Bậc bé nhất của các đa thức chặn trên hàm đặc trưng euler poincare luận văn thạc sỹ toán học

Nội dung chương này là trình bày các kiến thức của Đại số giao hoán liên quan đến kết quả chính của bài báo [6] như: Phổ, giá, chiều Krull của môđun, môđun đối đồng điều địa phương, dãy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

MAI TẤT THÀNH

BẬC BÉ NHẤT CỦA CÁC ĐA THỨC

CHẶN TRÊN HÀM ĐẶC TRƯNG EULER-POINCARE

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

VINH, 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

MAI TẤT THÀNH

BẬC BÉ NHẤT CỦA CÁC ĐA THỨC

CHẶN TRÊN HÀM ĐẶC TRƯNG EULER-POINCARE

Chuyªn ngµnh: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN

VINH, 2011

MỤC LỤC

Trang

Mục lục 02

Mở đầu 03

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 05

1.1 Phổ, giá, chiều Krull của môđun 05

1.2 Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun 06

1.3 Môđun đối đồng điều địa phương 06

1.4 Dãy chính quy và độ sâu 09

1.5 Phức Koszul 10

1.6 Phức đối ngẫu 11

1.7 Hệ tham số và số bội 12

1.8 Bất biến kiểu đa thức p(M) 14

Chương II Bất biến p k (M) 17

2.1 Biểu diễn của X k (x; M) qua số bội 18

2.2 Bất biến p k (M) 19

2.3 Một số tính chất của bất biến p k (M) 22

Kết luận 28

Tài liệu tham khảo 29

x x x là một hệ tham số của M Kí hiệu H x M i( ; ) là môđun đồng điều

Koszul thứ i của M đối với hệ tham số x Theo Serre [9], đặc trưng

Euler-Poincare bậc cao X k( ; )x M của M đối với hệ tham số x được định nghĩa như

sau:

( 1) ( ( ; ),( ; ) i k

rằng khi n1  n d t thì hàm X k( ( ); )x t M theo biến t bị chặn trên bởi một đa

thức theo biến t và bậc nhỏ nhất của tất cả các đa thức theo biến t chặn trên hàm này là không phụ thuộc vào việc chọn hệ tham số x

Năm 1992, trong [5], Nguyễn Tự Cường đã chứng minh được rằng kết

quả trên vẫn đúng khi k = 1 (trong bài báo đó ông đã kí hiệu

( )( ; ) ( ; ))

M

I n x X k x n M , nghĩa là, bậc nhỏ nhất của tất cả các đa thức theo

biến n chặn trên hàm X t(x n M( ); )là không phụ thuộc vào việc chọn hệ tham

số x, bậc bé nhất này được kí hiệu là p(M) và được gọi là kiểu đa thức của môđun M

Năm 1996, trong bài báo [6], Nguyễn Tự Cường và Vũ Thế Khôi đã

mở rộng kết quả trên Cụ thể là họ đã chứng minh được rằng bậc bé nhất của

tất cả các đa thức theo n chặn trên hàm X k(x n M( ); )không phụ thuộc vào việc

chọn hệ tham số x; bất biến này được kí hiệu là p k (M) Khi k = 1 thì bất biến

này chính là bất biến kiểu đa thức p(M) được Nguyễn Tự Cường đưa ra trong

[5]

Mục đích của Luận văn là trình bày lại chi tiết các kết quả trong bài báo

[6] của Nguyễn Tự Cường và Vũ Thế Khôi: “On the partial Euler-Poincare

characteristics of certain systms of parametes in local rings”, Math Z Vol

222, 383-390

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn đượcchia thành 2 chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương này là trình bày các kiến

thức của Đại số giao hoán liên quan đến kết quả chính của bài báo [6] như:

Phổ, giá, chiều Krull của môđun, môđun đối đồng điều địa phương, dãy chính

quy và độ sâu, phức Koszul, phức đối ngẫu, hệ tham số và số bội, bất biếnkiểu đa thức Ngoài ra, chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả nhằm phục vụcho các chứng minh ở phần sau

Chương 2: Bất biến pk(M) Nội dung của chương này là trình bày kết quả

chínhtrong bài báo [6]: bất biến pk(M) và một số tính chất của pk(M).

