Đạo hàm dọc đường cong trên đa tạp riemann

ĐA TẠP RIEMANN 2 - CHIỀU.Trong chương này chúng tôi trình bày một số nội dung cơ bản về đa tạp khả vi ánh xạ khả vi, vectơ tiếp xúc và trường vectơ tiếp xúc, ánh xạ tiếp xúc và đồng thời

Chương 1 ĐA TẠP RIEMANN 2 - CHIỀU.

Trong chương này chúng tôi trình bày một số nội dung cơ bản về đa tạp

khả vi (ánh xạ khả vi, vectơ tiếp xúc và trường vectơ tiếp xúc, ánh xạ tiếp xúc)

và đồng thời chúng tôi cũng trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của

đa tạp Riemann 2 - chiều

Các nội dung của chương này được xem như là phần chuẩn bị cho chương 2

§1 ĐA TẠP KHẢ VI

Trong mục này, ta luôn giả thiết rằng R n là không gian Ơclit n - chiều vớimục tiêu trực chuẩn tự nhiên:  O;e1, ,e n và M là một không gian tôpôHausdoff

X Ta xét U =  ( , ) 1 \ 0



S y y

x

ánh xạ : U  V; X  x Khi đó U,   là một bản đồ của S1

Thật vậy:

- Dễ kiểm tra rằng  là một song ánh và   1:(t  1 t2) ;t  ( 1 ; 1 )

- Ánh xạ : (x,y)  x là phép chiếu lên thành phần thứ nhất, do đó  liêntục

- Mặt khác, ánh xạ  -1 được đồng nhất với ( 1, 2) Trong đó 1:t tvà

Hai bản đồ U1, 1  , U2, 2  của M được gọi là phù hợp nếu và chỉ nếu ánh xạ  12 = 1 1 1 2  2









2 Hai bản đồ bất kì của họ trên đều phù hợp

b Một Atlat cực đại của M được gọi là một cấu trúc khả vi của M (một Atlatđược gọi là cực đại nếu nó không bị chứa trong một Atlat nào)

c Không gian M cùng với cấu trúc khả vi trên đựợc gọi là một đa tạp khả vi n chiều và được kí hiệu là M n

-Chú ý :

- Trên cùng không gian M , ta có thể đưa vào được nhiều cấu trúc khả vi khác

t f

 t o f

- Giả sử điểm p  M , khi đó p  U, với một  nào đó Ta có  p  R n Nếu

Ánh xạ f khả vi với p  M thì f được gọi là khả vi trên M

Ví dụ 4 :

M = R, N = S1 với U = M , V = R,  id. Khi đó U,   là mộtcấu trúc khả vi trên R, như trong ví dụ 3





 f khả vi

Tương tự, đối với f  t  U ; ( = 2, 3, 4).Vậy f khả vi

Bây giờ ta kí hiệu : F p M  = { f : M  R| f khả vi tại p} ;

- Nếu vectơ v tiếp xúc với  tại p thì ta cũng nói vectơ v tiếp xúc với M tại

Như vậy v là ánh xạ tuyến tính từ F p M   R

2/  f , g  F p M , ta nhận được :

v ( f g ) = dt d ( f g )  (t) |t

= dt d [ f   (t) g  (t)]|t

= f   (t ) dt d g  (t)|t + g   (t) dt d f  (t) |t

= f (p).v(g) + g(p).v( f )

Ta kí hiệu : T p M = {v | v là vectơ tiếp xúc với M tại p} Hai phép toán trong

Tp M được xác định như sau :

Bây giờ để tìm số chiều của T p M , ta chú ý tới các toạ độ địa phương tại p Giả

sử pU , pp , ,1 p n Khi đó với f  Fp (M ), ta có thể xem f như là một

p t p p f

i

n i

x t

E x

1

1 là cơ sở của ß (U )

1.11-Định nghĩa:

Giả sử f là ánh xạ khả vi, f : M  N Ánh xạ tiếp xúc của f tại điểm

p  M, được kí hiệu fp, được xác định như sau:

v

p

f   | ;gF f p N)

Bây giờ ta xét p  U và f p V Khi đó nếu px1, ,x n thì f  p  y1, ,y n

với: y jx1, ,x n ; j  1 ,k.

