MÖC LÖCTrang MÖC LÖC... Khæng gian tuy¸n t½nh E còng vîi mët chu©n tr¶n nâ ÷ñc gåi l khænggian ành chu©n.
Trang 1MÖC LÖC
Trang
MÖC LÖC 1
LÍI NÂI U 2
Ch÷ìng 1 C¡c ph¦n tû h¤ng húu h¤n trong ¤i sè Banach nûa nguy¶n tè 4
1.1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 4
1.2 Ph¦n tû h¤ng mët 16
1.3 Ph¦n tû h¤ng húu h¤n 23
Ch÷ìng 2 nh x¤ h¤ch v c¡c ph¦n tû h¤ch trong ¤i sè Ba-nach 27
2.1 nh x¤ h¤ch giúa c¡c khæng gian ành chu©n 27
2.2 C¡c ph¦n tû h¤ch trong ¤i sè Banach 31
KT LUN 38
TI LIU THAM KHO 39
Trang 2LÍI NÂI U
¤i sè Banach v lþ thuy¸n phê l mët trong nhúng chõ · nghi¶ncùu quan trång cõa gi£i t½ch h m, nâ câ nhi·u ùng döng trong gi£i t½ch
v c¡c ng nh kh¡c cõa to¡n håc Khi nghi¶n cùu lþ thuy¸t phê trong ¤i
sè Banach, ng÷íi ta th÷íng chó þ ¸n t½nh ch§t cõa c¡c ph¦n tû h¤nghúu h¤n v ph¦n tû h¤ch Ph¦n tû h¤ng húu h¤n v ph¦n tû h¤ch l mëttrong nhúng chõ · ÷ñc c¡c chuy¶n gia gi£i t½ch h m quan t¥m nghi¶ncùu (xem [4], [5], [6], [7] v [8]) T Mouton v H Raubenheimer [7] v J.Puhl [8] l nhúng nh to¡n håc ¢ tr¼nh b y nhúng ành ngh¾a v ành l½quan trång v· ph¦n tû h¤ng húu h¤n v ph¦n tû h¤ch Möc ½nh ch½nhcõa luªn v«n l düa v o t i li»u tham kh£o º t¼m hiºu v· ¤i sè Banach,
¤i sè Banach nûa ìn, ¤i sè Banach nûa nguy¶n tè, t½nh ch§t cõa ph¦n
tû h¤ng mët, ph¦n tû h¤ng húu h¤n v ph¦n tû h¤ch Vîi möc ½ch âluªn v«n ÷ñc vi¸t th nh hai ch÷ìng
Ch÷ìng 1 C¡c ph¦n tû h¤ng húu h¤n trong ¤i sè Banach nûanguy¶n tè
Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v t½nh ch§t cõa ¤i sè Banach,
¤i sè Banach nûa ìn, ¤i sè Banach nûa nguy¶n tè, c¡c kh¡i ni»m v·ph¦n tû h¤ng mët, ph¦n tû h¤ng húu h¤n v c¡c t½nh ch§t cõa chóng
Mð ¦u ch÷ìng l mët sè kh¡i ni»m v c¡c k¸t qu£ cì b£n cõa ¤i sèBanach, ¤i sè Banach nûa ìn v ¤i sè Banach nûa nguy¶n tè Sau â
l kh¡i ni»m v mët sè t½nh ch§t cõa ph¦n tû h¤ng mët v ph¦n tû h¤nghúu h¤n
Trang 3Ch÷ìng 2 nh x¤ h¤ch v c¡c ph¦n tû h¤ch trong ¤i sè BanachCh÷ìng n y tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m v t½nh ch§t cõa ¡nh x¤ h¤ch,ph¦n tû h¤ch v mèi quan h» giúa chóng.
