Một số tính chất của môđun

MỞ ĐẦUMôđun nội xạ đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết môđun vì môđun nội xạ liên quan đến hầu hết các định nghĩa và mệnh đề trong lý thuyết môđun như mô đun con cốt yếu và đối c

Trờng đại học vinh

huỳnh tấn trọng

một số tính chất của môđun

nội xạ chính

Luận văn thạc sĩ toán học

Vinh - 2008

Trờng đại học vinh

Vinh - 2008

Mở đầu 1

Nội dung 3

Chương 1: Môđun con nội xạ & Các mở rộng 3

1.1 Môđun con cốt yếu, môđun đều, môđun con đóng, bao đóng 3

1.2 Môđun A–nội xạ 4

1.3 Môđun nội xạ 5

1.4 Các điều kiện (C1) , (C2) , (C3) 10

Chương 2: Một số tính chất của môđun nội xạ chính 11

2.1 Các định nghĩa 11

2.2 Các mệnh đề 14

Kết luận 47

Tài liệu tham khảo 48

MỞ ĐẦU

Môđun nội xạ đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết môđun vì môđun nội xạ liên quan đến hầu hết các định nghĩa và mệnh đề trong lý thuyết môđun như mô đun con cốt yếu và đối cốt yếu, môđun con xyclic, hạng tử trực tiếp của một môđun, tổng trực tiếp và tích trực tiếp của các môđun… Cho R là vành giao hoán có đơn vị Mô đun M được gọi là môđun N– nội xạ nếu với mọi môđun con X của N và với mọi R–đồng cấu ϕ : X → M đều tồn tại một R–đồng cấu ψ : N → M là mở rộng của ϕ, tức biểu đồ sau giao hoán :

(trong đó i : X → N là R–đồng cấu nhúng)

Dựa vào ý tưởng trên, M.A.Kamal và O.A.Elmnophy [2] đã xem xét một lớp các môđun nội xạ, gọi là môđun nội xạ chính, được định nghĩa như sau : Giả sử M, N là các R–môđun M được gọi là N–nội xạ chính (gọi tắt là N–P–nội xạ) nếu với mọi môđun con xyclic nR của N và với mọi R–đồng cấu ϕ:

nR → M thì có thể mở rộng được đến R–đồng cấu ψ: N → M Tức biểu đồ sau giao hoán:

Mục đích của luận văn là làm rõ các khái niệm và các tính chất của

môđun P–nội xạ trong bài báo On P–extending modules, 2005, Acta

Mathematics University Comeninae, của hai đồng tác giả M.A Kamal và O.A Elmnophy dựa vào các tài liệu tham khảo khác

Luận văn được thực hiện tại Trường Đại Học Vinh, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn, sự kính trọng đến PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, người đã trực tiếp giảng dạy, chỉ bảo tận tình trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn Đồng thời xin cám ơn các thầy cô giáo Khoa Toán, Khoa Đào Tạo Sau Đại Học – Trường Đại Học Vinh đã giúp đỡ và tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn của mình

Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, kính mong sự góp ý của thầy cô và các bạn

ψi = ϕ

NỘI DUNG

Chương 1 : MÔĐUN NỘI XẠ & CÁC MỞ RỘNG

Trong toàn bộ luận văn, ta luôn giả thiết R là một vành có đơn vị 1 và dùng kí hiệu A ≤ M để chỉ A là môđun con của mô-đun M

1.1 Môđun con cốt yếu, môđun đều, môđun con đóng, bao đóng:

1.1.1 Định nghĩa: (Môđun con cốt yếu) Cho môđun M và A ≤ M

Môđun A được gọi là môđun con cốt yếu của M nếu với mọi B ≤ M, B ≠

0 thì A ∩ B ≠ 0 Kí hiệu A ≤ e M

Một phát biểu tương đương của định nghĩa:

