Cấu trúc siêu symplectic trên đại số lie luận văn thạc sỹ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯƠNG TUẤN ANH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CẤU TRÚC SIÊU SYMPLECTIC TRÊN ĐẠI SỐ LIE Khóa: 17 – Khoa Toán, Trường Đại học Vinh Chuyên ngành: Hình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRƯƠNG TUẤN ANH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CẤU TRÚC SIÊU SYMPLECTIC TRÊN ĐẠI SỐ LIE

Khóa: 17 – Khoa Toán, Trường Đại học Vinh

Chuyên ngành: Hình học Tôpô

Mã số: ………

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Nguyễn Việt Hải

Vinh - 2011

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 2CHƯƠNG 1 - CÁC CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT TRÊN ĐẠI SỐ LIE

§ 1 Liên thông, liên thông xoắn tự do, phẳng 4

§ 2 Cấu trúc phức, tích phức trên đại số Lie g 5

§ 3 Cấu trúc siêu symplectic trên đại số Lie g 6

§ 4 Liên thông xoắn tự do,

phẳng symplectic trên đại số Lie 2 chiều 7CHƯƠNG 2 - ĐẠI SỐ LIE 4 CHIỀU MANG CẤU TRÚC SIÊU

LỜI NÓI ĐẦU

Hình học vi phân là bộ môn toán học sử dụng phương pháp củaphép tính vi phân và tích phân để nghiên cứu các vấn đề của hình học.Các định lý về mặt phẳng, các đường cong trong không gian, các mặttrong không gian Euclid 3 chiều là cơ sở ban đầu cho sự phát triển của

bộ môn này từ thế kỷ thứ XVIII và XIX Ứng dụng của hình học viphân trong Vật lý, dạng vi phân có ích cho việc nghiên cứu các hiệntượng điện tử, cơ học Lagrangian và cơ học Hamilton Hình họcSymplectic là công cụ đặc biệt để nghiên cứu cơ học Hamilton TrongKinh tế học, Hình học vi phân có ứng dụng trong các thuộc toán kinh

tế Trong thiết kế, xây dựng hình học vi phân có thể ứng dụng để giảiquyết các vấn đề về xử lý tín hiệu số

Có thể nói, lý thuyết nhóm Lie ra đời là sự kết hợp của các ngànhHình học - Tôpô, giải tích và Đại số Vì vậy nhóm Lie là một phầnquan trọng của Toán học và nó rất cần thiết đối với những người đi sâuvào nghiên cứu Hình học - Tôpô

Vào cuối thế kỷ XIX đã xuất hiện sự kết hợp lý thuyết nhóm và hìnhhọc Riemann trong các công trình chủ yếu của Phêlix Klein (1849-1925) và Sophus Lie (1842-1899) Các cống hiến của Ph.Klein là cácnghiên cứu về nhóm rời rạc và sự phân loại của Hình học theo cácnhóm biến đổi Còn S Lie, các nghiên cứu của ông chủ yếu về nhómliên tục, ông đã cho một phương pháp tổng quát để tìm các bất biến quamột nhóm hữu hạn các phép biến đổi liên tục Điều này đã làm nhómLie trở thành một công cụ gần như cho tất cả các ngành toán học hiệnđại và vật lý hiện đại, đặc biệt là trong lý thuyết hạt cơ bản Và chínhnhà toán học người Nauy này là một trong những người sáng lập ra lýthuyết nhóm Lie

Việc phân loại các đại số Lie là bài toán phức tạp Riêng đại sốLie 4 chiều số lượng là hàng chục, đại số Lie 5 chiều số lượng hàngtrăm với 1 đại số Lie ta đưa thêm cấu trúc phụ ví dụ cấu trúcSymplectic, cấu trúc phức, cấu trúc siêu phức để việc phân loại đại sốLie trở thành một phân loại con mà có thêm cấu trúc mới trên đó Với ýtưởng như thế ta cũng đưa thêm cấu trúc siêu symplectic trên đại số Lienhằm 2 mục đích sau: Một là phân loại đại số Lie có cấu trúc siêusymplectic 4 chiều Hai là tìm thêm và xây dựng các ví dụ về đại số Lie

có cấu trúc symplectic Để làm được điều này, hướng nghiên cứu của talà: Phân loại đại số Lie 2 chiều, sau đó xây dựng đại số Lie với cấu trúcsymplectic 2 chiều, 4 chiều, 4n chiều