¦u ti¶n, chóng tæi tr¼nh b y ành ngh¾a ¡nh x¤ h¤ch, t½nh ch§t cõa
¡nh x¤ h¤ch giúa c¡c khæng gian ành chu©n Ti¸p theo l kh¡i ni»m v mët sè t½nh ch§t cõa c¡c ph¦n tû h¤ch trong ¤i sè Banach v mèi quanh» giúa chóng vîi ¡nh x¤ h¤ch
Luªn v«n ÷ñc thüc hi»n t¤i tr÷íng ¤i håc Vinh d÷îi sü h÷îng d¨ntªn t¼nh v nghi¶m khc cõa th¦y gi¡o PGS TS inh Huy Ho ng còngvîi sü gióp ï v ëng vi¶n cõa c¡c th¦y cæ gi¡o trong Tê Gi£i t½ch, BanChõ nhi»m Khoa To¡n, Khoa o t¤o Sau ¤i håc, b¤n b±, gia ¼nh T¡cgi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc èi vîi sü ch¿ b£o, d¼u dt, ëng vi¶ncõa th¦y cæ còng c¡c b¤n
M°t dò ¢ câ nhi·u cè gng, nh÷ng luªn v«n khæng tr¡nh khäi nhúngh¤n ch¸, thi¸u sât Chóng tæi r§t mong nhªn ÷ñc nhúng þ ki¸n ânggâp cõa quþ th¦y, cæ gi¡o v b¤n åc º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn.Xin tr¥n trång c£m ìn!
Ngh» An, th¡ng 12 n«m 2011
T¡c gi£
Trang 4CH×ÌNG 1
CC PHN TÛ HNG HÚU HN TRONG I
SÈ BANACH NÛA NGUYN TÈ
Trong ch÷ìng n y chóng tæi tr¼nh b y c¡c ành ngh¾a v· ph¦n tû h¤ngmët, h¤ng húu h¤n, nghi¶n cùu mët sè t½nh ch§t cõa c¡c ph¦n tû h¤nghúu h¤n
1.1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà
Möc n y tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v k¸t qu£ cì b£n v· khæng gian
ành chu©n, khæng gian Banach, ¤i sè Banach v lþ thuy¸t phê, ¡nh x¤tuy¸n t½nh li¶n töc, l m cì sð cho vi»c tr¼nh b y luªn v«n
1.1.1 ành ngh¾a ([1]) Cho E l mët khæng gian tuy¸n t½nh tr¶ntr÷íng K (K = R, C) H m k.k : E−→R, cho bði x 7→ kxk, ÷ñc gåi l mët chu©n tr¶n E n¸u tho£ m¢n c¡c i·u li»n sau:
a) kxk ≥ 0 vîi måi x thuëc E v kxk = 0 khi v ch¿ khi x = 0;
b) kλxk = |λ|kxk vîi måi x ∈ E v vîi måi λ ∈ K;
c) kx + yk ≤ kxk + kyk vîi måi x, y ∈ E
Khæng gian tuy¸n t½nh E còng vîi mët chu©n tr¶n nâ ÷ñc gåi l khænggian ành chu©n Khi â, ta vi¸t (E, k.k) hay ìn gi£n l E
N¸u E l khæng gian ành chu©n th¼ cæng thùc d(x, y) = kx − yk vîimåi x, y ∈ E l mët m¶tric tr¶n E Ta gåi d l m¶tric sinh bði chu©n.Khæng gian m¶tric E ÷ñc gåi l ¦y õ n¸u måi d¢y cì b£n (d¢yCauchy) trong E ·u hëi tö
1.1.2 ành ngh¾a ([1]) Khæng gian ành chu©n E ÷ñc gåi l khæng
Trang 5gian Banach n¸u E l khæng gian ¦y õ vîi m¶tric sinh bði chu©n.1.1.3 ành ngh¾a ([1]) Tªp con F cõa khæng gian ành chu©n E gåi
l khæng gian con cõa E n¸u F l khæng gian tuy¸n t½nh con cõa E v tr¶n F ta x²t chu©n c£m sinh bði chu©n tr¶n E
1.1.4 ành lþ ([1]) Gi£ sû E, F l hai khæng gian ành chu©n v
f : E −→ F l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh Khi â, c¡c i·u ki»n sau l t÷ìng
֓ng
1) f li¶n töc;
2) f bà ch°n, ngh¾a l tçn t¤i h¬ng sè k sao cho kf(x)k ≤ kkxk vîimåi x ∈ E
Gi£ sû E, F l hai khæng gian ành chu©n, ta k½ hi»u
L(E, F ) = {f : E → F |f tuy¸n t½nh, li¶n töc}
L(E, F ) l khæng gian tuy¸n t½nh vîi ph²p cëng hai h m v ph²p nh¥n
væ h÷îng vîi mët h m thæng th÷íng Vîi méi f thuëc L(E, F ), °t
kf k = inf{k ≥ 0 : kf (x)k ≤ k.kxk, x ∈ E} (1)1.1.5 M»nh · ([1]) Vîi méi f ∈ L(E, F ), ta câ
kf k = sup
x6=0
kf (x)kkxk = supkxk≤1kf (x)k = supkxk=1kf (x)k
Trang 6nh x¤ f : E −→ F ÷ñc gåi l ¡nh x¤ ¯ng c§u n¸u f l song ¡nh,tuy¸n t½nh, f v f−1 li¶n töc.