A ≤ e M  Với mọi B ≤ M sao cho A ∩ B = 0 thì B = 0

1.1.2 Một số tính chất:

(i) Cho A ≤ M Khi đó A ≤ e M  ∀x ∈ M, x ≠ 0 thì xR ∩ A ≠ 0

(ii) Cho A ≤ B ≤ C ≤ M Khi đó A ≤ eC  B ≤ eC và A ≤ eB

(iii) Cho A ≤ e M và K ≤ M Khi đó A ∩ K ≤ e K

(iv) Cho Ai ≤ e Bi , i ∈ {1, 2, …, n} Khi đó n

1 i

i

B

(v) Cho A ≤ B ≤ M và B/A ≤ e M/A Khi đó B ≤ e M

(vi) Cho f: M → N là đồng cấu môđun Nếu B ≤ e N thì f–1(B) ≤ e M

(vii) Cho Ai ≤e Mi , ∀i ∈ I và tồn tại ⊕I Ai Khi đó:

- Tồn tại ⊕I Mi.

- ⊕I Ai ≤ e ⊕ I Mi.

Chứng minh : Xem [7], chapter 1, §1

1.1.3 Định nghĩa: (Môđun đều) Môđun U được gọi là đều nếu mọi môđun

con khác không của U đều cốt yếu trong U

Nói cách khác, U đều  Với mọi 0 ≠ A, B ≤ U thì A ∩ B ≠ 0.

1.1.4 Định nghĩa: (Môđun con đóng, mở rộng cốt yếu, bao đóng)

1.1.4.1 Định nghĩa môđun con đóng: Cho A ≤ M A được gọi là đóng trong M nếu tồn tại B ≤ M sao cho A ≤ e B ≠ M thì A = B

1.1.4.2 Định nghĩa mở rộng cốt yếu: Nếu A ≤ e M thì M được gọi là

1.1.4.5 Hệ quả: Bao đóng C(A) luôn tồn tại.

Chứng minh : Xem [7], chapter 1, §1

1.1.4.6 Mệnh đề: Nếu M = A ⊕ B thì A và B là các môđun con đóng trong M

Nói cách khác, hạng tử trực tiếp là một môđun con đóng

-Trước hết, ta chứng minh X ∩ B = 0 : Giả sử ngược lại X ∩ B ≠ 0, khi

1.2.1 Định nghĩa: Cho M, A là các R–môđun M được gọi là A–nội xạ nếu

với mọi môđun con X của A và với mỗi đồng cấu ϕ : X → M đều tồn tại đồng cấu ψ : A → M là mở rộng của ϕ

Tức biểu đồ sau giao hoán:

(trong đó i: X → A là đồng cấu nhúng)

1.2.2 Mệnh đề: Cho M là A–nội xạ và B ≤ A Khi đó:

(i) M là B–nội xạ

(ii) M là BA –nội xạ.

Chứng minh: Xem [7], Chapter 1, §1

1.2.3 Mệnh đề: M là A–nội xạ khi và chỉ khi M là aR–nội xạ,∀a ∈ A

Chứng minh: Xem [7], Chapter 1, §1

1.2.4 Mệnh đề: M là ⊕I Ai–nội xạ khi và chỉ khi M là Ai–nội xạ ,∀i ∈ I

Chứng minh: Xem [7], Chapter 1, §1.

1.2.5.Mệnh đề: Giả sử {Mα}α∈Λ là họ các R–môđun Khi đó :

∏

Λ M α là A–nội xạ khi và chỉ khi Mα là A–nội xạ, ∀α∈Λ

Chứng minh : Xem [7], chapter 1, §1

1.3 Môđun nội xạ:

1.3.1 Định nghĩa và tiêu chuẩn Baer:

1.3.1.1 Định nghĩa: Môđun Q được gọi là nội xạ nếu Q là A–nội xạ với

mọi môđun A Nói cách khác, với mọi môđun A, với mọi X ≤ A và với

A

ϕ

M

mọi đồng cấu ϕ : X → Q , tồn tại đồng cấu mở rộng ψ : A → Q, sao cho ψi = ϕ Tức tam giác sau giao hoán:

(trong đó i là đồng cấu nhúng X vào A)

1.3.1.2.Tiêu chuẩn Baer:

Định lí (tiêu chuẩn Baer): Môđun Q là nội xạ khi và chỉ khi với mọi iđêan

I của vành R và với mọi đồng cấu:

f: I → Q thì tồn tại a thuộc Q sao cho f(x) = xa , ∀x ∈ I

(trong đó i là đồng cấu nhúng I vào R)

Chứng minh:Xem [7], chapter 1, §1.