Luận văn được hoàn thành vào tháng 11 năm 2011 dưới sự hướng dẫn vàchỉ dạy tận tình, nghiêm khắc của cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhândịp này, tôi xin bầy lòng biết ơn sâu sắc tới cô Đồng thời cũng xin được cảm

ơn thầy thầy giáo, cô giáo Khoa Toán, Khoa Sau đại học, Trường Đại họcVinh, đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình nghiên cứu đến hoàn thành luậnvăn Tôi cũng xin cảm ơn các đồng nghiệp, bạn bè và gia đình đã tạo điềukiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi nhữngthiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầygiáo, cô giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 11 năm 2011

Tác giả

CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong luận văn này, chúng tôi luôn giả thiết (R, m) là vành giao hoán

có đơn vị, địa phương với iđêan cực đại duy nhất m và M là một R-môđun

1.1 Phổ, giá, chiều Krull của môđun

1.1.1 Phổ của vành Ký hiệu SpecR là tập tất cả các iđêan nguyên tố của

vành R Khi đó SpecR được gọi là phổ của vành R.

Với mỗi iđêan I của R ta ký hiệu V I( )pSpecR pI .

1.1.2 Độ cao của iđêan Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vànhR :

0  1  n

p p p được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n

Cho pSpecR, cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố

với p0 p được gọi là độ cao của p, ký hiệu là ht( )p Nghĩa là:

( )

ht p = sup{độ dài các xích nguyên tố với p0p}.

Cho I là một iđêan của R, khi đó độ cao của iđêan I được định nghĩa:

ht I  ht p pSpecR pI .

1.1.3 Chiều Krull của mô đun Cận trên của tất cả các độ dài của các xích

nguyên tố trong R được gọi là chiều Krull của vành R, ký hiệu là dim R

Cho M là một R-môđun Khi đó dim( / R Ann MR ) được gọi là chiều

Krull của môđun M, ký hiệu là dim M

1.1.4 Giá của môđun Tập con SuppMpSpecR Mp0 của SpecR được

gọi là giá của môđun M Với mỗi x M ta ký hiệu

Ta có Ann x R và Ann M R (hoặc Annx và AnnM nếu không để ý đến

vành R) là những iđêan của M AnnM được gọi là linh hoá tử của môđun M Hơn nữa nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì

 

1.2 Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun

1.2.1 Định nghĩa Cho M là một R-môđun ta gọi iđêan nguyên tố p của R là

một iđêan nguyên tố liên kết của M nếu một trong hai điều kiện tương đương

sau được thoả mãn:

i) Tồn tại phần tử x M sao cho Ann x( )p;

ii) M chứa một môđun con đẳng cấu với R p/ .Tập các iđêan nguyên tố liên

kết của M được ký hiệu là Ass M R hoặc AssM nếu không để ý đến vành R.

Như vậy

AssM SpecR Ann x x M

1.2.2 Mệnh đề AssM SuppM và mọi phần tử tối tiểu của SuppM đều thuộc AssM

1.2.3 Mệnh đề Nếu M là R-môđun Noether thì AssM là tập hợp hữu hạn.

1.3 Môđun đối đồng điều địa phương

Một dãy các R-môđun và các đồng cấu R-môđun

được gọi là một đối phức nếu Im f i1Ker với mọi i Nếu dãy này là f i

một đối phức thì môđun thương Ker f i /Im f i1được gọi là môđun đối đồng điều thứ i của đối phức này Dãy trên được gọi là khớp tại mắt thứ i nếu

được gọi là một dãy khớp ngắn Chú ý rằng dãy này là khớp khi và chỉ khi f

là đơn cấu, g là toàn cấu và Im f = Ker g

1.3.1 Định nghĩa Cho I là iđêan của R Với mỗi R-môđun N ta định nghĩa

* *

0 I(M ')f I( )M g I(M ") 0

cũng khớp Vì hàm tử I( ) có tính chất đã nêu ở trên nên ta nói I( ) là

hàm tử hiệp biến, khớp trái từ phạm trù các môđun đến phạm trù các

R-môđun Hàm tử I( ) được gọi là hàm tử I-xoắn

Một R-môđun E được gọi là môđun nội xạ nếu với mỗi đơn cấu

:

f N  M và mỗi đồng cấu g N:  E, tồn tại một đồng cấu h M:  E saocho g hf Cho E là một R-môđun và M là môđun con của E Ta nói E là

một mở rộng cốt yếu của M nếu M  L 0 với mọi môđun con L 0 của E.

