Một số tính chất của hàm lồi một biến và nhiều biến

Các kết quả thu được trong việc nghiên cứu các tínhchất của hàm lồi được áp dụng trong việc chứng minh các bất đẳng thức sơcấp, tìm giá trị lớn nhất của hàm lồi, tìm nghiệm của các phươn

Bộ giáo dục và đào tạo trờng đại học vinh

trần thị hồng vân

một số tính chất của hàm lồi một biến và nhiều biến

CHUYÊN NGàNH: toán giải tích

MỤC LỤC

Trang

Mục lục 1

Mở đầu 2

Chương 1 Hàm lồi một biến 4

1.1 Tập lồi, hàm lồi 4

1.2 Tính liên tục của hàm lồi, giá và tính khả vi của hàm lồi 5

1.3 Các đặc trưng của hàm lồi khả vi 13

1.4 Một số bất đẳng thức về hàm lồi 14

1.5 Hàm Gamma 20

Chương 2 Hàm lồi nhiều biến 22

2.1 Tính liên tục của hàm lồi nhiều biến, giá và tính khả vi của hàm lồi nhiều biến 22

2.2 Tiêu chuẩn lồi dạng Hess 29

Kết luận 32

Tài liệu tham khảo 33

MỞ ĐẦU

Hàm lồi là khái niệm toán học có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vựckhác nhau của toán học và nhiều ngành khoa học khác Vào đầu thế kỷ XXhàm lồi đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học như Stolz, Brunn,Hadamard và Jensen Các kết quả thu được trong việc nghiên cứu các tínhchất của hàm lồi được áp dụng trong việc chứng minh các bất đẳng thức sơcấp, tìm giá trị lớn nhất của hàm lồi, tìm nghiệm của các phương trình…

Các tính chất của hàm lồi được nhiều tài liệu và giáo trình cơ sở đề cậpđến Đã có nhiều khoá luận, luận văn trình bày vấn đề hàm lồi và ứng dụng(xem [1], [2], [3], [4]) Tuy vậy các tài liệu trên chưa đi sâu vào việc trìnhbày các tính chất của hàm lồi, đặc biệt chưa đề cập đến hàm lồi nhiều biến.Chúng tôi thấy rằng việc trình bày chi tiết các tính chất của hàm lồi và chứngminh chi tiết các tính chất đó là việc làm cần thiết nhằm bổ sung cho các tàiliệu trên thành hệ thống tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học vànhững người quan tâm đến khái niệm này

Với mục đích trên luận văn sẽ hệ thống và chứng minh chi tiết các tínhchất cơ bản của hàm lồi một biến và nhiều biến Luận văn được trình bày theohai chương

Chương 1 Hàm lồi một biến

Phần đầu của chương này dành cho việc hệ thống lại một số kiến thức

cơ bản cần dùng trong luận văn về tập lồi,về hàm lồi,về tính liên tục…

sau đó chúng tôi nêu các đặc trưng của hàm lồi, chứng minh chi tiếtmột số bất đẳng thức về hàm lồi và tính chất hàm Gamma

Chương 2 Hàm lồi nhiều biến.

Đầu tiên chúng tôi trình bày về tính liên tục, tính khả vi và giá của hàmlồi nhiều biến

Sau đó chúng tôi trình bày một tiêu chuẩn lồi dạng Hess.

Các kết quả trình bày trong luận văn đã có trong các tài liệu tham khảo.Chúng tôi tổng hợp, trình bày lại và chứng minh chi tiết một số định lý, hệquả như bất đẳng thức Jensen, Hệ quả 1.4.2, Hệ quả 1.4.3, Hệ quả 1.4.5,…

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới

sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS Phạm Ngọc Bội Tác giả xinbày tỏ lòng biết ơn tới thấy giáo hướng dẫn Nhân dịp hoàn thành luận văn tácgiả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đối với thầy giáo PGS.TS

Tạ Quang Hải Qua đây tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tớicác các thầy cô trong Khoa Toán, Khoa Sau Đại Học - Trường Đại học Vinh,bạn bè, đồng nghiệp và đặc biệt là chồng và gia đình tôi đã tận tình giúp đỡtôi trong quá trình học tập Mặc dù tác giả đã rất cố gắng nhưng do còn hạnchế về mặt kiến thức và thời gian nên luận văn chắc chắn không tránh khỏinhững thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự góp ý chỉ bảo của các thầy,các cô, bạn bè và đồng nghiệp để từ đó có thể bổ sung, sửa chữa và hoànthành luận văn tốt nhất

