Một số tính chất của môđun trên vành chính

Trong khóa luận tốt nghiệp này, trên cơ sở các kiến thức về lý thuyết môđun đã đợc học và tìm hiểu ở các tài liệu, chúng tôi trình bày một số vấn đề về lý thuyết môđun trên vành chính..

Trờng đại học vinh

Khoa Toán - -

Vinh 2010

Trờng đại học vinh

Khoa Toán - -

Môc lôc

Trang

Më ®Çu 2

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .3

1.1 Vµnh chÝnh 3

1.2 M«®un con xo¾n 3

1.3 Linh hãa tö cña m«®un 3

1.4 TÝch trùc tiÕp, tæng trùc tiÕp 4

1.5 D·y khíp 5

1.6 M«®un h÷u h¹n sinh .5

1.7 M«®un tù do 5

1.8 M«®un néi x¹ 7

1.9 Nguyªn lý Zermelo 7

1.10 Nguyªn lý quy n¹p siªu h¹n 7

1.11 Sù ph©n tÝch c¸c m«®un .7

ch¬ng 2 m«®un trªn vµnh chÝnh 8

2.1 M«®un tù do trªn vµnh chÝnh 8

2.2 M«®un h÷u h¹n sinh trªn vµnh chÝnh 12

KÕt luËn 22

Tµi liÖu tham kh¶o 23

Mở đầu

Môđun và vành là một trong những đề tài đã đợc nghiên cứu khá nhiều từ

tr-ớc đến nay Có thể thấy rằng cấu trúc môđun xuất hiện hầu hết trong các lý thuyết toán học hiện đại, nó có khả năng thống nhất một cách bản chất với các cấu trúc

Ta thấy rằng cùng một môđun nhng gắn với những lớp vành cơ sở khác nhau thì cấu trúc của nó có nhiều sự thay đổi Trong khóa luận tốt nghiệp này, trên cơ sở các kiến thức về lý thuyết môđun đã đợc học và tìm hiểu ở các tài liệu, chúng tôi trình bày một số vấn đề về lý thuyết môđun trên vành chính Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận đợc chia làm hai chơng

Chơng 1 Kiến thức chuẩn bị: Trình bày (không chứng minh) các kiến thức cơ sở

của lý thuyết môđun có liên quan đến các kết quả và chứng minh ở Chơng 2

Chơng 2 Môđun trên vành chính: Trình bày một số tính chất về môđun trên vành

chính, cụ thể là môđun tự do và môđun hữu hạn sinh trên vành chính Đồng thời chỉ

ra sự phân tích một số môđun trên vành chính

Khóa luận này đợc thực hiện tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình, chu đáo của TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp này tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với cô về sự giúp đỡ nhiệt tình và những góp ý thiết thực cho tác giả trong quá trình hoàn thành khóa luận Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm

ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán,

đặc biệt là các thầy cô tổ Đại số đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình học tập Xin cảm ơn tập thể 47 B Toán đã động viên chúng tôi trong thời gian làm khóa luận này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhng vì trình độ và thời gian có hạn nên khóa luận còn nhiều thiếu sót Tác giả rất mong nhận đợc những lời chỉ bảo của các thầy cô giáo và sự góp ý của bạn đọc để khóa luận đợc hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 05 năm 2010

Tác giả

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chơng này chúng tôi trình bày (không chứng minh) một số khái niệm

và kết quả đợc dùng trong Chơng 2 Trong toàn bộ chơng, vành luôn đợc giả thiết là giao hoán và có đơn vị

1.2 Môđun con xoắn

1.2.1 Định nghĩa Giả sử R là miền nguyên và M là một R-môđun Một phần tử x

1.2.2 Mệnh đề Cho R là một miền nguyên và M là một R-môđun Khi đó τ(M) là một môđun con của M.

1.2.3 Định nghĩa Giả sử M là một môđun trên miền nguyên R Tập τ(M) các phần

1.2.4 Mệnh đề Giả sử R là một miền nguyên và M là một R-môđun Khi đó ta có

các khẳng định sau:

1.3 Linh hóa tử của môđun

1.3.1 Định nghĩa Cho M là một R-môđun.

(ii) Linh hóa tử của môđun M, kí hiệu là Ann(M), là tập tất cả các phần tử a ∈ R sao

Ann(M) = {a∈R | ax = 0, ∀x∈M}.

1.3.2.Nhận xét Ann(x) và Ann(M) là những iđêan của vành R.

