Nhóm cơ bản của phức đơn hình luận văn thạc sỹ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ HƯƠNG THẢO NHÓM CƠ BẢN CỦA PHỨC ĐƠN HÌNH LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC... BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ HƯƠNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ HƯƠNG THẢO

NHÓM CƠ BẢN CỦA PHỨC ĐƠN HÌNH

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ HƯƠNG THẢO

NHÓM CƠ BẢN CỦA PHỨC ĐƠN HÌNH

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

VINH - 2011

MỤC LỤC

Trang LỜI NÓI ĐẦU 2

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 4

1.1 Đồng luân 4

1.2 Nhóm cơ bản 7

1.3 Phức đơn hình 13

Chương 2 NHÓM CƠ BẢN CỦA PHỨC ĐƠN HÌNH ………… 17

2.1 Ánh xạ đơn hình ……… 17

2.2 Nhóm cơ bản của phức đơn hình ……… 20

2.3 Nhóm cơ bản của đồ thị 31

KẾT LUẬN ……… 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO…… ……… 42

LỜI NÓI ĐẦU

Tôpô đại số là một ngành của toán học hiện đại Nó ra đời vào những năm đầu của thế kỉ XX, gắn kết hai lĩnh vực cơ bản của toán học là tôpô và đại số Tôpô đại số vừa được nghiên cứu với tư cách như một ngành độc lập,

vừa được xem là công cụ để giải quyết nhiều vấn đề của toán học hiện đại.Nhóm cơ bản là một trong những khái niệm cơ bản của tôpô đại số Mỗi mộtđiểm trong không gian tô pô có một nhóm cơ bản liên kết với nó, mang cácthông tin về cấu trúc một chiều của phần không gian quanh điểm đó Nhiều ví

dụ tính toán nhóm cơ bản của các không gian riêng lẻ hay phương pháp chocách tính nhóm cơ bản của một số lớp không gian, chẳng hạn như các phứcđơn hình hữu hạn đã được đề cập đến trong các tài liệu chuyên sâu Để nghiêncứu sâu sắc hơn về các vấn đề này, đề tài luận văn tập trung vào nghiên cứumột cách có hệ thống phức đơn hình và nhóm cơ bản của chúng

Luận văn được chia làm hai chương như sau:

Chương 1 Các kiến thức cơ sở

Trong chương 2, chúng tôi trình bày các kiến thức về nhóm cơ bản củaphức đơn hình và trường hợp đặc biệt của phức đơn hình là nhóm cơ bản của đồthị Cụ thể, trong mục 2.1 chúng tôi trình bày khái niệm ánh xạ đơn hình, xấp xỉđơn hình, các định lý về xấp xỉ đơn hình Trong mục 2.2, chúng tôi trình bày cáckhái niệm tương đương mật tiếp, tương đương cạnh, các ví dụ và tính chất của

chúng, công thức tính nhóm cơ bản của phức đơn hình và ví dụ ứng dụng Cuốicùng, trong mục 2.3, chúng tôi nêu công thức tính nhóm cơ bản của đồ thị và ví dụứng dụng.

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm túc và tận tìnhcủa thầy giáo, Tiến sỹ Nguyễn Duy Bình Nhân dịp này tác giả xin bày tỏlòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất tới thầy!

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, cácthầy cô tổ bộ môn Hình học, Khoa sau đại học trường Đại học Vinh, Phòngquản lý khoa học trường đại học Hải Phòng đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡtác giả Xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã tạo điều kiện thuậnlợi, động viên, giúp đỡ tác giả trong thời gian học tập và hoàn thành luận văn

Mặc dù đã cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi thiếu sót, kínhmong được sự chỉ bảo, góp ý của thầy cô và các bạn

Xin trân trọng cảm ơn!

Vinh, tháng 12 năm 2011

Tác giả

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương 1 chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm đồng luân, tươngđương đồng luân, không gian co rút, cách xây dựng nhóm cơ bản của một

không gian tôpô bất kỳ, tính nhóm cơ bản của một số không gian tôpô đặcbiệt, trình bày một cách có hệ thống các khái niệm đơn hình, phức đơn hình.

