Một số tính chất của biến cố độc lập và biến ngẫu nhiên độc lập

Khoa toán ---Lê Thị Thanh Toàn Một số tính chất của biến cố đôc lập và biến ngẫu nhiên độc lập Khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân khoa học Toán... Mục đích của khoá luận này là

Khoa toán

-Lê Thị Thanh Toàn

Một số tính chất của biến cố đôc lập

và biến ngẫu nhiên độc lập

Khoá luận tốt nghiệp đại học

ngành cử nhân khoa học Toán

-Vinh,

2006 -Lời nói đầu

Khái niệm độc lập là một trong những khái niệm cơ bản nhất của lý thuyết xác suất

Mục đích của khoá luận này là trình bày các tính chất của các biến cố độc lập

và biến ngẫu nhiên độc lập cùng một số tính chất khác có liên quan đến các khái niệm này

Khoá luận đợc chia làm 3 phần:

Phần I : Các kiến thức chuẩn bị

Trong phần này, chúng tôi nêu lên một số định nghĩa, khái niệm tính chất cơ bản để phục vụ cho các phần sau

Phần II: Một số tính chất của biến cố độc lập

Phần này gồm hai mục nhỏ Trong mục 1, chúng tôi trình bày các định nghĩa

và một số tính chất cơ bản của các biến cố độc lập Mục 2 dùng dể chứng minh một

số tính chất khác của biến cố độc lập

Phần III: Một số tính chất của biến ngẫu nhiên độc lập.

Phần này cũng gồm hai mục nhỏ Trong mục 1, chúng tôi trình bày các định nghĩa và một số tính chất cơ bản của các biến ngẫu nhiên độc lập Mục 2 dùng để chứng minh một số tính chất khác của biến ngẫu nhiên độc lập

Khoá luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn trực tiếp của PGS.TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin trân trọng đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy- ngời đã giúp

đỡ em tận tình trong cả quá trình học tập và nghiên cứu

Qua đây tác giả xin tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô khoa Toán, gia đình và bạn

bè đã giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập cũng nh nghiên cứu ở trờng

Dù đã rất cố gắng xong luận văn này không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong

đợc nhận sự góp ý chân thành của quý thầy cô cùng bạn bè

Vinh tháng 4 năm 2006.

Tác giả

1) P(A) ≥ 0 , A∈ ℱ 2) P(Ω) =1

A ≤∑∞

= 1 ) (

n n

A

8) Tính liên tục của xác suất

i) Nếu (An ) là dãy đơn điệu tăng A1⊂ A2 ⊂…⊂ An⊂…thì tồn tại limn P(A n)

P là độ đo xác suất trên ℱ.

Khi đó bộ ba (Ω,ℱ,P) , đợc gọi là không gian xác suất

Ω đợc gọi là không gian biến cố sơ cấp

ℱ đợc gọi là σ - đại số các biến cố

Nếu A∈ℱ thì A đợc gọi là một biến cố.

Nếu A,B ∈ ℱ mà A∩ B = AB ≠ φ thì ta nói A, B xung khắc

Nếu A ∈ ℱ thì Ā =Ω\A gọi là biến cố đối lập của biến cố A

A và à 0(A n)<∞, n=1,2, )…Khi đó tồn tại duy nhất một độ đo à xác định trên σ (A) sao cho :

a) F không giảm : x < y ⇒F(x) ≤F(y)

b) F Liên tục trái tại mọi điểm

Phần II: Một số tính chất của biến cố độc lập

1 Các định nghĩa và một số tính chất cơ bản

1.1 Sự độc lập của hai biến cố.

Hai biến cố A và B gọi là hai biến cố độc lập nếu:

P(AB) = P(A)P(B)

1.2 Sự độc lập của nhiều biến cố.

Định nghĩa: Họ hữu hạn các biến cố A1,A2, ,A n gọi là độc lập (trong toàn thể ) nếu với mọi 2 ≤k ≤n và mọi bộ k chỉ số 1 ≤i1< <i k ≤n ta có:

) ( )

( ) ( ) , ,

,

(

2 1

Chú ý: Rõ ràng từ sự độc lập (trong toàn thể), suy ra sự độc lập từng cặp, nhng

đều ngợc lại nói chung không đúng Thật vậy, Ta lấy Ω ={ω 1 , ω 2 , ω 3 , ω 4} với

4

1 ) ( ) ( ) (

1 )

Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi một trong các điều kiện sau đợc thoả mãn:

a) Ᾱ, B độc lập b) A, B− độc lập c) Ā , −

n

A A

Lim

2) Một số tính chất khác của biến cố độc lập.

2.1 Mệnh đề.

Giả sử A độc lập với chính nó Khi đó P(A) hoặc bằng 0 hoặc bằng 1

Chứng minh: Ta có P(AA) =P(A)P(A) (do A độc lập với A)

( ) ( ) ( ).

