Giới hạn và đạo hàm của các hàm nhận giá trị trong không gian định chuẩn

Trong Giải tích cổ điển, ta đã học giới hạn và đạo hàm củacác hàm số, tức là các hàm nhận giá trị trong không gian số thực R.. Để tìm hiểu vấn đề này, đầu tiên, bằng cách dựa vào định ng

Lời giới thiệu

Lí thuyết giới hạn đóng vai trò quan trọng trong Giải tích Các kháiniệm cơ bản của Giải tích nh đạo hàm, tích phân đợc định nghĩa bằng cáchdựa vào giới hạn Trong Giải tích cổ điển, ta đã học giới hạn và đạo hàm củacác hàm số, tức là các hàm nhận giá trị trong không gian số thực R ở đó,

không trình bày giới hạn của hàm nhận giá trị trong không gian định chuẩntổng quát Để tìm hiểu vấn đề này, đầu tiên, bằng cách dựa vào định nghĩagiới hạn của hàm số chúng tôi đã định nghĩa giới hạn của hàm nhận giá trịtrong không gian định chuẩn Sau đó, chúng tôi chứng minh các kết quả tơng

tự nh giới hạn của hàm số vẫn đúng đối với giới hạn của hàm nhận giá trịtrong không gian định chuẩn Tiếp theo, dựa vào định nghĩa đạo hàm củahàm số và giới hạn của hàm nhận giá trị trong không gian định chuẩn chúngtôi định nghĩa đạo hàm của hàm nhận giá trị trong không gian định chuẩn vànghiên cứu các tính chất cơ bản của nó Cuối cùng, dựa vào tài liệu thamkhảo [2], chúng tôi tìm hiểu công thức số gia giới nội đối với lớp hàm khả vivừa định nghĩa

Khoá luận đợc thực hiện tại Trờng Đại Học Vinh dới sự hớng dẫn củaPGS-TS Đinh Huy Hoàng Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, ngời

đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu vừa qua

Em gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là các thầycô trong tổ Giải tích đã giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình học tập và hoànthành khoá luận này

Vinh, tháng 4 năm 2004

Tác giả

Đ1 các khái niệm cơ bản

Mục này dành cho việc giới thiệu một số khái niệm và kết quả cơ bản cầndùng cho các mục sau

1.1 Định nghĩa Cho X là tập hợp bất kỳ không rỗng và hàm d: XìX→R

Hàm d đợc gọi là một hàm mêtric hay khoảng cách trên X nếu thoả mãn

1, d(x,y) ≥ 0 ∀x,y ∈X,

d(x,y) = 0 ⇔x=y;

2, d(x,y) = d(y,x) ∀x,y ∈X,

3, d(x,y) ≤d(x,z)+d(y,z) ∀x,y,z ∈X.

Tập X cùng với một mêtric trên nó đợc gọi là một không gian mêtric.

Giả sử X là không gian mêtric, a∈X và r là số thực dơng Ta gọi các tập

{x ∈X: d(x,a)<r}, {x∈X :d(x,a) ≤r},lần lợt là hình cầu mở, hình cầu đóng tâm a bán kính r.

1.2 Định nghĩa Giả sử U là tập con của không gian mêtric X và x là

một điểm của X U đợc gọi là lân cận của x nếu tồn tại hình cầu mở B(x,r) sao cho B(x,r)⊆U.

1.3 Định nghĩa Giả sử A là tập con của không gian mêtric X và x là

một điểm của X x đợc gọi là điểm giới hạn của A nếu mọi lân cận U của x đều có

U∩ (A\{x }) ≠Φ.

1.4 Định nghĩa Giả sử {x n}là một dãy trong không gian mêtric X và x

là một điểm của X Ta nói dãy{x n} hội tụ đến x nếu với mọi ε > 0 đều tồn tại số tựnhiên n0 sao cho x n∈B(x,ε ) ∀n≥n 0

Hay với mọi ε > 0 đều tồn tại số tự nhiên n 0 sao cho d(x n ,x)< ε ∀n≥n 0

Khi đó, ta kí hiệu

1.5 Định lý Giả sử A là tập con của không gian mêtric X và x là một

điểm thuộc X Khi đó, x là điểm giới hạn của A khi và chỉ khi tồn tại dãy {x n } trong A\{x} sao cho x n→x.

