Một số tính chất hình học đặc trưng của không gian bânch luận văn thạc sỹ toán học

Các tính chất hình học của tập hợp như:tính lồi, tính trơn, tính trực giao và tính khả vi....phụ thuộc vào tính chất củachuẩn trang bị cho không gian Banach.. Mục đích của luận văn này l

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS PHẠM NGỌC BỘI

VINH - 2011

MỤC LỤC

Trang

Mục lục 1

Lời nói đầu 2

§1 Không gian Banach lồi 4

§2 Không gian Banach trơn 20

§3 Sự trực giao trong không gian Banach 26

§4 Đạo hàm Gateaux của chuẩn 32

§5 Đạo hàm Frechet của chuẩn 40

Kết luận 44

Tài liệu tham khảo 45

LỜI NÓI ĐẦU

Các tính chất hình học của tập hợp trong không gian Banach phụ thuộcvào cấu trúc của không gian Banach Các tính chất hình học của tập hợp như:tính lồi, tính trơn, tính trực giao và tính khả vi phụ thuộc vào tính chất củachuẩn trang bị cho không gian Banach

Mục đích của luận văn này là nghiên cứu, trình bày một số tính chất hìnhhọc đặc trưng của không gian Banach Với mục đích đó luận văn được trìnhbày thành năm mục

§1 Không gian Banach lồi

Trong mục này trình bày các định nghĩa, tính chất, ví dụ minh hoạ về tínhlồi đều, lồi chặt, lồi đều địa phương yếu và các khái niệm cơ bản để sử dụngcho các mục sau

§2 Không gian Banach trơn

Trong mục này trình bày các định nghĩa và tính chất của không gianBanach trơn, không gian Banach trơn đều Công thức đối ngẫu Lindestrauss,Định lý Smulian (1941)

§3 Sự trực giao trong không gian Banach

Trong mục này trình bày các định nghĩa, tính chất và ví dụ về tính trựcgiao, tính trực giao trái, tính trực giao phải Mối liên hệ giữa tính trơn, tính lồi

và tính trực giao

§4 Đạo hàm Gateaux của chuẩn

Trong mục này trình bày định nghĩa, tính chất của đạo hàm Gateaux củachuẩn Mối liên hệ giữa tính trơn và khả vi Gateaux

§5 Đạo hàm Frechet của chuẩn

Trong mục này trình bày định nghĩa và tính chất của đạo hàm Frechet củachuẩn Mối liên hệ giữa tính trơn đều, tính lồi đều và khả vi Frechet

Các kết quả trình bày trong luận văn không mới, chúng đã được trình bàyrải rác trong các tài liệu tham khảo Trong luận văn này, chúng tôi trình bàycác vấn đề theo hệ thống của mình Ngoài việc trình bày lại các khái niệm,tính chất cơ bản đã có, chúng tôi chứng minh chi tiết các kết quả trong các tàiliệu tham khảo và đưa ra các ví dụ, phản ví dụ, nhận xét và các kết quả Luậnvăn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS PhạmNgọc Bội Trong quá trình nghiên cứu chúng tôi đã nhận được sự quan tâm,giúp đỡ của các thầy cô giáo, bạn bè cùng người thân Qua đây tôi xin bày tỏlòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy giáo hướng dẫn, tới các thầy

cô trong tổ Hình học-Tôpô, tới các thầy cô trong khoa Toán, khoa Sau đại họcTrường Đại học Vinh cùng tất cả các bạn bè và gia đình đã giúp đỡ tôi rấtnhiều trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng song không thể tránh khỏi những saisót Rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận vănhoàn thiện tốt hơn

§1 KHÔNG GIAN BANACH LỒI

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số định nghĩa và tính chất cơbản của không gian Banach lồi để sử dụng cho các phần sau

1.1. Định nghĩa Tập X khác rỗng được gọi là một không gian vectơ

thực (hoặc -không gian vectơ) nếu trên đó đã cho 2 phép toán cộng và nhân

vô hướng sao cho thoả mãn các điều kiện:

