Đạo hàm của các dạng vi phân với giá trị vectơ luận văn thạc sỹ toán học

Để nghiờn cứu cỏc tớnh chất của hỡnh học người ta thường sử dụng công cụ liờn thụng Levi – Civita, đặc biệt là khi nghiờn cứu tớnh chất của độ cong và độ xoắn trờn đa tạp Riemann.. Chọn

Lêi MỞ ĐẦU 1

Ch¬ng I: Liªn th«ng trªn ®a t¹p riemann 2

I Liên thông tuyến tính 2

II Liên thông Levi – Civita 10

Ch¬ng II: ĐẠO HÀM CỦA c¸c DẠNG vi ph©n víi gi¸ trÞ vÐc t¬ 16

I k – d¹ng vi ph©n trªn ®a t¹p Riemann víi gi¸ trÞ vÐct¬ trªn M 16

II Đạo hàm của các dạng vi phân với giá trị véc tơ 21

III Ứng dụng của c¸c d¹ng vi ph©n víi gi¸ trÞ vÐct¬ 25

KẾT LUẬN 30

TÀI LIỆU THAM KHẢO 31

Lời Mở đầu

Hỡnh học Riemann đó được nghiờn cứu vào những năm giữa thế kỉ XIX qua cỏc cụng trỡnh của Riemann (1826 – 1866) Sau đú nhiều nhà toỏn học phỏt triển và nghiờn cứu như: Krixstophen (1829 – 1900), Lipsit (1832 – 1903), Klein (1849 – 1925), Ricci và Levi-Civita Để nghiờn cứu cỏc tớnh chất của hỡnh học người ta thường sử dụng công cụ liờn thụng Levi – Civita, đặc biệt là khi nghiờn cứu tớnh chất của độ cong và độ xoắn trờn đa tạp Riemann Chọn đề tài về “đạo hàm của cỏc dạng vi phõn với giỏ trị vộc tơ ” chỳng tụi muốn tỡm hiểu về mối liờn hệ giữa liờn thông Levi - Civita và cỏc dạng vi phõn với giỏ trị vộc tơ trờn đa tạp Riemann Với nội dung đú, luận văn được trỡnh bày trong 2 chơng:

Chơng 1: Liên thông trên đa tạp Riemann.

I Liờn thụng tuyến tớnh

II Liên thông Levi - Civita

Chơng 2: Đạo hàm của các dạng vi phân với giá trị véctơ.

I k – dạng vi phân trên đa tạp Riemann với giá trị véctơ

II Đạo h m cà ủa các dạng vi phân với giá trị véctơ

III ứng dụng các dạng vi phân với giá trị véctơ

Luận văn đợc hoàn thành vào tháng 12 năm 2011, tại trờng Đại học Vinh dới

sự hớng dẫn của thầy giáo PGS TS.Nguyễn Hữu Quang–

Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới thầy, ngời đã nhiệt tình hớng dẫn tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo thuộc chuyên ngành Hình học – Tôpô, các thầy cô giáo trong khoa Toán và khoa Sau Đại học của trờng

Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong thời gian học tập và hoàn thành luận văn này.

Tỏc giả.

Chơng i Liên thông trên đa tạp Riemann

Trong chơng này, chỳng ta giả sử là một đa tạp Riemann n - chiều với hệ bản đồ {Uα,ϕα}α∈Ι , M cú cơ sở đếm được , g là một mêtric Riemann trên

M Tp(M) = {α→p/ α→p tiếp xỳc với M tại p};

1) ∇X(Y+Z) = ∇XY + ∇XZ

2) ∇X+YZ = ∇XZ + ∇YZ

3) ∇ϕ XY = ϕ∇XY

4) ∇X (ϕY) = X[ϕ].Y + ϕ∇XY

được gọi là một liờn thụng tuyến tớnh trờn M.

(∇XY gọi là đạo hàm thuận biến của trường vộctơ Y dọc trường vộctơ X

và toỏn tử ∇X: Y  ∇XY gọi là đạo hàm thuận biến dọc trường vộctơ X.)

Thật vậy, theo [2] ∇ thoả mãn 4 điều kiện của định nghĩa liên thông tuyến tính: 1) ∇X(Y+Z) = DX (Y+Z) = DXY + DXZ

1 Khi đó ∇ là một liên thông tuyến tính trên M

Thật vậy, ta có:

1) ∇X(Y+Z) = ( [ ] [ ] )

1

i i n

i

i

Y X

1 1

= ∇XY + ∇XZ

2) ∇X+YZ = ( [ ] [ ] )

1

i i n

i

i

Z X

1 1

1

= X[ϕ].Y + ϕ DXY

Vậy ∇ là liên thông tuyến tính 

Ví dụ 2: ( xem [2],[3],[4] ) Giả sử M là một đa tạp khả song, gọi {Xi},i

= 1, , n là trờng mục tiêu trên M Ta có sự biểu diễn:∇X iXj = k

Giả sử M = G là nhóm Lie Chọn trờng mục tiêu bất biến trái { }X% i Gọi ∇

là liên thông tuyến tính chính tắc trên M, xác định bởi ∇X iXj = 0 , ∀ i,j Thế thì liên thông này không phụ thuộc vào việc chọn trờng mục tiêu bất biến trái { }X% i Thật vậy, Giả sử {X% j}là trờng mục tiêu bất biến trái khác của G, ta có:

% = 0, ∀ i,j Mặt khác, với mọi i,j ta có:

0,

Khi đó ∇α là liên thông tuyến tính trên Uα

Giả sử { }gα α∈Ιlà phân hoạch đơn vị ứng với phủ { }Uα α∈Ι của M.