F X I  Y sao cho F x( ,0) f x F x( ); ( ,1) g x( ) với mọi x X được gọi là

phép đồng luân nối f và g Khi đó f được gọi là đồng luân với g bởi phép

Khi đó 1X x0 bởi phép đồng luân F X I:   Y,F x t( , ) (1   t x t)  x 0

Ví dụ 2: X là không gian tôpô bất kỳ, Y là tập lồi trong n

 Nếu f g thì g f bởi phép đồng luân:

E X I:   Y E x t,  ,  F x ,1 t

 Nếu f g bởi phép đồng luân F , g h1  bởi phép đồng luân F thì2

f h bởi phép đồng luân F X I:   Y với

 

 

 

1 2

1, 2 , 0

2,

1.1.6 Định nghĩa (Xem [1]) Hai không gian tôpô X, Y được gọi là

tương đương đồng luân (có cùng kiểu đồng luân) nếu tồn tại hai ánh xạ liêntục :f X  Y g Y, :  X sao cho fg 1 ;Y gf 1X

1.1.7 Nhận xét

1) Quan hệ tương đương đồng luân giữa các không gian tôpô là quan

hệ tương đương

2) Các không gian đồng phôi với nhau thì tương đương đồng luân.

1.1.8 Định nghĩa (Xem [1]) Không gian tôpô X được gọi là co rút

được nếu ánh xạ đồng nhất trên X đồng luân với ánh xạ hằng tại x0X Khi

đó ta còn nói X co rút được về điểm x0X

1.1.10 Định lý Không gian tôpô X co rút được khi và chỉ khi nó tương

đương đồng luân với không gian một điểm.

Chứng minh.

Điều kiện cần: Giả sử X co rút được, tức 1X x0 (x0 X)

Xét ánh xạ f x0 :X   x0 ; :g x 0  X g x, ( ) 0 x0

Khi đó: fg  1  x0  1 ;  x0 gf  x0  1X

Suy ra X tương đương đồng luân với không gian một điểm

Điều kiện đủ: Giả sử X tương đương đồng luân với không gian mộtđiểm Y  a , có nghĩa là tồn tại các ánh xạ f X:  Y g Y, :  X sao cho

1.2.1 Định nghĩa (Xem [2]) Cho X là một không gian tôpô, I 0,1

là không gian con của đường thẳng thực R Một đường  trong X từ x đến0

1

x là một ánh xạ liên tục :I  X sao cho (0) x0 , (1) x1 Điểm x0

gọi là điểm gốc, điểm x1 gọi là điểm cuối của đường  Nếu

0

(0) (1) x X

     thì  được gọi là đường đóng tại x0.

1.2.2 Định nghĩa Cho  là đường từ x0 đến x1,  là đường từ x1

đến x2 ¸nh xạ liên tục ' : I  X cho bởi:

1(2 )

2'( )

1

2

t t

được gọi là nối tiếp hai đường   , '

Đường ngược của là đường 1

 từ x1 đến x0 cho bởi 1 ( )t (1  t).Chú ý rằng đường    ' có điểm gốc là    '(0)  (0) x 0 và điểm cuối là

x và điểm cuối x1 trong không gian tôpô X Ta nói  đồng luân với  ' và

ký hiệu     nếu tồn tại một ánh xạ liên tục F I I:   X sao cho:

1 1 1 1 1

(0, ) (0) (0) , (1, ) (1) (1) , ( ,0) ( ); ( ,1) ( ),

- Quan hệ đồng luân giữa các đường là quan hệ tương đương.

- Nếu  1đồng luân với  2 thì 1

1.2.5 Định nghĩa Đặt      |  Tích và nghịch đảo của  

được định nghĩa như sau:        ;   1   1

1.2.6 Định lý: Cho X là không gian tôpô, x0 X ,  1X x, 0 là tập hợp các lớp đồng luân của các đường đóng tại x0 Khi đó  1X x, 0 lập thành một nhóm với phép toán đã cho ở trên.