1.6 Định nghĩa Giả sử f là ánh xạ từ không gian mêtric X vào không

gian mêtric Y và a là điểm thuộc X Ta nói f liên tục tại điểm a nếu với mọi ε > 0

đều tồn tại δ<0 sao cho

d(f(x),f(a))<ε ∀x∈X, d(x,a)<δ

hay

f(B(a, δ) ⊂B(f(a), ε ).

Ta nói f liên tục trên tập con A của X nếu f liên tục tại mọi điểm của A.

1.7 Định lý Giả sử X,Y là hai không gian mêtric, A là tập con của X, a

là điểm giới hạn của A, a thuộc Avà f là ánh xạ từ A vào Y Khi đó, f liên tục tại

a khi và chỉ khi từ {x n } là dãy trong A, x n→ a suy ra f(x n ) → f(a).

1.8 Định nghĩa Giả sử E là không gian tuyến tính trên trờng K (K là

1.9 Mệnh đề Nếu E là không gian định chuẩn thì công thức

d(x,y) = x−y ∀x,y∈E

là một mêtric trên E.

1.10 Nhận xét Từ mệnh đề 1.9 suy ra không gian định chuẩn cũng làkhông gian mêtric Do đó, trong không gian định chuẩn có các khái niệm và kếtquả của không gian mêtric

1.11 Định lý Giả sử E là không gian định chuẩn Khi đó phép cộng

(x,y)  x+y ∀x,y∈E

là đoạn với các đầu mút a, b và kí hiệu là [a,b].

Đ2 Giới hạn của hàm nhận giá trị trong không gian định chuẩn

Trong mục này, dựa vào định nghĩa giới hạn của hàm số ( hàm nhận giá

trị trong không gian số thực ) ta sẽ đa ra định nghĩa giới hạn của hàm nhận giá trịtrong không gian định chuẩn bất kỳ Sau đó, ta sẽ chứng minh nhiều kết quả tơng

tự nh giới hạn của hàm số vẫn đúng cho giới hạn của hàm nhận giá trị trong khônggian định chuẩn

Giả sử X ⊆ R, x 0 là điểm giới hạn của X, E là không gian định chuẩn,

a∈E và f là hàm từ X vào E.

2.1 Định nghĩa Ta nói f có giới hạn là a khi x → x 0 nếu với mọi ε > 0

tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X mà x - x 0< δ ta có

0

x f x

x→ = a hay f(x) → a khi x → x 0

2.2 Định lý Nếu hàm f có giới hạn khi x → x o thì giới hạn đó là duy nhất.

Chứng minh Giả sử xlim→x0 f(x) = a, xlim→x0 f(x) = a' nhng a ≠ a'. Khi đó , vì

E là T 2 - không gian nên tồn tại ε > 0 sao cho

2.3 Định lý. Giả sử X ⊆R, x 0 là điểm giới hạn của X, E là không gian

định chuẩn, a ∈E và f là hàm từ X vào E Khi đó xlim→x0 f(x) = a khi và chỉ khi với mọi {x n}⊂ X , x n→ x 0 suy ra limn→∞ f(x)=a.

Chứng minh

* Điều kiện cần Giả sử

) ( lim

0

x f x

x→ = a và {x n} ⊂ X, x n → x 0

Ta cần chứng minh

) (

0

x f x

x→ = a.

Giả sử f(x) → a khi x → x 0 Khi đó, tồn tại ε0 > 0 sao cho với mỗi δn = n1 ,

n= 1, 2, ắt tồn tại x n∈X sao cho x n - x 0< n1 nhng

Từ x n - x 0 < n1 với mọi n = 1, 2, suy ra x n → x 0 Do đó theo giả thiết của

điều kiện đủ ta có limn f(x n)

∞

→ =a Mặt khác, theo (2) thì f(x n ) → a Đây là điều

mâu thuẫn Vì thế ta có limx→x f(x)=a.

