiệm x=2

Câu 6.Số nghiệm của phương trình 3

√5 x +3−√35 x−13=4 là:

Kết hợp với (1) và (*) ta được x=2+√2 là nghiệm của phương trình.

Câu 8.Nghiệm lớn nhất của √7−x +√2+ x−√(7−x ) (2+ x )=3 là:

√x+1−2+√x +1−2=0 ⟺ 2√x +1=4 ⟺√x +1=2⟺ x=3

 TH2: √x+1−2<0 ⟺√x +1<2 ⟺ x +1<4 ⟺ x<3 Khi đó phương trình trở thành:

−√x+1+2+√x +1−2=0 ⟺ 0 x=0 ⟹ Phương trình có vô số nghiệm Kết hợp

điều kiện x<3 ta được nghiệm của phương trình là x<3.

Kết hợp TH1, TH2 và điều kiện xác định ta được: −1≤ x ≤ 3

Câu 10.Tích các nghiệm của phương trình √x2 +2 x+8−|x +1|=1 là:

⟺{x=−4 x ≤0 ⟺ x=−4 (thỏa mãn).

Phương trình có 2 nghiệm x=−4 và x=2 Tích của 2 nghiệm là −4.2=−8

Câu 11 Phương trình 2√33 x−2+3√6−5 x−8=0 có nghiệm thuộc khoảng nào sau đây?

Vậy phương trình có nghiệm x=−2 ∈(−3 ;−1)

Câu 12 Cho phương trình (x2 +1) 2 =5−x√2 x2

+ 4 Nghiệm của phương trình là

Đáp án: B

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x=−√2 ; x=√√3−1 đều là số vô tỷ.

Câu 13. Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 −3 x+2=0. Trong cácphương trình sau đây, phương trình nào chỉ có hai nghiệm là x1

Ta tìm phương trình có 2 nghiệm là 13 và 1 Ta có thể thử nghiệm vào từng phương trình xem phương trình nào thỏa mãn hoặc giải từng phương trình rồi so sánh nghiệm.

Kết hợp với điều kiện (*) ta được 0<m<1.

Câu 16.Tìm giá trị của m để phương trình |mx−x+1| = |x +2| có đúng hai nghiệm phân biệt

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình

(m2−2 m)x2+2 (m−3) x−3=0 có 2 nghiệm phân biệt, tức là

ta được m←1

Vậy m ∈ (−∞ ;−1) ∪¿

Câu 18.Giá trị của m để phương trình |mx−2| = |x+4| có một nghiệm duy nhất là:

 TH2: m2 −1≠ 0⟺ m ≠1 và m ≠−1. Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì ∆ '

Câu 21.Cho phương trình 2 x2

+2 (m−1) x +m2 −1=0 Tìm giá trị của m để phương

trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn biểu thức A = (x1−x2)2 đạt giá trịlớn nhất

Vì −(m +1)2≤ 0 ⟹−(m+1)2

+4 ≤ 4 Giá trị lớn nhất của A = 4 Dấu “=” xảy ra khi vàchỉ khi m+1=0 ⟺ m=−1.

Kết hợp với điều kiện (*) ta được m=−1 là giá trị cần tìm

Câu 22.Cho phương trình x2−2 (m+1) x+ 2m2−2=0 Tìm giá trị của m để phương

trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn biểu thức A = x12

+x22

+x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất

Kết hợp với điều kiện (*) ta thấy m=−2 không thỏa mãn

Vậy không có giá trị m thỏa mãn điều kiện đề bài

Câu 23 Cho phương trình x2+2 mx−3 m+4=0 Giả sử phương trình có hai

nghiệm x1, x2 Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là x12 và x22

HD: Theo định lý Vi-ét ta có

Câu 24.Cho phương trình x2 −(m−1) x+m+4=0 Giá trị của m để phương trình có

hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn |x1−x2|=1 là:

A Phương trình có thể có nhiều hơn 1 nghiệm

B Phương trình có thể vô nghiệm

C Phương trình không thể có 1 nghiệm duy nhất

D Phương trình luôn có nghiệm duy nhất

⟺ xbc−b2

c−bc2+xac−ac2−a2c+xa b−a2b−a b2−3 abc=0

⟺ (bc+ac+ab) x=b2c +bc2+ac2+a2c+a2b+a b2+3 abc

Câu 26.Số cặp nghiệm khác 0 của hệ phương trình {x2 =5 x−2 y

Vậy hệ phương trình có 2 cặp nghiệm (x ; y) = (0 ;0);(x ; y) = (3 ;3)

Vậy hệ phương trình có 1 cặp nghiệm khác 0

Câu 27 Số nghiệm của hệ phương trình {x3−3 y = y3−3 x

−y3 +3 ( x− y )=0

⟺ ( x− y )(x2+xy + y2+ 3)=0

Câu 28 Cho hệ sau: { (1− y )√x − y+ x=2+( x− y−1)√y (1)

2 y2−3 x +6 y +1=2√x−2 y−√4 x−5 y −3(2) Số nghiệm của

Kết hợp với điều kiện (*) ta được ( x ; y )=(3 ; 1) là nghiệm của hệ phương trình

 Với x= y +1 Thay vào phương trình (2) ta được

3 Thay vào phương trình (1) ta được:

7 y3 =0⟺ y=0⟹ Không tồn tại x

 xy=1

3 Thay vào phương trình (1) ta được:

7 y3 =7⟺ y=1 ⟹ x=1

3

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm ( x ; y )=(13;1); (x ; y )=(−32;−2)

Câu 30 Cho hệ phương trình { x2+3 xy −3 (x − y )=0

x4+9 y(x2+y)−5 x2= 0 Số cặp nghiệm không âm của hệ phương trình là:

 Với x2

+y2

+x− y =0 ⟺ x= y=0 (do x ≥ y) Thay vào hệ phương trình không thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm ( x ; y )=(0 ;−1) ; ( x ; y )=(1; 0 ).

