Một số tính chất của miền iđêan chính

Ta nói rằng R là miền iđêan chính nếu mỗi iđêan của R đều là iđêan chính, tức là mỗi iđêan của R đều có thể sinh bởi một phần tử.. Miền nguyên R được gọi là miền nhân tử hóa viết tắt là

41.3 Miền nhân tử hóa 51.4 Môđun các thương 51.5 Độ dài môđun

61.6 Hàm tử

71.7 Môđun hữu hạn sinh, môđun tự

101.10 Vành địa phương

111.11 Vành chính quy

202.4 Môđun hữu hạn sinh trên miền iđêan chính

282.5 Đặc trưng của miền iđêan có số chiều bằng 1

MỞ ĐẦU

Cho R là một miền nguyên Ta nói rằng R là miền iđêan chính nếu mỗi iđêan của R đều là iđêan chính, tức là mỗi iđêan của R đều có thể sinh bởi một

phần tử Miền iđêan chính là một lớp vành cổ điển, quan trọng trong Đại số

giao hoán Miền nguyên R được gọi là miền nhân tử hóa (viết tắt là UFD) nếu mỗi phần tử khác 0 và không khả nghịch của R đều có thể phân tích được

thành tích của hữu hạn nhân tử bất khả quy Chú ý rằng mỗi miền iđêan chính

là một miền nhân tử hóa Tuy nhiên tồn tại những miền nhân tử hóa không làmiền iđêan chính Chẳng hạn, vành đa thức 2 biến với hệ số trên một trường

là miền nhân tử hóa nhưng nó không phải là miền iđêan chính

Vành Noether là lớp vành quen thuộc trong Đại số giao hoán Ta biết rằng

vành giao hoán R là vành Noether nếu và chỉ nếu mọi iđêan của R đều hữu hạn sinh I.S.Cohen đã đưa ra một đặc trưng cho vành Noether: R là vành Noether nếu và chỉ nếu mọi iđêan nguyên tố của R đều hữu hạn sinh Kết quả

này cho phép ta nghĩ đến việc để nghiên cứu một tính chất nào đó trên tập tất

cả các iđêan của R, ta có thể chỉ cần nghiên cứu tính chất đó trên tập các iđêan nguyên tố của R là đủ Áp dụng tư tưởng đó Nông Quốc Chinh và Phạm Hồng

Nam [3] đã đưa ra được một đặc trưng mới cho miền iđêan chính, có thể phát

biểu như sau: Cho R là một miền nguyên Khi đó R là miền iđêan chính nếu

và chỉ nếu R là miền nhân tử hóa và mỗi iđêan nguyên tố của R đều là iđêan

giúp người đọc dễ theo dõi nội dung chính của luận văn Chương 2, trình bàynội dung chính của luận văn Trong chương này chúng tôi trình bày địnhnghĩa và các tính chất cơ bản của miền iđêan chính dựa vào [3] và [6]

Luận văn được thực hiện từ tháng 2 năm 2010 và hoàn thành tại trườngĐại học Vinh dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tôi xinđược bày tỏ lòng biết ơn trân trọng của mình đến cô giáo hướng dẫn, người đãđặt ra vấn đề, tạo điều kiện và thường xuyên giúp đỡ tôi trong suốt quá trìnhhọc tập và hoàn thành luận văn này

Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn trân trọng đến PGS.TS Lê QuốcHán, PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS Nguyễn Thành Quang, TS Mai Văn

Tư, TS Chu Trọng Thanh, cùng các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa Sauđại học, Ban Giám hiệu trường Đại học Vinh, trường THPT 1/5 Nghĩa Đàn,

đã thường xuyên giúp đỡ và tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập

và hoàn thành luận văn

Vinh, tháng 11 năm 2010

Tác giả

Chương 1KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Phần tử bất khả quy, phần tử nguyên tố

1.1.1 Định nghĩa Cho p là một phần tử trong miền nguyên R

(i) Phần tử p được gọi là phần tử bất khả quy nếu p khác 0, không khả nghịch và nếu p ab= thì a hoặc b là phần tử khả nghịch của R