Luận văn được hoàn thành vào tháng 12 năm 2011 với sự hướng

dẫn tận tình của PGS TS Nguyễn Việt Hải Nhân dịp này, tác giả xin

chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy, người đã hướng dẫn tác giảtrong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn cácthầy cô giáo trong bộ môn Hình học - Tôpô, các thầy cô giáo trongkhoa Toán, khoa đào tạo Sau Đại học - Trường Đại học Vinh, đã nhiệttình giảng dạy, góp ý và tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình họctập và thực hiện luận văn

Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè, giađình đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoànthành luận văn

Vinh, tháng 12 năm 2011

Tác giả

CHƯƠNG 1

CÁC CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT TRÊN ĐẠI SỐ LIE

§1 Liên thông, liên thông xoắn tự do, phẳng 1.1 Liên thông

1.1.1 Định nghĩa: - Một không gian tôpô gọi là liên thông nếu không

thể biểu diễn dưới dạng hợp của 2 tập mở khác rỗng rời nhau

- Một không gian tôpô E gọi là liên thông cung (liên thông đường) nếuvới mọi cặp hai điểm x,y trên E đều có thể xác lập một ánh xạ liên tục f

từ đoạn thẳng đơn vị [0,1] vào E sao cho f(0)=x , f(1)=y

1.2 Liên thông xoắn tự do, phẳng

Chúng ta nhắc lại định nghĩa một số khái niệm sau Cho tùy ý 1liên thông  trên đa tạp M, độ xoắn T và bán kính cong R được xác định

Liên thông được gọi là xoắn tự do khi T=0 và phẳng khi R=0.

Trên đại số Lie g , liên thông  là xoắn tự do khi X Y Y X vàphẳng khi    X Y Y X với mọi X Y , g

Cho G là 1 nhóm Lie với đại số Lie g và giả sử rằng  là liênthông bất biến trái đối với G nghĩa là nếu mọi X Y , g là 2 trườngvéctơ bất biến trái thì X Yg cũng là bất biến trái

Cho G là một nhóm Lie với đại số Lie g, Lie G = g và giả sửrằng G chấp nhận 1 liên thông trái bất biến  Điều này có nghĩa rằngnếu mọi X Y , g là hai trường véctơ bất biến trái trên G thì X Y gcũng là một bất biến trái

§2 Cấu trúc phức, tích phức trên đại số Lie g 2.1 Cấu trúc phức trên đại số Lie g

Một cấu trúc hầu phức trên đại số Lie g một tự đẳng cấu tuyến

tínhJ:g g thỏa mãn J -12 Nếu J thỏa mãn thêm điều kiện

thì ta nói J là một cấu trúc phức trên g Chú ý rằng chiều của đại số Lie

có cấu trúc hầu phức phải là số chẵn

Tiếp theo ta xét cấu trúc khác tương tự cấu trúc phức Một cấu

2.2 Cấu trúc tích phức trên đại số Lie g

Một cấu trúc tích-phức trên đại số Lie g là cặp  J E,  của một

Điều kiện JE EJ kéo theo các không gian riêng ứng với các giá trịriêng +1 và -1 của E có chiều như nhau, chứng tỏ khi đó E là một cấutrúc song phức trên g

Sau đây chúng ta đưa ra một phương pháp để xây dựng đại sốLie mang cấu trúc siêu symplectic bắt đầu đối với 2 đại số Lie đượctrang bị các liên thông tương thích xoắn tự do, phẳng và các dạngsymplectic

§3 Cấu trúc siêu symplectic

3.1 Định nghĩa: Cấu trúc siêu symplectic trên đại số Lie g là bộ

J E, ,g mà g là đại số con của g sao cho g  g   g  và g Jg

3.2 Định lý: Giả sử ta có các điều kiện sau đây:

 sao cho  '  '  0.

