Đạo hàm của đại số tensor luận văn thạc sỹ toán học

MỞ ĐẦU Như chúng ta đã biết phép tính tensor đã được nghiên cứu những năm 1900 qua các công trình của Ricci và Levi-Civita,đại số các tensor cũng đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu.. CH

Trờng đại học vinh

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS NGUYỄN HỮU QUANG

VINH - 2011

MỤC LỤC

Mở đầu……….1

Chương I:Trường Tensor trên đại số 5

I.Đại số ……… 4

II.Tensor trên đại số ………7

Chương II: Đạo hàm của đại số tensor 15

I Đạo hàm trên đại số B………15

II Đạo hàm trên đại sô tensor ImB………19

2.2.1 Đại số tensor ImB……….19

2.2.2 Đạo hàm trên ImB………20

III Liên thông tuyến tính trên môdun các đạo hàm……… 25

IV.Ứng dụng ………30

A.Ứng dụng 1………30

B.Ứng dụng 2………35

Kết luận ………38

Tài liệu tham khảo ……… 39

MỞ ĐẦU

Như chúng ta đã biết phép tính tensor đã được nghiên cứu những năm

1900 qua các công trình của Ricci và Levi-Civita,đại số các tensor cũng đã

có nhiều nhà toán học nghiên cứu Chúng ta cũng biết rằng đạo hàm Lie vàđạo hàm hiệp biến, thuận biến đã được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết vềcác chuyển động của không gian Riemann, không gian afin và không gian

xạ ảnh liên kết

Một vấn đề nữa là để nghiên cứu sự biến thiên của các trường véctơ,trường tensor trên các mặt nói riêng và trên đa tạp nói chung thì cần dựavào phép tịnh tiến song song, để giải quyết vấn đề này thì lý thuyết liênthông được ra đời Liên thông tuyến tính trong hình học được giới thiệubởi H.Weyl vào năm 1918 và không gian afin liên kết ở dạng tổng quátđược định nghĩa bởi E.Cartan Toán tử đạo hàm Lie ứng dụng cho trườngvec tơ và trường ten xơ lần đầu tiên được xem xét bởi Van Danzig,Slebodzinski, Davis, Schouten và Van Campen Các kết quả cơ bản trong

lý thuyết đạo hàm Lie và các không gian tổng quát được V.V.Vagner tìm

ra Kĩ thuật đạo hàm Lie ứng dụng cho các không gian phân tử được giớithiệu chi tiết bởi B.L.Laptev Một đóng góp quan trọng cho lý thuyết đạohàm Lie trên các đa tạp trơn là xem xét nó trên một nền tảng cơ bản bằngcách sử dụng một phép nhúng p: E →M được đưa ra bởi B.N Shapukov Mục tiêu của luận văn này là mở rộng các toán tử của đạo hàm Lie vàđạo hàm hiệp biến, thuận biến cho các phần tử xác định trên mô đun củacác đạo hàm của một đại số Luận văn là trình bày một cách có hệ thốngcác vấn đề về đại số, tensor trên đại số và đạo hàm trên tensor đại số Trên

cơ sở tham khảo các tài liệu có thể có được trong điều kiện hiện nay, dưới

sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS.Nguyễn Hữu Quang, tác giả đã chọn đề

tài nghiên cứu : Đạo hàm của đại số tensor

Luận văn gồm hai chương:

Chương 1: Là chương cơ sở nêu một số kiến thức cơ bản về đại số và

tensor trên đại số

Gồm các nội dung chính :

I Đại số: Các kiến thức cơ bản về đại số

II Tensor trên đại số

Chương 2: Đạo hàm của đại số tensor.

Gồm các nội dung chính :

I Đạo hàm trên đại số B

II Đại số tensor ImB

III Liên thông tuyến tính trên đại số B

IV Ứng dụng:

A Ứng dụng 1 : Áp dụng các kết quả trên vào đa tạp M

B Ứng dụng 2 : Áp dụng các kết quả trên vào đại số các đathức

Luận văn được hoàn thành vào tháng 12 năm 2011 tại trường Đại HọcVinh dưới sự hướng tận tình chu đáo của PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và sự kính trọng tới thầy

Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn tới TS.Nguyễn DuyBình , TS Kiều Phương Chi - Đại Học Vinh, Th.s Bùi Cao Vân - SởGD&ĐT Quảng Ngãi, Th.s Nguyễn Viết Sơn - Đại Học Hồng Đức, cùngcác Thầy trong hội đồng đánh giá luận văn, các thầy cô trong khoa Toán,

khoa Sau Đại học, các anh chị học viên CH 17 chuyên ngành Hình Học đãtạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận văn.

Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD&ĐT Hà Tĩnh,trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Lộc Hà, Hà Tĩnh, gia đình và bạn bè đãtạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa học

Xin chân thành cảm ơn !

Tác giả

CHƯƠNG I TRƯỜNG TENSOR TRÊN ĐẠI SỐ

Trong chương này, ta luôn giả thiết K là một vành giao hoán có đơn vị( nghĩa là phép nhân trong vành có tính chất giao hoán có đơn vị 1 và giảthiết là 1 khác 0; trong đó 0 là đơn vị của nhóm cộng K )

Như ta đã biết một modun G trên K là một nhóm cộng Abel cùng vớiphép nhân:

1.1.1 Định nghĩa G được gọi là một đại số trên K nếu G là một modun

và trong G được trang bị phép toán nhân trong :

•: G G× →G

1 Nếu phép nhân trong giao hoán thì G được gọi là đại số giao hoán.

2 Nếu phép nhân trong có tính chất kết hợp thì G được gọi là đại số kết

hợp.

3 Nếu a.b = 0 với ∀a b G, ∈ thì G được gọi là đại số tầm thường.

4 Nếu tích trong thỏa mãn: [a,b] [b,a]

1 Ta kí hiệu M n ={A | A là ma trận vuông thực cấp n} Với các phép

toán như sau : .

 với A,B ∈M n, k∈¡ Khi đó thì M n thành một đại

số kết hợp không giao hoán có đơn vị

Thật vậy : - Ta dễ dàng kiểm tra các tính chất sau :

• a(A+B) = aA+aB ;∀ ∈a ¡ ;A,B ∈M n

• (a.A)B =a.(AB) với ∀ ∈a ¡ ;A,B,C ∈M n

Hoàn toàn tương tự ta có thể kiểm tra được các ví dụ sau là những đại số

2 Giả sử M là đa tạp khả vi và F (M) là tập các hàm thực khả vi trên

M với phép toán thông thường thì F (M) là đại số giao hoán, kết hợp có

đơn vị trên ¡

3 G=¡ 3 cùng với phép toán thông thường, [a,b]=a b ∧ thì G là một đại

số Lie trên ¡

4 Giả sử L (G) là tập hợp tất cả các dạng tuyến tính thực trên

R-môđun.Ta đưa vào L (G) các phép toán sau :

1. Giả sử G là một đại số kết hợp trên trường K Ta đặt tích trong là

2. Giả sử G là một đại số Lie ,với bộ hằng số cấu trúc { }k

II Tensor trên đại số

Trong mục này, ta luôn giả thiết A là đại số giao hoán, kết hợp trên trường

P có đơn vị e, và dimA = n Gọi A* là đối ngẫu của A

Bây giờ ta xét các phép toán sau :

Tương tự ta có thể chứng minh các tính chất tiếp theo

Rõ ràng ta thấy A* cùng với hai phép toán trên lập thành một đại số trên

A (Và cũng là một đại số trên P có số chiều là n)

1.2.1 Định nghĩa : Giả sử B là một đại số trên P Một tensor kiểu( r;s ) trên A lấy giá trị trong B là một ánh xạ ( r + s ) - tuyến tính :

2 Cho M là một đa tạp khả vi thực B (M) là tập các trường véc tơ khả vi

trên M là một đại số trên F(M) (đồng thời F(M) cũng là một đại số) ω là

i

f

= là cơ sở của A* đối ngẫu của cơ sở { } 1

n i

i

e

= trong A.Khi đó T được biểu diễn theo như sau :

1 1

1 1

1

1

r s

r s

i

e = Tensor T được viết là 1

1

, , , ,

Phép cộng và phép nhân các tensor được xác định như sau :

-Giả sử T và S là hai tensor cùng kiểu (r;s) có thành phần là

i i i i

- Giả sử T là tensor kiểu (r;s) và λ ∈P Phép nhân tensor T với λ kí hiệu

là λT được xác định là λT ( 1

1

, , , ,r s

i i

j j

T

- Giả sử T là tensor loại (r;s) và S là tensor loại (p;q) Tích tensor T và S

là một tensor mới kí hiệu là T⊗Q được xác định như sau :

Chứng minh: Chúng ta có thể tham khảo chứng minh trong tài liệu tham

khảo [2]

1.2.7 Định nghĩa : Giả sử ( )1

1

, , , ,r s

, , , , , ,

, , , , , ,

C T

λ

= Vậy : r( ) r11( )