nh x¤ f ÷ñc gåi l ¯ng cü n¸u f l tuy¸n t½nh v kf(x)k = kxkvîi måi x ∈ E
Hai khæng gian ành chu©n ÷ñc gåi l ¯ng c§u ( ¯ng cü) n¸u giúachóng tçn t¤i mët ¡nh x¤ ¯ng c§u (t÷ìng ùng, ¯ng cü)
1.1.8 ành ngh¾a ([1]) Gi£ sû E l mët khæng gian ành chu©n Tavi¸t E∗ thay cho L(E, K) v gåi E∗ l khæng gian li¶n hñp cõa E
Ta gåi tæpæ y¸u nh§t trong t§t c£ c¡c tæpæ tr¶n E m èi vîi chóngméi f ∈ E∗ li¶n töc l tæpæ y¸u tr¶n E Tæpæ n y ÷ñc k½ hi»u l σ(E, E∗)Vîi méi x ∈ E, ta x¡c ành h m x : E∗ −→ C sao cho x(f) = f(x)vîi måi f ∈ E∗ Khi â, x l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Ta gåi tæpæ y¸u nh§t trong t§t c£ c¡c tæpæ tr¶n E∗ m èi vîi chóngméi x thuëc E l li¶n töc l tæpæ y¸u∗ v ÷ñc k½ hi»u l σ(E∗, E).1.1.9 ành ngh¾a ([1]) Mët khæng gian vectì A tr¶n tr÷íng sè phùc
C ÷ñc trang bà th¶m mæt ph²p nh¥n tho£ m¢n c¡c i·u ki»n:
1) x(yz) = (xy)z vîi måi x, y, z ∈ A,
2) (x + y)z = xz + yz, x(y + z) = xy + xz vîi måi x, y, z ∈ A,
3) α(xy) = (αx)y = x(αy) vîi måi x, y ∈ A v vîi måi α ∈ C,
÷ñc gåi l mët ¤i sè phùc hay nâi gån l ¤i sè
Mët ¤i sè A n¸u tho£ m¢n th¶m i·u ki»n
4) A l khæng gian Banach vîi chu©n k.k tho£ m¢n
kxyk ≤ kxk.kyk vîi måi x, y ∈ A,
÷ñc gåi mët ¤i sè Banach
Trang 7N¸u tçn t¤i ph¦n tû e trong ¤i sè Banach A sao cho xe = ex = x vîimåi x ∈ A v kek = 1, th¼ A gåi l ¤i sè Banach câ ìn và.
