Đạo hàm lie của liên thông tuyến tính luận văn thạc sỹ toán học

tạ thị thanh liênđạo hàm lie của liên thông tuyến tính CHUYấN NGÀNH: HèNH HỌC - TễPễ Mó số: 60.46.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS... Trong một vài thập niên gầ

tạ thị thanh liên

đạo hàm lie của liên thông tuyến tính

CHUYấN NGÀNH: HèNH HỌC - TễPễ

Mó số: 60.46.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS NGUYỄN HỮU QUANG

VINH - 2011

MỤC LỤC Trang

LỜI NÓI ĐẦU 2

CHƯƠNG I ĐA TẠP KHẢ VI 4

I.ĐA TẠP KHẢ VI 4

II.LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI 7

III ÁNH XẠ TIẾP XÚC 14

CHƯƠNG II ĐẠO HÀM LIE CỦA LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH 19

I.ĐỘ CONG TRÊN ĐA TẠP 19

II ĐẠO HÀM LIE CỦA LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH 22

KẾT LUẬN 31

TÀI LIỆU THAM KHẢO 32

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie được ứng dụng nhiều trong các nghiên cứu

về lý thuyết hệ động lực, vật lý lượng tử và các ngành khác nhau của toán học Đặcbiệt nó được xem như một công cụ quan trọng để nghiên cứu các tính chất của hìnhhọc trên các đa tạp Riemann Trong một vài thập niên gần đây nhiều nhà toán học

đã quan tâm nghiên cứu về đạo hàm Lie trên các đại số, đại số Lie (xem [3])

Trên cơ sở một số kết quả của nhà toán học A.Ya.Sultanov và một số tài liệu

nghiên cứu về đạo hàm Lie (xem [3], [7], [8]), chúng tôi nghiên cứu đề tài:“ §¹o

hµm Lie cña liªn th«ng tuyÕn tÝnh”.

Luận văn được trình bày trong hai chương:

Chương I: Đa tạp khả vi.

Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất

cơ bản của đa tạp khả vi, liên thông tuyến tính, ánh xạ tiếp xúc trên đa tạp Đây lànhững kiến thức cơ sở chuẩn bị cho việc trình bày chương sau Chương I được chialàm ba phần

I Đa tạp khả vi

II Liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi

III Ánh xạ tiếp xúc

Chương II Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính.

Đây là chương thể hiện các kết quả chính của luận văn Trong chương này,chúng tôi trình bày chi tiết các khái niệm và tính chất, ví dụ về độ cong trên đa tạp,đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính và xét mối quan hệ giữa ánh xạ tiếp xúc vớiđạo hàm Lie Chương này được chia thành 2 phần

I Độ cong trên đa tạp

II Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính

Luận văn được hoàn thành vào tháng 12 năm 2011 tại Trường Đại học Vinhdưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin bày tỏlòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đã hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình họctập và nghiên cứu.

Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy côgiáo trong bộ môn Hình học – Tôpô, các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa đàotạo Sau đại học – Trường Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy, góp ý và tạo điềukiện cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn

Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè, gia đình đã độngviên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Vinh, tháng 12 năm 2011

Tác giả

Giả sử M là một T2 - không gian với cơ sở đếm được, U là tập mở trong M,

V là tập mở trong Rn và ánh xạ  :U  V là đồng phôi thì ( U, ) được gọi là một

 Với bất kỳ x  V1, ta xét điểm A(x, 1  x2 ) U1, ta có:  1(A) ≠ 1(B).

 Nếu U1 U2 = , ta quy ước rằng (U1, 1) và (U2, 2)phù hợp

Ta trở lại ví dụ 1.2 ở trên và xét thêm bản đồ

1 2

:

) 1

; 1 (

0 / )

; (

V U V

x S y x U

) 1

; 0 ( ) (

0 , 0 /

;

2 2

1 1

1 2

1

W W

W W

y x S y x U U W







Khi đó, ta có: f   2o 11:W1  W2

x 1 x 2 là một song ánh và khả vi.

Mặt khác, với bất kỳ y  (0;1), ta có: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( 1 ( ))

2 1

1 2 1 1

1 1 2

 Tập M cùng với một trúc khả vi được gọi là một đa tạp khả vi n – chiều.