1.4 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp

1.4.1 Định nghĩa Cho I là một tập khác rỗng và (Mα)α ∈ I là một họ các R-môđun chỉ

số hóa bởi I Kí hiệu M = Πα∈I Mα là tích Đềcác của (Mα)α∈I Trên M trang bị phép cộng

và phép nhân với vô hớng nh sau:

( ) ( )

, ,

với mọi a ∈ R và mọi ( )xα α∈I;( )yα α∈I ∈M Khi đó hai phép toán vừa xác định ở trên

(Mα)α ∈ I

Trong M = Πα∈I Mα ta lấy ra tập con

I M α

1.4.2 Chú ý (i) Nếu Mα = N với mọi α∈I thì ta kí hiệu I Mα

α∈ Π bởi NI.(ii) Nếu Mα = N với mọi α∈I thì ta kí hiệu α∈⊕I Mα bởi N(I)

1.4.3 Mệnh đề Cho R là một vành giao hoán, có đơn vị, I và J là những tập khác

1.4.4 Định lí Cho R-môđun M và N là một môđun con của nó Khi đó nếu N là

của M.

1.5 Dãy khớp

1.5.1 Định nghĩa Một dãy đồng cấu các R-môđun

ra.

1.5.3 Định nghĩa Cho R là một vành giao hoán có đơn vị Một tập con khác rỗng S

1.5.4 Mệnh đề Cho dãy khớp các R-môđun N→f M g→L và S là một tập

1.6 Môđun hữu hạn sinh Cho M là một R-môđun và S là tập con của R-môđun M

Khi đó giao của tất cả các môđun con của M chứa S cũng là một môđun con của M

với x1, , xn ∈ S từng đôi một khác nhau, ta rút ra a1 = = an = 0 Nếu trái lại thì S

1.7.2 Ví dụ

(i) Vành R là một môđun tự do trên chính nó với cơ sở {1} Tổng quát hơn, với I là

thành phần thứ i bằng 1, các thành phần còn lại bằng 0 Cơ sở này đợc gọi là cơ sở tự

(ii) Mỗi không gian vectơ trên một trờng K là một K-môđun tự do vì nó luôn có cơ

sở

1.7.3 Định lý Nếu M là một R-môđun tự do với cơ sở S thì M ≅ R (S)

1.7.4 Định lý Một R-môđun là hữu hạn sinh khi và chỉ khi nó đẳng cấu với một

1.7.5 Mệnh đề Dãy khớp các R-môđun

là chẻ ra nếu F là môđun tự do.

1.7.6 Định nghĩa Cho M là một môđun tự do trên vành giao hoán có đơn vị R Khi

1.7.7 Mệnh đề Cho R là vành giao hoán M, N, P là các môđun tự do trên vành

R Khi đó nếu có dãy khớp ngắn các R-môđun

thì r(M) = r(N) + r(P).

1.8 Môđun nội xạ

1.8.1 Định nghĩa Một R-môđun I đợc gọi là nội xạ nếu và chỉ nếu với mọi đồng

1.8.2 Mệnh đề Nếu I là một R-môđun nội xạ và M' ⊆M là các R-môđun thì mọi

đến I.

1.8.3 Định nghĩa Một nhóm Aben D đợc gọi là chia đợc nếu với mọi d ∈ D và mọi

n ≠ 0, tồn tại c ∈ D sao cho d = nc

1.8.4 Mệnh đề Một nhóm Aben là chia đợc nếu và chỉ nếu nó là một  −môđun nội xạ.

1.9 Nguyên lý Zermelo Mọi tập hợp đều có thể sắp thứ tự tốt.

1.10 Nguyên lý quy nạp siêu hạn Giả sử (X, ≤) là một tập sắp thứ tự tốt và τ là một tính chất nào đó đối với các phần tử của X thỏa mãn hai điều kiện sau:

chất τ

1.11 Sự phân tích các môđun Một R-môđun M đợc gọi là không phân tích đợc

nếu M không thể biểu diễn đợc dới dạng tổng trực tiếp của hai R-môđun con không tầm thờng

chơng 2 môđun trên vành chính

2.1 Môđun tự do trên vành chính

Ta biết rằng, trên một vành bất kỳ, không phải môđun con của môđun tự do nào

(xem Ví dụ 1.7.2).Tuy nhiên trên một vành chính thì tình hình khác hẳn, bởi mọi môđun con của một môđun tự do trên vành chính lại là một môđun tự do Ta có định

lý sau

2.1 1 Định lý Giả sử R là một vành chính Khi đó mọi môđun con của một

R-môđun tự do là một R-R-môđun tự do.