N¸u ph²p nh¥n trong trong ¤i sè Banach A câ t½nh giao ho¡n th¼ A
÷ñc gåi l ¤i sè Banach giao ho¡n
1.1.10 Nhªn x²t ([5]) Ph¦n tû ìn và cõa ¤i sè Banach l duy nh§t.Mët ¤i sè Banach b§t k¼ tho£ m¢n c¡c i·u ki»n tø (1) - (4) bao giícông câ thº nhóng v o mët ¤i sè Banach câ ìn và
Ph²p nh¥n trong trong ¤i sè Banach l li¶n töc, li¶n töc tr¡i, li»n töcph£i
1.1.11 ành ngh¾a ([1]) Gi£ sû A l mët ¤i sè Khæng gian con Bcõa A kh²p k½n vîi ph²p to¡n nh¥n trong cõa A ÷ñc gåi l ¤i sè concõa ¤i sè A
N¸u B l mët ¤i sè con âng cõa ¤i sè Banach A th¼ B công l ¤i
sè Banach
1.1.12 M»nh · ([1]) N¸u B l ¤i sè con cõa ¤i sè Banach A th¼
B công l ¤i sè con cõa ¤i sè A
1.1.13 ành ngh¾a ([5]) Gi£ sû A, B l hai ¤i sè Banach v Φ :
A −→ B Φ ÷ñc gåi l çng c§u n¸u Φ l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh v nh¥nt½nh, ngh¾a l Φ(xy) = Φ(x)Φ(y) vîi måi x, y ∈ A
nh x¤ Φ : A −→ C ÷ñc gåi l çng c§u phùc n¸u Φ l mët çng c§u
Trang 8iii) α(xy) = α(x1y1, , xnyn) = (αx1y1, , αxnyn)
= (αx1, , αxn)(y1, , yn) = (αx)y
= (x1, , xn)(αy1, , αyn) = x(αy).Nh÷ vªy,
α(xy) = (αx)y = x(αy)
iv) kxyk = max |xjyj| ≤ max |xj| max |yj| = kxkkyk
Trang 9Hìn núa,
xy = (x1y1, , xnyn) = (y1x1, , ynxn) = yx
v tçn t¤i ph¦n tû e = (1, , 1) ∈ Cn tho£ m¢n kek = 1 v xe = ex = xvîi måi x ∈ C
Do â, Cn l mët ¤i sè Banach giao ho¡n, câ ìn và
2) Gi£ sû X l khæng gian tæpæ v A l tªp t§t c£ c¡c h m li¶n töc v
bà ch°n tø X v o C Ta ¢ bi¸t A l khæng gian Banach vîi ph²p cënghai h m v ph²p nh¥n væ h÷îng vîi mët h m thæng th÷íng, vîi chu©ncho bði
kf k = sup
x∈X
|f (x)|, f ∈ A
Ta x¡c ành ph²p nh¥n trong trong A bði (fg)(x) = f(x)g(x) vîi måi
x ∈ X, f, g ∈ A Khi â, A l mët ¤i sè Banach Thªt vªy, vîi måi
T÷ìng tü, f(g + h) = fg + fh
iii) [(αf)g](x) = (αf)(x)g(x) = αf(x)g(x) = α(fg)(x)
= [α(f g)](x) vîi måi x ∈ X, måi α ∈ K
Trang 10Vªy kfgk ≤ kfk.kgk Do â A l mët ¤i sè Banach Hìn núa A l mët
¤i sè Banach giao ho¡n (v¼ ph²p nh¥n c¡c h m l giao ho¡n) v câ ìn
và l ¡nh x¤ çng nh§t e : X −→ C cho bði e(x) = 1 vîi måi x ∈ X Chó
þ r¬ng n¸u th¶m gi£ thi¸t X l tªp compact th¼ A = C(X) vîi C(X) l
¤i sè c¡c h m li¶n töc tø X v o C
3) Gi£ sû E l khæng gian Banach Ta vi¸t L(E) thay cho L(E, E) Ta
¢ bi¸t L(E) l mët khæng gian Banach vîi chu©n
kf k = sup
kxk≤1
kf (x)k vîi måi f ∈ L(E)
B¥y gií ta x¥y düng L(E) trð th nh mët ¤i sè Banach câ ìn và Ta
ành ngh¾a ph²p nh¥n hai ph¦n tû trong L(E) l ph²p hñp th nh haiph¦n tû â, ngh¾a l , vîi måi f, g ∈ L(E), (fg)(x) = f(g(x)) vîi måi
x ∈ E Khi â, vîi måi f, g, h ∈ L(E), ta câ
i) [(fg)h](x) = (fg)(h(x)) = f(g(h(x))) = f((gh)(x)) = [f(gh)](x)
Tø â suy ra (fg)h = f(gh) vîi måi x ∈ E
ii) [(f + g)h](x) = (f + g)(h(x)) = f(h(x)) + g(h(x))
Trang 11= (f h)(x) + (gh)(x) = [f h + gh](x) vîi måi x ∈ E.Vªy (f + g)h = fh + gh.