Ta nói E là bao nội xạ của M nếu E là một mở rộng cốt yếu của M và E là một môđun nội xạ Chú ý rằng mỗi R-môđun M đều có bao nội xạ và bao nội xạ của M là xác định duy nhất sai khác một đẳng cấu Vì thế ta kí hiệu bao nội xạ của M là E M R( ) hay E M( ).

1.3.2 Định nghĩa Một lời giải nội xạ của một R-môđun N là một dãy khớp

0 N  E  E  E  

trong đó mỗi E i là môđun nội xạ Chú ý rằng mỗi môđun đều nhúng được vàomột môđun nội xạ, vì thế, mỗi môđun đều có lời giải nội xạ

1.3.3 Định nghĩa Cho N là một R-môđun và I là một iđêan của R Môđun

dẫn xuất phải thứ n của hàm tử I-xoắn I( ) ứng với N được gọi là môđun

đối đồng điều thứ n của N với giá là I, kí hiệu là n( )

của N Sau đây là một số tính chất cơ bản của môđun đối đồng điều địaphương.

1.3.4 Mệnh đề Cho N là một R-môđun Các phát biểu sau đây là đúng.

Các đồng cấu n trong mệnh đề trên được gọi là các đồng cấu nối.

1.3.6 Mệnh đề Đặt M M /I M Khi đó với mọi số tự nhiên n 1 ta có

1.3.8 Mệnh đề H M  với mọi I i   0 i ara I ( )

1.3.9 Mệnh đề H M m i ( ) R-môđun Artin với mọi i Hơn nữa H M  I i( ) 0 với mọi i > d và d( ) 0

m

H M 

1.4 Dãy chính quy và độ sâu

1.4.1 Định nghĩa i) Một phần tử a R được gọi là ước của 0 đối với M nếu

tồn tại một phần tử x M x , 0 sao cho ax 0

ii) Phần tử a R được gọi là M-chính quy nếu M aM và a không là ước

của 0 đối với M.

iii) Một dãy a1, ,a n R được gọi là một M-dãy chính quy nếu

( , , i )

M  a a M và a i là M / ( , ,a1 a M i1) -chính quy với mọi i, ,n

1.4.2 Mệnh đề Cho x1, ,x n là dãy các phần tử thuộc iđêan cực đại m Khi

đó các phát biểu sau là tương đương:

i) x1, ,x n là một dãy chính qui của M;

ii) Phần tử x i không là ước của 0 trong M / ( , ,x1  x i1)M , với mọi i, , ;n

iii) x ip p AssM,  / ( , ,x1 xi1)M và i, ,n

1.4.3 Định nghĩa Cho I là một iđêan tuỳ ý của R và x1, ,x r là một M-dãy

trong I Khi đó x1, ,x r được gọi là dãy chính quy cực đại trong I nếu không

tồn tại y I sao cho ( , , , )x1 x y r là dãy chính quy trong M Ta biết rằng mọi

dãy chính quy cực đại trong cùng một iđêan I đều có cùng độ dài Do đó độ dài của một dãy chính quy cực đại trong iđêan I được gọi là độ sâu của M đối với iđêan I, ký hiệu depth( , ) I M Đặc biệt, nếu I m thì depth( , )m M

được gọi là độ sâu của M và ký hiệu là depth M Nếu x1, ,x r là một dãy

chính quy của M thì nó cũng là một phần hệ tham số của M Do đó

depth M dimM

Độ sâu của môđun M đối với một iđêan I được đặc trưng thông

qua tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương như sau

1.4.4 Mệnh đề Cho I là iđêan của R ta có :

I

depth I M inf i H M 

1.4.5 Hệ quả Giả sử iđêan I sinh bởi các phần tử x1, ,x n Khi đó x1, ,x n

là dãy M-chính quy nếu và chỉ nếu depth I M( ; )n

được gọi là phức Koszul.