(ii) Phần tử p được gọi là phần tử nguyên tố nếu p khác 0, không khả

nghịch và nếu với mọi ,a b R∈ mà |p ab thì | p a hoặc | p b

(iii) Phần tử p được gọi là phần tử chính nguyên tố nếu iđêan chính ( ) p

là một iđêan nguyên tố khác 0

1.2 Vành các chuỗi lũy thừa hình thức

1.2.1 Định nghĩa Cho R là một vành, x là ẩn (còn gọi là biến) Xét chuỗi

f x = +a a x+ ×××+a x + ×××=∑∞= a x a ∈ ∀R i Tập hợp tất cả các chuỗi lũy thừa hình thức với hệ tử thuộc R được ký hiệu là[[ ]]

R x Trên [[ ]] R x , với ( ) 0 i

i i

f x =∑∞= a x và ( ) 0 j

j j

1.2.2 Định lý Nếu P là một iđêan nguyên tố trong [[ ]] R x và gọi P∗ là ảnh của P qua đồng cấu tự nhiên [[ ]] R x →R , biến x thành 0 thì P là hữu hạn

sinh nếu và chỉ nếu P∗ là hữu hạn sinh Hơn nữa, nếu P∗ sinh bởi r phần tử thì P được sinh bởi r+1 phần tử nếu x P∈ và P được sinh bởi r phần tử nếu x P∉ .

1.3 Miền nhân tử hóa

1.3.1 Định nghĩa Miền nguyên R được gọi là miền nhân tử hóa (viết tắt là

UFD) nếu mỗi phần tử khác 0 và không khả nghịch của R đều có thể phân

tích được thành tích của hữu hạn nhân tử bất khả quy

1.3.2 Định lý Mỗi miền nguyên R là UFD nếu và chỉ nếu mọi iđêan nguyên

tố khác 0 của R chứa một phần tử chính nguyên tố.

quan hệ : là một quan hệ tương đương trên M S× Ta ký hiệu S M− 1 là tập

thương của M S× theo quan hệ tương đương : Ký hiệu ( , )m s m

1.4.2 Chú ý (i) S M−1 cũng có cấu trúc là một R−môđun với phép nhân vôhướng xác định bởi:

1

x r x rx r

s = × =s s với r R∈ v à x 1

S M s

−

(ii) Cho P là một iđêan nguyên tố của vành R Khi đó S R P= \ là tậpnhân đóng và ta ký hiệu S M−1 là M Môđun P M được gọi là môđun địa P phương hóa của M tại iđêan nguyên tố P

(iii) Ta có hàm tử địa phương hóa

(ii) Một dãy hợp thành của một R−môđun M là một dãy giảm gồm một

số hữu hạn các môđun con

{ }

M =M ⊃M ⊃ ⊃L M =sao cho M i−1/M i là một môđun đơn, i=1,K , n Số n được gọi là độ dài của

dãy hợp thành này

1.5.2 Mệnh đề và Định nghĩa Nếu một R−môđun M có dãy hợp thành thì tất cả các dãy hợp thành của M có cùng một độ dài Khi đó độ dài của các

dãy hợp thành của M được gọi là độ dài của môđun M và ký hiệu là ( ) l M R

1.5.3 Định lý Cho R là vành giao hoán và

0→ → → L f M g N →0

là dãy khớp ngắn của R−môđun và R−đồng cấu Khi đó:

(i) R−môđun M có độ dài hữu hạn nếu và chỉ nếu L và N đều có độ dài hữu hạn.

(ii) Nếu , L M N có độ dài hữu hạn thì ( ), l M R =l L R( )+l N R( ).

1.6 Hàm tử

1.6.1 Định nghĩa Cho R và S là vành giao hoán Chúng ta nói rằng T là hàm tử hiệp biến từ các R−môđun vào các S−môđun nếu T là một quy tắc

tương ứng được xác định bởi mỗi R−môđun M một S−môđun ( )T M sao

cho mỗi đồng cấu :f M →G của R−môđun có một S −đồng cấu( ) : ( ) ( )

T f T M →T G thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) Với mọi đồng cấu R−môđun :f M →G và :g G →H thì

1.6.3 Mệnh đề Cho R là một miền nguyên, với mỗi R−môđun M đặt,

{ }

( ) :M m M : r R\ 0 ,rm 0

Khi đó ( )τ M là một môđun con của M và được gọi là môđun con xoắn của

M Nếu τ( )M ={ }0 thì M được gọi là môđun không xoắn, còn nếu

( )M M

τ = thì M được gọi là môđun xoắn.

Cho : f M →G là một đồng cấu R−môđun Ta thấy rằng ( ( )) f τ M ⊆( )G

τ và định nghĩa ( ) : ( )τ f τ M →τ( )G xác định bởi ( )( )τ f m = f m( ) với

mọi m∈τ( ).M (Thực chất, ( )τ f là thu hẹp của f trên ( )τ M ).