5) (x) = (x) = ()x, với mọi x  X, với mọi ,   ℝ;

6) (x + y) = x + y, với mọi x, y  X, với mọi   ℝ;

7) ( + )x = x + x, với mọi x  X, với mọi ,   ℝ;

8) 1.x = x, với mọi x  X

ta gọi chúng là không gian vectơ

1.2 Định nghĩa Giả sử X là không gian vectơ Hàm p: E  ℝ thỏa mãncác điều kiện:

(N1) p x   0,  x X và p x    0 x  0;

(N2) p x   p x ,  x X,    ;

(N3) p x y   p x   p y , x y X,  ;

cùng với một chuẩn xác định trên nó được gọi là một không gian định chuẩn

1.3 Ví dụ Xét không gian vectơ 2

Một không gian định chuẩn và là không gian mêtric đầy đủ theo mêtric

sinh bởi chuẩn thì được gọi là một không gian Banach.

Trên một tập hợp, trang bị các chuẩn khác nhau ta có các không gian

|max

-   n : n ,sup n 

n

|,x

chất: nếu hai vectơ a b A,  thì đoạn thẳng a b nằm trọn trong A., 

Cho X là không gian định chuẩn, trong suốt luận văn này chúng tôi sửdụng các ký hiệu sau

- B(X) là hình cầu đóng tâm 0, bán kính 1 trong X, B(X) =  x X x  1

1.7 Định nghĩa

Không gian Banach X được gọi là lồi ngặt (hay lồi chặt) nếu với mọi

tuyến, ta chứng minh X lồi ngặt Thật vậy, giả sử X không lồi ngặt, khi đó tồn

Từ (1.6), (1.7) ta có mâu thuẫn Vậy X là lồi ngặt

thể giả thiết y  1, x  1 Đặt,  1 t tx y , 2 t t x  y với t   Bằngviệc tính trực tiếp ta thấy  1 là lồi và  1 t   2 t với t 0 Ta cũng có

   

1 0 2 0

   , 1 1   2 1 Từ  2 là hàm tuyến tính, do đó  1 t   2 t với t 0

1.9 Chú ý Không gian Banach X lồi ngặt khi và chỉ khi mỗi đường

thẳng có không quá hai điểm có cùng chuẩn Nói cách khác mỗi đường thẳngcắt mặt cầu tại không quá hai điểm Thật vậy, giả sử X có hai điểm x, y cócùng chuẩn Không mất tính tổng quát ta giả sử x, y  S(X) Lấy z bất kỳthuộc [x, y], khác x và y; z = x + (1-)y, 0 <  <1 Do Định lý 1.8 nên

1  x  (1   )y >  x (1   )y  z Vậy trên đoạn thẳng [x, y] ngoài haiđiểm x và y, tất cả các điểm khác có chuẩn nhỏ hơn 1 Suy ra điều cần chứngminh

1.10 Ví dụ

a) Không gian c0 và l1 không phải là không gian lồi ngặt Thật vậy, gọi

e1 = (1,0, 0, ), e2 = (0,1,0, ) Trong trường hợp c0, lấy x e  1 e2, y e  1 e2

thì x 0  y 0  1, x y 0  2 Trong trường hợp l1 lấy x e y e 1 ,  2 thì

1 1 1;

không phải là không gian lồi ngặt

1.11 Định nghĩa Không gian Banach X được gọi là lồi đều nếu với

mọi > 0 đều tồn tại  =   0 sao cho với mọi x y S X,  ( ) mà x y   tacó

1.12 Ví dụ

Không gian Hilbert có số chiều bằng 1 không là không gian lồi đều.