Ta kí hiệu :

p n

k k

n p

f

x

y x

y

x

y x

1

Ma trận J | f p được gọi là ma trận Jacôbi của f tại p

Như ta đã biết trong 1.8 nếu vT p M thì v được viết dưới dạng p

n

i x

.

|

i i

j

, 1

;

|

p f p

v v

v v J

v v f

~

~

|

~

|

1 1

p f

v

v J v

v J

~

~

|

.

|

1 1



i i x v

Như ta đã biết ( xem [ ] ) một đa tạp khả vi n - chiều M được gọi là đa tạpkhả song nếu tồn tại trên M một hệ trường mục tiêu  X1, ,X n ; X i  ß ( M ),(nghĩa là  X1 p , ,X n p  là một cơ sở của Tp M ; p  M ).

Trong suốt luận văn này, ta luôn giả thiết rằng M là một đa tạp khả song

2 - chiều

2.1 -Định nghĩa : Một cấu trúc Riemann trên M đó là một ánh xạ g đặt tương

ứng với mỗi điểm p  M với một g p thoả mãn :

1/ g p Là một tích vô hướng trong T pM ; p  M.

2/ g khả vi phụ thuộc vào p ( nghĩa là g ( X,Y ) là một hàm số khả vitrên M ;X , Y  ß ( M ) )

Đa tạp M cùng với cấu trúc Rieman g được gọi là đa tạp Riemann 2- chiều

2.2- Ví dụ :

Ví dụ 1 : M là mặt phẳng Oxy thông thường và g là tích vô hướng thông thường

trong mặt phẳng (g pp, p  p, p ) Khi đó ( Oxy, g ) là một đa tạpRiemann 2 - chiều

Ví dụ 2 : Ta kí hiệu H = {( x, y)  Oxy | y>0} Ta đưa vào H một cấu trúcRiemann g như sau g : p g p.Trong đó g p X p,Y p  = 2

1

y  X , p Y p  với p(x,y) H

Thật vậy, ta sẽ kiểm tra cấu trúc Riemann g

Trước hết, ta sẽ chứng minh g p là tích vô hướng trên H ; p  H.

 X p = 0  g p X p  Xp,Y p  = 2

Tiếp tục, kiểm tra tính khả vi của g

Giả sử X (X1, X2) ; Y(Y1,Y2 ) là hai trường vectơ khả vi với toạ độ tự nhiêntrong H Khi đó, ta có X1, X2,Y1,Y2 là các hàm số khả vi trên H.Ta xét :

- Từ nay ta viết X.Y thay cho g ( X,Y)

- Ta trở lại ví dụ 2 ( mục 2.2 ) Khi đó với { E1, E2} là trường mục tiêu tự

nhiên trên H, ta xét U 1 yE1 và U 2 yE2 thì {U1,U2 } là trường mục tiêu trựcchuẩn trên H

2.3-Định nghĩa :

Giả sử  là một đường cong trên M được cho bởi tham số hoá

 : J  M, t   (t) ; ở đây J = ( a,b )  R Độ dài cung của  được kí hiệu

là   và được xác định như sau :   = b  t  t dt

a

 ' .'

sin 1

sin 1

1 cos ln 2 1

2.4- Mệnh đề :

  không phụ thuộc vào việc chọn tham số hoá của 

Chứng minh :

Giả sử  có hai tham số hoá t   (t) ; tJ và s  r(s) ; sI = ( c, d)

Vì  , r tương đương nên có vi phôi : J  I, sao cho :  = r , với

 :  ; p  U Trong đó plà ánh xạ tuyến tính từ T p M vào R.

- Một dạng vi phân bậc 2 trên tập mở U của đa tạp Riemann M đó là ánh xạ

-  là 1- dạng thì  X là một hàm số trên U với X B(U ) và X , Y

cũng là một hàm số trên U với X,YBU

- Ta nói  , khả vi trên U nếu và chỉ nếu  X , X , Y tương ứng khả vi với

Giả sử trong U,  là hệ toạ độ địa phương của M với các toạ độ  x1, x2 

và XBU,

2 2 1 1 X X

1 Ta chú ý tới ánh xạ df , được xác định bởi

 X X f

df  , với fFU  Khi đó df 1U 



X x X

,

x

Y x

Y x

X x X Y

2 1







j dx d

1 2

= j

j j j

2 1

1 2

   

1 2

=  1

và 1U 

2 1 1

2 1 1 ,

,

U U d

U U d

Chương II ĐẠO HÀM CỦA TRƯỜNG VECTƠ DỌC ĐƯỜNG

CONG TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 2 - CHIỀU.