Cho C là một phức các R-môđun, kí hiệu C x( )K x( )C và K x M( ; )K x( )M.

1.5.2 Nhận xét i) Nếu n = 1 thì K(x) có dạng 0 Rx R0

Từ đó suy ra K x( )K x( )1 K x( ) 2  K x( )n

ii) Do tính chất M  R L L R M với M, L là các R-môđun nên phức Koszul

K(x) là bất biến (sai khác một đẳng cấu) với mọi hoán vị của x1 , ,x n.

iii) Kí hiệu H p (x;M) là đồng điều thứ p của phức Koszul Từ định nghĩa ta suy

1 ( 1)

1.5.6 Định lý Cho R là vành Noether, J ( , , )y1 y n là iđêan của vành R và

M là R-môđun hữu hạn sinh thoả mãn JM M.Đặt q sup i H y M { / i( : ) 0} Khi đó mọi dãy M-chính quy cực đại trong J đều có độ dài là n-q.

1.6 Phức đối ngẫu

Cho D:  D n  D0 D1 D n

là một phức các R-môđun Khi đó, D* được gọi là phức đối ngẫu của vành R

nếu thỏa mãn những điều kiện sau:

i) D* bị chặn, tức là D  n 0 với n đủ lớn.

ii) Các môđun đồng điều H D hữu hạn sinh với mọi i; i( *)

iii) D n là các R-môđun nội xạ với mọi n;

iv) Với mọi phức C* thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) ta đều có

ở đây  là tựa đẳng cấu trong phạm trù các phức

Chú ý rằng, nếu R là vành đầy đủ thì R luôn có phức đối ngẫu và nếu R

có phức đối ngẫu thì R là vành catenary, tức là, mọi dãy các iđêan nguyên tố nằm giữa hai iđêan nguyên tố p  q đều có cùng độ dài

1.7 Hệ tham số và số bội

1.7.1 Định nghĩa Cho M là R-môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa

phương R với iđêan cực đại m Một hệ gồm d phần tử với d dim M,

1 , ,

{ d}

x x x m thoả mãn: (l M xM  / ) được gọi là một hệ tham số của M.

1.7.2 Định lý Cho R là vành Noether địa phương với iđêan cực đại m, M

là R-môđun hữu hạn sinh Đặt s(M) = min{s: tồn tại a1, ,a sR thoả mãn

1

( / ( , , ) )s }

l M a a M   Khi đó s(M) = dimM.

1.7.3 Định lý Cho R là vành Noether địa phương với iđêan cực đại m, M là

R-môđun hữu hạn sinh Nếu các phần tử x1, ,x tm thì

t 1

/ ( , , )

R

dim M x  x M d t  Đẳng thức xảy ra nếu x1, ,x tm là một phần của hệ tham số.

1.7.4 Định nghĩa Cho R là vành Noether địa phương với iđêan cực đại m, M

là R-môđun hữu hạn sinh với dimM d, q là iđêan định nghĩa của M (tức là







trong đó H x M i( ; )là môđun đồng điều thứ i của phức Koszul K(x;M).

1.7.7 Định nghĩa Cho R là vành Noether địa phương với iđêan cực đại m, M

là một R-môđun hữu hạn sinh Một hệ các phần tử x{ , , }x1 x s của R sao cho

1

( )( , , )s

l M x x M   được gọi một hệ bội của môđun M

Nếu s = 0 ta có thể hiểu điều kiện trên có nghĩa là l M  ( ) Khi đó sốbội hình thức e x M( ; )của môđun M đối với hệ bội x được định nghĩa quy nạp

theo n như sau:

Dưới đây là một số tính chất cơ bản của số bội e x M( ; ).

