Một cơ sở cho đại số qBrauer Luận văn Thạc sĩ Toán học

Tiếp sau đó, một q-biến thể của đại số Brauer này đã được tìm ra bởi Birman và Wenzl[1]và độc lập bởi Murakami[6] trong sự kết nối với lý thuyết Knot và các nhóm lượng tử.. Trong [10] W

Equation Chapter 1 Section 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BÙI ĐÌNH HẠNH

MỘT CƠ SỞ CHO ĐẠI SỐ q-BRAUER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NghệAn – 201

MỤC LỤC

Trang

MỤCLỤC 1

CÁC KÝ HIỆU 2

MỞ ĐẦU 3

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Nhóm đối xứng S n 5

1.2 Đại số Hecke của nhóm đối xứng 6

1.3 Đại số Brauer 8

CHƯƠNG 2.ĐẠI SỐ q-BRAUER 2.1.Các định nghĩa 15

2.2.Một số tính chất cơ bản của đại số q-Brauer 20

2.3 Mô đun V trên đại số ( , ) k* Br r q 21 n CHƯƠNG 3.MỘTCƠ SỞ VÀ MỘT ĐỐI ĐẲNG CẤU CỦA ĐẠI SỐq-BRAUER 3.1 Cơ sở của đại số q-Brauer 23

3.2 Đối đẳng cấu của đại số q-Brauer 26

3.3 Thuật toán dùng để sản xuất phần tử cơ sở củađại số q-Brauer 36

3.4 So sánh giữa hai cơ sở của đại số q-Brauer 41

KẾTLUẬN 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO 46

¢ q q

Vành đa thức

MỞ ĐẦU

Đối ngẫu Schur-Weyl liên hệ lý thuyết biểu diễn của nhóm tuyến tính tổng quát ( )£

N

GL với lý thuyết biểu diễn của nhóm đối xứng S

n qua các tác động trung tâm hóa đồng thời của hai nhóm này trên không gian lũy thừa ten xơ (£N)⊗n

Vào năm

1937, R Brauer [2] đã giới thiệu các đại số, mà ngày nay được gọi là các đại số Brauer Những đại số này xuất hiện trong một tình huống tương tự như vai trò của nhóm đối xứng trong đối ngẫu Schur-Weyl ở trên Nghĩa là, khi nhóm tuyến tính tổng quát GL N( )£ được thay thế bởi hoặc một nhóm SympleticSp(2N) hoặc một

nhóm trực giaoSO(N) thì nhóm đối xứng được thay thế bởi đại số q-Brauer

Tiếp sau đó, một q-biến thể của đại số Brauer này đã được tìm ra bởi Birman và

Wenzl[1]và độc lập bởi Murakami[6] trong sự kết nối với lý thuyết Knot và các nhóm lượng tử Ngày nay đại số này được gọi là đại số BMW

Vào năm 2012, một đại số mới được giới thiệu bởi Giáo sư Wenzl [10] thông qua định nghĩa các phần tử sinh và các mối quan hệ trên chúng Đại số này được đặt tên

là đại số q-Brauer và nó được biết đến như là một q-biến thể khác của đại số Brauer

và chứa đại số Hecke của nhóm đối xứng như một đại số con tự nhiên Trong [10]

Wenzl đã chứng minh rằng, trên một mở rộng của trường số hữu tỉ với các tham sốr,

q, đại số q-Brauer là nửa đơn và đẳng cấu với đại số Brauer Một số ứng dụng của đại số q-Brauer đã được tìm thấy trong những nghiên cứu về vành biểu diễn của

nhóm trực giao hoặc nhóm Sympletic [9] và về các phạm trù mô đun của các phạm

trù liên hợp kiểu A và các thành phần con tương ứng kiểu II1[11] Đại số này được mong chờ sẽ có nhiều ứng dụng trong cơ khí thống kê, lý toán, lý thuyết Knot, lý thuyết toán tử, lý thuyết biểu diễn… như đại số BMW đã có Tuy nhiên, hiện nay

trên thế giới cũng như ở Việt Nam chưa có nhiều nghiên cứu sâu sắc về đại số

q-Brauer nhằm khám phá những tính chất và cấu trúc đại số của nó ngoài nghiên cứu

của TS Nguyễn Tiến Dũng trong [4], [5]