Chứng minh:

a) Giỏ trị của tại p ∈ M chỉ phụ thuộc vào giỏ trị của trong một

lõn cận của p

Tại mỗi điểm p ∈ M luụn cú một lõn cận Up của p và một hàm khả vi ϕ

thỏa món ϕ | Up = 1 và ϕ | M/ Ũ p = 0.(Với Ũ p là một tập mở nào đú mà Ũ p ⊃ Up)

Ta giả sử cú hai trường vộc tơ Y và Ỹ sao cho Y| U p= Ỹ| U p và ta đặt:

Z = Y - Ỹ, khi đú trường vộc tơ ϕZ| U p = 0

1.5 Mệnh đề (xem [2],[3]): Giả sử ∇’ và∇% là hai liên thông tuyến tính trên M

Tõ (1) vµ (2) suy ra:

T

Vậy ∇ là liên thông tuyến tính

1.7 Mệnh đề (xem [2]):Giả sử S : B(Rn)x B(Rn) → B(Rn)

(X,Y)  S (X,Y) , là ánh xạ song

Khi đó ∇ là liên thông tuyến tính trên M.

Chứng minh:

Ta kiểm tra các điều kiện của liên thông tuyến tính:

1) ∇X(Y+Z) = DX (Y+Z) + S (X,Y+Z)

1.8 Hệ quả: Trong R 3 , ta đặt X Y

n Y D

n Y X

X

S( , ) =1 ∧ là ánh xạ song tuyến tính

áp dụng mệnh đề (1.7), ta có ∇ là dạng song tuyến tính trên R3

II Liên thông levi - civita

2) Giả sử M là một đa tạp Riemann khả song với trờng mục tiêu trực

Y X

Y Z U

Y U X Z

1 1

1 1

) (

) (

= Z[ ]X U Y n Z[ ]Y U X

i

i i n

Vậy ∇ là một liên thông Levi – Civita trên M

1.11 Mệnh đề (xem [2]): Giả sử M là một đa tạp Riemann, khi đó tồn tại duy

Chứng minh:

Giả sử X,Y,Z ∈B(M), ta xác định ∇XY bởi phơng trình sau:

+) Với X,Y, Z ∈B(M) và công thức (1) cho ta:

g(∇XY,Z) + g(Y, ∇XZ) = Xg(Y,Z) (2)

Do đó ∇ là liên thông Riemann

+) Liên thông ∇ là duy nhất Thật vậy, ta chứng minh rằng nếu liên thông tuyến tính ∇ thỏa mãn điều kiện (2) và có T(X,Y) = 0 thì nó thỏa mãn công thức (1)

Từ (2) ta có: X[g(Y,Z)] = g(∇XY,Z) + g(Y, ∇XZ) (3)

g(∇XY,Z) = 12 {X[g(Y,Z)] + Yg(Z, X) - Zg(X,Y) + g(Z, [X,Y]) + g(Y, [Z,X])

- g(X, [Y,Z])} Đây chính là công thức (1)

Vậy tồn tại duy nhất một liên thông Levi – Civita ∇ trên M

1.12 Mệnh đề (xem [2]): Giả sử M, N là hai đa tạp Riemann với các liên

=

0

t t dt

o o

o o

d

=

ƒ ρ ϕ

o o

(∇XY)Z = 12 (X[Y.Z] + Y[Z.X] - Z[X.Y] + Z[X.Y] +Y[Z.X] - X[Y.Z])

Vì ƒ là vi phôi đẳng cự nên: (∇XY)Z = (ƒ*(∇XY)).(ƒ*Z)oƒ

Bây giờ ta xét đa tạp Riemann M trong Rn với cấu trúc Riemann g trên M

đợc cảm sinh bởi tích vô hớng thông thờng trong Rn Với ∀ X,Y∈ B(M), ta có

sự biểu diễn DX Y = (DX Y)T + (DX Y)N ở đó (DX Y)T , (DX Y)N tơng ứng là thành phần tiếp xúc và thành phần pháp dạng của DXY Khi đó ta có mệnh đề sau:

1.13 Mệnh đề: Giả sử ∇X Y = (D X Y) T Khi đó ∇ là liên thông Levi Civita.–

Chứng minh:

+) Rõ ràng rằng ∇ là liên thông tuyến tính

+) Bây giờ ta kiểm tra hai điều kiện của liên thông Levi – Civita:

i) T(X,Y) = ∇XY - ∇YX - [X,Y] = (DXY)T - (DYX)T - [X,Y]