Chứng minh Giả sử T là một môđun tự do trên vành chính R với cơ sở I Khi đó T

hiệu Ti là môđun con sinh bởi {ej}j ≤ i và đặt Mi = Ti∩ M Xét các phép chiếu

R để pi(Mi) = Rai Lấy bi ∈ Mi sao cho pi(bi) = ai với quy định rằng: nếu ai = 0 thì chọn bi = 0 Khi đó ta thu đợc một họ {bi}i ∈ I

a) Nếu i0 là phần tử đầu tiên của I thì b i 0 sinh ra M i 0

Rõ ràng <b i 0> ⊂ M i 0 Mặt khác vì b i0 ∈ M i0 suy ra b i0 ∈ T i 0 = <e i0>, do đó tồn tại a

b) Nếu mọi k ∈ I mà k < i (i∈I) ta có M k đợc sinh bởi {bj}j ≤ k thì M i đợc sinh bởi {b j } j

≤ i

Thật vậy, giả sử x ∈ M i, khi đó ta có p i (x) = αa i , α∈ R Do vậy ta nhận đợc

p i (x - αb i ) = p i (x)- p i (αb i ) = αa i - αa i = 0.

Thành phần thứ i của phần tử x - αb i bằng 0 nên x - αb i ∈ M k, với k < i Theo giả

thiết bằng quy nạp x - αb i ∈ <{b j } j ≤ k > ⊂ <{b j } j ≤ i >, dẫn đến x ∈ <{b j } j ≤ i >, suy ra M i

⊂ <{b j } j ≤ i > Do đó M i = <{b j } j ≤ i >.

Vậy M i = <{b j } j ≤ i > với mọi i ∈ I.

y= α 1e i1 + α 2e i2 + + αm i e m với i 1 < i 2 < < i m

Do đó y T∈ i mvà vì thếy M∈ i m ⊂ <{ }b i i I∈ > Vậy M =<{ }b i i I∈ >.

Đặt I' = ∈{i I b i ≠ 0} thì họ {bi}i ∈ I’ cũng là một hệ sinh của M Ta cần chứng minh họ này độc lập tuyến tính Thật vậy giả sử ngợc lại, khi đó tồn tại một tổ hợp tuyến tính

α 1b i1 + α 2b i2 + + αm i b m = 0 với i 1 < i 2 < < i m thuộc I’ và α ≠m 0

2.1.2 Định lý Giả sử T là một môđun tự do trên một vành chính R và M là một

(i) Các phần tử e 1 α 1 , e 2 α 2 , , e n α n lập thành một cơ sở của M.

(ii) αi chia hết αi+1 với mọi i = 1, 2, , n-1.

Chứng minh Nếu M = 0 thì kết quả tầm thờng, ta sẽ chứng minh định lý với M ≠ 0.

một phần tử tối đại của tập này Vì R là vành chính nên tồn tại phần tử khác không

1 R

α ∈ sao cho f1(M) = α1 Với g ∈ F, ta sẽ chỉ ra rằng g u( ) ∈Rα 1

Thật vậy, đặt g(u) =β và giả sử Rα1 + Rβ = Rγ, khi đó tồn tại λ, à∈ R sao cho λα1 + àβ = γ Xét dạng tuyến tính f = λf1 + àg, ta có:

f(u) = λf1(u) + àg(u) = λα1 + àβ = γ∈ f(M)

Từ đó suy ra f(M) ⊇ Rγ⊇ Rα1 Do tính tối đại của Rα1 nên f(M) = Rα1

Do đó Rα1 = Rγ Điều này dẫn đến β∈ Rα1

Vậy mọi dạng tuyến tính g: T R ta đều có g u( ) ∈Rα 1

áp dụng kết quả vừa rồi vào các phép chiếu

f1(x - f1(x) e1) = f1(x) - f1(x) f1(e1) = f1(x) - f1(x) = 0,

(a) và (b) Bây giờ ta sẽ chứng minh định lý bằng quy nạp theo hạng của M.

của T1 có hạng n - 1, nên theo giả thiết quy nạp, tồn tại n - 1 phần tử α2, , αn của R

và một cơ sở B1 của T1 chứa n - 1 phần tử e2, , en sao cho {α2e2, , αnen} là một cơ

sở của M1, đồng thời αi chia hết αi+1 với mọi i = 2, , n-1 Từ (a) ta có: {α1e1,

α2e2, , αnen} là một cơ sở của M và từ (b) ta có B = B1 ∪ { e1} là một cơ sở của T

Để kết thúc ta cần chứng minh α1 chia hết α2

Thật vậy, xét ánh xạ tuyến tính g: T R sao cho trên tập cơ sở B của T thì g(e2)= 1 và g(e) = 0 với mọi e ∈ B \ {e2} Ta đợc g(M1) = Rα2 Vậy theo (c) ta có Rα2