Trong suốt chương này, ta luôn kí hiệu  là một đường cong trên đa tạp Riemann 2 - chiều M được cho bởi tham số hoá  :J  M , t  t ; Trong

đó  là ánh xạ khả vi và J là một khoảng mở trong R

Mục đích chủ yếu của chương này là trình bày các khái niệm và các tính chất của đạo hàm một trường vectơ dọc đường cong  và xét phép chuyển dịch song song dọc .

§ 3 ĐẠO HÀM CỦA MỘT TRƯỜNG VECTƠ DỌC ĐƯỜNG CONG.Như chúng ta đã biết ( xem [ ] ), một trường vectơ dọc đưòng cong  trên

đa tạp Riemann 2 - chiều M đó là một ánh xạ X đặt tương ứng mỗi điểm p  

với một vectơ X p T p M Vì điểm p phụ thuộc vào t  Jnên trường vectơ X làmột ánh xạ với biến số t, ta thường viết X (t).

Giả sử U1,U2 là trường mục tiêu trực chuẩn trong bản đồ U,  của M.Khi đó, trong hệ toạ độ trên trường vectơ X (t)có sự biểu diễn

Giả sử X là trường vectơ dọc  và p  t Đạo hàm của X dọc  tại p đó

là vectơ : dt X |t và được xác định như sau :

dt X |t = X  t X  t   t  U  t X  t X  t 2   t  U2 t

1 1 2

1 1

2 2

1 Giả sử X X i ; Y Y i đối với cơ sở trực chuẩn  U1,U2

Từ định nghĩa ta có :

X Y t

dt  |  = X Y  t X Y  t 1   t  U1 t

2 2 1

t U t t X t X o

o

2 2 1 1 2 2 1 2

1 1

2 1

.

.

.

t U t t Y t Y

o

o

2 2 1 1 2 2

1 1 2

1 1

2 2 1

.

.

.

 không phụ thuộc vào đường cong  t

3.3-Định nghĩa: Với các trường vectơ Z, X trên M, trưòng vectơ

Để chứng minh định lý 3.3, ta cần chứng minh bổ đề sau :

3.5-Bổ đề : Giả sử p1, 2T p M là tiếp tuyến của  t tại p  t ; Z1, 2

là trường vectơ dọc  Khi đó :

2 2 2

1 1 2

    +   t t  t 2  t  U2 p

1 1

2 1

2 1 1 2

2 2 2

2

1 1

1 1 2

2

2 1

2 2 2

1 1 2

Z p X p X

1

1 2 2 2

2

2 1 1 2

|

2 1

2 2 2

1 1 2

i

x

Z Z p X p

Z Z

~

i i

i

x p

X 1~1 2~2 | 2

i i

x x

p

1 1 1 2

i i

x x

p

2 2 2 2

p U X p p X x

p i

p

i i

p i

p

i i

2 1 2 2

1 2

1 2

1 1

2 1

1

~ ,

~

.

.

2 2 2

1 1 2

2 ~ 

 +   p  p  2X p

1 2

~ 1 2

~ 2 2

1 ~ 

1 1

2 ~ 



Vậy X Z.Z~|p + X Z~.Z |p =   p

i i

i i

x x

p

1 1 1 2

i i

x x

p

2 2 2 2

=   p

i i

i i

x x

p

1 1 1 2

i i

x x

p

2 2 2 2

Từ (1) và (2),ta suy ra : XZ.Z~ p = X Z.Z~|p + X Z~.Z |p ;p  M

Vậy : XZ.Z~ = X Z.Z~ + Z.X Z~

3.6-Hệ quả : Với X p là tiếp tuyến với đường cong  t tại tvà p  t Khi

j

j

j i i

Thật vậy : với U11 , 0;U20 , 1.Ta có :