Vªy L(E) l ¤i sè Banach câ ìn và
Sau ¥y l nhúng kh¡i ni»m v· phê v c¡c t½nh ch§t cõa phê Ta luængi£ thi¸t r¬ng A l mët ¤i sè Banach câ ìn và
1.1.15 Bê · ([1]) Tªp t§t c£ c¡c ph¦n tû kh£ nghàch cõa ¤i sè Ak½ hi»u l A−1 lªp th nh mët nhâm ( èi vîi ph²p nh¥n)
Chùng minh Thªt vªy, gi£ sû x ∈ A−1, y ∈ A−1 Khi â, ph¦n tû y−1x
l ph¦n tû nghàch £o cõa ph¦n tû x−1y V¼ th¸ ta câ y−1x ∈ A−1 Vªy
1.1.16 ành ngh¾a ([5]) Vîi méi λ ∈ C, ta vi¸t λ thay cho λe Phêcõa ph¦n tû x ∈ A, k½ hi»u l σA(x), l tªp t§t c£ c¡c sè phùc λ sao cho
Trang 121.1.17 ành ngh¾a ([5]) Gi£ sû D l mët tªp mð trong C v ϕ :
D −→ A H m ϕ ÷ñc gåi l gi£i t½ch t¤i iºm λ0 ∈ D n¸u tçn t¤i l¥ncªn U cõa λ0 sao cho ϕ(λ) = P∞
Trang 131.1.20 H» qu£ ([5]) Vîi måi x ∈ A, ta câ
i) σA(x) ⊂ B[0, kxk] = {λ ∈ C :| λ |≤ kxk}
ii) N¸u λ0 ∈ SA(x) th¼ d(λ0, σA(x)) = inf{| λ0− λ |: λ ∈ σA(x)}
≥ k(λ 1
0 −x) −1 k.1.1.21 ành l½ (Gelfand - Mazur) ([5]) N¸u ¤i sè Banach A tho£m¢n måi ph¦n tû kh¡c khæng cõa nâ ·u kh£ nghàch th¼ A ¯ng c§u, ¯ng
cü vîi tr÷íng sè phùc C
Chùng minh °t B = {λe : e ∈ C} Ta câ B l mët ¤i sè con cõa
¤i sè A v ¡nh x¤ T : B −→ C cho bði T (λe) = λ vîi måi λ ∈ C, l ¡nhx¤ ¯ng c§u, ¯ng cü Do â, º ho n thi»n chùng minh ành l½, ta ch¿c¦n chùng tä A = B Gi£ sû x ∈ A Khi â, theo ành l½ 1.1.18, tçn t¤i
λ ∈ σA(x) V¼ λ − x khæng kh£ nghàch v c¡c ph¦n tû kh¡c khæng cõa
A ·u kh£ nghàch, n¶n λ − x = 0, hay λ = x, ngh¾a l x ∈ B Tø â suy
1.1.22 ành ngh¾a ([8]) Ph¦n tû a ∈ A ÷ñc gåi l ph¦n tû luÿ
¯ng n¸u a2 = a Luÿ ¯ng t¦m th÷íng l luÿ ¯ng câ phê ch¿ chùa mët
iºm (trong A câ hai luÿ ¯ng t¦m th÷íng l 0 v e (σA(0) = {0} v
σA(e) = {1})) Ph¦n tû a ÷ñc gåi l luÿ ¯ng cüc tiºu cõa A n¸u a l luÿ ¯ng kh¡c 0 v aAa = Ca
1.1.23 ành ngh¾a ([6]) Gi£ sû p(z) = cnzn+ cn−1zn−1+ + c0, z ∈
C trong â cj l h¬ng sè phùc (j = 0, n) Nh÷ ta ¢ bi¸t p(z) l mët a thùc tr¶n C Trong p(z) n¸u thay z bði a ∈ A th¼ ta ÷ñcmët a thùc nhªn gi¡ trà trong A v ta k½ hi»u l p(a), tùc l p(a) =