( )

0 ) ( ) (

B P

C P A P

0 ) (

0 ) (

B P

C P

A P

Trái với giả thiết

⇒ P(AB.BC) ≠ P(AB)P(BC) ⇒ AB, BC không độc lập

B độc lập với AC, C độc lập với AB

A , B, C đều có xác suất dơng Khi đó A, B, C độc lập

Chứng minh:

Theo giả thiết ta có:

) ( ) ( ) (ABC P B P AC

P(ABC) =P(C)P(AB) (3)Và

) ( ) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) (

) (

)]

( [ )]

( ) ( ) ( )[

(

BC P A P AC P AB

P

ABC P AC P AB

P

BC AB

P

C B A P BC P C P B P A

P

− +

=

− +

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

) ( ) ( ) ( ) ( )

(

)

(

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

)

(

AC P C P A P B P A P

AB

P

AC P AB P C P A P B

P

A

P

BC P A P AC P AB P ABC P C P A P B

⇔

− +

=

− +

AC P B P AB

Thay (*) vµo (4) ta cã :

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

) ( )

(

AC P C P A P B P A P C

P

AC P B

) ( ) ( ) ( ) ( ) (

) (

)

(

C P

AC P A P C P A P C P

) ( )

C P

AC P A P

Hay

P(AC)= P(A)P(C) (**)

Thay(**) vµo (2) ta cã

) ( ) ( ) ( ) (ABC P A P B P C

\ ( )

MÆt kh¸c ta cã: (_) ( ) ( )[1 ( )] ( ) ( ) ( ).

B P A P B P A P B

P B P A

B là ε - độc lập

P

) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

ε ε

2 1 2

4 1 1 ) (

2 2

4 1 1 ) (

A P

A P

( ) ( )

(A1A2A3 A k P A1 P A2A3 A k

Lý luận tơng tự đợc:

)

(A2A3 A k

………….

) ( ) ( ) (A k 1A k P A k 1 P A k

Vậy:

)

(A1A2A3 A k

P = P(A1)P(A2A3 A k)

Giả sử (Ω, ℱ, P) là không gian xác suất Cần và đủ để tất cả các biến cố của

nó độc lập là các biến cố đó có xác suất bằng 0 hoặc bằng 1

Chứng minh:

+ Điều kiện cần:

Giả sử 0<P(A)<1⇒ 0<P(Ā)< 1và P(A A_)=0

) (A A_

P

) ( ) (A P A

) ( ) (A P A

0 )

(

B P

0 )

(

B P

1 )

(

B P

A P

⇒ P(AB) =P(A)P(B) = 0 ⇒ A,B độc lập

1 )

(

B P

2.9 Mệnh đề.

Điều kiện cần và đủ quan hệ độc lập giữa các biến cố trong một không gian xác suất có tính bắc cầu là các biến cố của không gian xác suất có xác suất bằng 0 hoặc bằng 1

) (A A

) ( ) (A P A

P trái với giả thiết

0 ) (

A P

A P

0 ) (

B P

B P

0 ) (

C P

C P

Ta chứng minh A , B độc lập; B, C độc lập và A , C cũng độc lập

Theo chứng minh ở mệnh đề 2.7 ( điều kiện đủ ) thì có: A, B độc lập; B, C độc lập và A , C cũng độc lâp Từ đó ta đợc điều phải chứng minh.

Phần III : Một số tính chất của biến ngẫu nhiên

độc lập

1 Các định nghĩa và một số tính chất cơ bản.

1.1 Biến ngẫu nhiên.

Giả sử (Ω,ℱ) là không gian đo đã cho _ [ ; ]

Thêm vào đó nếu X : Ω →R= ( −∞ ; +∞ ), thì ta có khái niệm biến ngẫu nhiên

Định lý : Giả sử X →R Khi đó các mệnh đề sau tơng đơng:

a) X là ngẫu nhiên

b) {ω :X( ω ) < x} ∈ ℱ với mọi x∈R

c) { ω : X ) ( ω ≤ x } ∈ ℱ với mọi x∈R

d) { ω : a ≤ X ( ω ) < b } ∈ ℱ với a<b bất kì

1.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên.

Định nghĩa: Giả sử X là biến ngẫu nhiên Khi đó hàm số F X(x) =P[X <x],

R

x∈ đợc gọi là hàm phân phối của X.

1.3 Tính độc lập.

Giả sử (Ω,ℱ,P) là không gian xác suất cố định

Định nghĩa: Họ hữu hạn {Ƒii ,∈I} các σ - đại số con của ℱ đợc gọi là độc lập nếu:

(

Đối với A i ∈Ƒi , (i∈I) bất kỳ

Họ vô hạn {Ƒi, i ,∈I} các σ - đại số con của Ƒ đợc gọi là độc lập nếu mỗi

họ con hữu hạn của nó độc lập

Họ các biến ngẫu nhiên X i,i∈I đợc gọi là độc lập nếu họ các σ - đại số sinh bởi chúng {Ƒ(X i),i∈I, } là độc lập

1.4 Định lý

Giả sử {Ci ,i∈I } họ tuỳ ý các lớp con của Ƒ có các tính chất sau :

a Mỗi lớp Ci đóng đối với phép giao

b Họ {Ci,i∈I } độc lập theo nghĩa đối với J⊂ I hữu hạn bất kì C j ∈ C j , j

∈J bất kì , ta có :

