Một số tính chất của môđun m giả nội xạ luận văn thạc sĩ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHNGUYỄN TỨ HẢI MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN M – GIẢ NỘI XẠ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người h

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN TỨ HẢI

MỘT SỐ TÍNH CHẤT

CỦA MÔĐUN M – GIẢ NỘI XẠ

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.05

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGÔ SỸ TÙNG Nghệ An – 12.2011

Mục lục

Trang

Mục lục……… …… 1

Các kí hiệu dùng trong luận văn……… 2

Lời nói đầu……… ……… 3

Chương 1 Kiến thức cơ sở……… 5

1.1 Môđun con cốt yếu, môđun đều……… ……… 5

1.2 Môđun con đóng và môđun con bù giao……… ……… 7

1.3 Môđun M – nội xạ……… ……… 9

1.4 Môđun nội xạ và môđun tựa nội xạ…… ……… 17

Chương 2 Môđun M – giả nội xạ……… 22

2.1 Các định nghĩa……… ……… 22

2.2 Một số tính chất của môđun M – giả nội xạ………… … 23

2.3 Môđun M – giả nội xạ và M – nội xạ……… 32

Kết luận……… 38

Tài liệu tham khảo……….……….………… 39

CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

N M : N là môđun con của môđun M.

Ne M : N là môđun con cốt yếu của môđun M.

: quan hệ thứ tự.

 : tổng trực tiếp của các môđun.

:f N  M : phép tương ứng từ N đến M.

: phép nhúng

 A: thu hẹp của  trên A.

M N : môđun thương của M trên N.

M N : môđun M đẳng cấu với N.

: kết thúc một chứng minh

Lời nói đầu

Lý thuyết môđun đã góp phần không nhỏ đến sự phát triển củachuyên ngành Đại số – Lý thuyết số Trong lý thuyết môđun, hai lớpmôđun được các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu là lớp môđun nội xạ

và lớp môđun xạ ảnh Trên cơ sở tương tự dựa trên yếu tố nội xạ, người

ta đã mở rộng ra nhiều lớp môđun Các lớp môđun như: môđun tựa nội

xạ, môđun giả nội xạ đã được nghiên cứu bởi S.K.Jain and S.Singh

(1967), M.L.Teply (1975), H.Q.Dinh [3],…; Các lớp CS – môđun,

môđun liên tục cũng được Đinh Văn Huỳnh, Nguyễn Việt Dũng,M.Okado, S.H.Mohamed and B.J.Muller, … phát triển, xây dựng mối

liên hệ giữa các lớp môđun mở rộng với nhau và đã đưa ra nhiều kết quảhữu ích trong việc phát triển lý thuyết môđun.

Sau khi nghiên cứu và đọc tài liệu “ A note on pseudo-injective

modules” của H.Q.Dinh [3], chúng tôi đã tiếp cận được lớp môđun mở

rộng của môđun nội xạ là môđun M – giả nội xạ (với M là môđun cho

trước) Mục đích của luận văn là hệ thống lại một số tính chất của môđun

M – giả nội xạ Đề tài luận văn là “Một số tính chất của môđun M – giả nội xạ” Ngoài ra, chúng tôi tìm hiểu thêm về môđun tựa – nội xạ và mối

liên hệ giữa môđun M – giả nội xạ và môđun M – nội xạ.

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận vănđược chia làm 2 chương

Chương 1 Kiến thức cơ sở.

Chương 2 Môđun M – giả nội xạ.

2.1 Môđun M – giả nội xạ, môđun giả nội xạ.

2.2 Một số tính chất của môđun M – giả nội xạ.

2.3 Môđun M – giả nội xạ và M – nội xạ.

Luận văn được bắt đầu từ tháng 9/2011 và hoàn thành tại trường Đạihọc Vinh dưới sự gợi ý và hướng dẫn của thầy PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầyhướng dẫn, thầy đã tận tình, chu đáo giúp tác giả độc lập suy nghĩ, vữngtin trong bước đầu nghiên cứu khoa học

Tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Quốc Hán,PGS.TS Nguyễn Thành Quang, TS Nguyễn Thị Hồng Loan, TS Mai

Văn Tư, TS Đào Thị Thanh Hà và các thầy giáo, cô giáo trong khoatoán, khoa sau đại học trường Đại học Vinh và phòng QLKH&SĐHtrường Đại học Đồng Tháp đã động viên giúp đỡ trong quá trình học tậpcũng như trong việc hoàn thành luận văn.

Tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến Ban giám hiệu, các thầy

cô trong tổ toán trường THPT Tràm Chim, bạn bè và người thân đã độngviên, tạo mọi điều kiện thuận lợi để luận văn hoàn thành đúng kế hoạch Mặc dù đã cố gắng, tuy nhiên do nhiều nguyên nhân, luận vănkhông tránh khỏi những sai sót, tác giả rất mong nhận được sự góp ýchân thành của quý thầy cô và các bạn

Nghệ An, tháng 12 năm 2011.

Tác giả.

Chương 1 Kiến thức cơ sở

Trong chương này chúng ta hệ thống lại các kiến thức cơ sở cần

thiết cho việc chứng minh trong chương sau Tất cả các vành R trong

luận văn này đều giả thiết là vành có đơn vị kí hiệu 1 và các môđun làmôđun phải unita

1.1 Môđun con cốt yếu, môđun đều

1.1.1 Các định nghĩa

(1) Cho M là một R – môđun phải và N là môđun con của M Môđun

N được gọi là cốt yếu trong M và ký hiệu là N e M, nếu với mọi môđun

con KM, K  thì 0 N K 0 (Một cách tương đương, nếu N K 0thì K  ) Khi đó ta cũng nói rằng M là mở rộng cốt yếu của N.0

(2) Môđun U được gọi là đều nếu với mọi môđun con khác không trong U là cốt yếu của U.

1.1.2 Ví dụ:

- Me M; ne,  n 0 (xem là  – môđun)

- Xét  – môđun  Khi đó là môđun đều.

- Xét  – môđun  Khi đó  là môđun đều.

(4) Lấy XM sao cho N X 0 Khi đó, N(A X )A, từ đây

ta suy ra N A(A X A ) 0 Do N Ae M A nên (A X A ) 0 hay

(2) Môđun con N được gọi là đóng trong M nếu N không có một

mở rộng cốt yếu thực sự trong M Nói khác đi N được gọi là đóng trong

M nếu với mọi môđun con K  của M mà 0 N e K thì K N

Ví dụ: A, B là hai môđun con của M thỏa M A B  thì môđun B là đóng trong M.

(3) Môđun con K của M được gọi là bao đóng của môđun con N trong M nếu K là môđun con tối đại trong M sao cho N là cốt yếu trong K (4) Cho môđun M và A, B là hai môđun con của M Môđun B được gọi là bù giao của A trong M nếu B là môđun tối đại trong các môđun con của M thỏa B A 0.

(5) Môđun con B của M được gọi là bù giao trong M nếu A M 

mà B là bù giao của A trong M

(6) Bổ đề Zorn Giả sử ( ; ), X  X 0 là một tập sắp thứ tự thỏa mãn

điều kiện: mọi xích của X đều có cận trên thế thì X có phần tử tối đại, nghĩa là tồn tại a X mà a x x X ,  thì a x

(7) Đơn cấu :f N M được gọi là chẻ ra khi và chỉ khi

Im f  M

 khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu :g M  N để gf  1N

1.2.2 Hệ quả Bao đóng của một môđun con N trong M luôn luôn tồn tại,

(xem [5] trang 19)

Ví dụ: Xét  – môđun, 2 có bao đóng là 

1.2.3 Mệnh đề Khái niệm đóng và bù giao là tương đương (tức là nếu

K là môđun con đóng thì K là bù giao trong M và ngược lại)

Chứng minh.

( ) Giả sử K đóng Ta chứng minh K bù giao.