cnan+ cn−1an−1+ + c0, trong â ta vi¸t c0 thay cho c0a0 = c0e
Trang 141.1.24 ành l½ (nh x¤ phê) ([6]) N¸u p l mët a thùc mët bi¸n v
1.1.27 ành ngh¾a ([6]) Gi£ sû A l mët ¤i sè Banach v J ⊂ A.Khi â,
Trang 151) J ÷ñc gåi l mët ideal ph£i (t÷ìng ùng tr¡i) cõa A n¸u J l khænggian tuy¸n t½nh con cõa A tho£ m¢n JA ⊂ J (t÷ìng ùng, AJ ⊂ J).
J ÷ñc gåi l ideal cõa A n¸u J vøa l ideal tr¡i vøa l ideal ph£i cõa
A
2) Ideal J cõa A ÷ñc gåi l ideal cüc ¤i n¸u J 6= A v n¸u J0 l mëtideal cõa A m J ⊂ J0 th¼ J0 = J ho°c J0 = A
Tªp t§t c£ c¡c ideal cüc ¤i cõa A ÷ñc gåi l khæng gian c¡c ideal cüc
¤i cõa A K½ hi»u l MA
3) J ÷ñc gåi l ideal tr¡i cüc tiºu cõa A n¸u J l ideal tr¡i cõa
A, J 6= 0 v n¸u J0 công l ideal tr¡i cõa A m J0 6= {0}, J0 ⊂ J th¼
J0 = J
1.1.28 ành ngh¾a ([6]) Gi£ sû A l mët ¤i sè Banach.nh x¤
A 3 a 7→ a∗, a ∈ A tø A v o A ÷ñc gåi l mët ph²p èi hñp tr¶n A n¸utho£ m¢n c¡c i·u ki»n sau
1) (a∗)∗ = a v ta vi¸t a∗∗ thay cho (a∗)∗ vîi måi a ∈ A,
2) (a + b)∗ = a∗+ b∗ vîi måi a, b ∈ A,
3) (ab)∗ = b∗a∗ vîi måi a, b ∈ A,
4) (λa)∗ = λa∗ vîi måi a ∈ A, måi λ ∈ K
A ÷ñc gåi l C∗ ¤i sè n¸u A l mët ¤i sè Banach tr¶n nâ câ mëtph²p èi hñp tho£ m¢n
5) ka.a∗k = kak2 vîi måi a ∈ A
1.1.29 ành ngh¾a ([6]) Gi£ sû A l mët ¤i sè Banach v ∆A l tªp t§t c£ çng c§u phùc cõa A Radican (c«n) cõa ¤i sè A, k½ hi»u l
Trang 16Rad(A), ÷ñc ành ngh¾a l
Rad(A) = {a ∈ A : ba(Φ) = 0 vîi måi Φ ∈ ∆A}
1.1.30 ành ngh¾a ([8]) ¤i sè Banach A ÷ñc gåi l nûa ìn n¸uRad(A) = 0
¤i sè Banach A ÷ñc gåi l nûa nguy¶n tè n¸u x ∈ A v xAx = {0}k²o theo x = 0
1.1.31 Nhªn x²t ([8]) N¸u A l ¤i sè nûa ìn th¼ A l ¤i sè nûanguy¶n tè
Thªt vªy, gi£ sû x ∈ A v xAx = {0} Khi â, vîi måi a ∈ A ta câxax = 0 Vîi måi Φ ∈ ∆A, v¼ Φ 6= 0 n¶n tçn t¤i a ∈ A sao cho Φ(a) 6= 0.M°t kh¡c, 0 = Φ(x)Φ(a)Φ(x) Do â, Φ(x) = 0 vîi måi Φ ∈ ∆A V¼ A l nûa ìn n¶n x = 0