Do đó, với mong muốn giới thiệu và bước đầu tìm hiểu sâu hơn về đại số

q-Brauer,chúng tôi chọn đề tài:“Một cơ sở cho đại số q-Brauer”

Đề tài của chúng tôi nhằm mục đích trình bày lại một số tính chất của đại số Brauer và sau đó giới thiệu một cơ sở cho đại số này dựa trên tài liệu[4].Luận văn

q-được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Chương này chúng tôi trình bày lại một số kiến thức cơ bản về đại số Brauer

Những kiến thức này sẽ được sử dụng trong việc xây dựng một cơ sở cho đại số

q-Brauer trong chương 3

Chương 2: Đại số q-Brauer

Chương này trình bày các định nghĩa, tính chất của đại số q-Brauer và mô đun V k*

trên đại sốBr r q n( , )

Chương 3: Một cơ sở và một phản tự đẳng cấu của đại số q-Brauer

Chương này trình bày kết quả chính của luận văn Trong chương này chúng chúng

tôi giới thiệu một cơ sở cho đại số q-Brauer và trình bày một thuật toán để tìm các

phần tử của cơ sở này

Luận văn này được hoàn thành tại trườngĐại học Vinh dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Tiến Dũng Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc tới TS Nguyễn Tiến Dũng, người đã dẫn dắt và hướng dẫn tận tình trong quá trình tác giả làm luận văn Nhân dịp này tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy, cô giáo ở khoa sư phạmToán học – Trường Đại học Vinh đã giành thời gian giảng dạy nhiệt tình, truyền đạt những kiến thức bổ ích cho tôi

Trong quá trình học tập và nghiên cứu mặc dù đã có nhiều cố gắng, nỗ lực của bản thân nhưng do thời gian và kiến thức còn nhiều hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Kính mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ

)3(

3 (2)

2 3 1 4 5

π =

Cách 2: Mô tả hoán vị π bởi một dòng

Theo cách mô tảnày thì dòng đầu tiên luôn cố định Do đó cách mô tả thứ hai chỉ lấy dòng thứ hai trong cách một

Cách 3: Mô tả một hoán vị π thông qua kí hiệu xích

Với i∈{1 ,2 ,3, ,n} cho trước, các phần tử của dãy i ,π( ) ( )i ,π2 i, hoàn toàn phân

biệt Chọn lũy thừa đầu tiên sao cho πp( )i = ,i ta có một xích.

( ) ( )

(i ,π i , ,πp - 1 i ).

Một cách tương đương, ta cũng có thể định nghĩa một xích (i,j,k, ,l) có nghĩa là π

biến i thành j, j biến thành k, , l biến thành i Bây giờ chọn một phần tử không

nằm trong xích chứa i và lặp lại quá trình trên cho đến khi tất cả các số trong

{1 ,2 ,3, ,n} đều được sử dụng Ví dụ 1 ở trên trở thành

(1 ,2,3) ( ) ( ) (4 5 = 2 ,3,1) ( ) ( ) ( ) (4 5 = 4 2,3,1) ( ) ( ) ( ) (5 = 4 5 3 ,1,2)

Một k-xích hay xích với độ dài k, là một xích gồm k phần tử Hoán vị vừa rồi của

ta gồm một 3-xích và hai 1-xích Kiểu xích, hay đơn giản chỉ là kiểu của π là một biểu thức có dạng (1m1,2m2, , n m n)

là một đối hợp nếu và chỉ nếu tất cả các xích của π có độ dài bằng 1 hoặc 2

Kí hiệus j = (j, j+1) với 1 < j < n là các chuyển vị cơ bản trong nhóm đối xứng S n

Những chuyển vị cơ bản s j là những phần tử sinh của nhóm đối xứng S n

1.1.2. Sự diễn tả rút gọn của một hoán vị

Cho một hoán vị π∈S n Nếu π có thể được biểu diễn như một tích 1 2

là một sự diễn tả thu gọn cho π.