Xét  X M X K  0 Do 0   Sắp thứ tự theo quan

hệ  ta kiểm tra được  thỏa mãn điều kiện bổ đề Zorn Suy ra  có phần

tử tối đại ký hiệu là A Từ đó ta chứng minh được K là bù giao của A.

( ) Giả sử K bù giao Chứng minh K đóng.

Thật vậy, giả sử K e X M Ta chứng minh X = K.

Do K bù giao   A M để K A 0 và K tối đại có tính chất đó.

Ta có X A 0 (vì nếu X A 0   a X a A a,  ,  0 aR X ;



aR A Do Ke X  aR K k  0  A K k  0 (vô lí A K 0))

Nếu X K  x X K x \ , 0 Xét xRX Khi đó K K xR  ,(K xR )A0 (vì nếu   a A (K xR )  a A và a xR )

 Suy ra a X  a0 (do X A 0) Điều này

mâu thuẫn với tính tối đại của K với tính chất K A 0 X K Vậy

K đóng 

1.2.4 Mệnh đề Nếu K là môđun con của M và L là phần bù giao của K.

Khi đó:

(i) L là môđun con đóng trong M.

(ii) L K là môđun con cốt yếu của M.

g i

f -1

g i

Vậy N(K L ) 0 hay L K e M 

1.3 Môđun M – nội xạ

1.3.1 Định nghĩa Giả sử M và N là hai R – môđun phải Môđun N được

gọi là M – nội xạ nếu mọi môđun con A của M và mọi đồng cấu môđun

: 

f A N đều mở rộng thành đồng cấu : g M  N (nghĩa là biểu đồ

giao hoán g.i = f, với i là phép nhúng đồng nhất).

A M

N

1.3.2 Bổ đề Nếu N là M – nội xạ khi đó mỗi đơn cấu :  f N M đều chẻ ra Nếu thêm điều kiện M không phân tích được thì f là một đẳng cấu Chứng minh.

Cho N là M – nội xạ và :  f N M là đơn cấu.

   Vậy g.f = 1 N hay f là chẻ ra.

Nếu M không phân tích được Do f chẻ ra  Im( )f  M

+) Im( )  f M f là toàn cấu Vậy f là đẳng cấu 

1.3.3 Mệnh đề Giả sử N là M – nội xạ và A là môđun con của M Khi đó:

N

Với mọi X A M A, với mọi đồng cấu :  X A N Bổ sung

vào biểu đồ ',   là các đồng cấu tự nhiên '( ) x  x A,  x X ;

( ) ,

 m  m A  m M ; i và i’ là phép nhúng đồng nhất.

Ta chứng minh tồn tại : M A N để  i Thật vậy, do N là

M – nội xạ nên tồn tại đồng cấu mở rộng : M  N sao cho 'i   '.Lấy : M A N xác định bởi ( m A )( )m

Khi đó  là một đồng cấu Thật vậy,  m A m A M A ; ' 

 x  x A Vậy   i hay N là M A – nội xạ 

1.3.4 Định lý (tiểu chuẩn Baer về môđun M – nội xạ).

Một môđun N là M – nội xạ nếu và chỉ nếu N là mR – nội xạ,

với mọi X M và với mọi đồng cấu : X  N

Cần chứng minh tồn tại mở rộng đồng cấu : M  N Áp dụng Bổ đề

A A Vậy  thỏa Bổ đề Zorn suy

ra  có phần tử tối đại là A, theo nghĩa X A M và :  A N là

đồng cấu mở rộng của 

Ta cần chứng minh A cốt yếu trong M Dùng phương pháp phản chứng giả sử A không cốt yếu trong M Khi đó, tồn tại B0 và B M

để A B 0 Khi đó   A A B M

 

i

Lấy : A B  N xác định bởi ( a b )( )a suy ra  là mởrộng của  và là mở rộng của  Do đó A,(A B , ) (mâu thuẫn

tính tối đại của A, ) Vậy Ae M

Ta chứng minh A = M Dùng phương pháp phản chứng giả sử  A M

Chứng minh  là đồng cấu Thật vậy,  a mr a mr; ' ' A mR

(( a mr ) ( ' a mr '))((a a ')m r r(  '))(a a ')( (m r r ')) ( )a ( ')a (mr)(mr')( )a (mr)( ')a (mr') (a mr )( 'a mr ')

Vậy A=M và : M  N là mở rộng của  Vậy N là M – nội xạ.

minh N là M – nội xạ Thật vậy, giả sử X M và : X  N là đồng cấu.