1.2 Ph¦n tû h¤ng mët
Möc n y d nh cho vi»c tr¼nh b y ành ngh¾a v c¡c t½nh ch§t cìb£n cõa c¡c ph¦n tû h¤ng mët
1.2.1 ành ngh¾a ([8]) Gi£ sû A l mët ¤i sè Banach Ph¦n tû a ∈ A
÷ñc gåi l ph¦n tû h¤ng mët n¸u tçn t¤i τa ∈ A∗ sao cho axa = τa(x)a,vîi måi x ∈ A
Ph¦n tû 0 ∈ A l ph¦n tû h¤ng mët bði v¼, vîi måi t ∈ A∗ ·u câ0x0 = t(x)0 vîi måi x ∈ A Ta quy ÷îc τ0 = 0 ∈ A∗
K½ hi»u F1(A) l tªp hñp t§t c£ c¡c ph¦n tû h¤ng mët cõa A (n¸ukhæng sñ nh¦m l¨n ta k½ hi»u l F1)
Tø ¥y v· sau n¸u khæng gi£i th½ch g¼ th¶m ta luæn hiºu A l mët
Trang 17¤i sè Banach nûa nguy¶n tè.
1.2.2 M»nh · N¸u a l ph¦n tû h¤ng mët cõa A v a 6= 0 th¼ tçnt¤i duy nh§t λ ∈ C sao cho a2 = λa
Chùng minh V¼ a ∈ F1 n¶n tçn t¤i τa ∈ A∗ sao cho axa = τa(x)a vîimåi x ∈ A N¸u τa = 0 th¼ axa = 0 vîi måi x ∈ A, tùc l aAa = 0, do â
a = 0 (v¼ A nûa nguy¶n tè) Do â, tø gi£ thi¸t a 6= 0 ta suy ra τa 6= 0,tùc l , tçn t¤i x0 ∈ A sao cho τa(x0) 6= 0 Khi â, v¼
λ 1 −λ(λ1 − λ)a = 0 i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£
1.2.3 ành ngh¾a ([8]) Gi£ sû a ∈ F1, a 6= 0 Ta gåi sè phùc λ tho£m¢n a2 = λa l v¸t cõa a v k½ hi»u l tr(a) Ta quy ÷îc v¸t cõa ph¦n
tû 0 ∈ A l 0 ∈ C Nh÷ vªy, a2 = tr(a)a vîi måi a ∈ F1
1.2.4 Nhªn x²t ([8]) 1) N¸u A câ ìn và th¼ tr(a) = τa(e) vîi måi
a ∈ F1 Thªt vªy, n¸u a ∈ F1 th¼ a2 = aea = τa(e)a, tùc tr(a) = τa(e).2) Gi£ sû A giao ho¡n v a l ph¦n tû kh¡c khæng trong A Khi â,
a ∈ F1 khi v ch¿ khi tçn t¤i ϕa ∈ A∗ sao cho ax = ϕa(x)a vîi måi x ∈ A.Thªt vªy, gi£ sû a ∈ F1(A) Khi â, tçn t¤i τa ∈ A∗ sao cho τa(x)a =
Trang 18axa vîi måi x ∈ A Ta x¡c ành h m ϕa : A −→ C bði cæng thùc
ϕa(x) = τa(x)
tr(a) vîi måi x ∈ A
º þ r¬ng tr(a) 6= 0 bði v¼ n¸u tr(a) = 0 th¼ a2 = 0, k¸t hñp vîi t½nhgiao ho¡n cõa A ta câ aAa = 0, do â tø A nûa nguy¶n tè suy ra a = 0,m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t a 6= 0 V¼ τa ∈ A∗ n¶n ϕa ∈ A∗ Ta câ