Ví d 2 ụ S d ng hoán v ử ụ ị π như trong Ví dụ 1 ở trên thì π = s 1 s 2 và do đó

l(π) = 2.

1.2 Đại số Hecke của nhóm đối xứng

1.2.1 Định nghĩa.Cho R là vành giao hoán có đơn vị là 1, và q là phần tử khả

nghịch trên R.Đại số Hecke H n (q)=H R,q =H R,q (s n ) của nhóm đối xứng S n trên Rđược

định nghĩa như là một R-môđun tự do với cơ sở {gω ω∈S n}

g.g = 3.Cho ω∈S n thìg

ω là phần tử khả nghịch trong H n (q) với phần tử nghịch đảo gω−1 g g−j1 −j11 g g2 −1 1 −1,

(H1)g g g i i+1 i =g g g i+1 i i+1với 1≤ ≤ −i n 1;

Đại số Brauer được giới thiệu đầu tiên bởi Richard Brauer[2] để nghiêncứu lũy thừa

Tenxơ thứ n của biểu diễn định nghĩa của các nhóm trực giao và các nhóm

symplectic Sau đó, chúng được tập trung khám phá chi tiết bởi các nhà toán học khác nhau và có nhiều ứng dụng trong lí thuyết Knot, cơ khí, thống kê, lý toán…

nghĩa là: Các đỉnh ở hàng dưới của biểu đồ d1được kết nối các đỉnh tương ứng ở

hàng trên của biểu đồ d2 Từ đó dẫn đến một biểu đồ kết quảd Sau đótích d 1 d 2 được định nghĩa là ( ,d d1 2 )

xγ d trong đó γ( , )d d1 2 là số các vòng được kết nối của sự liên kết

giữad 1 và d 2 mà sẽ không xuất hiện trong biểu đồ d Chúng tôi minh họa bởi ví dụ sau Trong đại số Brauer D7(x),chúng tôi nhân hai biểu đồd1 và d2 như sau

d 1

d

D n (N)mà có chính xác 2k đoạn thẳng ngang có thể được biểu diễn thành sự liên kết

có dạng ω1 ( )e kω2, trong đó ω1và ω2là các hoán vị của nhóm đối xứng S

n, và e là ( )k

biểu đồ có dạng như sau:

• •××× • • • •××× •

• •××× • • • •××× •

Trong đó mỗi hàng có k đoạn ngang.

Như một hệ quả, đại số Brauer có thể được xem xét trên vành đa thức¢ [ ]x và được định nghĩa qua các phần tử sinhvà các quan hệ: Cho xlà tham số trên vành ¢ ; đặt

[ ]

R N , đại số Brauer D n (N) trên vành R nhưlà R-đại số kết hợp có đơn vị được

d

sinh bởi các chuyển vị s1,s2,…,s n-1 ,cùng với các phần tử sinh e(1),e(2),…,e ([n/2]), mà thỏa mãn các mối quan hệđượcđịnh nghĩa như sau:

1.3.2 Môđun V và V k* k

Trong mục này chúng tôinhắc lại nhữngmôđun cụ thể của các đại số Brauer D n (N)

[ /2]

( ) 0

( [ ]¢ N S e n k ωj +I k( +1)) / (I k+1))là D n (N)-môđun trái với một cơ sở được cho bởi

các biểu đồ cơ sở của ¢[ ]N S e n ( )kωj, trong đó ωj∈S nlà một biểu đồ sao cho e( )kωj

là biểu đồ trong D n (N)mà không có giao điểm nào giữahai đoạn dọc bất kỳ Trong

trường hợp cụ thể

( ) ( , )

bởiωj giao hoán tác động củaD

n (N) hạng tử phía bên phảilà một đẳng cấu với

môđun

*

( )( [ ] ω ( 1)) / ( 1))

dovới [ ]¢ N -hạng !/ 2 !n k k Một cách tương tự, một D n (N)-môđun phảiđược định

k

V thông quamộtđối đẳng cấu * của D n (N) Chú ý rằng * là một đối đẳng cấu được xác định bởi việc

quay biểu đồ d V∈ k*xung quanh trục nằm ngang của nó xuống phía dưới

Để biết thêm nhiều chi tiết hơn cho việc thiết lậpV ta có thể tìm đọc mục 1trong k*