Như vậy theo cách xác định trên, τ trở thành một hàm tử hiệp biến, cộng tính từ các R−môđun vào các R−môđun Ta gọi τ là hàm tử xoắn Ta có: (i) Với mỗi R−môđun G thì môđun / ( ) G τ G là không xoắn (ii) Nếu họ ( )Gλ λ∈Λlà một họ khác rỗng các R−môđun thì

1.7 Môđun hữu hạn sinh, môđun tự do

1.7.1 Định nghĩa (i) Cho M là một R−môđun Một tập { }x i i I∈ , x i∈M được gọi là một hệ sinh của M nếu với mọi phần tử x M∈ đều là tổ hợptuyến tính trên R của hệ { }x i i I∈ , nghĩa là với mọi x M∈ thì

môđun hữu hạn sinh.

1.7.2 Định nghĩa Tập con S của một R−môđun M được gọi là một tập độc lập tuyến tính, nếu từ mỗi đẳng thức r x1 1+ +L r x n n =0 với x1,K , x n∈S

đôi một khác nhau, ta rút ra r1 = = =L r n 0 Nếu trái lại thì S được gọi là một

tập phụ thuộc tuyến tính Nếu môđun M có một hệ sinh S độc lập tuyến tính thì nó được gọi là môđun tự do và tập S được gọi là một cơ sở của M

1.7.3 Ví dụ 1 Vành R là một môđun tự do trên chính nó với cơ sở { }1

Tổng quát hơn, với I là một tập chỉ số bất kì, R là một R( )I −môđun tự dovới cơ sở {e i I i | ∈ }, trong đó e có thành phần thứ i bằng 1, các thành phần i còn lại bằng 0 Cơ sở này gọi là cơ sở tự nhiên hay cơ sở chính tắc của R ( )I

2 Mỗi một không gian vectơ trên một trường K đều là một K −môđun

tự do, vì nó luôn có cơ sở

1.7.4 Mệnh đề Cho M là một môđun trên vành giao hoán R Khi đó tồn tại

một R−môđun tự do F và một toàn cấu R−môđun : f F →M Ngoài ra,

nếu M là hữu hạn sinh và sinh bởi n phần tử thì F là một R−môđun tự do với một cơ sở hữu hạn gồm n phần tử.

1.7.5 Mệnh đề và Định nghĩa Cho R là một vành giao hoán khác 0, F là một R−môđun tự do với một cơ sở hữu hạn thì mọi cơ sở của F là hữu hạn

và hai cơ sở bất kỳ của F đều có cùng số phần tử Số phần tử của một cơ sở của F được gọi là hạng của F , ký hiệu là rankF

1.7.6 Nhận xét Cho M G, 1,K ,G n là các môđun trên vành giao hoán R và

I là một iđêan của R Nếu

1

n i i

1.8.1 Định nghĩa Cho M là một R−môđun

(i) M được gọi là môđun Noether nếu mọi dãy tăng các môđun con

0 1 2

0 M= ⊆M ⊆M Lcủa M đều dừng, tức là tồn tại n∈¥ sao cho M n =M n+1 =L

(ii) Vành R được gọi là vành Noether nếu R là R−môđun Noether

1.8.2 Mệnh đề M là R−môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R thì M

(i) ΓI(M /ΓI( )) 0M = với mọi R−môđun.

(ii) Nếu ( Gλ λ∈Λ) là tập khác rỗng các R−môđun thì

1.9.1 Định nghĩa Cho R là một vành con của vành giao hoán S và s S∈

Ta nói rằng s là nguyên trên R nếu tồn tại h∈¥ và r r0, ,1 K ,r h−1∈R sao cho

1.9.2 Mệnh đề Cho R là miền nhân tử hoá, K là trường các thương của R

Khi đó nếu u K∈ là nguyên trên R thì u R∈ .

1.9.3 Mệnh đề và Định nghĩa Cho R là một vành con của vành giao hoán

S Đặt R′ = ∈: {s S s| là nguyên trên R thì R} ′ là một vành con của S chứa

R và được gọi là bao đóng nguyên của R trong S Ta nói rằng R đóng nguyên trong S nếu R′ =R.