(i) Biểu diễn  : u  gl( ) v và  : v  gl u

(ii) x y,     '  x ,  y  với mọi x,y  u.

và v có 1 cấu trúc siêu symplectic trên g sao cho g   u vàg   v.

trúc đại số Lie được ký hiệu g:=u⋈v và được gọi là tích bricoss của u

và v Quan sát thấy rằng u và v là các đại số con Lie của g Nếu chúng

ta để ý tới định nghĩa của  và , chúng ta sẽ thấy rằng móc Lie giữa 1phần tử của u và 1 phần tử của v được cho bởi

x, 0 , 0,  a    1 'a x ,  x  1 a 

§4 Liên thông xoắn tự do, phẳng sympletic trên đại số Lie 2 chiều

4.1 Định lý: Cho 2 span e e 1 , 2 biểu thị đại số Lie giao hoán 2 chiều

và cho  e1  e2là dạng symplectic cổ điển trên 2

 Liên thông  xoắn

0

0 0

Thay vào (1) ta được 2

 , e e1 , 2 là cơ sở đối ngẫu và '

 được cho bởi

 phải là 1 trong các liên thông trong Định lý 4.1 Đầu tiên chúng ta giả

sử rằng  phải là kiểu (a) trong Định lý 4.1 Các đẳng cấu tuyến tính

của 2

 trong đó thỏa mãn sự tương đương symplectic giữa  và '

 đượcbiểu diễn bởi:

1 3 1 3

0 0

Bây giờ ta giả sử rằng liên thông  ở dạng (b) trong Định lý 4.1.

Các đẳng cấu tuyến tính của 2

 cung cấp sự tương đương symplectic

giữa  và '

được cho bởi

1 3 1 3

0 0

Kết quả của hệ phương trình vi phân trên được xác định với mỗi

 là đầy đủ

Vậy các liên thông xoắn tự do phẳng trên 2

 với hệ số khác 0bảo toàn dạng symplectic chỉ có 1 loại '



 trong mệnh đề trên thuộc vềphân loại lớp A4

Trong phần tiếp theo chúng ta nghiên cứu đại số Lie 2 chiều trên

 

Lie Aff   của biến đổi affine x   x   với các thông số

4.3 Định lý: Cho  e1  e2 là dạng symplectic cổ điển trên aff   Khi

đó chỉ có một liên thông xoắn tự do phẳng trên aff   mà    0 nhưsau

(b) 1 1

1 2

- Trong trường hợp đầu tiên với a 1;b  ;c 0;d  1;g 0;h 0 chúng

ta có được liên thông kiểu (a)

- Trong trường hợp thứ hai với 1; ; 0; 1; 0; 0

a b  c d  g  h chúng

ta có được liên thông kiểu (b)

Trong mệnh đề tiếp theo chúng ta có được sự tương đương của liên

thông có trong Định lý 4.3

4.4 Mệnh đề: Cho  là liên thông xoắn tự do phẳng trên aff   và  làmột dạng symplectic  song song trên aff   Khi đó  ,  là tươngđương symplectic với  1 1 2

,e e

  hoặc  2 1 2

, e e

  mà e e1 , 2 là 1 cơ sởtương thích của aff  ,  1 2

    và  phải là một trong các liên

thông xoắn tự do phẳng trong Định lý 4.3.

Đầu tiên chúng ta giả sử rằng  là 1 liên thông kiểu (a) trong

Định lý 4.3 Các đẳng cấu tuyến tính của aff  là tương đương

symplectic giữa  và 1

 được cho bởi

1 1 2

Nếu  là liên thông kiểu (b) trong Định lý 4.3 Các đẳng cấu

tuyến tính của aff  là tương đương symplectic giữa  và 2

 và 2

 không tươngđương Thật vậy, họ các không gian con  1 

ràng là dimW1=1 trong khi W 2  0 Do đó có 2 liên thông không tươngđương

* Cuối cùng chúng ta chỉ ra rằng liên thông là không đầy đủ Cho

1 2 0

 

1

a t không xác định trong trường số thực Do đó 1

 là không đầy đủ.Tương tự nếu x t a t e1  1 a t e2  2 là 1 đường cong trong aff   thỏa