[10]

1.3.3.Bổ đề (Wenzl [10], Lemma 1.1 (d)).Đại sốD n (N) được biểu diễn đầy đủtrên

không gian véc tơ

[ /2]

* 0

n k k

k V

=

⊕

).

1.3.4 Hàm độ dài của đại số BrauerD n (N)

Tổng quát hoá khái niệm độ dài của các phần tử trong các nhóm phản xạ,

Wenzl[10]định nghĩa mộthàm độ dài cho biểu đồ của D n (N) như sau:

Cho mỗi biểu đồd D N∈ n( )với 2k đoạn thẳng ngang, định nghĩa độ dàil(d) được

Chúng ta sẽ gọi biểu đồ của dcó dạngωe( )k trong đó ( )l ω =l d( )và ω∈S n là cácbiểu

đồ cơ sởcủa môđun V k*.

1.3.5.Chú ý

1.Nhắc lại rằng độ dài của mộthoán vị ω∈S nđược định nghĩa bởi ( )l ω bằng lực

lượng của tập hợp{( , ) ( )i j j ω <(i) 1ω ≤ < ≤i j n}

Trong đó nhóm đối xứng hoạt

động trên tập hợp {1,2,….,n} từ phía bên phải.

2.Với biểu đồ d cho trước, ta có thể tìm được nhiều hơn một hoán vịωsao cho ( )k

e d

ω = và ( )l ω =l d( ).Ví dụ s2j−1 2s e j ( )k =s2j+1 2s e j ( )k với

vớimỗiω∈S n.Để thuận lợi cho việc sử dụng sau này, nếus i =( ,i i+1) là 1 chuyển vị

của nhóm đối xứng S n với i,j=1,2,…,kta đặt:

trướcmột hoán vịω∈S n tồn tại duy nhấtt

n-1sao cho ( )n t n−1 =( ) n ω Dẫn đến

1( )n t n n,

trong B bằng số lượng các biểu đồ d k* * trong D n (N)trong đó d * có 2k đoạn thẳng

ngang trên mỗi dòng và có một trong các dòng nhưlà một dòng của e( )k

3 Từ bây giờ trở đi ta coi một hoán vị của mộtnhóm đối xứng được xem như là một biểu đồ không có bất kỳ đoạn thẳng ngang nào, và tích ω ω1 2 trong S coi như là sự n kết nối của hai biểu đồ trong D n (N).

4 Cho trước một biểu đồ cơ sởd*=ωe( )k với l( )ω =l d( )* không dẫn đến rằng

Bổ đề 1.3.7là tồn tại và duy nhất cho mỗi phần tử cơ sở của môđunV Wenzl thậm k*

chí còn dànhđượcl( )ω =l d( )* =l( )ω/ , trong đó l( )ω/ là số lượng các thành phần của sự biểu diễn của ω/ trong B k*

1.3.6 Ví dụ

Ví dụ này nhằm minh hoạ nhận xét 2, chúng ta chọn j =1, k=2 Một biểu đồ cơ sở

d *trong V được đưa ra như sau: 2*

d*=

Dựa vào định nghĩa của B ta nhận thấy rằng, tích s2* 1s2thuộc B nhưng s2* 3s2thì

không Tổng quát, cho trước biểu đồ cơ sởd *trong V thì luôn tồn tại một hoán vị k*

s1s2

=

e(2)

=

2 Cho bất kỳ biểu đồ cơ sở d của V n( )k , chúng ta có l ds( i)−l d( ) 1≤ Đẳng thức

của độ dài xảy ra nếu s d i *=d*.