1.9.4 Định nghĩa Bao đóng nguyên của một miền nguyên R trong trường

các thương của nó được gọi là bao đóng nguyên của R Một miền nguyên được gọi là đóng nguyên nếu nó đóng nguyên trong trường các thương của nó.

1.9.5 Định nghĩa Một môđun M trên vành giao hoán R được gọi là trung

thành (faithful) nếu (0 : M) 0= .

1.9.6 Mệnh đề Cho R là vành con của vành giao hoán S và cho u S∈ Các phát biểu sau tương đương:

(i) u nguyên trên R ;

(ii) Vành con [ ] R u của S là hữu hạn sinh như là một R−môđun;

(iii) Tồn tại một vành con R′ của S sao cho [ ] R u ⊆R′ và R′ là hữu hạn sinh như là một R−môđun;

(iv) Tồn tại một [ ] R u −môđun trung thành, khi ta coi như là một R−

môđun với thu hẹp của vô hướng, là hữu hạn sinh.

1.10 Vành địa phương

1.10.1 Định nghĩa Vành R được gọi là vành địa phương nếu R chỉ có duy

nhất một iđêan cực đại M Khi đó vành thương /R M là một trường và được

gọi là trường thặng dư của vành R

1.10.2 Mệnh đề Cho ( , R M là vành địa phương, Q là một iđêan thực sự)của R Các điều kiện sau là tương đương:

(i) Q là M nguyên sơ;−

(ii) Tồn tại h∈¥ sao cho Q ⊇M ; h

(iii) Q =M

1.10.3 Mệnh đề Cho ( , R M là vành địa phương, Artin sao cho M là iđêan)chính Khi đó mọi iđêan của R là lũy thừa của M và do vậy nó cũng là iđêan

1.11 Vành chớnh quy

1.11.1 Chiều Krull của vành và mụđun

(i) Mỗi một dóy cỏc iđờan nguyờn tố của vành R

P ⊃ ⊃ ⊃P L P được gọi là một xớch nguyờn tố cú độ dài n

(ii) Cho P là một iđờan nguyờn tố của R Cận trờn của tất cả cỏc độ dàicủa cỏc xớch nguyờn tố với P0 =P được gọi là độ cao của , P ký hiệu là

( )

ht P Nghĩa là ht P( ) sup độ= { dài cỏc xớch nguyờn tố với P0 =P}

(iii) Cận trờn của tất cả cỏc độ dài của cỏc xớch nguyờn tố trong R được gọi là chiều Krull của vành R , ký hiệu là dim R Như vậy

dimR=sup ht P P SpecR( ) | ∈

(iv) Cho M là R−mụđun Khi đú dim( /R Ann M được gọi là chiều R )

Krull của R−mụđun M và ký hiệu dim ( ) R M (hay dim M nếu ta khụng để ý đến vành R ) Như vậy dim R cú thể vụ hạn do ( ) ht P cú thể vụ hạn và

dimM ≤dimR

1.11.2 Hệ tham số

Cho R là một vành giao hoỏn, địa phương, Noether với iđờan cực đại duy

nhất M và M là R−mụđun hữu hạn sinh cú chiều Krull dimM = >d 0

(i) Hệ gồm d phần tử x: ( , ,= x1 K x d) của M được gọi là một hệ tham sốcủa M nếu l(M x/( ,1 K , x M d) )< ∞ (ký hiệu ( )l ∗ chỉ độ dài của R−mụđun)

(ii) Iđờan được sinh bởi một hệ tham số được gọi là iđờan tham số.

(iii) Nếu x: ( ,= x1 K , x d) là một hệ tham số của mụđun M thỡ hệ cỏc phần

tử ( ,x1 K , )x i được gọi là một phần hệ tham số với mọi i=1,K , d.

1.11.3 Định nghĩa Cho ( ,R M là vành địa phương, Noether Khi đú R)

được gọi là vành chính quy nếu tồn tại một hệ tham số của R sinh ra iđêan

cực đại M Chú ý rằng nếu R là vành chính quy thì R là một miền nguyên.