⊆ Rα1, suy ra α1 chia hết α2 Định lý đợc chứng minh

2.1.3 Mệnh đề Cho R là một vành giao hoán, có đơn vị và mọi iđêan của R đều là

môđun con tự do của R Khi đó vành R là một vành chính.

ta có ab = ba hay ab - ba = 0 Suy ra hai phần tử khác 0 bất kỳ của I đều phụ thuộc tuyến tính Vì vậy mỗi cơ sở của I không thể có quá một phần tử Do đó I là iđêan chính Vậy mọi iđêan của vành R đều là iđêan chính nên để chứng minh R là vành chính ta chỉ cần chỉ ra R là một miền nguyên

Thật vậy, lấy a là một phần tử khác 0 tùy ý của R Vì iđêan <a> là một R- môđun tự do nên tập {a} độc lập tuyến tính Tức là Ann(a) = 0 Từ đó suy ra R không có ớc của 0 Do đó R là một miền nguyên Vậy R là vành chính

2.2 Môđun hữu hạn sinh trên vành chính

Trong mục này, chúng ta sẽ tìm hiểu các kết quả về môđun hữu hạn sinh trên vành chính Trớc hết ta có định lý sau đây mà thực chất có thể xem nh một hệ quả của Định lý 2.1.1

2.2.1 Định lý Cho M là một môđun sinh bởi n phần tử trên vành chính R Khi đó

mọi môđun con của M đều có một hệ sinh chứa không quá n phần tử.

R-môđun tự do hạng s ≤ n Nếu lấy {y1, , ys} là một cơ sở của B thì rõ ràng {f(y1), ,

Do đó N có một hệ sinh chứa không quá n phần tử

Từ định lý trên ta có ngay hệ quả sau

2.2.2 Hệ quả Trên một vành chính mọi môđun con của môđun xyclic là môđun

xyclic.

Ta biết rằng, môđun con của một môđun hữu hạn sinh có thể không là môđun hữu hạn sinh Thật vậy, cho R là một vành giao hoán có đơn vị 1 Gọi A là tích trực tiếp của vô hạn vành R A= Πi I R R i , i = ∀ ∈R i I, .

hạn sinh, sinh bởi một phần tử { e = ( ,1, ,1, )} Gọi B= ⊕i IR R i , i = ∀ ∈R i I,

hệ sinh của B Do đó B là A-môđun không hữu hạn sinh Từ Định lý 2.2.1 ta có hệ quả sau

2.2.3 Hệ quả Trên một vành chính mọi môđun con của môđun hữu hạn sinh là

môđun hữu hạn sinh

Định lý sau là một hệ quả của Định lý 2.1.2

2.2.4 Định lý Giả sử M là một môđun hữu hạn sinh trên một vành chính R Thế thì

M đẳng cấu với một R-môđun dạng

R/ Rα1 ⊕ ⊕ R/ Rαn ,

trong đó α1 , α2 , , αn thuộc R và αi chia hết αi+1 với mọi i = 1, 2, , n-1.

nên theo Định lý 2.1.2 tồn tại một cơ sở {e1, e2, , en} của Rn và m phần tử α1, α2,

, αm của R với m ≤ n sao cho {α1e1, α2e2, , αmem} lập thành một cơ sở của N và αi

chia hết αi+1 với mọi i = 1, 2, , m-1 Ta đặt αm + 1 = = αn = 0 Khi đó:

M ≅ Rn/N ≅ Re1/Rα1e1⊕ ⊕ Ren/ Rαnen

≅ R/Rα1⊕ ⊕ R/ Rαn

Từ Định lý 2.2.4 ta lập tức suy ra hệ quả sau đây giúp quy bài toán phân loại môđun hữu hạn sinh trên vành chính về bài toán phân loại môđun xoắn hữu hạn sinh

2.2.5 Hệ quả Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên một vành chính R Khi đó:

(ii) M là một môđun tự do nếu và chỉ nếu M không xoắn.

Chứng minh: Từ Định lý 2.2.4, ta suy ra nếu M là một môđun hữu hạn sinh trên vành

chính R thì M phân tích đợc thành tổng trực tiếp của các môđun con xyclic

M = M1⊕ M2⊕ ⊕ Mn,

trong đó Mi ≅ R / Rαi với α1, α2, , αn ∈ R và αi chia hết αi+1 với mọi i = 1, 2, ,

0 = ax = a(x1λ1 + x2λ2 + + xnλn)

Suy ra x1 = x2 = = xn = 0 hay x = 0 mâu thuẫn với giả sử x ≠ 0

2.2.6 Nhận xét Có thể chứng minh 2.2.5 một cách trực tiếp mà không cần thông

qua Định lý 2.2.4.