2.4 Hệ quả Giả sử x 0∈ X Khi đó, f liên tục tại x 0 khi và chỉ khi

) ( lim

0

x f x

Nh vậy Hệ quả 2.4 đợc chứng minh

2.5 Định lý Giả sử X ⊆R, f và g là hai hàm xác định trên X nhận giá trị trong không gian định chuẩn E, x 0 là điểm giới hạn của X Khi đó nếu tồn tại

0

x f x

0

x g x

x→ = b suy ra tồn tại δ2 > 0 sao cho

g(x) - b < ε2 ∀x ∈ X ∩ B(x 0 , δ2 ) (4)( Ta kí hiệu B(x 0 , r) = {x ∈ R : x - x 0 < r } trong đó r là số thực dơng)

Lấy δ =min (δ1 , δ2 ) Từ (3) và (4) suy ra với mọi x ∈X ∩ B(x 0 , δ ) ta có

trong đó, ta giả thiết α ≠ 0.

Khi đó, với mọi x ∈ X ∩ B(x 0 , δ ) ta có

2.6 Định lý Giả sử E, F là hai không gian định chuẩn, X ⊆R, f là hàm

từ X vào E, g là hàm từ E vào F và x 0 ∈ X Khi đó, nếu tồn tại xlim→x0 f(x)=f(x 0 )

và g liên tục tại y 0 =f(x 0 ) thì tồn tại

g(B(y 0 , δ) ⊂ B(g(y 0 ), ε). (5)

Từ giả thiết tồn tại lim ( )

0

x f x

x→ =ƒ(x 0 ) suy ra tồn tại θ > 0sao cho

2.7 Định lý Giả sử X ⊆R, x 0 là điểm giới hạn của X ; E là không gian

định chuẩn và f là hàm từ X vào E Nếu tồn tại xlim→x0 f(x) thì tồn tại hình cầu B( x 0 , r) và hằng số C sao cho

0

x f x

x→ = a và xlim→x0g(x) = λ

thì tồn tại

) ( lim

0

x g x

x→ .ƒ(x)= xlim→x0g(x) xlim→x0 f(x)= λa.

Chứng minh Lấy bất kỳ dãy {x n}⊂ X sao cho x n→ x 0 Vì xlim→x0 f(x)=a

và xlim→x0g(x)=λ nên theo Định lý 2.3 ta có

a x

f x

2.9 Định nghĩa Giả sử E là không gian định chuẩn, f: [a, b]→E và c

∈[a, b) ta nói f có giới hạn phải là α khi x tiến tới c nếu với mọi ε >0 đều tồn

tại δ>0 sao cho

f(x) ∈B (α , ε) ∀x∈ (c,c+ δ ).Khi đó ta kí hiệu = α

→ + ( )

lim f x c

Giới hạn trái của f khi x tiến tới c đợc định nghĩa và kí hiệu tơng tự:

).

, ( ) , ( ) ( : 0 0 )

2.10 Định lý Giả sử E là không gian định chuẩn, f: [a,b]→E và

c∈ (a,b) Khi đó tồn tại lim f(x)

x , lim→ − f(x)=α

c

Ngợc lại, giả sử tồn tại = α

→ + ( )

lim f x c

Do đó, tồn tại xlim→c f(x)=α .

2.11 Nhận xét

2.11.1 Trên đây ta đã định nghĩa giới hạn của hàm nhận giá trị trong

không gian định chuẩn và xác định trên tập con X của tập các số thực R Một vấn

đề đợc đặt ra là nếu thay giả thiết X là tập con của R bởi X là tập con của một

không gian định chuẩn A nào đó thì các khái niệm và kết quả trên đây còn đúng

nữa hay không? Chúng ta dễ dàng mở rộng định nghĩa 2.1 nh sau:

Giả sử A, E là hai không gian định chuẩn, X là tập con của A, f là ánh xạ từ

X vào E x 0 là điểm giới hạn của X còn a là điểm thuộc E Ta nói f có giới hạn là a

khi x tiến tới x 0 nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho

Khi đó, ta kí hiệu xlim→x0 f(x) = a hay f(x) → a khi x tiến tới x0.