Vinh, tháng 12 năm 2010

Tác giả

Trần Thị Hồng Vân

Chương 1 HÀM LỒI MỘT BIẾN

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày năm vấn đề

- Định nghĩa tập lồi, hàm lồi và trên đồ thị của hàm lồi

- Tính liên tục của hàm lồi, giá và tính khả vi của hàm lồi

- Các đặc trưng của hàm lồi

- Một số bất đẳng thức về hàm lồi

- Hàm Gamma và các tính chất của nó

1.1 TẬP LỒI, HÀM LỒI

1.1.1 Định nghĩa Tập C d

  Tập C được gọi là tập lồi nếu đoạn thẳng

nối hai điểm thuộc C thì nằm trọn trong C

Nói cách khác tập C được gọi là tập lồi nếu với mọi x y C,  thì

(1  )x y C với 0    1

Tập C được gọi là tập lồi ngặt nếu C đóng và (1   )x y intC, vớimọi x y C,  , xy,0    1

Các ví dụ về tập lồi: Hình cầu, hình elíp là các tập lồi ngặt

Trong ¡ dlấy d+1 điểm độc lập x x0 , , 1 x d, tập lồi nhỏ nhất chứa

0 , , 1 d

x x x gọi là đơn hình d-chiều có đỉnh làx x0 , , 1 x d

Phương trình của đơn hình có đỉnhx x0 , , 1 x d là

0

d

i i i

d i i

1.1.2 Định nghĩa Giả sử f C  : là hàm thực trên C d

  Hàm f được gọi là hàm lồi nếu C là tập lồi và

Ví dụ Chuẩn và nửa chuẩn là các hàm lồi

Chú ý Để xây dựng khái niệm hàm lồi chúng ta có thể thay thế không gian

d

 bởi không gian tô pô tuyến tính

1.1.3 Trên đồ thị của hàm lồi

Giả sử tập C d

  và f C  : là hàm thực Trên đồ thị của hàm f kíhiệu là

ii) Trên đồ thị của hàm f là tập lồi trong d 1.

1.2 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM LỒI, GIÁ VÀ TÍNH KHẢ VI CỦA HÀM LỒI

Ký hiệu I J, là các khoảng trong ¡

x y

x f y

x f z f

x f z f x

z

x f z

1

(

)) ( )

(1.3)

Lưu ý: Nếu f(x) là hàm lồi ngặt thì (1.3) không có dấu bằng.

1.2.2 Tính chất liên tục

1.2.2.1 Định nghĩa Giả sử f :I  R Hàm f được gọi là thỏa mãn điều

kiện Lipschitz trên J I nếu tồn tại L > 0, sao cho

y x L y f x

f( )  ( )   với x,yJ

L được gọi là hằng số Lipschitz của f trên I

Hàm f được gọi là liên tục tuyệt đối trên J nếu với mọi   0, tồn tại

i

i f a b

0 ( )

f x

x

ìïï ïï

=í æ öç ÷

ï ç ÷ < £

ï çè ø÷ïïî

nÕu = 0 1

sin nÕu x

x x

1.2.2.2 Định lý Nếu f :I  R là hàm lồi thì f thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên mỗi đoạn compắc nằm trong intI Đặc biệt f liên tục đều trên tập compắc nằm trong intI và liên tục trên intI.

Chứng minh Giả sử J là đoạn compắc trong intI Ta cần chứng minh f thỏa

mãn điều kiện Lipschitz trên J.

Chọn u, v, , z I , u < v,  < z với u, v ở bên trái J, , z ở bên phải

J.

Giả sử x, y  J, x < y Áp dụng Bổ đề 1.2.1 cho u, v, x và u, x, y ta có:

v x

v f x f u

x

u f x f u

v

u f v f

nÕu = 0

0 nÕu

x

Hàm này không liên tục tại x=0

1.2.3 Giá của hàm lồi

1.2.3.1 Định nghĩa Hàm a: ¡ ® ¡ được gọi là hàm affine nếu với

mọi x x1 , 2 Î ¡ , mọi    thì a x(l 1 + - (1 l ) )x2 =l a x( ) (1 1 + - l ) ( )a x2

Một hàm f I  : được gọi là có giá affine tại điểm x  I nếu có một

hàm affine a:   xác định bởi a(y) = f(x) +u(y-x) với y   Ở đây u là

một hằng số thảo mãn sao cho: f y( ) a y( ) f x( ) u y x(  ), y I Hàm affine a

được gọi là một giá affine của f tại x.