Hệ quả: Q là nội xạ  Q là RR–nội xạ

Chứng minh:

-Phần thuận: Hiển nhiên theo định nghĩa

-Phần đảo: Dùng tiêu chuẩn Baer:

Lấy bất kỳ I  RR và f: I → Q :

AX

Ta phải chỉ ra ∃a ∈ Q sao cho f(x) = ax , ∀x ∈ I

Do Q là RR–nội xạ nên f có mở rộng là:

f*: RR → Q sao cho f*i = f

Chọn a = f*(1) thì ∀x ∈ I ta có:

f(x) = f*i(x) = f*(x) = f*(1.x) = f*(1).x = ax

Vậy theo tiêu chuẩn Baer ta có Q là nội xạ □

1.3.2 Mệnh đề: Hạng tử trực tiếp của một mô-đun nội xạ là nội xạ.

Chứng minh: Xem [7], chapter 1, §1.

1.3.3 Bổ đề:

(i) Tính nội xạ được bảo tồn qua đẳng cấu

(ii) Cho A ≤ M Khi đó: A ≤ ⊕M  Tồn tại đồng cấu f : M → M sao cho f2 = f (f là phần tử luỹ đẳng của End(M)) và f(M) = A

Chứng minh:

(i) Giả sử Q là nội xạ và P ≅ Q Ta sẽ chứng minh P là nội xạ

Lấy bất kỳ môđun M và giả sử X ≤ M Xét biểu đồ:

Trong đó: i là đồng cấu nhúng X vào M

Dễ thấy f là đồng cấu Ngoài ra, ∀m = a + b ∈ M ta có:

f2(m) = f2(a + b) = f[f(a + b)] = f(a) = a = f(a + b) = f(m)

=> M ⊆ Kerf + Imf hay M = Kerf + Imf

Mặt khác, Kerf ∩ Imf = 0 Thật vậy:

∀α∈ Kerf ∩ Imf => f(α) = 0 và ∃b ∈ M : α = f(b)

=> 0 = f(α) = f[f(b)] = f2(b) = f(b) = α

Vậy M = Kerf ⊕ Imf hay Imf ≤ ⊕ M

Ngoài ra, ta có f(M) = f(Kerf ⊕ Imf) = 0 + f(Imf) = f[f(M)] =

= f2(M) = f(M) = Imf

Vậy đặt A = Imf, khi đó A là môđun con cần tìm □

1.3.4 Định lí: Mọi môđun luôn nhúng được vào một môđun nội xạ

Nói cách khác, với mọi môđun M thì tồn tại môđun nội xạ Q và đơn cấu f : M → Q

Chứng minh : Xem [7], chapter 1, §1.

1.3.5 Định lí: Môđun Q là nội xạ khi và chỉ khi Q là hạng tử trực tiếp của các

Do Q là nội xạ nên tồn tại đồng cấu g: M → Q sao cho gi = 1Q Suy ra

i là đơn cấu chẻ ra, tức im(i) ≤ ⊕M

1Q

Do giả thiết điều kiện đủ f(Q) ≤ ⊕M Theo mệnh đề 1.3.2, f(Q) là nội xạ Lại vì i là đồng cấu nhúng nên Q = f(Q) ≤ ⊕M □