ϕa(x)a = 1
tr(a)τa(x)a =
1tr(a)axa =
1tr(a)xa
2
= tr(a)1 x.tr(a)a = xa vîi måi x ∈ A
Ng÷ñc l¤i, gi£ sû tçn t¤i ϕa ∈ A sao cho ax = ϕa(x)a vîi måi x ∈ A.Khi â, τa := ϕa(a)ϕa ∈ A∗ Ta câ τa(x)a = ϕa(a)ϕa(x)a = ϕa(a)ax =
a2x = axa vîi måi x ∈ A Do â a ∈ F1(A)
1.2.5 M»nh · ([7]) 1) N¸u a ∈ A l ph¦n tû h¤ng mët v a 6= 0 th¼
τa nâi trong ành ngh¾a 1.2.1 l duy nh§t
2) N¸u a ∈ A v a 6= 0 th¼ a l ph¦n tû h¤ng mët khi v ch¿ khiaAa = Ca
3) N¸u a ∈ F1(A) th¼ λa ∈ F1(A) vîi måi λ ∈ C
4) N¸u a l ph¦n tû luÿ ¯ng cüc tiºu th¼ a ∈ F1
Chùng minh 1) Gi£ sû τ0
a ∈ A∗ sao cho axa = τ0
a(x)a vîi méi x ∈ A
Do a l ph¦n tû h¤ng mët axa = τa(x)a vîi måi x ∈ A Khi â, ta câ(τa(x) − τa0(x))a = 0 vîi måi x ∈ A V¼ a 6= 0 n¶n τa(x) = τa0(x) vîi måi
x ∈ A Vªy τa = τa0
2) i·u ki»n c¦n Gi£ sû a ∈ A l ph¦n tû h¤ng mët v a 6= 0 Theo
ành ngh¾a 1.2.1, tçn t¤i τa ∈ A∗ sao cho axa = τa(x)a vîi måi x ∈ A
Do â, aAa ⊂ Ca (v¼ τa(x) ∈ C)
Trang 19Gi£ sû λ ∈ C Khi â, n¸u τa 6= 0 th¼ tçn t¤i x0 ∈ A sao cho τa(x0) :=
λ0 6= 0 L§y x = λ
λ 0x0 ∈ A ta câ τa(x) = λ M°t kh¡c , v¼ axa = τa(x)a =
λa n¶n λa ∈ aAa Do â, Ca ⊂ aAa
N¸u τa = 0 th¼ tø axa = τa(x)a vîi måi x ∈ A suy ra aAa = {0} K¸thñp vîi gi£ thi¸t A nûa nguy¶n tè ta câ a = 0 i·u n y m¥u thu¨n vîigi£ thi¸t Do â Ca ⊂ aAa
Vªy Ca = aAa
i·u ki»n õ Gi£ sû a 6= 0 v aAa = Ca Ta c¦n chùng minh a l ph¦n tû h¤ng mët Tø aAa = Ca, ta suy ra méi ph¦n tû x ∈ A tçn t¤iduy nh§t ph¦n tû λx ∈ C sao cho axa = λxa Tø â x¡c ành ÷ñc h m
M°t kh¡c, vîi måi x ∈ A ta câ
|τa(x)|kak = kτa(x)ak = kaxak ≤ kakkxkkak
K¸t hñp vîi gi£ thi¸t a 6= 0 ta suy ra
|τa(x)| ≤ kakkxk vîi måi x ∈ A
Do â τa li¶n töc, tùc l τa ∈ A∗, theo c¡ch x¡c ành τa th¼
axa = τa(x)a vîi måi x ∈ A
Vªy a l ph¦n tû h¤ng mët
3) Gi£ sû a ∈ F1(A) v λ ∈ C N¸u a = 0 ho°c λ = 0 th¼ λa = 0 ∈
F1(A) Do â, ta gi£ sû a 6= 0 v λ 6= 0 Khi â, λa 6= 0 v tçn t¤i τa ∈ A∗