X U p   X p U  p  2X p U2 p

1 1

1 2

j

j

j i

1 1

2 2

Không phụ thuộc vào việc chọn trường mục tiêu

Để chứng minh định lý này ta cần sử dụng bổ đề sau :

3.8-Bổ đề :  là ma trận dạng liên kết đối với cơ sở U1,U2

 ~ là ma trận dạng liên kết đối với cơ sở  1 2

~ ,

~ U

U

C là ma trận chuyển từU1,U2 sang  1 2

~ ,

~

j

j

j i

j i

U

2 1

=   





2 1

2 1

.

k

k j

j i

j

i C U

~

2 1

2 1

k j

j i

k

Hay ta có thể viết : CC C ~

Vậy : ~ C 1 C C 1 C



     

Bây giờ ta trở lại việc chứng minh mệnh đề

Thật vậy, giả sử C:U U~.Trong đó U U1,U2 ;  1 2

~ ,

~

~

U U

U 

và XX1, X2, là ma trận dạng liên kết đối với cơ sở U

 1 2

~ ,

~

X X

X ,  ~ là ma trận dạng liên kết đối với cơ sở U~

Nội dung của mục này được xem như sau đây là phần ứng dụng của đạo hàm dọc đường cong trên đa tạp Riemann 2 - chiều.

§ 4 CHUYỂN DỊCH SONG SONG DỌC 

Bây giờ ta giả sử  :J  M , t  t là ánh xạ khả vi từ J= [a,b] lên đa tạp Rimanhai chiều M.Ta kí hiệu    J

4.1-Định nghĩa: Trường vectơ X ß (M) được gọi là trường vectơ song songdọc nếu

Vậy X  Y là trường vectơ song song dọc 

4.3-Hệ quả : Cho vectơ pa1, a2 T t M và  là ảnh của ánh xạ khả vi

2 1 1 2

1 2 2 1

X t X

t t

X t X

1 1

a t

X

a t

X





Áp dụng lý thuyết phương trình vi phân, hệ    có duy nhất nghiệm X1, X2

Từ hệ quả trên ta nhận thấy rằng Nếu là đường cong nối p và q trên M thìvới mỗi vectơ X p T p M có duy nhất một vectơ X q T q M

4.4-Định nghĩa : Giả sử là đường cong trên M được cho bởi ánh xạ khả vi

t X

1 1

a t X

a t X





 X pa1, a2 ; p 

 X  p X q ; p, q 

Vậy f là phép tịnh tiến

4.6-Định lí : f là một ánh xạ tuyến tính trực giao

Trước hết ta chứng minh f là ánh xạ tuyến tính

Ta đặt : Z = X  Y Vì X, Y là trường vectơ song song dọc  nên theo hệquả 4.1 thì Z = X  Y cũng là trường vectơ song song dọc 

Tiếp theo ta chứng minh f là ánh xạ trực giao

Thật vậy : Giả sử X, Y là các trường vectơ song song dọc 

dt

Y Y dt

X t

Y t X

dt

d

.

Cho X là trường vectơ song song dọc  thoả mãn X |  0 và  :   R Khi

đó  X là trường vectơ song song dọc  khi và chỉ khi  = const



 t1

 t o X

 t1X

X dt

d

2

Điều này mâu thuẫn với giả thiết Do đó   = 0   = const

 Ngược lại, nếu  = const thì  X song song dọc 

Thật vậy, theo giả thiết ta có :

X song song dọc     0

dt

X

 = const    = 0

Vậy  X song song dọc 

2.8-Định lí: Cho trường vectơ X song song dọc  Sử dụng phép chuyển dờisong song dọc  ta có thể mô tả dt X t

Giả sử đa tạp M có  n

i i

U 1 là trường mục tiêu khả song song dọc 

Theo giả thiết ta có :

    

    

  t X t X

X X

X X

t 





2 2

1 1

2 1

Khi đó :     i

n i

i t U X t

i i dt

U t X

1

.

=   i

n i

n i i







1

= n   i

i i

U t

i t U

X  | 1

t t

U t

t

t X t X

i i i

i t

U t X U

|

.