CHƯƠNG 2: ĐẠI SỐq-BRAUER

Trong chương này chúng tôi sẽ tóm tắt một số kiến thức cơ bản và cần thiết về đại

số q-Brauer Sau đó chúng tôi giới thiệu một số phiên bản cho đại số này mà cần

thiết cho những nghiên cứu khác nhau

2.1.Cácđịnh nghĩa

2.1.1.Định nghĩa

Cố địnhN∈¢ \ 0{ } và cho

11

2.1.2.Định nghĩa.Đại số q-Brauer, kí hiệu Br n (r,q), được định nghĩa trên vành

bởi các phần tử sinhg g1, , ,2 g n−1vàe và các quan hệ sau :

( )H Các phần tử g g1, , ,2 g n−1 thỏa mãn các quan hệ của đại số Hecke

U

Ông ấy đã định nghĩa các mối quan hệ cho đại số này và đã xây dựng các biểu diễn của chúng trên các không gian tenxơ Tuy nhiên trong trường hợp tổng quát thì những biểu diễn này là không đầy đủ và có rất ít thông tin được biết về

những đại số trừu tượng này ngoài những biểu diễn của chúng Đại số q-Brauer, sau

đó được giới thiệu bởi Wenzl trong [10] thông qua các phần tử sinh và các mối quan

hệ Trong trường hợp chi tiết, trên trường¤ [ ]r q Wenzl đã chứng minh được đại số ,

q-Brauer là nửa đơn và đẳng cấu với đại số Brauer Ta có thể kiểm chứng được rằng các biểu diễn của các đại số của Molev trong [7]cũng là các biểu diễn của đại sốq-

Brauer (mục 2.2, [11]) Nhiều hơn nữa các quan hệ được chỉ ra trong đại số của

Molev cũng được thỏa mãn bởi các phần tử sinhcủa đại sốq-Brauer Tuy nhiên, đại

số trừu tượng được định nghĩa bởiMolev có thể lớn hơn đại số q-Brauer ([8]).

2.Một cách rõ ràng,bởi thiết lậpr q= N phiên bản Br n (r,q)trùng với Br n (N) Trên các

vành mà cho phép lấy giới hạn khi q→1, như là trường số thực hoặc trường số

phức, đại số q-Brauer (đồng thời 2 phiên bản khi q→1) trùng với đại số Brauer cổ

điển D n (N) Trong trường hợp này phần tử g trở thành phần tử phản xạ đơn i s và i phần tử e (k) có thể được xác định tương ứng với biểu đồ e (k) Tuy nhiên, trên trường bất kỳ với đặc số nguyên tố mà giới hạn q→1không tồn tại, định nghĩa của Wenzl

dường như gặp khó khăn về mặt kỹ thuật để có thể làm việc Cụ thể, trên trường có

đặc số nguyên tố chúng ta không thể đưa ra một sự so sánhgiữa đại số q-Brauer vàđại số Brauer cổ điển trong trường hợp q=1 hoặc q→1 Một cách đầy đủ, nếu hệ

số [N] = 0và (r-1)/(q-1) = 0 thì chúng ta nhận thấy rằng đối đẳng cấu đượcđịnh nghĩa bởiWenzl chođại số q-Brauer (xem mục 3.1.2, [10]) là không tồn tại (chứng

minh của nhận xét này có trong Bổ đề 3.2.1 (3)) Để thuận lợi cho việc nghiên cứu

một cách chi tiết vềđại số q-Brauer chúng tôi giới thiệu tiếp theo một số phiên bản sửa đổi của đại số này Như một hệ quả, đại số q-Brauer có thể được xem xét trên 1

trường bất kỳ với đặc sốp≥0, cũng như trong trường hợp q=1hoặc q→1.

1.Trongđại số q-Brauer, phiên bản Br n (r2,q2) đẳng cấu với phiên bản Br n (r,q) Trong thực tế, phiên bản Br n (r2,q2) có thể thu được từ Br n (r,q) bởi sự thay thế các phần tử

q, r và ecũ trong Br n (r,q)bởi các phần tử q2, r2 và

(q -1 r)emới tương ứng.