Chương 2MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MIỀN IĐÊAN CHÍNH

2.1 Miền iđêan chính

2.1.1 Định nghĩa Cho R là một miền nguyên Ta nói rằng R là miền iđêan chính (viết tắt là PID) nếu mỗi iđêan của R đều là iđêan chính, tức là mỗi

iđêan của R đều có thể sinh bởi một phần tử

2.1.2 Ví dụ 1 Vành ¢ các số nguyên là một miền iđêan chính

2 Vành đa thức F x với F là một trường là một miền iđêan chính.[ ]

3 Vành [x]¢ không phải là một miền iđêan chính vì iđêan I =(2, )x

không phải là một iđêan chính

4 Vành ¢ −5 không phải là miền iđêan chính Vì có iđêan

I = + − − − không phải là iđêan chính Thật vậy, I là một iđêanthực sự của ¢ −5 do 1 I∉ Và 2 là phần tử bất khả quy trong ¢ −5 vìnếu 2 khả quy thì phải có 2=α α =m2 +5n2 (với α = + −m 5 ; ,n m n∈¢ ).Điều này vô lý vì phương trình 2=m2 +5n2 vô nghiệm Suy ra, nếu I là mộtiđêan chính thì I =( )x với x∈¢ −5 và x không là phần tử khả nghịch.

Do 2 1= + − + − − ∈5 1 5 I nên 2=x a và 2 là phần tử bất khả quy nên a

là phần tử khả nghịch, nghĩa là I =(2) Điều này vô lý vì ta có 1+ − ∈5 Inhưng 1+ − ∉5 (2) Vậy I không phải là iđêan chính

2.2 Đặc trưng của miền iđêan chính

2.2.1 Mệnh đề Cho R là một miền iđêan chính và phần tử p R∈ \ 0{ } Các phát biểu sau là tương đương:

(i) pR là iđêan tối đại của R ;

(ii) pR là iđêan nguyên tố khác không của R ;

(iii) p là phần tử nguyên tố của R ;

(iv) p là phần tử bất khả quy của R

Chứng minh ( ) i ⇒( ).ii Do p≠0 và mọi iđêan tối đại đều là iđêan nguyên tố.( )ii ⇒( )iii Vì pR là iđêan nguyên tố khác { }0 của R nên với , x y R∈ mà

xy pR∈ thì x pR∈ hoặc y pR∈ nghĩa là nếu |p xy thì | p x hoặc | p y Vậy

p là một phần tử nguyên tố

( )iii ⇒( ).iv Vì p là phần tử nguyên tố nên p là phần tử bất khả quy.

( )iv ⇒( ).i Ta biết rằng nếu r là một phần tử khả nghịch trong vành giao hoán

R thì ( ) (1 )r = R Do p không là phần tử khả nghịch của R nên pRØ R Giả

sử I là iđêan của R sao cho pR⊆ ⊂I R Do R là PID nên tồn tại a R∈ để

I aR= và a không khả nghịch vì I là iđêan thực sự của R Ta có p I∈ thì

p ab= , b R∈ Do p bất khả quy và a không khả nghịch nên b là phần tửkhả nghịch của R Vì vậy, pR aR I= = nên pR là iđêan cực đại



2.2.2 Nhận xét Từ mệnh đề trên ta suy ra nếu R là một miền iđêan chính và

R không phải là một trường thì P là iđêan cực đại của R khi và chỉ khi P là

iđêan nguyên tố khác 0

Định lý sau đây là một kết quả quen thuộc, sinh viên đã được học ởchương trình đại học

2.2.3 Định lý Nếu R là một miền Ơclit thì R là một miền iđêan chính.

2.2.4 Định lý Nếu R là một miền iđêan chính thì R là vành Noether.

Chứng minh Giả sử I1⊆ ⊆ ⊆ ⊆I2 I n I n+1⊆ là một dây chuyền tăng các

x y I− ∈ suy ra x y J− ∈ , hiển nhiên với r R∈ thì rx J∈ do rx I∈ m

Do R là PID nên có a R∈ để J =aR Theo cách xác định J thì có

k∈¥ để a I∈ k nên ta có J =aR⊆ ⊆I k I k i+ ⊆ J,∀ ∈i ¥ Do đó mỗi dây

chuyền tăng các iđêan đều dừng Suy ra R là vành Noether



2.2.5 Định lý Nếu R là miền iđêan chính thì [[ ]] R x là miền nhân tử hóa.

Chứng minh Theo Định lý 1.3.2 ta chỉ cần chứng minh trong [[ ]] R x mỗi iđêan nguyên tố P khác 0 bất kỳ đều có chứa một phần tử chính nguyên tố Nếu x P∈ thì rõ ràng x là một phần tử chính nguyên tố vì iđêan ( ) x là

một iđêan nguyên tố trong [[ ]]R x

Nếu x P∉ , gọi P∗ là ảnh của P qua đồng cấu tự nhiên [[ ]]R x →R, biến

x thành 0 Ta có P∗ là iđêan của R nên nó là iđêan chính sinh bởi một phần

tử, theo Định lý 1.2.2 thì P cũng sinh bởi một phần tử Do vậy P là iđêan

chính Vậy ta suy ra [[ ]]R x là UFD



2.2.6 Mệnh đề Trong một miền iđêan chính, ước chung lớn nhất của hai

phần tử a và b bất kỳ là tồn tại.