1.3.6 Định lí: ∏

I i

Q là nội xạ  Qi là nội xạ, ∀i ∈ I

Chứng minh: Suy trực tiếp từ mệnh đề 1.2.5

1.4 Các điều kiện (C 1 ); (C 2 ); (C 3 ):

1.4.1 Định nghĩa: Cho môđun M Ta xét các điều kiện:

(1– C1): Với mọi môđun con đều X của M ta có X ≤e X ≤⊕M

(C1): Với mọi môđun con X của M, ta có X ≤e X ≤⊕M

(C2): Với mọi A,B ≤ M, A ≅ B và A ≤ ⊕M thì B ≤ ⊕M

(C3): Với mọi A,B ≤ M, A ∩ B = 0 và A,B ≤ ⊕M thì A ⊕ B ≤ ⊕M

1.4.2 Định nghĩa: Môđun M được gọi là:

a) (1–C1) nếu M thỏa mãn (1–C1)

b) CS nếu M thỏa mãn (C1)

c) Liên tục nếu M thỏa mãn (C1) và (C2)

d) Tựa liên tục nếu M thỏa mãn (C1) và (C3)

2.1.2 Môđun P – CS: Môđun M được gọi là môđun P–CS nếu mọi môđun

con xyclic của M đều cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M

Một phát biểu tương đương: M được gọi là môđun thỏa mãn P–CS nếu và

chỉ nếu mọi môđun con EC–đóng của M là hạng tử trực tiếp của M

Thật vậy, Với m ∈ M, giả sử mR ≤ eA là môđun con EC–đóng của M Khi đó, do M là P–CS nên mR ≤ eA ≤ ⊕M Lại vì mR đóng nên mR = A ≤ ⊕

M Ngược lại, giả sử mR là môđun con xyclic, khi đó mR ≤ e mR Theo giả thiết điều kiện đủ, ta có mR ≤⊕M Vậy mR ≤ e mR ≤⊕M Vậy M là

P–CS □

2.1.3 Môđun FP–CS: Môđun M được gọi là FP–CS nếu mọi môđun con

EC–đóng, đều, hữu hạn chiều của M là hạng tử trực tiếp của M

2.1.4 Môđun thỏa mãn điều kiện PC 2: Môđun M được gọi là thỏa mãn điều

kiện PC2 nếu a,b ∈ M , aR ≅ bR và aR ≤ ⊕ M thì bR ≤ ⊕ M

2.1.5 Môđun thỏa mãn điều kiện PC 3: Môđun M được gọi là thỏa mãn điều

kiện PC3 nếu a,b ∈ M sao cho aR, bR ≤ ⊕ M và aR ∩ bR = 0 thì aR ⊕

bR ≤ ⊕ M

2.1.6 Môđun P–liên tục: Môđun M được gọi là môđun P–liên tục nếu M là

P–CS và M thỏa mãn điều kiện PC2

2.1.7 Môđun P–tựa liên tục: Môđun M được gọi là môđun P–tựa liên tục

nếu M là môđun P–CS và M thỏa mãn điều kiện PC3

2.1.8 Linh hoá tử: Cho M là một mô-đun; X là tập con của M

Ta định nghĩa:

rR(X) = { r ∈ R / xr = 0; ∀x ∈ X };

lR(X) = {r ∈ R / rx = 0; ∀x ∈ X}

Đặc biệt với m ∈ M thì rR(m) = { r ∈ R / mr = 0 } và được gọi là linh

hoá tử phải của m Tương tự lR(m) là linh hoá tử trái của m

2.1.9 Đồ thị của đồng cấu: Giả sử f : N → M là đồng cấu môđun Ta kí hiệu < f > = { n – f(n) / n ∈ N } và được gọi là đồ thị của đồng cấu f

2.1.10 Môđun N–P–nội xạ: Giả sử M, N là các môđun M được gọi là N–nội

có thể mở rộng được đến đồng cấu ψ: N → M Tức biểu đồ sau giao hoán:

(trong đó i: nR → N là đồng cấu nhúng)Một phát biểu tương đương của định nghĩa: Môđun M được gọi là N–P–nội

xạ nếu: Với mỗi m ∈ M và n ∈ N sao cho rR(n) ⊆ rR(m) thì tồn tại đồng cấu

ψi = ϕ

-Phần thuận: Giả sử M là N–P–nội xạ.