1.7.8 Một số tính chất của số bội hình thức e(x; M).

i) 0e x M( ; )l M xM( / ). Đặc biệt nếu tồn tại i N sao cho x M  với1n 0

số tự nhiên n nào đó thì e x M ( ; ) 0.

ii) e x M ( ; ) 0 nếu và chỉ nếu sdimM

iii) Cho n1, …, nd là số nguyên dương Khi đó

1.8 Bất biến kiểu đa thức p(M)

Cho x( , , )x1 x d là một hệ tham số của M và n( , , )n1 n d là một bộ

gồm d số nguyên dương Khi đó 1

1( ) ( n , , n d)

d

x n  x x cũng là hệ tham số của

M Do đó ( M x n M/ ( ) ) có thể xem như là hàm số theo biến n1, , n Hàm d

độ dài này nhận giá trị trong tập các số nguyên không âm

Năm 1985, R.Y.Sharp đặt ra câu hỏi: ( M x n M/ ( ) ) có phải là đa thức theo khi n1, ,n đủ lớn (kí hiệu là d n1, ,n  hoặc d 0 n 0) Chú ý rằng

Có phải là đa thức theo n khi n 0?

Năm 1986, J.L.Garcia và D.Kirby đã chỉ ra rằng nói chung hàm I n x M( , )không phải là đa thức theo n khi n 0

Năm 1990, Nguyễn Tự Cường [5] đã chỉ ra rằng nói chung hàm I n x M( , )không phải là đa thức theo n khi n 0 là hệ tham số x phải là p-dãy khôngđiều kiện

Vì vậy vấn đề đặt ra tiếp theo là điều gì sẽ xảy ra khi I n x không còn M( , )

là một đa thức theo n nữa ?

1.8.1 Bổ đề Cho x ( , ,x1 x d) là một hệ tham số của M và n( , , )n1 n d

là một bộ d số nguyên dương Khi đó

Hệ quả 1.6.2 nói lên rằng nếu hàm I n x không phải là một đa thức thì M( ; )

ít nhất hàm đó cũng bị chặn trên bởi đa thức n n I1 d M( )x Định lý sau đây

khái quát tính chất trên

1.8.3 Định lý Bậc nhỏ nhất của các đa thức theo các biến n1, ,n chặn trên d hàm số I n x là độc lập với việc chọn hệ tham số M( , ) x

Chứng minh Cho t là số tự nhiên và đặt t ( , , )t t là bộ d số nguyên bằngnhau Khi đó bậc bé nhất của tất cả các đa thức theo t chặn trên hàm I t x M( ; )không phụ thuộc vào x Ký hiệu bất biến này là ( )p M và ( )p x là bậc bé

nhất của tất cả các đa thức chặn trên hàm I n x Rõ ràng là ( ) M( ; ) p M  p x( ).Bây giờ cho m m( , , )1 m d là một bộ d số với m i n i i, 1, , d Ta sẽ chứngminh rằng I m x M( ; )I n x M( ; ) Bằng quy nạp theo d ta nhận thấy có thể giả

sử rằng m i n i với mọi i d Khi đó ta có

Vậy ta suy ra I m x M( ; )I n x M( ; ) Do đó I t x M( ; )I n x M( ; ) khi t n i,

1, ,

i d Điều này chứng tỏ rằng ( )p M p x( ) Vậy ( )p M p x( ) với mọi

hệ tham số x

Từ định lý trên ta có định nghĩa sau đây

1.8.4 Định nghĩa Bậc bé nhất của tất cả các đa thức chặn trên I n x là M( ; )một bất biến của M Bất biến này được gọi là kiểu đa thức của M và ký hiệu

là p M( )

1.8.5 Chú ý Để thuận tiện ta xem bậc của đa thức không bằng   Khi đó ta

thấy rằng: M là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi p M  ( ) và M là

môđun Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi p M ( ) 0 Vậy kiểu đa thức

của môđun có thể xem như là một độ đo tốt và xem môđun đó gần với tínhCohen-Macaulay

Dựa vào công thức giới hạn của Lech về số bội

ta dễ dàng suy ra bất đẳng thức p M( ) dim M 1.