1.2.3.2 Định lý Nếu f I  : là hàm lồi và x intI thì f có giá affine tại x.

Chứng minh Không làm mất tính tổng quát ta có thể giả sử x = 0 và f(0)=0.

Nếu không như vậy ta chỉ cần đổi hệ tọa độ.Nếu I, 0khi đó do f là

Cận trên đúng của vế trái theo m là bé hơn hoặc bằng cận dưới đúngcủa vế phải theo m

Vì vậy có thể chọn    sao cho f( )  f()



với  ,  0,  I,   I

Do đó f(  )   với   ,  I Như vậy a(  )  với

  là một giá affine của f tại x = 0.

1.2.3.3 Định lý Nếu I mở và f I  : thì các mệnh đề sau là tương đương:

i) Hàm f lồi,

ii) Hàm f có giá affine tại mỗi x thuộc I.

Chứng minh iÞ ii suy từ Định lý 1.2.3.2 Ta cần chứng minh ii i

Nếu f có giá affine tại mỗi x I, gọi giá affine này là ax (.) thì rõ ràng

1.2.4.1 Định nghĩa 1 Giả sử f I: ® ¡ và điểm x IÎ

Nếu x không phải là mút bên trái của I và tồn tại giới hạn lim0 ( ) ( )

2 Một hàm f I: ® ¡ được gọi là khả vi cấp hai hầu khắp nơi trên I

nếu tồn tại các tập M N, I có độ đo Lebesgue 0 sao cho

( ) ( ) ' ( ) lim

1.2.4.2 Định lý Giả sử I là tập mở và f I  : là hàm lồi khi đó f '

và f ' tồn tại, không giảm và f '  f ' trên I f khả vi tại những điểm x I

mà f ' liên tục Vì vậy f’(x) tồn tại với x I trừ ra một tập đếm được và f' là không giảm trên miền xác định.

Chứng minh Ta chứng minh định lý qua các bước như sau

(1) Ta sử dụng nhận xét Cho dãy hàm g I n: ® ¡ ,n= 1, 2, trong đó mỗi g n liên tục và không giảm trên I Giả sử có { } g n không giảm theo điểm (nghĩa làdãy {gn(x)} không giảm, với mỗi x I) và dãy { } g n hội tụ (theo điểm) tới hàm

g Khi đó g liên tục bên trái trên I

(2) Trước hết ta chứng minh f f-' , +' tồn tại trên I và

' ( )

f  x  f ' ( ) x f ' ( ) y f ' ( ) y với y x I x y,  ,  Giả sử y x I x y,  ,  theo Bổ đề 1.2.1 ta có

(w) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, w, , w w

(4) f ' (y) , f '(y) tồn taị và

(5) f ' là liên tục trái và f ' liên tục phải Xét dãy hàm g n ,n 1, 2 được cho bởi

1 ( ) ( ) ( )

(6) f x' ( ) tồn tại với x I cùng với f ' liên tục

Với x I giả sử rằng f ' là liên tục tại x.

Từ (2) f ' ( ) x  f ' ( ) x f ' ( ) y f ' ( ) y với y x I x y,  ,  Cho y x 0,

'

f  liên tục tại x nên ta có f ' ( ) x ) = f ' ( ) x Từ đó suy ra f x' ( ) tồn tại

Giả sử f ' không liên tục tại x Từ (2) và (5) suy ra

vì thế f x' ( ) không tồn tại Vậy (6) được chứng minh Từ (2), (6) và tính chất

đã biết một hàm không giảm trên I có không quá đếm được điểm gián đoạn, ta

suy ra định lý được chứng minh

1.2.4.3 Định lý Giả sử I là một tập mở và f I  : là hàm lồi Nếu f khả vi trên I thì f 'liên tục