Câu 32.Số nghiệm của hệ phương trình {x4−4 x2+y2−6 y+9=0

⟺{ [u+v =−10 u+v =2

uv =8−4 (u+v )

⟺

[ {u+v=−10 uv =48 (vô nghi mệ )

{u+v=2 uv=0 ⟺[ {u=2 v=0

2 =7

x + y + 1

x+ y+x− y=3

⟺{x + y=1 x− y =1 ⟺{x=1 y=0

Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( x ; y )=(1 ; 0)

Câu 34.Cho hệ phương trình { xy +x + y= x2−2 y2

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ; y) = (5;2)⟹ x+ y=7.

Câu 35.Cho hệ phương trình {x2

+y2

+ 8 xy x+ y=16(1)

(1)⟺( x+ y )2

−2 xy +8 xy

x + y=16( x + y )

⟺[√12− y + 13− y=0 ⟺ y=3

√12− y +3+

2 1+√y−2=0 (vô nghi mệ )

A Hệ phương trình có 3 cặp nghiệm ( x ; y ) trong đó có 2 cặp nghiệm mà

x , y không âm

B Hệ phương trình có 3 cặp nghiệm ( x ; y ) trong đó có 1 cặp nghiệm mà

⟺{(u+v )uv +4 (u+v )=52−2 uv=10

⟺{(u+v)uv =5−4(u+v )2−2 [5−4 (u+v )]=10

 {u+v=−10 uv=45 Khi đó u , v là nghiệm của phương trình

X2+10 X +45=0 Phương trình này vô nghiệm ⟹u , v không tồn tại

 {uv =−3 u+v =2 Khi đó u , v là nghiệm của phương trình X2 −2 X −3=0

Câu 39.Cho hệ phương trình { y2−2 x+3=0

5 x2 −7 xy−6 y 2 =0 Giả sử (x ; y ) là nghiệm của

hệ phương trình Giá trị nhỏ nhất của x2+y2 là:

 TH1: y=0 Khi đó hệ phương trình trở thành: {−2 x +3=05 x2= 0 (vô nghiệm)

 TH2: y ≠ 0 Chia cả 2 vế của phương trình (2) cho y2 Khi đó phương trình (2) trở thành:

 Với x y=2⟺ x=2 y Thay vào phương trình (1) ta được

Vậy giá trị nhỏ nhất của x2+y2 là 5.

Câu 40.Cho hệ phương trình {x x +xy + y=−12y+ y2x=−6 Giả sử (x ; y ) là nghiệm của hệ phương trình Giá trị lớn nhất của P = |x− y| là:

Vậy giá trị lớn nhất của |x− y| là 4

Câu 41.Cho hệ phương trình {3 x2−4 xy +2 y2=17

y2−x2=16 Hệ thức biểu diễn x theo

A cắt nhau tại điểm (1; 2) B song song với nhau.

C cắt nhau tại gốc toạ độ D trùng nhau

Câu 43.Cho hệ phương trình {mx−(m+1) y=3 m x−2 my=m+2

x+2 y =4 Giá trị của m để phương trình

Câu 45.Cho hệ phương trình

(a+b ) x +(a−b ) y=2(1)

HD: Với a ≠ ±b ta có (1)⟺ x= 2−(a−b) y

a+b Thay vào phương trình (2) ta được:

(a+b )(a2−ab+b2). 2−(a−b) y

a+b +(a

3

−b3)y=2(a2+b2)

⟺−2ab−[(a−b )(a2−ab+b2)−a3+b3]y =0

⟺ 2 ab+[(a−b )(a2 −ab+b 2)−a 3

Câu 46.Cho hệ phương trình {x2 +2 y 2 =8

2 x + y=m Giá trị lớn nhất của m để hệ phương trình có nghiệm là:

Vậy giá trị lớn nhất của m để hệ phương trình có nghiệm là 6.

Câu 47.Cho hệ phương trình {x2

−mxy+ y2

=m m( x + y )=2 Giá trị của m để hệ phương trình

⟺ (m−1)(m2+m+2)=0⟺ m=1

Vậy m=1 là giá trị cần tìm

Câu 48.Cho hệ phương trình {mx+(m+2) y=5 x +my=2 m+3 Giá trị cần tìm của tham số m để

hệ phương trình có nghiệm âm là :

Câu 49.Cho hệ phương trình {x2x + y=4+y2=m2 Trong các khẳng định sau, khẳng địnhđúng là :

A Hệ phương trình có nghiệm với mọi m

B Hệ phương trình có nghiệm ⟺|m|≥2√2

C Hệ phương trình có nghiệm duy nhất |m|≥2

D Hệ phương trình luôn vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình có nghiệm ⟺|m|≥2√2

hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⟺|m|=2√2 .

hệ phương trình luôn vô nghiệm ⟺|m| <2√2

Câu 50.Cho hệ phương trình {x2y+ y x+ y =m+12x=2 m2 −m−3 và các mệnh đề :

(I) Hệ có vô số nghiệm khi m=−1

(II) Hệ có nghiệm khi m>3

2 (III) Hệ có nghiệm với mọi m

⟺ m3−5 m2+7 m+13

⟺ m2 −6 m+13≥ 0

⟺(m−3)2+4 ≥0 luôn đúng ∀ m≠−1

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm khi m=−1

hệ phương trình có nghiệm với mọi m