Ta tiếp tục xét M = S1, cùng thêm các bản đồ sau:

Vậy S1 là một đa tạp khả vi 1 - chiều.

II.LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI.

Trong mục này, ta luôn giả thiết M là đa tạp khả vi thực với hệ bản đồ (U,  ) I

Ta ký hiệu:

F(U) = {f: U  R, khả vi}

B(M) =  X X là trường véc tơ tiếp xúc, khả vi trên M| 

TpM =  Không gian các véc tơ tiếp xúc với M tại p  M 

(X,Y)  DxY = (XY1, …, XYn)

Trong đó Y có toạ độ (Y1,…,Yn) Khi đó  là liên thông tuyến tính

Thật vậy,  thoả mãn 4 điều kiện của định nghĩa liên thông tuyến tính:

1 X(Y+Z) = DX (Y+Z) = DXY + DXZ

2 X+YZ = DX+YZ = DXZ + DYZ

3 XY = DX Y = DXY

4 X (Y) = DX(Y) = X.Y +  DXY

2 M là đa tạp khả song với trường mục tiêu  E1 , , En  và Y = 



n

i i

i E Y

1 Khi đó  là một liên thông tuyến tính

X Y Z X Y Z E

1

) (

) (

(     )

1

i i n

i

i

i E X Z E Y

i

i

Y X

1 1

1

)(

= (     )

1

i i n

i

i

i E Y Z E Z

i

i

i E Y Z E Z

X

1 1

= XZ + YZ

T3.XY =   



n i

i

i E Y X

i

i E Y X

i

i E Y X

1



=     





n i

i i

i X Y E Y

X

1

)

=   



n i

i

Y X

1

= X.Y +  XY

Vậy  là liên thông tuyến tính

1.2.3 Mệnh đề (Xem [5]) Trên M luôn tồn tại liên thông tuyến tính 

Chứng minh: Trước hết ta chứng minh trên mỗi U luôn tồn tại liên thông tuyến tính  Thật vậy, giả sử X, Y  B(U) Ta chú ý tới vi phôi  :U  V, (V là tập

Khi đó   là liên thông tuyến tính trên U

Giả sử {g}I là phân hoạch đơn vị liên kết với {U}I. Ta đặt 

Khi đó  là liên thông tuyến tính trên M

M = R3, XY = DXY + X  Y Khi đó:  liên thông tuyến tính.

Ta kiểm tra 4 điều kiện của định nghĩa:

T1  '  1 2  '

      

Từ mệnh đề 2.5 ta có nhận xét rằng: tổng của hai liên thông tuyến tính không phải

là một liên thông tuyến tính

III.ÁNH XẠ TIẾP XÚC.

1.3.1 Định nghĩa (xem [4]) Giả sử f là ánh xạ khả vi từ đa tạp M vào đa tạp N.

Ánh xạ tiếp xúc của f tại p là:

f*|p :T M p  T N p

v  f v v*|p( )  '

và được xác định như sau: Nếu v  TpM là véc tơ tiếp xúc với cung (t) trong M tại

p thì f*|p(v) = v’ là véc tơ tiếp xúc với cung fo(t) tại p’

v u z

v y

u x v

3 1 )

(

t v

t u

4 2

3 1 )

(

t z

t y

t x

v( )   ( ) /

1 ' '

j v

n n m m

v v

x

f x f

x

f x f x

f x f

1

2 1 2

1 1 1

1 0

0 1

1 0

0 1

CHƯƠNG II ĐẠO HÀM LIE CỦA LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH

Trong chương này, chúng tôi trình bày về độ cong trên đa tạp, đạo hàm Liecủa liên thông tuyến tính, tìm hiểu và chứng minh một số tính chất của đạo hàmLie, xét mối quan hệ giữa ánh xạ tiếp xúc f* với đạo hàm Lie

Ta ký hiệu: M là đa tạp khả vi thực n – chiều với cơ sở đếm được

B(M) = { Tập các trường véc tơ khả vi trên M}

F(M) = {f: M  R, khả vi}

: Liên thông tuyến tính

I.ĐỘ CONG TRÊN ĐA TẠP.

2.1.1 Định nghĩa độ cong trên đa tạp (xem [1]).

Giả sử  là một liên thông trên đa tạp M và  X, Y, Z  B(M)

Khi đó ánh xạ: R: B(M) x B(M) x B(M)  B(M)

(X, Y, Z)  XYZ - YX Z - [X,Y]Z

R được gọi là độ cong trên đa tạp M.

2.1.2 Bổ đề (xem [7]).

a Độ cong R là ánh xạ tam tuyến tính

b Trong trường mục tiêu

n i i

a Độ cong R là ánh xạ tam tuyến tính

Thật vậy, ta kiểm tra R tuyến tính đối với X

+ X, X’, Y, Z  B(M) Ta có

R(X+X’, Y, Z) = X+X’YZ - YX+X’Z - [X+X’,Y]Z

= XyZ + X’yZ - Y(XZ + X’Z) - [X,Y] + [X’+Y]Z

= Y[].XZ + YXZ (2) [X,Y] = XY - YX

Tương tự, ta kiểm tra được R tuyến tính đối với Y

Bây giờ ta kiểm tra R tuyến tính đối với Z

Tương tự, ta tính được

YXZ = Y[X[].Z + X[].YZ + Y[]XZ + .YXZ.(2)

[X,Y]Z = [X,Y][].Z + [X,Y]Z

= X[Y[]].Z – Y[X[]].Z + [X+Y].Z (3) Lấy đẳng thức (1) trừ (2) trừ (3) ta được

R(X, Y, Z) = R(X, Y, Z)

b Trong trường mục tiêu

n i i

X

j j i

f x x x

b Áp dụng bổ đề 1.2 ta có R là tam tuyến tính nên ta chỉ cần chứng minh b) đúng

trong trường mục tiêu của một bản đồ địa phương (U,X); 

[

= X Y E  f Y n X E  f

i i i n

i i

2.2.3 Mệnh đề (xem [3]) Tích Lie thỏa mãn tính chất Jacôbi, nghĩa là

[[X,Y],Z] + [[Y,Z],X] + [[Z,X],Y] = 0

Chứng minh

Ta có [[X,Y],Z][f] = [X,Y][Z[f]] – Z[[X,Y][f]]

= X[Y[[Z[f]]] – Y[X[Z[f]]]-Z([X[Y[f]] – Y[X[f]]])

= X[Y[[Z[f]]] – Y[X[Z[f]]] - Z[X[Y[f]]] + Z[Y[X[f]]] (1)Tương tự [[Y,Z],X][f] =Y[Z[[X[f]]] – Z[Y[X[f]]] – X[Y[Z[f]]] + X[Z[Y[f]]] (2)

[[Z,X],Y][f] = Z[X[[Y[f]]] – X[Z[Y[f]]] - Y[Z[X[f]]] + Y[X[Z[f]]] (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra [[X,Y],Z] + [[Y,Z],X] + [[Z,X],Y] = 0

2.2.4 Định nghĩa đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính

Cho X, Y, Z  B(M)

Ký hiệu LX(Y) : = [X, Y]

Ánh xạ LX : B(M)  B(M)   B(M) gọi là đạo hàm Lie của liên thông

tuyến tính  nếu

( LX)(Y, Z) = LX(Y Z) - Y( LXZ) -  X , Y Z

= D thông thường

Giải Áp dụng các công thức  = D, XY = DXY, [X,Y] = DXY – DYX và

DXY = (X[Y1], X[Y2]) với (LXD)(Y,Z)

+ [X, Y] = (0; 2xy) nên D[X,Y]Z = (2x2y; 2x3y).

+ [X, Z] = (xy; 4x2y) nên DY([X,Z]) = (x2y + xy; 8x2y + 4x3y)

1 (LX)(Y,Z) tuyến tính thực đối với  Y, Z  B(M)

2 LXY  L X  L X,

với X, Y  B(M); ,  R

Chứng minh

1 ( LX)(Y,Z) tuyến tính thực đối với  Y, Z  B(M)

+) Ta kiểm tra LX tuyến tính đối với Y

* Y, Y’, ZB(M), ta có

(LX)(Y+Y’, Z) = LX(Y+Y’Z) - Y+Y’(LXZ) - [X,Y+Y’]Z

= LX(YZ+Y’Z) - Y(LXZ) - Y’(LXZ) - [X,Y]Z -[X,Y’]Z

= [X, YZ+Y’Z] - Y(LXZ) - Y’(LXZ) - [X,Y]Z -[X,Y’]Z

=[X, YZ] + [X,Y’Z] - Y(LXZ) - Y’(LXZ) - [X,Y]Z -[X,Y’]Z

= LX(YZ) + LX(Y’Z)- Y(LXZ) - Y’(LXZ) - [X,Y]Z -[X,Y’]Z

= LX(YZ) - Y(LXZ) - [X,Y]Z + LX(Y’Z) - Y’(LXZ) -[X,Y’]Z

2 (LX+Y)(Z,W) = LX+Y(ZW) - Z(LX+YW) - [X+Y,Z]W

= [X+Y, ZW] - Z[X+Y,W] - [X,Z]W -[Y,Z]W

= [X,  Z W] -  Z [X,W] + [Y,  Z W] -  Z [Y,W]-  [X,Z] W - [Y,Z] W = [X,  Z W] -  Z [X,W] -  [X,Z] W + [Y,  Z W] -  Z [Y,W] - [Y,Z] W =  ([X,  Z W] -  Z [X,W] -  [X,Z] W) + ([Y,  Z W] -  Z [Y,W] - [Y,Z] W) = (LX) + (LY)

thông tuyến tính nếu

đó cũng là một liên thông tuyến tính trên N.

Chứng minh Ta có f* : B(M)  B(N) là một đẳng cấu tuyến tính

KẾT LUẬN

Luận văn đã đạt được những kết quả chính sau:

- Chứng minh chi tiết một số tính chất cơ bản của đa tạp khả vi, liên thôngtuyến tính, ánh xạ tiếp xúc trên đa tạp (mệnh đề 1.2.4 và nhận xét 1.2.6)

- Chứng minh chi tiết tính chất về độ cong của đa tạp M (mệnh đề 2.1.3)

- Chứng minh chi tiết tính chất cơ bản của tích Lie (mệnh đề 2.2.3)

- Phát biểu và chứng minh tính chất đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính(các mệnh đề 2.2.7a,b,c).

- Trình bày mối quan hệ của f* với đạo hàm Lie (Mệnh đề 2.2.8)

Trong thời gian tới, chúng tôi tiếp tục tìm hiểu về đạo hàm Lie của các hàm

độ cong Ricci trên đa tạp Riemann

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt:

[1] Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn (2003), Lý thuyết liên thông và hình học

Rieman, NXB Đại học Sư phạm.

[2] Nguyễn Thị Dung (2001), Mối liên hệ giữa liên thông Lêvi – Civita và độ

cong trung bình của một siêu mặt trong đa tạp Rieman Luận văn thạc sĩ toán

học, Đại học Vinh

[3] Nguyễn Hữu Quang(2000), Bài giảng đại số Lie và nhóm Lie, Đại học Vinh [4] Nguyễn Hữu Quang(2007), Bài giảng đa tạp khả vi, Đại học Vinh.

[5] Nguyễn Hữu Quang (2005), Mở đầu hình học Rieman, Đại học Vinh.

[6] Đoàn Quỳnh(2001), Hình học vi phân, NXB giáo dục.

[7] Lê Thị Thơm (2009), Độ cong và độ xoắn trên đa tạp Riemann, Luận văn

thạc sỹ toán học, Đại học Vinh

[8] Bùi Cao Vân (2010), Đạo hàm Lie của dòng trên đa tạp, Luận văn thạc sĩ

toán học, Đại học Vinh

[9] M.Xpivak(1985), Giải tích toán học trên đa tạp, NXB đại học và trung học

chuyên nghiệp

Tiếng Anh:

[10] A.Ya.Sultanov(2010), Derivations of linear algebras and linear connections,

Journal of Mathematical Sciences,Vol.169, No.3,2010