CHƯƠNG II ĐẠO HÀM CỦA ĐẠI SỐ TENSOR

Trong chương này ta luôn giả thiết : A là đại số giao hoán, kết hợp cóđơn vị θ trên trường P và có chiều hữu hạn, B là đại số giao hoán kết hợp

có đơn vị trên A

Như ta đã biết: Phép đạo hàm dọc theo trường véc tơ, phép đạo hàmcủa một hàm số, phép đạo hàm riêng… Những đạo hàm này (có thể gọi lànhững ánh xạ đạo hàm) đều có những tính chất chung đó là tính chất tuyếntính và tính chất đạo hàm Bây giờ, chúng ta trình bày một cách tương tự

về các phép đạo hàm trên đại số, và đạo hàm trên đại số tensor

I Đạo hàm trên đại số B

2.1.1 Định nghĩa

Một đạo hàm trên đại số B là một ánh xạ : X B: →B thỏa mãn :

• X là A - tuyến tính

• X fg( ) ( = Xf g) + f Xg( ) với ∀f g B, ∈ Với Xf : = X f( ).

Ta kí hiệu F=DerB = { X | X là đạo hàm trên B } và F được trang bị cácphép toán :

• (aX f)( ) =a Xf.( ) ; với ∀ ∈a A

Khi đó F cùng với hai phép toán trên là một A- môdun

Phép nhân trong trên F được xác định bởi :

• X+Y được định nghĩa như thông thường.

Như ta đã biết trong chương I thì ta có các phép toán tensor : phép cộng

tensor,nhân tensor với một số và phép nhân trong của tensor (chú ý 1.2.3

Được gọi là ánh xạ co của tensor với dạng tuyến tính ω.

Trong trường hợp đặc biệt : C1Xω = X( ) ω ω = ( )X =C X1ω với X∈F, ω ∈F*

II Đạo hàm của đại số tensor ImB

2.2.1 Đại số tensor ImB

Kí hiệu ImB=B⊕ ⊕F F* ⊕ ⊗F F* ⊕

, 0

r s

• Phép nhân trong trên ImB được xác định như là phép nhân hai

đa thức với nhau, trong đó ở thành phần (r;s) là tensor Q kiểu(r;s), ở thành phần (r’;s’) là tensor Q’ thì tích hai tensor Q và Q’

là tensor Q Q⊗ ' và ta được tensor kiểu (r+r’;s+s’) được xác định

như sau :

'( , , , r r s, , )s ( , ,r s) '( , , )r s

Như vậy ImB cùng với các phép toán được xây dựng như trên là một đại

số trên B ,và cũng là một đại số trên A

2.2.2 Đạo hàm trên ImB

Ánh xạ D: ImB → ImB được gọi là một đạo hàm của đại số ten xơ ImBnếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

1. D là A-tuyến tính

2. D bảo toàn kiểu tenxo

3. D giới hạn trên B là một đạo hàm trên B

2.2.3 Mệnh đề (Xem [8]) Cho K là một ten xơ dạng (r;s) (r+s≠0) và D

là một đạo hàm của đại số ten xơ Im(B) Khi đó ta có :

Chứng minh: Ta sẽ chứng minh bằng cách quy nạp:

(a) Giả sử r + s = 1 Khi đó r = 0, s = 1 hoặc r = 1 , s = 0

-Nếu r=0;s=1 thì K là tenxơ kiểu (1;0) ta chứng minh :

(b) Giả sử khẳng định đúng đến r + s = k – 1 Ta chứng minh khẳng địnhđúng với r +s = k.

Vậy: D T( 1 ⊗T2 ) =DT1 ⊗ + ⊗T2 T1 DT2.

III Liên thông tuyến tính trên môdun các đạo hàm

- Trên môdun các đạo hàm của đại số B ta có phép toán hai ngôi:

- Ánh xạ ∇ xác định như trên được gọi là một liên thông tuyến tính.

- Ánh xạ : ∇X :F → F mà thỏa mãn Y a ∇X Y được gọi là đạo hàm hiệp biến của đạo hàm Y theo hướng X

- Bây giờ với mỗi a A∈ ,θ là đơn vị của đại số A Do F là đại số trên A nên

= f ∇a X Y + ∇g a X Z + (Xf Y) + (Xg Z) .

Vậy a

∇ là một liên thông tuyến tính

2.3.4 Nhận xét : Giả sử T X Y a( , ) = ∇a X Y− ∇a Y X −[X Y, ] là tensor xoắn củaliên thông ∇a Khi đó ta có : T X Y a( , ) (2= a− θ) ( , )T X Y .