Lấy m ∈ M và n ∈ N sao cho rR(n) ⊆ rR(m)

Ta cần chứng minh tồn tại f: N → M sao cho f(n) = m Xét biểu đồ:

Trong đó: i là đồng cấu nhúng nR vào N;

.Ta chứng minh tồn tại đồng cấu f: N → M sao cho f(n) = m

Vì M là N–P–nội xạ nên tồn tại đồng cấu f: N → M sao cho fi = ϕ

2.1.11 Môđun P–nội xạ: Môđun M được gọi là P–nội xạ nếu M là N–P–

nội xạ với mọi môđun N

2.1.12 Môđun P–tựa nội xạ: Môđun M được gọi là P–tựa nội xạ nếu M là

M–P–nội xạ

2.2 Các mệnh đề:

2.2.1 Mệnh đề: Giả sử M, N là các môđun và S: = End(M) Khi đó các phát

biểu sau là tương đương:

(1) M là N–P–nội xạ,

(2) Với mỗi m ∈ M và n ∈ N sao cho rR(n) ⊆ rR(m) thì

Sm ⊆ HomR(N,M)n với Sm:= {f(m) / f ∈ S} và HomR(N,M)n

N

ϕ

fM

= {f(n) / f ∈ HomR(N,M)}

(3) Với mỗi m ∈ M và n ∈ N sao cho rR(n) ⊆ rR(m) thì tồn tại C là bù giao của M trong N ⊕ M sao cho n – m ∈ C và N ⊕ M = C ⊕ M(4) Với mỗi n ∈ N, lMrR(n) = HomR(N,M)n

(5) Với mỗi n ∈ N và a ∈ R thì lM[aR ∩ rR(n)] = lM(a) + HomR(N,M)n

Chứng minh:

Giả sử M, N là các môđun và S: = End(M)

(1) => (2) Giả sử m ∈ M , n ∈ N sao cho rR(n) ⊆ rR(m) và M là N–P–nội xạ

Khi đó theo phát biểu tương đương của định nghĩa về M là N–P–nội xạ, tồn tại đồng cấu f: N → M sao cho f(n) = m

Bây giờ lấy φ∈ S = End(M), ta có φ(m) ∈ Sm và có:

* Tồn tại < f > ⊕ M Thật vậy, giả sử x ∈ < f > ∩ M

=> x = n – f(n) ∈ < f > với n ∈ N

x ∈ M

=> N ∋ n = x + f(n) ∈ M (do x ∈ M và f(n) ∈ M)

=> n ∈ N ∩ M = 0 (vì tồn tại N ⊕ M) => n = 0 => x = 0 – f(0) = 0 Vậy tồn tại < f > ⊕ M

∃f ∈ HomR(N,M) sao cho f(n) = x

-Ta sẽ chứng minh C = < f > như sau:

∀c ∈ C, ∃n ∈ N : c = n – x = n – f(n) ∈ < f > => C ⊆ < f >

Từ kết quả (*) ta sẽ chứng minh rR(na) ⊆ rR(xa) như sau:

∀r ∈ rR(na) => na.r = 0 hay n ar = 0 => ar ∈ rR(n) Lại có ar ∈ aR nên ar ∈ [aR ∩ rR(n)] Kết hợp với (*) ta được xar = 0 => r ∈ rR(xa) =>

rR(na) ⊆ rR(xa) Do đó:

∀m ∈ lMrR(xa) thì m.rR(xa) = 0 kéo theo mr = 0, ∀r ∈ rR(xa)

Mà rR(xa) ⊇ rR(na) => mr = 0, ∀r ∈ rR(na)

=> m ∈ lMrR(na) => lMrR(xa) ⊆ lMrR(na)