1 2 0

Chúng ta cũng có thể chỉ ra 1 cấu trúc đại số Lie mới bắt đầu với

2 đại số Lie trang bị liên thông xoắn tự do phẳng và dạng symplectic

Như thế trong chương 1 chúng ta liệt kê tất cả các liên thôngxoắn tự do phẳng bảo toàn dạng symplectic trên các đại số Lie 2 chiều,

cụ thể bài toán được xét trên các đại số 2

 và aff() có đúng hai kiểuliên thông như vậy Các kết quả quan trọng này sẽ được sử dụng vào cáctrường hợp 4 chiều: Mô tả đại số Lie 4 chiều có cấu trúc siêu symplectic

CHƯƠNG 2

ĐẠI SỐ LIE 4 CHIỀU MANG CẤU TRÚC SIÊU SYMPLECTIC

Trong phần này chúng ta sẽ xây dựng một cách rõ ràng tất cảcác đại số Lie 4 chiều mang cấu trúc siêu symplectic bằng cách sử dụngđịnh lý về các điều kiện tương đương Để làm được điều này chúng taphải xác định hai bộ sau (u, ,), (v, , ') và đẳng cấu tuyến tính

:

 u  v thỏa mãn các điều kiện trong Định lý 3.2 về các điều kiện

tương đương Các đại số Lie uvà v là 2 chiều và do đó chúng đẳngcấu với 2

 hoặc aff   Liên thông xoắn tự do, phẳng trên đại số Lie

mà tương thích với dạng symplectic cổ điển Chúng ta chỉ có thể thành

lập đẳng cấu tuyến tính  mà được chấp nhận Chúng ta sẽ nghiên cứuvấn đề này trong 4 trường hợp sau.

e e là cơ sở đối ngẫu Chúng ta cũng cố định 1 cơ sở

 f f1 , 2 của v và dạng symplectic liên kết   ' f1  f2 , ở đó  1 2 

Đặt X:=-e2 ; Y:=e1 ; Z:= f1 ; T:=f2 khi đó Y Z,  T

Chúng ta biểu thị đại số Lie này bởi 0

( )e i f i ,i 1, 2

   Dễ dàng nhận thấy rằng đẳng cấu này là tương thíchvới  và  ' và cũng như  và  ' Do đó chúng ta có được 1 cấu trúcsiêu symplectic trên g Nếu chúng ta biểu thị e i: ( ,0) e i và f i: (0, )  f i

cho i=1,2 khi đó chúng ta có

  với   0 trong các cơ sở e e1 , 2 ,  f f1 , 2

Do đó chúng ta có 1 cấu trúc siêu symplectic về đại số Lie chéo hóa g:=u ⋈v   2 x 2 Chúng ta có:

§2 Trường hợp B: u aff( )  và 2



v

Chúng ta cố định cơ sở e e1 , 2 của u mà e e1 , 2 e2 và dạngsymplectic liên kết  e1  e2 với e e1 , 2 là cơ sở đối ngẫu Chúng tacũng cố định cơ sở  f f1 , 2 của v và dạng symplectic liên kết

Trong trường hợp này, chúng ta có g:=u⋈v =aff   x 2 Chúng

ta có thể giả sử rằng đẳng cấu tuyến tính : aff     2 mà chúng ta tìmkiếm thỏa mãn  ( )e i f i với i=1,2

Dễ dàng thấy rằng đẳng cấu này là tương thích với  và  ' cũngnhư với  và  ' Do đó, chúng ta có được một cấu trúc siêu symplectictrên g Chúng ta sẽ mô tả đại số Lie này như sau

Nếu biểu thị e i: ( ,0)  e i và f i: (0, )  f i cho i=1,2 thì các móc Lie khác 0 là

e e1 , 2 e2 ;e f1 , 1  f1 ;e f1 , 2 f2 Chúng ta sẽ thay đổi cơ sở bằng cách đặt

  với   0, trong các cơ sở e e1 , 2 và  f f1 , 2

Do đó chúng ta có cấu trúc siêu symplectic trên đại số Lie g:=u⋈v =

2 3 1

Trong trường hợp này chúng ta có g:=u⋈v =aff   x 2 Chúng

ta giả sử rằng đẳng cấu tuyến tính : aff     2 mà chúng ta tìm kiếmthỏa mãn  ( )e i f i với i=1,2 Dễ dàng thấy rằng đẳng cấu này là tươngthích với  và  ' cũng như với  và  ' Chúng ta có được 1 cấu trúcsiêu symplectic trên g Nếu chúng ta biểu thị e i: ( ,0)  e i và f i: (0, )  f i

cho i=1,2 Khi đó các móc Lie khác 0 là

có cấu trúc siêu symplectic trên đại số Lie g:=u⋈v =aff   x 2 Chúng

ta biểu thị e i: ( ,0)  e i và f i: (0, )  f i cho i=1,2 thì các móc Lie khác 0 là