Mọi không gian Hilbert có số chiều lớn hơn hoặc bằng 2 là không gian lồiđều Thật vậy, khi không gian Hilbert X có dimX = 1 Trên S(X) chỉ có 2

điểm e1 và e2 e1 Với x e y 1 , e2 không tồn tại   0 sao cho 1

2 2

2

y x y

ta có

2 2

2 2

2 2

2

y x

Từ đó, suy ra rằng với mọi 0,2 khi đặt

041



thì với mọi x y S X,  ( ) mà x y  ta có    

2

gian Hilbert lồi đều

1.13 Nhận xét X 0 0;0X  1;X  không giảm theo .

1.14 Chú ý Trong Định nghĩa 1.11 về không gian Banach lồi đều ta có

thể thay điều kiện x, y  S(X) bởi điều kiện x, y B(X) nhờ mệnh đề sau.

1.15 Mệnh đề Cho X là không gian Banach lồi đều và 1 p   Khi

đó với   0 tồn tại p   0 sao cho nếu x , y 1 và x y   thì

1   

p p p

p p

t t

Thực vậy, giả sử trong hai số x , y , x là số lớn hơn lớn Khi đó

Như vậy chúng ta chứng minh (1.12) với x 1, y 1 và x y   Nếu(1.12) không thoã mãn thì với   x n , y n là các dãy trong X, tồn tại   0 thoảmãn y n   1 x n và x n  y n   sao cho

x z

 Điều này mâu thuẫn với tính lồi đều của X Suy ra (1.12) đúng, ta có điều phảichứng minh

Từ đó ta suy ra Hệ quả sau :

3) Nếu X là không gian Hilbert thì X lồi chặt khi và chỉ khi X 2 1 Chứng minh 1) + Giả sử X lồi đều, ta cần chứng minh 0 X 0 Vì

X lồi đều nên với mọi 0,2 , tồn tại   0 sao cho với mọi x  , y X mà

x  Đây là điều mâu thuẫn.Vậy X lồi chặt.

lồi chặt thì X  2 1. Vì X lồi chặt nên theo định nghĩa ta có: với mọi x  y

1.17.Mệnh đề Mọi không gian con và mọi không gian thương của

không gian lồi đều là không gian lồi đều.

Chứng minh

- Rõ ràng mọi không gian con của không gian lồi đều là không gian lồi

đều

- Bây giờ ta chứng minh mọi không gian thương của không gian lồi đều

là không gian lôì đều Cho F là không gian thương của không gian lồi đều E.Giả sử x y F,  , với x y   , x  1, y  1 Cho   , 0 Ta gọi  , lần lượt làđại diện của x,y trong E, với  E   1  ,,  E   1  , Vì    đại diện cho x-y,

1.18 Mệnh đề Nếu E là lồi đều, có phép chiếu tới điểm gần nhất trên

mỗi tập con lồi C của E (Phép chiếu này không tuyến tính, ngay cả khi C là không gian con đóng của E).

Chứng minh Cho C là tập con đóng của E; ta chứng tỏ rằng có phép

chiếu p từ E lên C sao cho x px inf x z z C  , với mọi x E

2 ,

2

1 1

n A



1.19 Định nghĩa

Không gian định chuẩn X được gọi là phản xạ nếu X X **

1.20 Mệnh đề Không gian Banach lồi đều là không gian phản xạ.

Chứng minh Nếu E là không phản xạ, chúng ta có thể tìm được một

sử E không phản xạ là sai, tức là E là không gian phản xạ.

1.21 Định nghĩa Giả sử X là không gian Banach, A là tập bị chặn còn

B là tập bất kỳ trong X Ta gọi số

r A , B = inf {sup{ x y : xA } : y  B} (1.14)

là bán kính Chebyshev của A đối với B Ta viết r A thay cho rA , co A 

trong đó co A là bao lồi của A

1.22 Định nghĩa Cho X là không gian Banach Hệ số cấu trúc chuẩn

chuẩn tắc của X được xác định bởi

 

diamA sup d x, y   x y : x, y A  

1.23 Định lý Cho X là không gian Banach với mô đun lồi X Khi đó,

hệ số cấu trúc chuẩn chuẩn tắc của X thỏa mãn:

  1 -  X 1  1

N X    (1.15).