Dùng Bổ đề Zorn ta giả sử rằng  không thể mở rộng thành đồng cấu: '

 X  N Với mọi X X'M Khi đó ' X e M Ta cần chứng

minh ' X M Dùng phương pháp phản chứng giả sử '  X M , tồn tại



i I và  m M sao cho i m X Vì N là  ' M – nội xạ Theo Mệnh đề i

1.3.3 suy ra N là mR – nội xạ.

 X mR  N Điều này mâu thuẫn với sự tối đại của , do đó ' X M

và : M  N là mở rộng của  Vậy N là M – nội xạ hay N là  i

 ( )x Vậy  i Hay N là M – nội xạ,    

( ) Giả sử N là M – nội xạ,    Chứng minh 

i

f f*

(2) Môđun N được gọi là tựa nội xạ nếu N là N – nội xạ.

(3) Bao nội xạ của môđun M, kí hiệu E(M), là môđun nội xạ bé

nhất sao cho M cốt yếu trong E(M).

1.4.2 Định lí (Tiêu chuẩn Bear về môđun nội xạ)

Môđun N là nội xạ khi và chỉ khi mọi iđean phải của vành R và mọi đồng cấu R – môđun :  f I N , tồn tại phần tử  a N sao cho

( ) ,  

f x ax x I

Chứng minh.

Điều kiện cần Cho N là M – nội xạ với mọi M Do R là môđun nên N là R

R – nội xạ Ta có sơ đồ sau:

X là môđun con bất kì của M, đồng cấu : g X  N Ta chứng minh tồn

 x k x , khi đó  là đồng cấu Vậy ( , )T  của dãy (a).

Theo bổ đề Zorn,  có phần tử tối đại Kí hiệu ( , )B   Ta chứng

minh B = M và * g  Thật vậy, nếu B M   n M B \

Lấy H B nR   BH (do  n B ) và :  h H N trong đó a được xác

 E M  E N Từ giả thiết M N , khi đó : M  N là mở rộng

của  Vậy N là M – nội xạ.

n m  m ( )m ( ) 0m  Vậy N(  )M 0 và(  )M 0 Vì N e E N suy ra ( ) M M N 

1.4.4 Hệ quả Mở rộng của môđun M – tựa nội xạ bé là tồn tại duy

nhất một đẳng cấu.

Chứng minh.

Giả sử Q(M) = End(E(M),M) Khi đó hiển nhiên Q(M) thỏa điều

kiện cần tìm 

1.4.5 Hệ quả Hai môđun A và B được gọi là nội xạ lẫn nhau (nghĩa là

A là B – nội xạ và B là A – nội xạ) Nếu ( ) E A E B thì ( ) A B , thực tế

là mọi đẳng cấu ( ) E A  E B đều thu hẹp thành đẳng cấu ( ) A B trong trường hợp này A và B là tựa – nội xạ.

Vậy ( ) f A B Do đó, f A: A B là một đẳng cấu hay  A B

Ta lại có A là B – nội xạ và  B A nên A là A – nội xạ Vậy A là môđun

tựa – nội xạ 

1.4.6 Mệnh đề M1M là tựa – nội xạ khi và chỉ khi 2 M là i M – nội j

xạ ( , i j 1,2)

Đặc biệt hạng tử trực tiếp của môđun tựa – nội xạ là tưa – nội xạ

Chương 2 Môđun M – giả nội xạ

2.1 Các định nghĩa

(2) N được gọi là giả nội xạ nếu N là N – giả nội xạ.

(3) Hai môđun A, B được gọi là giả nội xạ lẫn nhau nếu A là B – giả nội xạ và B là A – giả nội xạ.