Chứng minh Trớc hết ta chứng minh (ii).

Giả sử M là một R-môđun không xoắn với hệ sinh {x1, x2, , xn} Chọn ra trong hệ

con của M sinh bởi {y1, y2, , yk} Vì {y1, y2, , yk} độc lập tuyến tính nên N là một

{x1, x2, , xn} nên với mọi i = 1, 2, , n họ {y1, y2, , yk, xi} phụ thuộc tuyến tính, tức là tồn tại phần tử khác không ai ∈R sao cho aixi∈N Đặt a = a1 an ≠ 0 thì aixi∈ N

Xét đồng cấu

λa:M  →aM

do

0  → τ( )M  →M  →M / τ( )M  → 0.

2.2.7 Nhận xét Hệ quả 2.2.5 (i) không còn đúng khi bỏ đi giả thiết hữu hạn sinh.

Thật vậy, nếu ( )a p p P∈ ∈ τ( )M thì có số nguyên dơng n sao cho n a( )p p P 0

( )a p p P∈ ∈N.

Đảo lại, giả sử ( )a p p P N

bp∈ Â p sao cho ap= nbp

Đặt bp= 0 với p ≤ n khi đó (ap)p ∈ P và n(bp)p ∈ P là hai phần tử của M chỉ có hữu hạn thành phần khác nhau, do vậy

(ap)p ∈ P + N = n[(bp)p ∈ P+N]

Điều này chứng tỏ M/N là một nhóm Aben chia đợc Theo Mệnh đề 1.8.4, M/N là

Từ Hệ quả 2.2.5, ta thu đợc hệ quả sau.

2.2.8 Hệ quả Một môđun trên vành chính có hạng bằng 0 nếu và chỉ nếu nó là

một môđun xoắn.

2.2.9 Định lý Cho R là một vành chính, M là một R-môđun hữu hạn sinh và N là

một môđun con của M Khi đó M và N có cùng hạng nếu và chỉ nếu M|N là một môđun xoắn.

Chứng minh Trớc hết ta sẽ chứng minh rằng nếu N là một R-môđun con của M thì

2.2.10 §Þnh nghÜa Gi¶ sö M lµ mét m«®un xo¾n h÷u h¹n sinh trªn vµnh chÝnh R

Còng v× R lµ mét vµnh chÝnh, tån t¹i duy nhÊt, sai kh¸c mét nh©n tö kh¶ nghÞch, mét

2.2.11 NhËn xÐt Tõ §Þnh nghÜa 2.2.10, ta dÔ dµng nhËn thÊy :

(i) Sè mò cña M chia hÕt cho cÊp cña mäi phÇn tö cña nã.

(ii) NÕu M lµ mét m«®un xyclic sinh bëi phÇn tö x th× exp(M) = 0(x).

2.2.12 §Þnh lý Cho R lµ mét vµnh chÝnh vµ M 1 , M 2 lµ nh÷ng m«®un xyclic trªn

tỏ a và α nguyên tố cùng nhau Mặt khác, vì sb ∈ Rβ nên ta suy ra β | sb, do đó β |

s Thay s = βu (u∈R) vào đẳng thức sa = 1 + tα ta đợc 1 = (au)β - tα

2.2.13 Mệnh đề Cho R là một vành chính và M là một R-môđun xyclic với số mũ

Chứng minh.Từ Định lý 2.2.4 ta có nếu M là một môđun hữu hạn sinh trên vành

chính R thì M đẳng cấu với một R-môđun dạng

R R/ α 1 ⊕R R/ α 2 ⊕ ⊕ R R/ αn,

trong đó α1, α2, , αn ∈ R và αi chia hết αi+1 với mọi i = 1, 2, , n-1 Kết hợp điều

này với Mệnh đề 1.1.3, ta suy ra ngay điều phải chứng minh

của M cho bởi Định lý 2.2.14 là duy nhất Bây giờ ta sẽ chứng minh dạng này của M

là duy nhất Để đơn giản, trong khuôn khổ của khóa luận này, ta sẽ xét bài toán trong trờng hợp M có số mũ là lũy thừa của một phần tử bất khả quy

2.2.15 Định nghĩa Cho R là một vành chính Với mỗi phần tử bất khả quy p ∈ R, ta

2.2.16 Định lý Cho M là một môđun xoắn hữu hạn sinh trên vành chính R với số