1 2

1 2 2

1 2

t t

1.2.7 Định nghĩa Cho X là không gian tôpô,  1X x, 0 gọi là nhóm cơ

bản của X với điểm đánh dấu x0

1.2.8 Định nghĩa (Xem [2]) Không gian tôpô X được gọi là liên thông

đường nếu mọi x x0 , 1 X luôn tồn tại đường  trong X nối x0với x1

1.2.9 Định lý Nếu X là không gian tôpô liên thông đường thì  1X x, 0

đẳng cấu với  1X x, 1với mọi x x0, 1X

Chứng minh.

X liên thông đường nên tồn tại con đường  trong X nối x0 với x1.Với     1X x, 0 đặt f    1

        Khi đó, nếu    ' thì   1     1   '

Vậy  1X x, 0 đẳng cấu với  1X x, 1 

1.2.10 Định lý Nếu 2 không gian tôpô X,Y liên thông đường, tương

đương đồng luân thì nhóm cơ bản của chúng đẳng cấu với nhau.

Chứng minh Giả sử f là phép đồng luân nối X, Y và g là ngược đồng

luân của f Khi đó, fg 1Y và gf 1X

Giả sử x0 là điểm đánh dấu của X, đặt y0 f x 0

của I ) và gf : ,I I   X gf x,  0  Do gf 1X nên gf    suy ra x0 nốiđược với x1 gf x 0 , tức là có đường cong liên tục  nối x0 và x1, suy ra cóđẳng cấu h : 1X x, 0 1X x, 1

   và 1 g 1 f h

   (vì với     1X x, 0 tacó:  1 g  1 f       1 g   f  gf và h     1

là các đẳng cấu nên  1 f là đẳng cấu hay  1X x, 0   1Y y, 0 

1.2.11 Hệ quả Nếu X là không gian co rút được thì  1X x, 0 là nhóm tầm thường.

Chứng minh X là không gian co rút được nên X tương đương đồng luân

với không gian 1 điểm  x0 Mà không gian 1 điểm  x0 có nhóm cơ bản lànhóm tầm thường:  1  x0 ,x0     , :I   x0 , (0)    (1) x0

Cho X là không gian liên thông đường, X1 và X2là hai không gian con

mở liên thông đường của X X, X1 X2và X o X1 X2 là liên thông đường khác rỗng Với x0 X0 ta có các nhúng :

1 : 1 , 0 , 0

k X x  X x ; k2 :X x2 , 0  X x, 0

1.2.13 Mệnh đề (Xem [2]) Nhóm cơ bản 1X x, ođược sinh bởi các ảnh của các đồng cấu  1 k1 và  1 k2 .

Chứng minh Giả sử     1X x, 0

Xét một phân hoạch của đoạn 0,1: 0 t0 t1 t n t n1 1

Và i :I  X,i t  t i1 t t t i  i

Như vậy i là đường nối  t i với t i1, tức là thu hẹp của  trên đoạn

t t i, i1 Theo giả thiết  X X1 , 2 là một phủ mở của X, theo định lí Lebesgue về

- phủ ta có thể lựa chọn phân hoạch của 0,1 sao cho i I   t t i, i1  được chứa hoàn toàn trong X1 hoặc X2 và i 0   t i X0

Với mỗi i = 1, 2, …, n tồn tại một đườngi trong X o nối x o với  t i

(Vì X0 là liên thông cung)

Hình 2 Ta có:      0   1   n

  1 1 1 0 1 1 1 2 2 1 1 0 1 1 1 2

        

          

        

1





1

x

2

x

0

x2



Các đường 1 1

0 * 1 , 1 * 1 * 2 , , *n n

       đóng tại x0 và chứa trong X1

hoặc X2 nên mệnh đề được chứng minh 

 Đơn hình chuẩn là 1 tập lồi

- Nếu điểm a thuộc vào đơn hình k chiều,

0

k

i i i

t







thì bộ số t t1, , ,2 t gọi là tọa độ trọng tâm của k a.