(4) Các điều kiện (Ci) của môđun

Giả sử M là một môđun ta thường xét các điêu kiện sau của M.

(C1) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M hay nói cách khác mọi môđun con đóng trong M là hạng tử trực tiếp của M.

(C2) Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và

A là hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M.

(C3) Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M và A B 0thì



A B cũng là một hạng tử trực tiếp của M.

(5) Môđun M được gọi là CS – môđun (hoặc extending môđun) nếu

M thỏa điều kiện (C1)

(6) Môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa điều kiện (C1) và (C2)

(7) Môđun M được gọi là tựa – liên tục nếu M thỏa điều kiện (C1)

và (C3)

f -1 f ’

i

2.2 Một số tính chất của môđun M – giả nội xạ

2.2.1 Mệnh đề

(1) Nếu N là M – giả nội xạ thì mọi đơn cấu :  f N M là chẻ ra.

(2) N là nội xạ khi và chỉ khi N là M – giả nội xạ với mọi M.

(3) Nếu N là M – giả nội xạ thì N là A – giả nội xạ với mọi môđun

(6) Cho A và B là hai môđun giả nội xạ lẫn nhau Nếu ( ) E A E B( )

thì  A B , thực tế là mọi đẳng cấu ( ) E A  E B đều thu hẹp thành đẳng( )cấu  A B trong trường hợp này A và B là giả nội xạ.

Do N là nội xạ nên N là M – nội xạ với mọi M Với mọi  A M , với mọi

đơn cấu : f A N Xét biểu đồ sau

A M

N

Ta có N là M – nội xạ với mọi M, nên tồn tại mở rộng ': f M  N sao

cho ' f i f Hay N là M – giả nội xạ với mọi M.

( )  Giả sử N là M – giả nội xạ với mọi M, theo (1) thì mỗi đơn cấu

Ta chứng minh gi h Thật vậy, với mọi  a A ta có ( ) gi a g a( )h a ( )

Suy ra g là mở rộng của h Vậy N là M – nội xạ với mọi M hay N là nội xạ (3) Cho X là một môđun con của A và :  f X N là một đơn cấu.

Khi đó X cũng là một môđun con của M, và do N là M – giả nội xạ, nên f

mở rộng thành một đồng cấu *:f M  N Thu hẹp * :  f A A N là đồng

cấu mở rộng của f Do đó N là A – giả nội xạ.

(4) Giả sử N là môđun M – giả nội xạ, và N A A Cho X là một  '

môđun con của M và :  f X A là một đơn cấu.

Xác định :g X  N A A cho bởi   ' g x( ) f x( ),0 Do đó g là

một đơn cấu và do N là M – giả nội xạ nên g mở rộng thành một đồng

cấu *:g M  N

Cho A:N A A  ' A là phép chiếu tự nhiên Thì A g M*:  A

là một đồng cấu mở rộng của f Vì vậy A là M – giả nội xạ.

(5) Cho N là M – giả nội xạ và đơn cấu : ( ) E M  E N ( )

Ta có B là A – giả nội xạ nên ( )  f A B (theo Mệnh đề 2.1(5)).

Tương tự f  1( )B A Ta có B ff 1( )B f f  1( )B  f A( )B

Vậy ( ) f A B , do đó : 

A

f A B là một đẳng cấu Như vậy  A B

Ta lại có A là B – giả nội xạ và  B A nên A là A – giả nội xạ Vậy A là

giả nội xạ 

2.2.2 Định lí Nếu M1M là giả nội xạ, thì M2 1 và M 2 là nội xạ lẫn nhau Chứng minh.

Giả sử M1M là giả nội xạ, ta chứng minh M2 1 là M2 – nội xạ, M2

là M1 – nội xạ chứng minh tương tự Thật vậy, với mọi A M , và với 2

mọi đồng cấu f A:  M Xác định 1 g A:  M1M cho bởi2

Nếu 1:M1M2  M là phép chiếu tự nhiên thì 1 1g M*: 2  M là một1

đồng cấu mở rộng của f Do đó, M1 là M2 – nội xạ 