Chúng ta cũng dễ dàng nhận thấy rằng các kết quả đã chứng minh trong trờng hợp

X ⊆R vẫn còn đúng trong trờng hợp tổng quát này

2.11.2 Trong giải tích cổ điển, khi học giới hạn của hàm số, ta đã biết

tiêu chuẩn Cauchy Một câu hỏi đợc đặt ra là, đối với giới hạn của hàm nhận giátrị trong không gian định chuẩn, tiêu chuẩn tơng tự nh tiêu chuẩn Cauchy còn

đúng không? Định lý sau đây cho ta câu trả lời khẳng định Ta cũng gọi đó là tiêuchuẩn Cauchy

2.12 Định lý < tiêu chuẩn Cauchy> Giả sử X là không gian định

chuẩn, E là không gian Banach, x 0 ∈ X và f là hàm từ X vào E Khi đó tồn tại

* Điều kiện cần Giả sử tồn tại xlim→x0 f(x)=a Khi đó với mọi ε > 0 ắt tồn

tại δ > 0 sao cho với mọi x và x′ ∈B(x 0 , δ ) ta có

x n∈B ( x 0 , δ ) ∀n ≥n 0 Với mọi n, m ≥ n 0 ta có x n và x m∈ B( x 0 , δ ) Do đó từ (7) suy ra

( ) ( [ lim − ′ =

n n

Ta đã biết định nghĩa đạo hàm của một hàm số, tức là hàm nhận giá trịtrong không gian số thực R Trong mục này, dựa vào định nghĩa đó và giới hạn

của hàm trong Đ2 ta định nghĩa đạo hàm của hàm nhận giá trị trong không gian

định chuẩn và xét xem các tính chất tơng tự nh đạo hàm của hàm số còn đúngtrong trờng hợp tổng quát này không?

I Định nghĩa đạo hàm và các tính chất đơn giản .

3.1 Định nghĩa : Giả sử E là không gian định chuẩn và f là hàm từ (a,b)

vào E, x 0 ∈ (a,b) ⊂ R Nếu tồn tại giới hạn xlim→x0 0

0) ( ) (

x x

x f x

f

−

−

thì ta nói hàm f có

đạo hàm hay khả vi tại x0 và gọi giới hạn này là đạo hàm của hàm f taị x 0 Khi đó

ta ký hiệu đạo hàm của f tại x 0 là f' (x0).Nh vậy

) ( ' x0

x x

x f x f

x x

x f x f

x x

x f x f

và do đó f liên tục tại x 0

3.3 Mệnh đề Cho 2 ánh xạ f: R→E, g:R→E Khi đó

3.3.1 NÕu tån t¹i f' (x0)vµ g' (x0) th× tån t¹i

(ϕ1 .f) ' (x 0 )=

) (

) ( ).

( ' ) ( ' ).

(

0 2

0 0 0

0

x

x f x x

f x

0 0

lim ) )(

( ) )(

( lim

0

x g x g x

x

x f x f x

x

x g f x g f

x x x

− +

→

→

).

( ) ( ) ( ) ( lim ) ( ) (

0

0 0

0

0 0

x g x f x

x

x g x g x

x

x f x f

x x x

−

− +

T¬ng tù nh trªn, tõ gi¶ thiÕt tån t¹i f′ (x0) ta cã

).

( ) ( ) ( lim ) ( ) (

0

0 0

0

0 0

x f x

x

x f x f x

x

x f x f

x x x

3.3.2 Tõ gi¶ thiÕt tån t¹i ϕ ' (x0) vµ f' (x0) suy ra

) ( ) ( ) ( ).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

( lim

) ( ).

( ) ( ).