của X và 0 Kí hiệu d diamA  và r  r A Chọn x và y thuộc A sao

z     Vì

 1

d

x z

d

y z

và

d

d d

y x d

y z d

y z d

y x

X Ta gọi X* là không gian liên hợp hay đối ngẫu (thứ nhất) của X Đặt X**X**

và gọi X** là không gian liên hợp thứ hai của X

1.25 Định nghĩa X#=  phiếm hàm tuyến tính trên X  Giả sử F X#,

f F liên tục Khi F X*, ta có tôpô X X, * gọi là tôpô yếu Vì có thể

1.26 Định nghĩa Giả sử  x n X , x X Dãy  x được gọi là hội tụ n theo chuẩn (tương ứng hội tụ yếu) tới x nếu x hội tụ tới n xtheo tôpô sinh bởi

1.27 Định lý (xem [1]) Giả sử  x n X , x X Khi đó x hội tụ yếu n tới x khi và chỉ khi f x n hội tụ tới f x với mọi f X*.

1.28 Định nghĩa

+) Tập con A của không gian Banach X được gọi là đóng yếu nếu A

đóng theo tôpô yếu

1.29 Định nghĩa Không gian Banach được gọi là lồi đều địa phương

yếu (tương ứng, lồi đều địa phương) nếu với  x n S X và x 0 S X sao cho

2 0 1

x

x n

thì x n hội tụ yếu về x0 (tương ứng: hội tụ theo chuẩn)

1.30 Định lý Không gian lồi đều địa phương là lồi đều địa phương

yếu Không gian lồi đều địa phương yếu là lồi ngặt.

Chứng minh Khẳng định thứ nhất hiển nhiên, ta chứng minh khẳng

rõ ràng thuộc S(X) đối với mỗi n Do tính lồi đều địa

S

sao cho  f n hội tụ * yếu tới f0 thì f n hội tụ yếu tới f0;

ii) Nếu X*là không gian lồi đều địa phương và      *

0

* ,f S X X

S

sao cho  f n hội tụ * yếu tới f0 thì f n hội tụ tới f0 theo chuẩn;

iii) Nếu X là không gian lồi đều địa phương và  x n S X ,x0S X

sao cho  x n hội tụ yếu tới x0 thì  x n hội tụ tới x0 theo chuẩn.

Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề i), chứng minh các mệnh đề, ii)

và iii) tương tự

0

* ,f S X X

§2 KHÔNG GIAN BANACH TRƠN

Chúng ta xét một khái niệm mạnh hơn tính trơn đó là tính trơn đều

2.2 Định nghĩa Một không gian Banach X được gọi là trơn đều nếu

2.3 Nhận xét Mọi không gian trơn đều là không gian trơn.

Nhận xét này được suy ra từ các Định nghĩa 2.1 và 2.2

2.4 Định lý (Công thức đối ngẫu Lindestrauss)

Với mọi không gian Banach X và với mọi t 0 ta có

t sup t

(i) X là không gian lồi đều khi và chỉ X * là trơn đều.

(ii) X là trơn đều khi và chỉ khi X * là lồi đều.

Chứng minh (i) Giả sử X* trơn đều Suy ra 

mọi  > 0, tồn tại  > 0 sao cho

tức là X là lồi đều

không trơn đều Khi đó

*

Vì thế, tồn tại 0  (0; 2] sao cho

E0 <

2

E)(2

)

X 0

Vậy X lồi đều suy ra X* trơn đều

(ii) Theo (i) ta có X* lồi đều suy ra X** trơn đều Vì J(BX) trù mật trong BX** đối với tôpô (X**, X*), trong đó J là phép nhúng chuẩn tắc X vào X** nên ta có

*

X u , v B B ' y ,' x

*

X u , v B B ' y ,' x

*

X x ,' y ' B B v , u

khi và chỉ khi X* lồi đều

2.6 Định lý

i) Nếu X* lồi ngặt thì X trơn.

ii) Nếu X* trơn thì X lồi ngặt.