Chơng ii Đạo hàm của CÁC dạng vi phân

với giá trị véc tơ

Trong phần này, chúng ta luôn giả thiết M là đa tạp Riemann hữu hạn chiều với hệ bản đồ {Uα,ϕα} và ∇ là liên thông Levi - Civita trên M,

Ta kí hiệu Ak(Tp M) ={f / f là k- tuyến tính thay dấu:T M p ì ì T M p →T M p }

I k dạng vi phân trên đa tạp Riemann với giá trị véctơ trên M–

2.1 a) Định nghĩa (xem [2] và [5]): Giả sử U là tập mở trong M, A k = {f / f là k- tuyến tính phản xứng: T M p ì ì T M p →T M p }

  ( i = 1, , n ) là cỏc trường vectơ cơ

sở Khi đú với mọi p U∈ ,αi ∈T M i p ( =1, ,n) ta cú:

+) ω đợc gọi là khả vi khi và chỉ khi ω( X1, ,X k) khả vi với

+) Phộp nhõn với một hàm khả vi: ϕω: pa ϕ ω ϕ ∈p p ; F U( )

.) Rõ ràng với hai phép toán trên thì Ωk (U, B(M) là một mụđun trờn tập cỏc

Mỗi ω ∈ Ωk (M, B(M) đợc xem nh là một bộ (ω1, , ωn); trong đó ωj ∈ Ωk

x

1 2 3

0 0 0

X X X

Từ đú ta kết luận được ƒ* là một đồng cấu mô đun 

ω = (ydx + dy, ydy + dz, xydz)

Khi đó dω = (dx ∧ dx + d(1) ∧ dy, dy ∧ dy + d(1) ∧dz, d(xy) ∧ dz)

III Ứng dụng của c¸c d¹ng vi ph©n víi gi¸ trÞ vÐct¬

2.13 Định nghĩa (xem [2] và [5]): Giả sử ω∈ Ωk (M, B(M )) và  là liên thông tuyến tính trên M Khi đó d%ω∈Ωk+1 (M, B(M )), d%ω được xác định bởi:

( , , , ) ( 1) ( ( , , ˆ , , ))

i i

phân với giá trị véc tơ.

Từ (*) và (**) suy ra: ∑ { (∇X T Y Z) ( , )+T T X Y Z( ( , ), ) } =∑R X Y Z( , )

Hay ∑ { (∇X T Y Z) ( , )−R X Y Z T T X Y Z( , ) + ( ( , ), ) } = 0 Hơn nữa: Vì ∇là liên thông Levi – civita nên T = 0 Do đó:

Luận văn đó đạt được những kết quả chớnh sau:

• Trỡnh bày và chứng minh chi tiết một số tớnh chất cơ bản về liên thông tuyến tính và liên thông Levi - civita trờn đa tạp Riemann.(Mệnh đề: 1.6, 1.13)

• Phỏt biểu và chứng minh lại một số tớnh chất về đạo hàm của cỏc dạng

vi phõn với giỏ trị vộc tơ (Mệnh đề: 2.10; 2.12)

• Phỏt biểu và chứng minh mệnh đề 2.6 về mối liờn hệ giữa f * với tớch ngoài của cỏc dạng vi phõn với giỏ trị vộc tơ

• Phỏt biểu và chứng minh mệnh đề 2.14 về vi phõn ngoài d% của dạng vi phân ω liờn kết với liờn thụng Levi - Civita

• Trỡnh bày một số ứng dụng về mối liờn hệ giữa liên thông và độ cong,

độ xoắn.(Mệnh đề 2.15)

Trong thời gian tới, chỳng tụi tiếp tục tỡm hiểu về đạo hàm của cỏc dạng

vi phõn với giá trị véc tơ và ứng dụng của nú trong việc khảo sỏt cỏc độ cong,

độ xoắn trờn đa tạp Riemann

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt:

[1] Nguyễn Hữu Quang (2004): Đa tạp khả vi, Đại học Vinh

[2] Nguyễn Hữu Quang (2005): Mở đầu hình học Riemann, Đại học Vinh [3] Khu Quốc Anh - Nguyễn Doãn Tuấn (2003): Lý thuyết liên thông và hình

học Riemann, Nxb Đại học Sư phạm.

[4] Đoàn Quỳnh (2003): Hình học vi phân, Nxb Đại học Sư phạm.

[5] Lê Thị Thơm (2009): Độ cong, độ xoắn trên đa tạp Riemann, Luận văn

Thạc sĩ, Đại học Vinh

Tiếng Anh:

[6] Sigmundur Gudmundsson (2009), An Introduction to Riemannian Geometry,

Lund University

[7] O’ Neill.B (1966), Elementary Differential Geometry, Academic Press,

New - York and London

[8] Chern S.S, Chen W.H, Lam K.S - Lectures on Differential Geometry,

Copyright @2000 by World Scientific