2.2.7 Định lý Mọi miền iđêan chính đều là miền nhân tử hóa.

Chứng minh Cho R là một miền iđêan chính, theo Định lý 2.2.4 mọi dây

chuyền tăng các iđêan của R đều dừng Khi đó mỗi phần tử khác 0 và không

khả nghịch của R đều có một dạng nhân tử hóa thành những phần tử bất khả

quy Ta chứng minh tính duy nhất của dạng nhân tử hóa

Cho p R∈ , p≠0 và không khả nghịch Giả sử p có một dạng nhân tử

hóa là p= p1K p n Ta chứng minh dạng nhân tử hóa này là duy nhất, nghĩa là

nếu có một dạng nhân tử hóa khác là p= p1′K p m′ thì ta phải có n m= và p i

liên kết với p i′, i=1,K ,n (với một cách đánh số thích hợp).

Chứng minh quy nạp theo n Nếu n=1 thì p= p1 = p1′K p m′ , nếu m≥2 ta

có p là một ước thực sự của 1 p1′ Vô lý vì p bất khả quy Suy ra 1 m=1 và

iđêan nguyên tố theo Định lý 2.2.1 Như vậy phải tồn tại chỉ số i∈{1,K , m}

để p R i′ ⊂ p R n

Không mất tính tổng quát, giả sử p R m′ ⊂ p R n , suy ra p m′ =u p. n , với u là

phần tử khả nghịch vì p m′ là bất khả quy Từ ( )∗ ta có p1K p up n−1 m′ = p1′K p m′suy ra p1K p n−1= p1′′K p m′′−1 trong đó p i′′= p i′, i=1,K , m−2, p m′′−1 liên kếtvới p m′−1 Và như vậy ,p i i′′ =1,K , m cũng đều là các phần tử bất khả quy nên

từ giả thiết quy nạp ta có n− = −1 m 1 và p liên kết với i p i′′, i=1,K ,n−1.

Từ đó suy ra n m= và p liên kết với i p i′ với i=1,K , n.

Vậy đã chứng minh được dạng nhân tử hóa là duy nhất, từ đó ta có điềucần chứng minh

2.2.8 Định lý Cho R là một miền nguyên Khi đó R là miền iđêan chính nếu

và chỉ nếu R là miền nhân tử hóa và mỗi iđêan nguyên tố của R đều là iđêan chính.

Chứng minh Điều kiện cần là hiển nhiên do Định lý 2.2.7.

Ta chứng minh điều kiện đủ Giả thiết rằng R là miền nhân tử hóa và mỗi

iđêan nguyên tố của R là iđêan chính Gọi I là một iđêan bất kỳ của R Nếu

(0)

I = hoặc I R= thì I là iđêan chính Giả sử I ≠(0) và I R≠ Cho

0 a I≠ ∈ Do I R≠ nên ta suy ra a không khả nghịch Vì R là miền nhân tử

hóa nên ta có phân tích 1 2

nhất, vì thế ta đặt ( )r a =k Đặt

( ) min ( ) | 0

m r I= = r a ≠ ∈a I Khi đó m≥1 và ( )r a ≥m với mọi a J∈ Hơn nữa, tồn tại b I∈ sao cho( )

b = p p K p trong đó p i là các nhân tử bất khả quy

với mọi i=1, 2,K ,m Với mỗi p i, kí hiệu X là tập các số nguyên p i s i ≥1

sao cho s i

i

p xuất hiện như là một thành phần của một phần tử a I∈ nào đó

Với mỗi i , gọi t i là số nguyên bé nhất s i trong tập X Đặt p i 1 2

Trước hết ta chỉ ra rằng I ⊆( )d , tức d là ước của a với mọi a I∈ Thật

vậy, giả sử d không là ước của một phần tử nào đó a I∈ , gọi

( , )