( ) ( ).

( ) ( ).

( lim

) ( ).

( ) ( ).

( lim ) )(

( ) )(

(

lim

0 0 0

0 0

0

0 0

0

0

0 0 0

0

0

0

0 0 0

0

0

0

0 0

x f x x

f x x

f x x

x x x

x

x f x f x

x x

x f x x

f x x

x

x f x x f x

x x

x f x x f x x

x

x f x

x

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

′ +

3.3.3 Từ 3.3.2 suy ra tồn tại

)

(

) ( ) ( ) ( ) (

) (

) ( ) ( ) (

) ( )

( ) (

1 ) ( ) ( )

1 ( ) ( )

1

(

0 2

0 0 0

0

0

0 0

0 2

0 0

0 0

0 0

x

x f x x

f x

x

x f x f x

x x

f x x

f x x

f

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

′

−

=

′ +

′

=

′

Chú ý: Trong mệnh đề 3.3, thực ra các hàm f,g,ϕ chỉ cần xác định trên(a,b) chứa điểm x 0 mà không cần xác định trên toàn R.

3.4 Định lý (Đạo hàm của hàm hợp ) Giả sử f:(a,b)→(c,d), khả vi tại

x 0∈(a,b) và g:(c,d)→E, khả vi tại y 0 =f(x 0 ) Khi đó hàm hợp h =g o f khả vi tại x 0

x

x h x h

)) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ) (

0

0 0

0 0

0 0

0

x x

x f x f x

f x f

x f g x f g x

x

x f g x f g x

x

x h x h

y

y g y g

( ) ( ) (

x

x h x h

= f((u−r) 1 ) = (u−r).f( 1 )

Do đó

1 ( ) 1 ( ) ( lim ) ( ) (

r u

f r u r

u

r f u f

r u r

p x R x l

p x x

/ 1

f( ) = ∀r∈R,trong đó a là phần tử thuộc l p cho trớc Xét sự tồn tại đạo hàm của f tại r0 ∈R

Cách 1: Vì f là ánh xạ tuyến tính nên theo mệnh đề 2.5, tồn tại

a a f

r

f′ ( 0) = ( 1 ) = 1 =

Cách 2: Dùng định nghĩa : Ta có

) ( lim lim

) ( ) ( lim

0

0 0

0 0

0

0 0

0

a r r

a r r r

r

a r ra r

r

r f r f

r r r

r r

f′ ( 0) = ∀r0∈R.

3.6.2 Với giả thiết nh ví dụ trên, cho f : R → l p với f(r) =r2a.Ta có

2 ) ( lim )

( lim lim

) ( ) (

0

2 0 2

0

2 0 2

0

0

0 0

0 0

a r a r r r

r

a r r r

r

a r a r r

r

r f r f

r r r

r r

r r

f′ ( 0) = 2 0 ∀r 0∈ R.

II Định lý về số gia giới nội.

* Trong giải tích cổ điển, ta đã có công thức về số gia giới nội Lagrange nhsau: nếu f :[a,b] →R là hàm liên tục trên đoạn [a,b], khả vi trên (a,b) thì với mọi

x 1 , x 2∈(a,b) đều tồn tại c ∈(x 1 ,x 2) sao cho

f(x 2 )-f(x 1 )= (x 2 -x 1 )f′(c), (a)trong đó x 1 <x 2

Nếu thêm giả thiết tồn tại xsup∈[ ],b f′(x) =k thì

1 2 1

(x f x k x x

Một vấn đề đợc đặt ra là, trong trờng hợp hàm f nhận giá trị trong không

gian định chuẩn thì công thức số gia giới nội ở trên còn đúng nữa không? Trongmục này, chúng ta sẽ giải quyết vấn đề này và Hệ quả 3.10 cho thấy công thức (b)vẫn đúng

Giả sử đoạn [a,b]⊂R với a,b hữu hạn, còn f là ánh xạ từ [a,b] vào không

gian định chuẩn E.