Thật vậy : Với ∀X,Y∈ F , ta có :

A.Ứng dụng 1.Trong mục này ta kí hiệu M là đa tạp khả vi thực n - chiều

với liên thông tuyến tính ∇ Và ta đặt A = ¡ là một đại số trên trường P

= ¡ Khi đó ta có các kết quả sau :

• B = F ( M ) = { f M: → ¡ , khả vi } là một đại số trên A = ¡

• F = B ( M ) = { tập các trường véc tơ khả vi trên M }

• F* = Ω 1( M ) là 1- dạng vi phân khả vi trên M

Với ∇X được định nghĩa như định nghĩa 2.3.5, ω là k-dạng trên M tức là

Như ta đã biết trên ( ; )M ∇ là một đa tạp Rieman, ánh xạ f M: →M khả vi

thì ta xác định được ánh xạ đối tiếp xúc của f là :

* : k k

ω a f* ω xác định bởi :

*

(f ω )( , ,X X k) = ω (f X , ,f X k) khi đó chúng ta có mệnh

đề sau:

2.4.2.Mệnh đề : Cho ( ; )M ∇ là một đa tạp Rieman ,ánh xạ f M: →M

khả vi, f* là ánh xạ đối tiếp xúc của nó, ω là k- dạng vi phân trên M thì

2.4.4.Chú ý (Xem [1]): Ta có thể định nghĩa đạo hàm Lie dựa trên

nhóm một tham số và chứng minh được :

+ Df = X ; ∀ ∈f F ( M ).

+DY = [X,Y] với X là trường véc tơ cho trước

L X∇ ( , )Y Z =L X( ∇Y Z) − ∇Y(L Z X ) − ∇ [X Y, ]Z được gọi là đạo hàm

Lie của liên thông tuyến tính ∇

2.4.8 Ví dụ : Trong R2 ,với X( 2x ; y ) ,Y( x ; xy ) và Z( xy , x2y ) Tính

+ [X Y, ] = ( 0 ; 2x ) nên ∇[X Y, ]Z = ( x2 y + xy ; 2x3y )

+ [X Z, ] = ( xy ; 4x2 y) nên ∇Y([X Z, ]) = ( xy+x2y ; 8x2 y + 4x3y) Vậy : L X∇ ( , )Y Z = 0.

Ta dễ dàng chứng minh dựa vào định nghĩa của tích Lie.

2.4.9 Mệnh đề : Với mỗi đạo hàm D trên đại số tensor ImB,

1

1

( )

n i

Luận văn đã đạt được những kết quả sau :

• Làm rõ, hệ thống hóa các vấn đề về : đại số, tensor trên đại số, vềđạo hàm trên đại số,đạo hàm của đại số ImB và các vấn đề về liên

thông tuyến tính trên môđun đạo hàm, đạo hàm theo hướng sinh bởiliên thông tuyến tính.

• Chứng minh chi tiết các mệnh đề 2.3.2, mệnh đề 2.4.2 và mệnh đề2.4.5

• Phát biểu và chứng minh chi tiết các mệnh đề 2.3.3 , mệnh đề 2.3.8mệnh đề 2.4.9

• Nêu một vài ứng dụng cụ thể trên đa tạp khả vi thực, ứng dụng trênđại số các đa thức

Trong thời gian tới chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu tiếp các ứng dụng trênđại số các đa thức như : Đạo hàm Lie trên đại số các đa thức, liên thôngtuyến tính trên đại số các đa thức

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1.Tiếng Việt :

[1] Khu Quốc Anh (2005), Liên thông tuyến tính và đa tạp Rieman, NXB

Đại Học Sư Phạm

[2] Nguyễn Thị Hường(2007), Về trường tensor trên không gian ¡ n,Luận văn thạc sỹ toán học, Đại học Vinh.

[3] M.Xpivak(1985), Giải tích toán học trên đa tạp, NXB đại học và

trung học chuyên nghiệp

[4] Nguyễn Hữu Quang(2005), Bài giảng đại số Lie và nhóm Lie, Đại

[8] A.Ya.Sultanov, Derivations of linear algebras and linear connections,

Journal of Mathematical Sciences, Vol.169, No.3, 2010

[9] Bronson Lim (2009), A Spanning Set for Algerbraic Covariant

Derivative Curvature Tensor, http://www.math.csusb.edu/reu/bl09.pdf