Chứng minh

i) Chứng minh bằng phương pháp phản chứng Giả sử X không trơn thìtồn tại x 0 S X và f,gS X* sao cho f  g và f x0  1 g x0 Lưu ý rằngvới mọi 0    1 thì f 1  g B X và ( f 1    g) x  1 vỡ

ii) Chứng minh bằng phương pháp phản chứng

1 2

1 2

1 2

2.7 Hệ quả

Banach X trơn nếu và chỉ nếu X*lồi ngặt.

Để đánh giá độ trơn, độ lồi, người ta đưa ra các khái niệm p – trơn, p –

lồi như sau

2.8 Định nghĩa Không gian Banach X được gọi là:

- p – trơn (p > 1) nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho X()  Cp vớimọi   [0; +  )

- p – lồi (p > 1) nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho   p

X C

0; 2

2.9 Nhận xét Hiển nhiên nếu X là p – trơn (p > 1) thì X là trơn đều.

2.10 Ví dụ Nếu X là không gian Hilbert với dim X ≥2 thì X là không

gian 2-lồi, 2-trơn

Bây giờ ta chứng minh X là không gian 2-lồi Trong trường hợp này ta sửdụng đẳng thức hình bình hành

||x+ y||2 + ||x – y||2 = 2(||x||2+ ||y||2) (2.5).Với mọi x, y  S(X), từ đẳng thức hình bình hành ta có

44

22

2

2 2

2 2

Để tính X(), ta chú ý

||x + y||2 = <x + y, x + y> = 1 + 2<x, y> + 2

||x - y||2 = <x - y, x - y> = 1 - 2<x, y> + 2

12y,x21

y,x2

Không gian lp với 2 < p < +  là không gian p – lồi.

Chứng minh Để chứng minh các không gian lp với 2 < p < +  là

không gian p – lồi ta sử dụng bất đẳng thức Clarkson sau (xem [5])

Với mọi x y , Slpmà ||x – y||p =  ta suy ra

y x y x y

p p

p

p p

p p

p p

Vì thế 1 1- 1- p , x, y Sp

p

l p

Cho x,y X ta nói x trực giao với y (ký hiệu xy) nếu x  x y với

3.2.Chú ý

i) Trong trường hợp X là không gian Hibert thì tính trực giao được địnhnghĩa trong không gian Hilbert trùng với khái niệm trực giao ở đây

  0 Vì xy cho nên x  x y ,     Với  tùy ý,  ℝ, ta đặt

chứng minh y không trực giao với x Ta có y x ,1   ,

y   x  max    , 1 Suy ra yx khi và chỉ khi 1  y 

y   x  max    , 1 , với mọi ℝ Nhưng điều này không đúng với -1 < 

< 0 Do đó y không trực giao với x

iv) Từ x y và xz không suy ra được x ( y + z )

với -1 <  < 0 Do đó x không trực giao với y+z

3.3 Định lý

Cho f  X* Khi đó x y với mỗi y ker(f) nếu và chỉ nếu f x  f .x

Chứng minh Giả sử x y với mỗi yker(f) Giả sử

f x  p x Khi đó, (3.1)với yker(f) ta có f x y    f x  p x p x y

Giả sử x0, khi đó mỗi z X biểu diễn dưới dạng z x y 0 , y oker f Vậy z x y y k ,  er f ( vì ker(f) là không gian con của X) Sử dụng (3.1)

ta có

f z   f x y     f x y     p x y p z

Vậy f  p Nhưng f x p.x vì thế f  p và ta có f x  f .x

Ngược lại, nếu f x  f .x thì với mỗi yker(f) ta có fx y  f x

nhưng f x  fxy  f .xy do đó x  x y với mỗi yker(f) Do ker(f)

3.4 Hệ quả Nếu x là vectơ khác không trong không gian Banach X thì

x trực giao với tất cả các phần tử của một siêu phẳng nào đó đi qua gốc.

Chứng minh Ta chỉ ra tồn tại f  X* sao cho

x x

3.5 Hệ quả Nếu x, y X, x 0 thì tồn tại  sao cho xxy.

Chứng minh Theo Hệ quả 3.4, x trực giao với mọi phần tử thuôc siêu