3.7 Định nghĩa: Cho c∈[a,b] Ta nói f có đạo hàm trái hay khả vi trái tại c (đạo hàm phải hay khả vi phải tại c) nếu tồn tại giới hạn

c x

c f x f c

c x

c f x f c

thì

) ( ) ( ) ( ) (b f a g b g a

Tiếp đó, ta chỉ việc thay x=b,và cho ε → 0, ta đợc (9) Ký hiệu U là tập các

[ ]a b

x∈ , sao cho bất đẳng thức (10) không đúng, tức là

) ( ) ( ) ( ) ( ) (x −f a >g x −g a + ε x−a + ε

Ta phải chứng minh U =φ

Trớc hết ta chứng minh U là tập mở Thật vậy, do các hàm f, g liên tục trên

[a, b] nên cả hai vế của (11) là các hàm liên tục của x Do đó, nếu đặt

ε ε

ϕ (x) = f(x) −f(a) −g(x) +g(a) − (x−a) − , x∈[a,b]

thì ϕ liên tục trên [a, b] và bất đẳng thức (11) có dạng ϕ (x) > 0 Vậy tập các

[ ]a b

x∈ , sao cho ϕ (x) > 0là mở và do đó U là tập mở.

Bây giờ ta chứng minh U = φ.Nếu U ≠ φ thì U có infinum Đặt c=infU.

Khi đó c thoả mãn 3 điều kiện sau:

i c > a, thật vậy vì cả 2 vế của (10) liên tục nên nó đợc thoả mãn với mọi x

đủ gần a

ii c∉U , quả vậy, vì U mở nên nếu c∈Uthì phải có x sao cho a < x < c và

U

x∈ Vậy c đâu còn là inf U nữa

iii c < b, vì nếu ngợc lại thì tập U ={ }b Vậy nó không phải là tập mở

Do a < c < b , nên theo giả thiết ta có

) ( )

và

2

) ( ) ( ) (

Kết hợp các bất đẳng thức này với bất đẳng thức (12) ta đợc

f(x) - f(c) ≤ g(x) - g(c) + ε (x -c) (13)Vì c ∉U, nên cũng có

f(c) - f(a) ≤ g(c) - g(a) + ε (c - a) + ε. (14)

Từ các bất đẳng thức (13) và (14) suy ra

f(x) - f(a) ≤f(x) - f(c) + f(c) - f(a) ≤

≤ g(x) - g(c) +ε (x - c) +g(c) - g(a)+ε (c-a) + ε = g(x) -g(a) +ε (x-a) + ε.

Bất đẳng thức thoả mãn với mọi x ∈(c, c +η) Do đó bất đẳng thức (10) đúng với

c < x < c+η.

Từ

c = inf {x ∈ [a,b]:x ∈U}

suy ra nếu x < c thì x ∉U Vì x thoả mãn (10) với mọi c < x < c+η Do đó với

mọi x ∈ U thì x > c+η Từ đó infU ≥ c+η Ta gặp mâu thuẫn nên định lý đã

f(b) - f(a)  ≤ k(b - a), hay tổng quát hơn

f(x 2 ) - f(x 1 )  ≤k x 2 - x 1  ∀x 1 , x 2∈ [a, b]

Chứng minh : Chỉ việc đặt hàm g: [a,b] → R với g(x) = kx và áp dụng Định lý

3.8 ta có điều phải chứng minh

Bây giờ ta xét một định lý tổng quát hơn Giả sử U là tập mở trong E và

f : U →F là ánh xạ liên tục từ U vào không gian Banach F Ta nhớ lại rằng: Nếu a

và b là hai điểm thuộc E , thì tập các x ∈ E có biểu diễn ở dạng

x = { (1 - t)a + tb , 0 ≤ t ≤1} đợc gọi là một đoạn với hai mút a và b Đoạn với

hai đầu mút a ∈E và b ∈E cũng kí hiệu là [a,b].

3.11 Định lý: Nếu ánh xạ f : U → F khả vi và [a, b] là đoạn với các mút a,b ∈ U thì ta có: