Đạo hàm lie của k dạng vi phân với giá trị vectơ luận văn thạc sỹ toán học

TrƯờng đại học vinhNGUYỄN THỊ THU HƯƠNG ĐẠO HÀM LIE CỦA k-DẠNG VI PHÂN VỚI GIÁ TRỊ VECTƠ Chuyên ngành: Hình Học - Tôpô mã số: 60.46.10 Luận văn thạc sĩ toán học Người hướng dẫn khoa họ

TrƯờng đại học vinh

NGUYỄN THỊ THU HƯƠNG

ĐẠO HÀM LIE CỦA k-DẠNG VI PHÂN

VỚI GIÁ TRỊ VECTƠ

Chuyên ngành: Hình Học - Tôpô

mã số: 60.46.10

Luận văn thạc sĩ toán học

Người hướng dẫn khoa học

PGS TS NGUYỄN HỮU QUANG

MỤC LỤC

Mục lục 1

Lời nói đầu 2

Chương 1: k - dạng vi phân với giá trị véc tơ 4

1.1 Các khái niệm cơ bản 4

1.2 Đạo hàm Lie của trường véc tơ và dạng vi phân 8

1.3 Vi phân ngoài của các dạng vi phân với giá trị trên B(M) 12

1.4 Ánh xạ đối tiếp xúc 13

1.5 Liên thông Levi- Civita trên đa tạp Riemann 18

1.6 Ten xơ cong của đa tạp Riemann 21

Chương 2: Đạo hàm Lie của k-dạng vi phân với giá trị véc tơ 24

2.1 Đạo hàm Lie của k - dạng vi phân với giá trị véc tơ 24

2.2 Đạo hàm Lie của liên thông Lêvi- Civita 32

2.3 Đạo hàm Lie của độ xoắn và độ cong 36

Kết luận 38

Tài liệu tham khảo 39

LỜI NÓI ĐẦU

Đa tạp Riemann là những khái niệm cơ sở của toán học hiện đại, xuất hiện vàothế kỷ 19 Hình học trên các đa tạp có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khácnhau của toán học như: giải tích, lý thuyết hệ động lực, vật lý, các nghành khoa học

kỹ thuật, Đến những năm cuối của thế kỷ 19 , cùng với sự phát triển của tôpô vớinhững công trình nổi tiếng của Hausdoff, Poincaré thì hình học trên các đa tạp đãphát triển mạnh mẽ Và chính tôpô đã trở thành một công cụ hữu hiệu trong việcxây dựng các cấu trúc hình học , chẳng hạn như: liên thông, độ cong, độ xoắn, đạohàm các dạng vi phân trên các đa tạp Khi nghiên cứu sâu vào các loại đạo hàm, cácnhà Hình học và Giải tích đã thu được những tính chất hình học đặc trưng phongphú Một trong những đạo hàm thu hút được được nhiều sự quan tâm chú ý củanhiều nhà khoa học trong một vài thập niên gần đây phải kể đến đó là đạo hàm Lie Như chúng ta đã biết, đạo hàm Lie trên đa tạp giúp ta giải quyết việc tìmkiếm các đa tạp con có cực tiểu địa phương và xác định các loại độ cong của đa tạp.Ngoài ra đạo hàm Lie còn có nhiều ứng dụng trong lý thuyết hệ động lực, lý thuyếttruyền thông, … Việc nghiên cứu đạo hàm Lie trên đa tạp và các tính chất của nóđang nhận được sự quan tâm nghiên cứu của một số nhà toán học trong và ngoàinước Với mục đích là tìm hiểu về đạo hàm Lie và ứng dụng của nó, chúng tôi xây

dựng khái niệm đạo hàm Lie của k –dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đa tạp và

phát biểu các tính chất về đạo hàm Lie của độ cong trên đa tạp Chính vì vậy chúng

tôi lựa chọn đề tài cho luận văn của mình là: “ Đạo hàm Lie của k- dạng vi phân

với giá trị véc tơ ”.

Luận văn được trình bày trong hai chương:

Chương 1: k - dạng vi phân với giá trị véc tơ

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm cơ sở liên quanchính đến nội dung của chương sau Cụ thể, chúng tôi trình bày các định nghĩa và

các tính chất cơ bản của k - dạng vi phân với giá trị véc tơ, vi phân ngoài và ánh xạ

đối tiếp xúc

Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm về đạo hàm Lie của k - dạng

vi phân với giá trị véc tơ các định nghĩa, và phát biểu một số tính chất về đạo hàmLie của độ cong , độ xoắn và liên thông trên đa tạp

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sựhướng dẫn của thầy giáo PGS TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp này, tác giả xinchân thành cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS TS Nguyễn Hữu Quang, người đã đặtbài toán, chỉ dẫn đề cương nghiên cứu cho tác giả và đã tận tình hướng dẫn tác giảtrong quá trình học tập và nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy côgiáo trong khoa Sau Đại học đã tạo điều kiện , giúp đỡ tác giả trong quá trình côngtác và học tập Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo trongkhoa Toán cùng các bạn học viên Cao học 17 Hình học - Tôpô, trường Đại họcVinh đã giảng dạy và hướng dẫn giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập vàhoàn thành luận văn Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bèđồng nghiệp và gia đình, đã động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giảtrong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này

Vinh, tháng 12 năm 2011

Tác giả

CHƯƠNG 1

k - DẠNG VI PHÂN VỚI GIÁ TRỊ VÉC TƠ

Trong chương này, ta luôn giả thiết (M,g) là đa tạp Riemann n- chiều với cấutrúc Riemann g và ký hiệu:

B(M) = { X: X là trường véc tơ khả vi trên M }

TpM là không gian tiếp xúc với M tại p ∈ M

j M

Ta nói ω khả vi trên M nếu và chỉ nếu ωj khả vi với ∀ =j 1, ,n, với mọi

( ω η µ ∧ ∧ ) = ((ω η1∧ 1)∧µ1, ,(ω ηn∧ n)∧µn)

= (ω1∧(η µ1∧ 1), ,ωn∧(η µn∧ n)) = ω η µ∧ ∧( ).Vậy (ω η µ ω η µ∧ ∧ = ∧ ∧) ( ) W

1.2 Đạo hàm Lie của trường véc tơ và dạng vi phân

1.2.1 Định nghĩa ( Xem [6] )

Giả sử , X Y∈B(M) và { } ϕt t I∈ε là nhóm một tham số địa phương sinh ra bởi

trường véc tơ X ; Iε = − ( ε ε , ) , với ε dương

Giả sử ,X Y∈B(M) ; f ∈ F ( ) M và { } ϕt t I∈ε là nhóm một tham số địa

phương sinh ra bởi trường véc tơ X

= (L Y p X )( ) (+ L XZ)( )p = (L Y L X + XZ)( )p , ∀ ∈ p M Vậy L Y ZX( + = ) L Y L ZX + X

p t

( [ ])( [ ])( )

[ [ ]]

p t

t

Y t

Giả sử , X Y∈B(M) , ω ∈Ωk( )M và { } ϕt t I∈ε là nhóm một tham số địa

phương sinh ra bởi trường véc tơ X ; Iε = − ( ε ε , ) , với ε dương Ánh xạ

LXω : M →Λk(T M p )

p a ( LXω )p

được gọi là đạo hàm Lie của k- dạng vi phân ω theo trường véc tơ X, trong đó

( LXω )p được xác định bởi:

( )

* 0

tham số địa phương sinh ra bởi trường véc tơ X ; Iε = − ( ε ε , ) , với ε dương Khi

đó theo định nghĩa đạo hàm Lie của k- dạng vi phân, ta có:

∀ = Ánh xạ d:Ωk( , ( ))M B M → Ωk+1( , ( ))M B M

ωa dω

được gọi là vi phân ngoài của k- dạng vi phân ω với giá trị trên B(M), trong đó

dω được xác định bởi công thức sau:

pa f p( )= p'

TpM là không gian tiếp xúc với M tại p ∈ M

TpN là không gian tiếp xúc với N tại p'∈ N

Giải Trước hết ta thấy f là ánh xạ khả vi.

Véc tơ v tiếp xúc với đường cong ( )ρ t : ρ: R→R2

ta (1 3 ,2 4 )+ t + t

Ta có: (0)ρ = p , ρ'(0)= v

Ảnh của đường cong ( )ρ t qua ánh xạ f là: 2

3 7( ): 2 10 12

X X

Y Y

1.5.1 Định nghĩa

Giả sử ∇ là một liên thông tuyến tính trên đa tạp Riemann M với cấu trúc Riemann g, (ta thường viết g X Y( , ) = X Y ; X Y, ∈B( )M ) Khi đó, ∇ được gọi là liên thông Lêvi- Civita nếu ∇ thỏa mãn hai điều kiện sau:

1 Trường tenxơ xoắn T=0.

Do đó ∇ là một liên thông tuyến tính trên M

Bây giờ ta sẽ kiểm tra hai điều kiện của liên thông Lêvi- Civita

Với ∀X Y Z, , ∈B( )M ; ϕ ∈ F ( ) M ta có:

1 X Y , [ ] ϕ = X Y [ ] ϕ − Y X [ ] ϕ 

Để chứng minh tính duy nhất, ta chứng tỏ rằng nếu ∇ thỏa mãn điều kiện (1.)

và (2.) trong 1.5.1 thì nó thỏa mãn phương trình (1) Thật vậy, từ (1) ta có:

Vậy tính duy nhất được chứng minh W

1.6 Tenxơ cong của đa tạp Riemann

2 ( , , ).W R X Y Z =R X Z Y ( , , ).W+ ( , , ).W R Z Y X

+ ( ,W, ).R Y X Z R+ (W, , ).X Y Z (7)Tương tự, ta có:

Từ (7) và (8) suy ra : R X Y Z( , , ).W = R Z( ,W, ).X Y W

CHƯƠNG 2

ĐẠO HÀM LIE CỦA k - DẠNG VI PHÂN VỚI GIÁ TRỊ VÉC TƠ

Trong chương này, chúng tôi xây dựng định nghĩa và chứng minh các tính

chất về đạo hàm Lie của k- dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đa tạp M, công

thức kiểu Cartan Đồng thời chứng minh một số tính chất về đạo hàm Lie của của

độ cong, độ xoắn Các kết quả chính trong chương này là: Định lý 2.1.7 ; Mệnh đề2.1.8; Mệnh đề 2.2.4, Mệnh đề 2.2.5, Mệnh đề 2.3.2, Mệnh đề 2.3.3

2.1 Đạo hàm Lie của k- dạng vi phân với giá trị véc tơ

được gọi là đạo hàm Lie của k- dạng vi phân ω với giá trị véc tơ theo trường véc

tơ X , trong đó LXω được xác định bởi công thức

= (xdx dy X X X dx dy X X X∧ ([ , ],1 2), ∧ ([ , ],1 2))

= x( 1.1− −y.0).E1+ − −( 1.1 y.0).E2

= ( ).−x E1+ −( 1).E2.Tính toán tương tự ta được :

i. iX( ω µ + = ) iXω + iXµ

ii. iX Y+ ( ) ω = iXω + iYω

iii. i dX ϕ = X  ϕ

Như ta đã biết ([1]) : Với mọi k( )

µ ∈Ω ∀ = , ta có: ( ) ( 1)k

i ω µ ∧ = i ω µ ∧ + − ω ∧ i µ Suy ra iX( ω µ ∧ = ) ( ( iX ω µ1∧ 1), , ( iX ω µn ∧ n))

ii Với mọi ω ∈Ωk( , ( ))M B M và X ∈ B(M), áp dụng định lý 2.1.7 ta được:

nghĩa đạo hàm Lie của k - dạng vi phân trên M và mệnh đề 1.2.2 ta được:

ii Theo định nghĩa về đạo hàm Lie của liên thông Lêvi- Civita, ta có:

được gọi là đạo hàm Lie của độ cong R theo trường véc tơ X, trong đó L R X được

KẾT LUẬN

Những kết quả chủ yếu mà luận văn đã đạt được là:

1 Trình bày hệ thống định nghĩa k -dạng vi phân với giá trị véc tơ: các khái

niệm, các tính chất và các ví dụ cụ thể về đạo hàm Lie của trường véc tơ, của

k- dạng vi phân thực trên đa tạp

2 Xây dựng định nghĩa đạo hàm Lie của k- dạng vi phân với giá trị véc tơ trên

đa tạp và chứng minh một số tính chất về đạo hàm Lie của k- dạng vi phân

với giá trị véc tơ.( Định lý 2.1.7, Mệnh đề 2.1.8)

3 Chứng minh các tính chất về đạo hàm Lie của liên thông Lêvi- Civita, của độcong và độ xoắn trên đa tạp ( Mệnh đề 2.2.4, Mệnh đề 2.2.5 Mệnh đề 2.3.2 ,Mệnh đề 2.3.3)

4 Chỉ ra và chứng minh các Ví dụ 1.1.4 về k- dạng vi phân với giá trị véc tơ ;

Ví dụ 1.1.6 về tích ngoài của k- dạng vi phân ; Ví dụ 1.2.3 và Ví dụ 1.2.6 về đạo hàm Lie của trường véc tơ ; Ví dụ 1.3.2 về vi phân ngoài của k- dạng vi phân ; Ví dụ 1.4.2 và Ví dụ 1.4.4 về ánh xạ đối tiếp xúc của k- dạng vi

phân ; Ví dụ 1.5.2 về liên thông Lêvi- Civita ; Ví dụ 2.1.3 và Ví dụ 2.2.2 về

đạo hàm Lie của k- dạng vi phân với giá trị véc tơ, của liên thông

Lêvi-Civita

Trong thời gian tới, nếu có điều kiện chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu đạo hàmLie của liên thông và của độ cong trên nhóm Lie Nghiên cứu các ứng dụng củađạo hàm Lie của liên thông Lêvi- Civita và đạo hàm điều kiện của Lie của độcong trên đa tạp

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn ( 2005), Lý thuyết liên thông và hình học Riemann, NXB Đại học sư phạm.

[2] Nguyễn Hữu Quang, Ngô Đình Quốc, Nguyễn Văn Bồng (2008), Hình học vi phân, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội.

[3] Nguyễn Hữu Quang (2005), Bài giảng hình học Riemann, Đại học Vinh.

[4] Đoàn Quỳnh (2000), Hình học vi phân, NXB Giáo dục.

[5] Thái Thị Minh Thu (2007), K- dạng vi phân với giá trị véc tơ,

Luận văn thạc sĩ, Đại học Vinh

[6] Bùi Cao Vân (2010), Đạo hàm Lie của dòng trên đa tạp,

Luận văn thạc sĩ, Đại học Vinh

[7] Mehdi Nadjafikhah and Seyed- Reza Hejazi (2009), Lie Symmetries and Solutio Of KdV Equation, International Mathematical Forum 4(4), 165-176 [8] Paolo Piccione and Daniel V.Táuk (2006), Connections

compatible with tensors and characterization of

invariant Levi- Civita connectionsin Lie groups, Revista

de la Unión Matemática Argentina, Voi 47 No.1, pp

[9] R P Singh and S D Singh (2010), Lie Derivatives and

Almost Analytic Vector Fields in a Generalised Structure

Manifold, Int J Contemp Mat Sciences, Vol 5, 2010,

no.2, 81-90

[10] A Ya Sultanov (2010), Derivations of linear algebras and linear

connectionsin , Journal of Mathematical sciencs, Vol 169, No.3 , 2010

362 -412