Theo (4) lMrR(na) = HomR(N,M)na => lMrR(xa) ⊆ HomR(N,M)na

Bây giờ, ta nhận thấy xa ∈ lMrR(xa) vì xa ∈ lMrR(xa)  xa.rR(xa) = 0

 xa.r = 0, ∀r ∈ rR(xa)–hiển nhiên theo định nghĩa

Do đó từ xa ∈ lMrR(xa) ⊆ HomR(N,M)na thì :

∃f ∈ HomR(N,M) sao cho xa = f(na) = f(n)a => xa – f(n)a = 0

=> (x – f(n)).a = 0 => (x – f(n)) ∈ lM(a)

=> ∃m’ ∈ lM(a): x – f(n) = m’

=> x = f(n) + m’ ∈ HomR(N,M)n + lM(a)

Vậy lM[aR ∩ rR(n)] ⊆ HomR(N,M)n + lM(a)

Ngược lại, ∀x ∈ lM(a) + HomR(N,M)n

Vậy lM(a) + HomR(N,M)m ⊆ lM [aR ∩ rR(n)]

Từ hai kết quả trên ta có lM(a) + HomR(N,M)m = lM [aR ∩ rR(n)] □

(5) => (1) Giả sử m ∈ M và n ∈ N sao cho rR(n) ⊆ rR(m)

Ta sẽ chứng minh ∃f ∈ HomR(N,M) sao cho f(n) = m (để kết luận M là N–P–nội xạ, theo phát biểu tương đương của định nghĩa môđun N–P–nội xạ)

- Trước hết ta chứng minh: nếu rR(n) ⊆ rR(m) thì lMrR(m) ⊆ lMrR(n)

Thật vậy, giả sử m’∈ lMrR(m) => m’.rR(m) = 0

Mà rR(m) ⊇ rR(n) nên m’.rR(n) = 0

=> m’ ∈ lMrR(n)

=> lMrR(m) ⊆ lMrR(n)

Bây giờ, theo (5) ta có lM [aR ∩ rR(n)] = lM(a) + HomR(N,M)n

Như vậy, nếu cho a = 1 thì : lM [R ∩ rR(n)] = lM(1) + HomR(N,M)n

Hay lMrR(n) = 0 + HomR(N,M)n = HomR(N.M)n

Do đó, từ m ∈ lMrR(m) ⊆ lMrR(n) = HomR(N,M)n thì:

∃f ∈ HomR(N,M) sao cho m = f(n) => M là N–P–nội xạ □

2.2.2 Mệnh đề: Giả sử môđun M là N–P–nội xạ Khi đó M là X–P–nội

xạ với mọi môđun con X của N Đặc biệt, nếu X là hạng tử trực tiếp của

N thì M là NX–P–nội xạ

Chứng minh:

(i) Chứng minh M là X–P–nội xạ:

Giả sử M là N–P–nội xạ và X ≤ N Lấy x ∈ X ≤ N, khi đó xR là môđun con xyclic của X và cũng là môđun con xyclic của N Xét biểu đồ:

Trong đó:

i là đồng cấu nhúng xR vào X

j là đồng cấu nhúng X vào N;

ϕ là đồng cấu bất kỳ từ xR vào M

Do M là N–P–nội xạ nên tồn tại đồng cấu:

f : N → M là mở rộng của đồng cấu ϕ (tức fji = ϕ)

j

Bây giờ, lấy g = fj Khi đó g: X → M là đồng cấu, và ta có:

gi = fji = ϕ

Vậy M cũng là X–P–nội xạ □

(ii) Chứng minh M là NX–P–nội xạ:

Giả sử M là N–P–nội xạ và X là hạng tử trực tiếp của N Lấy bất kỳ α ∈ NX => α = n + X với n ∈ N

=> αR = (n + X)R là mô-đun con xyclic của NX

j

Từ đó ta sẽ chứng minh tồn tại R–đồng cấu g: NX → M là mở rộng của ϕ