Khi đó ta nói f Î C1 nếu f'liên tục

Chứng minh Ký hiệu tọa độ trong ¡ 2 là (y, z) Từ Định lý 1.2.4.2, các đạo

hàm trái và phải f x f x-' ( ), +' ( ) tồn tại Từ định nghĩa chỉ ra rằng nửa đườngthẳng

zf x( )  f ' ( )( x y x ) với y£ x,

zf x( )  f ' ( )( x y x ) với y³ x, (1.6)

là các nửa trái và phải của đường cong z = f(y) tại y = x

Theo các mệnh đề (3) và (4) trong chứng minh Định lý 1.24.2 ta có

f y( ) f x( )  f ' ( )( x y x ) với y I yÎ , £ x

f y( ) ³ f x( ) +f x y x+' ( ).( - )với y I yÎ , ³ x và f x-' ( ) £ f x+' ( ) (1.7)

Từ (1.6) và ( 1.7) ta có hàm z=f x( ) +u y x( - ) với yÎ ¡ là giá affine

của f tại x khi và chỉ khi f ' ( ) x  u f ' ( ) x

1.2.4.5 Định lý Giả sử f I  : là hàm lồi và x intI Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:

Chứng minh Chúng ta sử dụng hai định lý của Lebesgue,

1) Một hàm thực không giảm trên I là khả vi hầu khắp nơi

2) Giả sử g J  : là một hàm liên tục tuyệt đối Khi đó

+ g có đạo hàm hầu khắp nơi trên J

+ Đạo hàm của hàm g khả tích Lebesgue trên J và với mỗi x J ta có

( ) ( ) y '( )

x

g y g x g t dt với y J

Theo Định lý 1.2.4.2 và 1) trong tập I tồn tại tập đếm được M và tập N

có độ đo 0, sao cho f ' ( ), ' ( ) x f  x tồn tại và bằng nhau với mỗi x I M |

' ( )

f  x tồn tại và hàm không giảm trên I, f'' (x) tồn tại với mỗi x I N |

1.3 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM LỒI KHẢ VI

1.3.1 Định lý Giả sử I tập lồi và f I  : khả vi, khi đó các mệnh đề sau

-với y I nào đó và v nào đó phụ thuộc x và y, 0 < v < 1.

Vì thế f có giá affine tại mỗi x I nên theo Định lý 1.2.3.3 ta suy ra f là

hàm lồi

1.3.2 Hệ quả Giả sử I là tập mở và f I  : khả vi cấp hai khi đó các mệnh đề sau là tương đương:

1.4.1 Định lý (Bất đẳng thức Jensen) Giả sử f I  : là hàm lồi,

Với giả thiết n > 1 và ta giả sử bất đẳng thức đúng với n - 1 ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n.

Nếu n = 0 khi đó chỉ còn n-1 biến x x1 , , , 2 x n-1 có trong phát biểu củađịnh lý ,và khẳng định đúng theo giả thiết quy nạp

Nếu n = 1 thì  1   2  n1  0 thì khẳng định đúng theo giả thiết quynạp Như vậy ta chỉ cần xét trường hợp 0  n  1 và khi đó

1.4.3 Hệ quả (bất đẳng thức Bunhiacopski, Cauchy-Schwatz).

1

1 2 1

( )n n n

Chứng minh Nếu x = 0 hoặc y = 0 thì bất đẳng thức là tầm thường.

Nếu x, y > 0, áp dụng Hệ quả 1.4.2 với 1 2 1 2

1.4.6 Hệ quả (Bất đẳng thức Holder cho tích phân) Nếu f, g : I  

không âm, khả tích, không triệt tiêu tích phân và p, q > 1 sao cho 1p q1 = 1 thì

 

1 1

( 1)

1 1

ii) (x+1) = x(x) với x > 0 ( phương trình hàm Euler.)

iii)  là loga lồi (nghĩa là log là hàm lồi) với x > 0.

Trước hết ta chứng minh rằng nếu có hàm g(x) có các tính chất i, ii, iii,

khi đó ta có công thức sau

( ) lim !