) (

J j

j

C P

∈ = ( j)

J j

C P

∏

∈

Khi đó họ {σ (Ci) , i∈I} Cũng độc lập

1.5 Bổ đề.

Giả sử C⊂ Ƒ là lớp đóng đối với phép giao và lớp A là lớp bé nhất các tập

con của Ω chứa C và thoả mãn các điều kiện sau

a) các biến ngẫu nhiên X1,X2, ,X n độc lập khi và chỉ khi :

F X1, ,X n(x1, ,x n) =F X1(x1)F X2(x2) F X n(x n)với mọi ( 1, , ) n.

n R x

b) Nếu (X1,X2, ,X n) có mật độ f X1, ,X n(x1, ,x n)thì X , ,1 X n độc lập khi

và chỉ khi :

) ( )

( ).

( )

1.11 Hệ quả 2.

Giả sử {Ƒn, n≥1 } là họ các σ -đại số độc lập với X là biến ngẫu nhiên đo

đ-ợc với σ - đại số đuôi Khi đó X là suy biến, nghĩa là X là hằng số h.c.c

X dãy (Xn )n≥ 1 và (an (X1 + +X n))n≥ 1 hoặc hội tụ h.c.c hoặc phân kỳ h.c.c

X là chuỗi các biến ngẫu nhiên độc lập Khi đó

a) Nếu hai chuỗi

= 1

n n

1.15 Định lý ba chuỗi của Kolmogorov.

Giả sử (Xn ) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập Khi đó nếu chuỗi ∑∞

= 1

n n

EX , ∑∞

= 1

n

c n

n

n C X P

hội tụ (trong đó Xc

=XI[X ≤C] )

Ngợc lại , nếu với C > 0 nào đó sao cho ba chuỗi trên hội tụ thì chuỗi ∑∞

= 1

n n

FT (x) =1-[1- F(x)]n ThËt vËy, ta cã:

FT (x) =P(T< x) = P(min{X1,X2 , ,X… n }< x)

= 1- P[n

i

n x X

1

) (

i

i x )) X

( P (

i x )) X ( P (

Chứng minh: Trớc hết, nhận xét rằng nếu X là b.n.n nhận giá trị nguyên

i

i X P

Thật vậy:

EX = P(X=1)+ 2P(X=2) + 3P(X=3) + … = P(X=1) +P(X=2) +P(X=2) +P(X=3) +P(X=3) +P(X=3)+ …

Do EX < ∞ nên chuỗi trên là chuỗi hội tụ Do đó

EX=∑∞= = +∑∞= =

) (

) (

j X P i

i X

i

n i X X

X P

i

n i X i X i X P

2 ) ( 2

1

) ( iat t

2 1 1 1

2 2

1

t ita

e − σ = 2 2 2

2

2

1 )

2 2 2 1

1

)

( 2 1 )

( X ( ) it a a t

X

k k

2

1 )

( 2

1 )

(

t a

e + + + − σ + +σ +

C hội tụ.

Chứng minh: Điều kiện đủ: Giả sử ∑∞

= 1

2

n n

C hội tụ Khi đó

(

n n n

n

n

n X C

1

) (

n

n n n

n

n X C DX C

= 1

2 2

n n

= 1

2 2

n n

n

c n

n X C

= 1

) (

n

n

n X C

= 1 2

n n

C hội tụ Đó là điều phải chứng minh

Kết luậnKhoá luận đã đạt đợc một số kết quả sau:

Trình bày các khái niệm , các định nghĩa và các tính chất cơ bản của biến cố

độc lập

Chứng minh thêm một số tính chất khác của biến cố độc lập

Trình bày các khái niệm, các định nghĩa và tính chất cơ bản của biến ngẫu nhiên độc lập

Chứng minh thêm một số tính chất khác của biến ngẫu nhiên độc lập

Tµi liÖu tham kh¶o

[1] §µo H÷u Hå, X¸c suÊt thèng kª, NXB §¹i häc quèc gia Hµ Néi, 1996.

[2] §Æng Hïng Th¾ng, Më ®Çu lÝ thuyÕt x¸c suÊt vµ c¸c øng dông, NXB Gi¸o dôc,

1997

[3] NguyÔn Duy TiÕn – Vò ViÕt Yªn: Lý thuyÕt x¸c suÊt thèng kª - NXBGD 2001.

[4] David Williams, Probability with martingales, Cambridge University, Press

1991

Mục lục

Lời nói đầu 1

Phần I : Các kiến thức chuẩn bị 2

Phần II : Một số tính chất của biến cố độc lập 6

1 Các định nghiã và tính chất cơ bản 6

2 Một số tính chất khác 8

Phần III: Một số tính chất của biến ngẫu nhiên 15

1 Các định nghĩa và một số tính chất cơ bản 15

2 Một số tính chất khác của biến ngẫu nhiên độc lập 19

Kết luận 24

Tài liệu tham khảo 25