d′ =UCLN a b Vì d′ là ước của b nên ( ) r d′ ≤m Từ định nghĩa của t i, ta

suy ra rằng nếu p i là ước của a thì t i

i

p cũng là ước của a Hơn nữa, bởi vì d

không là ước của a nên tồn tại j∈{1,K ,m} sao cho p không là ước của a j

Khi đó tồn tại một iđêan tối đại J của R chứa I1 Vì J là iđêan tối đại, nên

nó là iđêan nguyên tố Do đó J ≠R và J là iđêan chính (theo giả thiết) Ta

viết J =( )p Vì a a1, 2∈I1, nên a a1, 2∈ =J ( )p , tức là p là ước chung của

1

a và a2 Vì UCLN a a( ,1 2) 1= , nên p khả nghịch, tức là J =R, vô lí Vậykhẳng định được chứng minh Vì I1 =R, nên 1 I∈ 1, do đó 1 a x a y= 1 + 2 với,

x y R∈ Suy ra

1 ( )

d′= d′= a x a y d+ ′=ax by I+ ∈

vì ,a b I∈ Suy ra ( )r d′ ≥m , vô lí Vậy d là ước của a với mọi a I∈

Tiếp theo ta chỉ ra rằng ( )d ⊆I , tức là d I∈ Với mỗi i∈{1, 2,K ,m} ,tồn tại theo định nghĩa của t i một phần tử b i∈I sao cho

chứng minh d là tổ hợp tuyến tính của b b b, , , ,1 2 b m Đặt

( , , , m)

UCLN b b K b =c Khi đó d UCLN b c= ( , ) Theo lập luận trên, tồn tại

là một tổ hợp tuyến tính của b b1, 2, ,b m Vậy định lí được chứng minh 

2.2.9 Hệ quả Cho R là một miền nhân tử hóa Các phát biểu sau là tương đương:

(i) R là miền iđêan chính;

(ii) Mỗi iđêan tối đại của R là iđêan chính;

(iii) Mỗi hệ phần tử a1, ,a n của R không đồng thời bằng 0, ước chung

lớn nhất của chúng UCLN a( , ,1 a n) tồn tại và là một tổ hợp tuyến tính của

1, , n

Chứng minh ( ) i ⇒( )ii Hiển nhiên

( )ii ⇒( )iii Ta chứng minh quy nạp theo số phần tử và chỉ cần chứng minh(iii) cho trường hợp có hai phần tử, tức là nếu hai phần tử a a1, 2∈R sao cho

có một phần tử khác 0 thì ước chung lớn nhất d UCLN a a= ( ,1 2) là tổ hợptuyến tính của a1 và a Viết 2 a1 =db1 và a2 =db2, trong đó UCLN b b( , ) 11 2 = Đặt I ={b x b y x y R1 + 2 | , ∈ } Nếu I ≠R thì I được chứa trong một iđêan tối

đại của R , nó là iđêan chính (theo (ii)) Suy ra mâu thuẫn như theo lập luận

trong chứng minh Định lí 2.2.8 Do vậy I R= , nên 1 b x b y= 1 + 2 với ,x y R∈ .

Do đó d a x a y= 1 + 2 và ta có điều phải chứng minh

( )iii ⇒( )i Cho I là một iđêan của R Nếu I =(0) hoặc I = R thì I là iđêan

chính Vậy, giả sử I ≠(0) và I ≠ R Như trong chứng minh Định lí 2.2.8, đặt

a b I∈ nên d′∈I và vì vậy ( )r d′ ≥m, vô lí Suy ra a∈( )d , do vậy I ⊆( )d .

Đảo lại, theo sự xác định các ,t i i =1, ,m thì tồn tại b i∈I sao cho

2.3 Môđun tự do trên miền iđêan chính

Với một môđun tự do trên vành R bất kỳ thì môđun con của nó chưa hẳn

đã là môđun tự do Chẳng hạn, xét vành R=¢ thì R là một 6 ¢6 −môđun tự

do Gọi M là ¢6 −môđun sinh bởi phần tử 2 thì M là môđun con của R nhưng M không phải là môđun tự do vì không có cơ sở do mọi x M∈ thì

x n= nên 3.x n= 3.2 0=

Tuy nhiên nếu R là một miền iđêan chính thì ta có kết quả sau.

2.3.1 Định lý Cho R là một miền iđêan chính, khi đó mọi môđun con của một R−môđun tự do là một R−môđun tự do.