( 1) ( )

x x

hàm Euler chỉ ra rằng

g n( + + = 1 x) g((1 - x n)( + + 1) x n( + 2)) £ g n( + 1) 1 -x g n( + 2)x= + (n 1) !x n (1.13)

n! =g n( + = 1) g x n x( ( + + - ) (1 x n)( + + 1 x)) £ g n x g n( + ) (x + + 1 x) 1 -x

= (n x+ ) -x g n( + + 1 x g n) (x + + 1 x) 1 -x= + (n x) -x g n( + + 1 x) (1.14)Một hệ thức trực tiếp của phương trình hàm Euler là đồng nhất thức

g n( + + = + 1 x) (n x n)( - + 1 x) ( ).xg x (1.15)Kết hợp (1.13), (1.14), (1.15) ta có bất đẳng thức sau

( )( 1 ) ( ) 1

!

x x

x m x

( 1) ( )

x

n n x

 

  với x > 0 (1.16)

So sánh (1.12) và (1.16) ta có g x( ) = G ( )x với x> 0.

Chương 2 HÀM LỒI NHIỀU BIẾN

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày những vấn đề chính như sau

- Tính liên tục, giá và tính khả vi của hàm lồi nhiều biến

- Tiêu chuẩn lồi dạng Hess

2.1 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM LỒI NHIỀU BIẾN, GIÁ VÀ TÍNH KHẢ VI CỦA HÀM LỒI NHIỀU BIẾN

Từ nay về sau ta ký hiệu C là tập lồi trong ¡ d Khái niệm hàm lồinhiều biến được xây dựng tương tự khái niệm hàm lồi một biến nên chúng tôikhông nhắc lại định nghĩa

2.1.1 Định lý (Bất đẳng thức Jensen) Nếu f C  : là một hàm lồi,

2.1.2.1 Định nghĩa Ánh xạ f C  : được gọi là ánh xạ Lipschitz trên

DC nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho f x( )  f y( ) L x y với x,yD L

được gọi là hằng số Lipschitz trên D

Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương tại điểm x C nếu tồn tại lân

cận N của x sao cho f Lipschitz trên CN Lưu ý rằng hằng số Lipschitzphụ thuộc vào x và N

2.1.2.2 Định lý Nếu f C  : là hàm lồi thì f là một ánh xạ Lipschitz trên mỗi tập compắc của intC Suy ra f liên tục trên intC.

Chứng minh Ta chứng minh định lý qua các bước sau

(1) Nếu x  intC thì f Lipschitz địa phương tại x

Chứng minh (1) được chia làm nhiều bước Với mọi  > 0 giả sử N() là

-lân cận của x.

(2) Trước hết ta chứng minh rằng tồn tại   , > 0 sao cho N  (2 ) intC và f

bị chặn trên bởi  trên N (2 )

Để chứng minh ( 2) chúng ta chỉ cần chỉ ra rằng f bị chặn trên đơn hình nào

đó chứa các điểm trong của nó Giả sử S là một đơn hình trong C với các đỉnh

Như vậy f y( ) max , 2 ( ) f x    Kí hiệu vế phải bất đẳng thức này là Y

(4) f là ánh xạ Lipschitz với hằng số Lipschitz L 2Y



 trên N ( ).Giả sử y z N ,  ( ) và yz chọn  N(2 )  sao cho zy ,  và   z   vì

thu hẹp của f trên đoạn thẳng y ,  là một ánh xạ lồi nên từ Bổ đề (1.2.1) và

(3) chúng ta có f z( )z y f y( ) f( ) z f z( ) 2y



2.1.3 Giá của hàm lồi nhiều biến

2.1.3.1 Định nghĩa Một hàm f C  : được gọi là có giá affine tại

điểm x C nếu có một hàm affine a: d   thỏa mãn a y( ) f x( ) u y x.(  ) với

d

y   , ở đây u là véc tơ hằng trong d

 sao cho f y( ) a y( ) với y C

a được gọi là một giá affine của f tại x

2.1.3.2 Định lý Nếu f C  : là hàm lồi và P là một không gian con affine trong d

 Một điểm x intC Giả sử thu hẹp f P có giá affine a p tại x thì f có một giá affine a tại x mở rộng của a p nghĩa là a P a p

Chứng minh Chúng ta có thể giả sử x = 0 và f(0) = 0 mà không làm mất tính

tổng quát Vì nếu điều đó không xảy ra,ta chỉ cần đổi hệ tọa độ Khi đó P làkhông gian con tuyến tính L của d

 Nếu dimL = d thì định lý đúng hiển nhiên

Nếu dimL =k <d, ta chứng minh rằng có một không gian tuyến tính k -chiều

Giả sử khẳng định đúng với k < d, ta chứng minh khẳng định đúng với k+1.