0 là: e f1 , 1 e e f1 ; 2 , 1 e2 ; f f1 , 2 f2

Chúng ta thay đổi cơ sở bằng cách đặt

1 ; 1 ; 2 ; 2

 2 ,  a,  e1  e2 và aff( ), '   b, '  f1  f2 Chúng ta tìm kiếm 1 đẳng cấu tuyến tính : aff     2 màtương thích với  và  ' cũng như với  và  ' Khi đó,  phải có dạng

  với   0, trong các cơ sở e e1 , 2 và  f f1 , 2 Do đó chúng ta

có cấu trúc siêu symplectic trên đại số Lie g:=u⋈v=aff   x 2.Chúng tabiểu thị e i: ( ,0)  e i và f i: (0, )  f i cho i=1,2 thì các móc Lie khác 0 là:

Chúng ta tìm kiếm 1 đẳng cấu tuyến tính : aff     2 màtương thích với  và  ' cũng như với  và  ' Khi đó,  phải có dạng

  với   0, trong các cơ sở e e1 , 2 và  f f1 , 2 Do đó chúng ta

có cấu trúc siêu symplectic trên đại số Lie g:=u⋈v = 2xaff   Chúng

ta biểu thị e i: ( ,0)  e i và f i: (0, )  f i cho i=1,2 thì các móc Lie khác 0 là:

Chúng ta tìm kiếm 1 đẳng cấu tuyến tính : aff    aff   màtương thích với  và  ' cũng như với  và  ' Khi đó,  phải có dạng

  với   0, trong các cơ sở e e1 , 2 và  f f1 , 2 Do đó chúng ta

có cấu trúc siêu symplectic trên đại số Lie g:=u⋈v =aff   xaff   Nếu chúng ta biểu thị e i: ( ,0)  e i và f i: (0, )  f i cho i=1,2 thì các móc Lie khác 0 là:

  với   0, trong các cơ sở e e1 , 2

và  f f1 , 2 Do đó chúng ta có cấu trúc siêu symplectic trên đại số Lieg:=u⋈v =aff   xaff   Nếu chúng ta biểu thị e i: ( ,0)  e i và f i: (0, )  f i

cho i=1,2 thì các móc Lie khác 0 là:

Trong chương trước chúng ta đã xác định được liên thông xoắn

tự do, phẳng trên đại số Lie 2 chiều mà tương thích với một dạngsymplectic và thu được các lớp tương đương của nó Chúng ta chỉ ra tất

cả các liên thông xoắn tự do phẳng mà giữ nguyên một dạng symplectictrên các đại số Lie 2 chiều, cụ thể là trên 2

 và trên aff   Những kếtquả quan trọng được sử dụng trong trường hợp 4 chiều Trong phầntrước chúng ta đã trình bày 1 phương pháp để xây dựng đại số Lie 4chiều mang cấu trúc siêu symplectic từ đại số Lie 2 chiều được trang bịcác liên thông tương thích xoắn tự do và dạng symplectic Sử dụngphương pháp này chúng ta thu được các phân loại tương đương của tất

cả các bất biến trái có cấu trúc siêu symplectic trên nhóm Lie 4 chiều.Tất cả các nhóm Lie này đều là nhóm mũ Mục đích của phần này là đểcung cấp cách xây dựng cấu trúc siêu symplectic trên R 4n đầy đủ vàkhông nhất thiết phải phẳng Ý tưởng đằng sau nghiên cứu này sẽ đượcxem xét cấu trúc siêu symplectic cổ điển trên Nhóm này sẽ là 1 nhómLie kép  4n, 2nx 0 , 0 x    2n

   được xây dựng từ dữ liệu affine trên 2n

 Phần này được sắp xếp như sau: Chúng ta cung cấp cho 4n

 một cấu trúc