1.3.4 Nhận xét Đơn hình   S  a a0 , , , 1 a k chính là bao lồi của tập cácđỉnh a a0, , ,1 a k

1.3.5 Định nghĩa (Xem [1]) Biên r chiều của một đơn hình k chiều

 S là một đơn hình r chiều có các đỉnh là tập con của các đỉnh của  S

1.3.6 Định nghĩa (Xem [1]) Phức đơn hình K là tập hợp các đơn hình

trong R n thỏa mãn các điều kiện:

 Nếu 1 đơn hình thuộc K thì mọi biên của đơn hình đó cũng thuộc K  Hai đơn hình phân biệt trong K hoặc không giao nhau, hoặc giaonhau theo một đơn hình duy nhất là biên chung của chúng

Chiều của K là chiều lớn nhất của các đơn hình trong K

Nếu K chỉ gồm hữu hạn đơn hình thì K gọi là phức đơn hình hữu hạn.Trong khuôn khổ luận văn, chúng tôi chỉ nghiên cứu về phức đơn hìnhhữu hạn

1.3.7 Ví dụ:

Hình 3 Đây là các phức đơn hình trong R 3 và có chiều bằng 2 và 3

1.3.8 Định nghĩa Phức đơn hình L được gọi là phức con của phức đơn

hình K nếu mỗi đơn hình thuộc L cũng thuộc K.

1.3.9 Định nghĩa Cho K là một phức đơn hình có chiều là k, khung r

chiều của phức đơn hình K là tập hợp các đơn hình trong K có chiều không vượt quá r ( r N r k ,  ) Ký hiệu K r

Nhận xét: Khung r chiều K r của K là phức con của K.

Cho K là phức đơn hình , ký hiệu    

i S  K là ánh xạ liên tục ( tức V  K , V mở khi và chỉ khi V  S là

mở trong  S ) Khi đó tôpô này của K trùng với tôpô cảm sinh từ R n lên

K và K tập compact

1.3.10 Định nghĩa K là phức đơn hình, a là một đỉnh của K Hình sao

của a là tập hợp tất cả các đơn hình mở của K chứa đỉnh a Ký hiệu: st a( )

1.3.11 Ví dụ: Cho K là phức đơn hình như hình 4.

 a là đỉnh duy nhất của K nằm trong st a 

  st a( ) a K 0 là phủ mở của K với K0 là tập tất cả các đỉnh của K.

1.3.13 Định nghĩa (Xem [1]) Nếu không gian tôpô X sao cho X đồng

phôi với K , ( K là phức đơn hình nào đó) thì X được gọi là một đa diện và K

a0

a3

được gọi là phép tam giác phân của đa diện X Nếu f K:  X là phép đồng

phôi và S là 1 đơn hình của K thì f S( ) X được gọi là đơn hình cong

Chú ý: Một đa diện có thể có các phép tam giác phân khác nhau.

1.3.14 Định nghĩa Giả sử K là 1 phức đơn hình, thứ phân của phức

đơn hình K là phức đơn hình K' thỏa mãn các điều kiện:

 Các đỉnh của phức K' là các điểm trong K

 Nếu  S là đơn hình trong K' thì tồn tại đơn hình  S nào đó của K

sao cho  S  S

 Ánh xạ tuyến tính : K  K chuyển mỗi đỉnh của K' thành điểm

tương ứng của nó trong K là phép đồng phôi

1.3.15 Ví dụ:

Hình 5

Cho hai phức đơn hình K và K’ như hình 5 Vì:

- Các đỉnh của K a a a, 0, ,1 2 đều là các điểm trong K

- Các đơn hình  S1  a a0 , 2; S2  a a2 , 1 trong K đều nằm trong đơnhình   S a a0 , 1K

- Ánh xạ tuyến tính biến mỗi đỉnh của K thành điểm tương ứng của nó

trong K là ánh xạ đồng nhất nên là phép đồng phôi.

Vậy K là thứ phân của K.