2.Các phiên bản mới không làm thay đổi các tính chất của đại sốq-Brauermà

được nghiên cứu chi tiết bởi Wenzl Điều này có nghĩa rằng chúng ta chỉ cần đưa ra

các chứng minh cho các tính chất cho đại số q-Brauer trên một phiên bản Các phiên

bản khác được chứng minh hoàn toàn tương tự

3 Trong luận văn này, chúng tôi sẽ làm việc với các phiên bản của đại số

q-Brauer được định nghĩa trong 2.1.4,những phiên bản còn lại được sử dụng để

nghiên cứu phục vụ cho các mục đích khác nhau mà đã được đề cập trong [4]

4 Trong trường hợpq=1đại số q-Brauer Br n (N) (tương ứng Br n (N2))

trùng với lớp đại số cổ điểnD n (N) Và trên mộtvành mà giới hạn khiq dần tới 1 tồn tại, đại số q-Brauer Br n (r,q)(tương ứng Br n (r2,q2)) trở lại đại số Brauer cổ điển Chú

ý rằng, tất cả cácđịnh nghĩa trên kéo theo các đẳng thứcsau:

Chú ý rằng, trong luận văn này chúng tôi lạm dụng việc kí hiệu e (k)cho đồng thời

một biểu đồ cụ thể trong đại số Brauer D n (N) và 1phần tử trừu tượng trong đại số BrauerBr n (r,q).Cho trước một biểu đồd,trực giác hình học cho ta thấy rằng các biểu

q-đồ e (k)và ω( )d giao hoán trên đại số Brauer Tương tự,tính chất này cũng có trong đại

Bổ đề tiếp theo đề cập đến sự mở rộng của các tính chất của đại số Brauer cổ điển

lên cấp độđại số q-Brauer.

Đại số Br n (r,q) được mở rộng bởi

[ ] /2

( ) 0

2.2.5 Định lí

Cho R là trường có đặc số 0 Đại số Br n (r,q) trên trường R là nửa đơn nếur ≠ q k

với|k| ≤ n và nếu e(q)>n(với e(q) được định nghĩa như trong1.3.2) Trong trường hợp này, đại số q-Brauer có sự phân tích tương tự vào các vành ma trận đơn như làsự phân tích của đại số Brauer tổng quát, và vết tr là đối sinh.

CHƯƠNG 3: ĐẠI SỐ VÀ ĐỐI ĐẲNG CẤU CỦA ĐẠI SỐq-BRAUER

Trong chương này, chúng ta xây dựngmột cơ sở cụ thể và cung cấp mộtđối đẳng cấu

cho đại số q-Brauer Tiếp đó chúng tôi đưa ra mộtsự so sánh giữa cơ sở này và một

cơ sở khác được giới thiệu bởi Wenzl Cơ sở này được sử dụng để chứng minh cấu

trúc cellular chođại số q-Brauer trên vành giao hoán R (xem tài liệu [5]) Trong toàn

bộ mục này chúng tôi sẽ làm việc trên phiên bảnBr n (r,q) của đại số q-Brauer được

Định nghĩa trong 2.1.5 Tuy nhiên các phiên bản khác của đại số này vẫn có những kết quả hoàn toàn tương tự

3.1 Cơ sở của Đại số q-Brauer

Trong mục này, chúng tôi chỉ ra một cơ sởchođại số q-Brauer Cơ sở này được chỉ

số hóa bởi tập hợp của tất cả các biểu đồ của đại số Brauer cổ điểnD n (N), trong đó

tham số N∈¢ \ 0 { }

3.1.1.Xây dựng

Cho biểu đồ d D N∈ n( )với chính xác 2k đoạn thẳng ngang, biểu đồ d có thể được

phân tích như là một sự kết nối của ba biểu đồ thành phần(d1,ω( )d ,d2)

như sau:

1 d1là biểu đồ trong đó hàng trên giống hàng trên của biểu đồ d, hàng dưới giống mộthàngcủa biểu đồ e (k)và không có giao điểm nàogiữahai đoạn dọc bất kỳ