Chứng minh Giả sử F là một môđun tự do trên vành chính R Khi đó tồn tại

tập chỉ số I sao cho F ≅R( )I

Theo Nguyên lý Zermelo, ta có thể trang bị cho I một thứ tự tốt Bởi vậy,

ta luôn coi F =R( )I với I là tập sắp thứ tự tốt Giả sử M là một môđun conkhác môđun con 0 của F và { }e i i I∈ là cơ sở tự nhiên của F Ký hiệu F là i

môđun con sinh bởi { }e j j i

i i I i

x ∈ x

→a

Với mỗi i I∈ , ta có (p M là một iđêan của R Vì R là miền iđêan chính i i)nên tồn tại a i∈R để (p M i i)=Ra i Khi đó, lấy b i∈M i sao cho ( )p b i i =a i vớiquy ước rằng a i =0 thì chọn b i =0 Như vậy ta thu được một họ { }b i i I∈ Sử

dụng nguyên lý quy nạp siêu hạn, ta sẽ chứng minh họ { }b j j i

≤ sinh ra M với i mọi i I∈ Thật vậy, trước hết với i là phần tử đầu tiên của I , ta chỉ ra 0 b i0

sinh ra M Do i0 b i0∈M i0 nên Span b( )i0 ⊂M i0(ký hiệu Span b chỉ môđun( )i0con sinh bởi { }b ) và i0 b i0∈F i0 =Span e( )i0 nên tồn tại r R∈ để b i0 =re i0 Mặt

khác nếu x Span b∉ ( )i0 thì x r b≠ ′ i0 với mọi r′∈R nên x r r e≠ ′ . i0, nghĩa là

0

i

x F∉ nên x M∉ i0, chứng tỏ M i0 ⊂ Span b( )i0 suy ra M i0 =Span b( )i0 .

Bây giờ giả sử với mọi k i< thì M được sinh bởi k { }b j j k

≤ Khi đó với

Mọi môđun tự do là xạ ảnh Điều ngược lại chưa hẳn đúng Ta biết rằng

R−môđun P là xạ ảnh nếu và chỉ nếu P đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp

của một R−môđun tự do Xét vành ¢ , gọi M và N lần lượt là các 6 ¢6 −

môđun con của ¢ sinh bởi các phần tử 2 36 vµ của ¢ thì 6 ¢6 =M ⊕N Do

đó M và N là những môđun xạ ảnh Nhưng M và N không phải là ¢6 −môđun tự do Trên miền iđêan chính, ta có hệ quả sau

2.3.2 Hệ quả Mọi môđun xạ ảnh trên miền iđêan chính R là môđun tự do Chứng minh Vì mọi R−môđun xạ ảnh đều là hạng tử trực tiếp của một R−môđun tự do mà theo Định lý 2.3.1 mọi môđun con của một R−môđun tự do

là R−môđun tự do nên có điều phải chứng minh

2.3.3 Định lý Cho F là một môđun tự do trên miền iđêan chính R và M là một môđun con của F có hạng hữu hạn n Khi đó tồn tại n phần tử α1,

2, , n

α α của R và một cơ sở của F chứa n phần tử e e1, 2, , e sao cho: n (i) Các phần tử α1 1e ,α2 2e , ,αn n e lập thành một cơ sở của M ;

(ii) αi chia hết αi+1 với mọi i=1, , n−1.

Chứng minh Nếu M =0 thì kết quả là tầm thường Ta chứng minh định lývới M ≠0 Xem F =R( )I , gọi G là tập tất cả các dạng tuyến tính trên , F khi

đó ta nhận được tập các iđêan { f M( ) | f ∈G} Giả sử f M là một phần tử1( )tối đại của tập này Do R là miền iđêan chính nên f M1( )=Rα1, gọi u là một

phần tử của M sao cho f u1( )=α1 Với g G∈ ta sẽ chỉ ra rằng g u( )∈Rα1.Thật vậy, đặt ( )g u =β và giả sử Rα1+Rβ =Rγ , khi đó tồn tại ,λ µ ∈R saocho λα µβ γ1+ = Xét dạng tuyến tính f =λf1+µg, ta có

f u =λf u +µg u =λα µβ γ+ = ∈ f M

Từ đó suy ra f M( )⊇Rγ ⊇Rα1 Do tính tối đại của Rα1, nên f M( )=Rα1

Do đó Rα1 =Rβ Điều này dẫn đến β∈Rα1 Vậy với mọi dạng tuyến tính:

g F →R ta có g u( )∈Rα1

Áp dụng kết quả vừa rồi vào các phép chiếu