0

CHƯƠNG 2 NHÓM CƠ BẢN CỦA PHỨC ĐƠN HÌNH

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức về nhóm cơ bảncủa phức đơn hình và nhóm cơ bản của đồ thị - trường hợp đặc biệt của phứcđơn hình

2.1 Ánh xạ đơn hình

2.1.1 Định nghĩa (Xem [7]) Cho K, L là các phức đơn hình, ánh xạ

  là một ánh xạ đơn hình nếu thỏa mãn các điều kiện:

 Biến mỗi đỉnh của K thành một đỉnh của L

 Biến mỗi đỉnh của đơn hình S trong K thành đỉnh của đơn hình S’trong L

 S là đơn hình trong K với các đỉnh a a0, , ,1 a k , điểm p =

0

k

i i i

K L mà còn phụ thuộc vào cấu trúc của K và L nên ta ký hiệu : K  L

2.1.2 Ví dụ: Ánh xạ  cho bởi hình 6 là một ánh xạ đơn hình

Hình 6

2.1.3 Định nghĩa (Xem [7]) K, L là các phức đơn hình, f K:  L là ánh xạ liên tục Ánh xạ đơn hình : K  L là một xấp xỉ đơn hình của

f

nếu f st a    st a , với mỗi đỉnh a K

2.1.4 Ví dụ: Cho phức đơn hình K, L như hình 7:

Vậy  là xấp xỉ đơn hình của f

2.1.5 Định lý (Xem [7]) Giả sử :K L là xấp xỉ đơn hình của

Với mỗi đỉnh a của đơn hình (S) ta có: p st a ( ) thì

Vậy f p , p đều thuộc  S 

2.1.6 Bổ đề Giả sử f K:  L là một ánh xạ đơn hình,  là xấp xỉ đơn hình của f ,khi đó f  .

Chứng minh.

Với mỗi đỉnh a K , do  là xấp xỉ đơn hình của f nên ta có

         

f a  f st a st  a f là ánh xạ đơn hình nên f a  cũng là đỉnh của L.

Mà  a là đỉnh duy nhất của Lnằm trongst a  , suy ra f a    a

Vậy ta có f a   a , a là đỉnh của K nên f p    p ,  p K hay

p K nên theo định lý 2.1.4  p f p,   cùng thuộc một đơn hình của

L do đó t  p  1  t f p   cùng thuộc một đơn hình của L, vậy F xác định.

Vì  và f liên tục nên F liên tục.

Ta có: F p ,0f p ,F p ,1   p ,  p K

Vậy F là phép đồng luân nối f và  hay f  

 Vì f K1 là ánh xạ đơn hình và  K1 là xấp xỉ đơn hình của f K1 nên

Điều kiện cần: hiển nhiên

Điều kiện đủ: Giả sử f st v    st v ,  v K0

Ta xây dựng ánh xạ  như sau:    0 1   

  Để chứng minh  là xấp xỉ đơn hình của f ta chỉ

cần chứng minh  là ánh xạ đơn hình Thật vậy, ta có  thỏa mãn điều kiện 1

và 3 của định nghĩa 2.1.1, ta sẽ chứng minh  thỏa mãn điều kiện 2, tức là

Vậy  là xấp xỉ đơn hình của f 

2.2 Nhóm cơ bản của phức đơn hình

2.2.1 Định nghĩa

Cho K, L là các phức đơn hình,   1 , 2: K  L là các ánh xạ đơn hình.

1 , 2

  được gọi là mật tiếp nếu mỗi đơn hình   S  a0 , ,a kK tồn tại đơnhình  S L sao cho  1 a0 , ,  1 a k và  2 a0 , ,  2 a k là các đỉnh của  S

2.2.2 Ví dụ:

K là phức đơn hình 3 chiều với các đỉnh a a a a0 , , , 1 2 3

L là phức đơn hình 1 chiều với các đỉnh v v v0 , , 1 2

2.2.3 Định nghĩa Hai ánh xạ đơn hình   , được gọi là tương đương

mật tiếp nếu tồn tại dãy hữu hạn các ánh xạ đơn hình   0 , , , 1 k:K  L saocho  0    , k   và i1mật tiếp với i,  i 0,k

2.2.5 Định lý (Xem [7]) Cho K là một phức đơn hình,

I I Vì I I là không gian mêtric compact nên tồn tại số  > 0 sao cho mọi

hình tròn bán kính  đều được chứa trong F 1st a  

với a nào đó thuộc K0.Chọn một thứ phân I của I với các đỉnh: a0  0, , ,a1 a k  1 và một thứ

phân khác I của I với các đỉnh , 0, , 2 

2

k k

m

m  Khi đó I Itrở thành một

m r

a

1

m r

1

m r

1 1

m r

