Một số tính chất của môđun liên tục và u liên tục luận văn thạc sỹ toán học

Một trong những hướng quan trọng đó là đưa ra các lớp môđun tựa nội xạ, liên tục, tựa liên tục, CS-môđun, 1-C1-môđun.. Ta biết rằng một môđun được gọi là CS-môđun nếu mọi môđun con đóng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRỊNH THỊ PHƯƠNG LAN

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN LIÊN TỤC VÀ U-LIÊN TỤC

Chuyªn nghµnh : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS NGÔ SỸ TÙNG

Nghệ An, 2011

MỤC LỤC

Trang

Mục lục……….……….……… … 1

Một số ký hiệu trong luận văn……… …2

Mở đầu………… ……… ……… ….3

Chương I Kiến thức cơ sở………… ……… …5

1.1 Môđun con cốt yếu, môđun con đóng và phần bù……… 5

1.2 CS-môđun, (1-C1)-môđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục, môđun u-liên tục và môđun u-tựa liên tục…… ………… … 6

1.3 Chiều đều của môđun… ……….… …8

1.4 Môđun nội xạ, môđun tựa nội xạ và môđun giả nội xạ… ….….8

Chương II Một số tính chất của môđun liên tục và u-liên tục… …… 11

2.1 Môđun liên tục và tựa liên tục… ………….…… ………… 11

2.2 Môđun u-liên tục và môđun u-tựa liên tục……… 26

Kết luận……….…….32

Tài liệu tham khảo……….… ………….33

MỘT SỐ KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN

N ⊆ M : N là môđun con của môđun M

I

i∈

Gdim(M): Số chiều đều của môđun M

E(M): Bao nội xạ của môđun M

LỜI NÓI ĐẦU

Cùng với lớp môđun xạ ảnh, lớp môđun nội xạ được xem là trụ cột trong nghiên cứu lý thuyết môđun và lý thuyết vành Chính vì vậy mà lớp môđun nội xạ đã được các nhà toán học nghiên cứu và mở rộng theo nhiều hướng khác nhau Một trong những hướng quan trọng đó là đưa ra các lớp môđun tựa nội xạ, liên tục, tựa liên tục, CS-môđun, (1-C1)-môđun

Sự ra đời của lớp CS-môđun đã có những ứng dụng tốt trong nghiên cứu lý thuyết vành, thúc đẩy lý thuyết môđun phát triển mạnh mẽ Kết quả theo hướng này đã được N V Dung, Đ V Huynh, Smith, Wisbaure tổng kết lại trong cuốn sách chuyên khảo “Extending modules”

Ta biết rằng một môđun được gọi là CS-môđun nếu mọi môđun con đóng của nó là hạng tử trực tiếp Một môđun được gọi là (1-C1)-môđun nếu

môđun để đặc trưng cho vành đang được nhiều nhà toán học trong nước và ngoài nước quan tâm

Thời gian gần đây, tác giả Ngô Sỹ Tùng và Thiều Đình Phong đã đưa ra

khái niệm về môđun u-liên tục và chứng tỏ rằng môđun M có dạng

i

I

i U

nếu nó là u - liên tục (Xem[3]) Môđun M có tính chất mọi hạng tử trực tiếp địa phương là hạng tử trực tiếp và mọi môđun con đóng của M có chứa một môđun con đều thì M là môđun u-liên tục nếu và chỉ nếu M là môđun u-tựa

liên tục Mục đích chính của luận văn là dựa vào các tài liệu [3] và [4] để hệ

thống lại một cách chi tiết các tính chất về môđun u-liên tục.

Luận văn được chia làm hai chương:

Chương 1: Nêu lên một số khái niệm và tính chất cơ sở cần thiết cho việc trình bày luận văn

Chương 2: Trình bày một số tính chất về môđun liên tục và môđun tựa

liên tục Trình bày một số tính chất về môđun u-liên tục và môđun u-tựa liên

tục

Luận văn bắt đầu thực hiện từ tháng 7 năm 2011, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, người đã định hướng nghiên cứu

và dành cho tác giả sự chỉ bảo tận tình, nghiêm khắc Cũng trong dịp này, tác giả xin được cảm ơn đến PGS.TS Nguyễn Quý Dy, PGS.TS Nguyễn Thành Quang, PGS.TS Lê Quốc Hán, TS Nguyễn Thị Hồng Loan, TS Mai Văn Tư,

và các thầy, cô giáo trong khoa Toán chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số Trường Đại học Vinh, khoa Sau Đại học đã nhiệt tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Cuối cùng, do khả năng bản thân còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được những đóng góp quí báu của quý thầy, cô giáo cùng tất cả các bạn đọc

Nghệ An, tháng 10 năm 2011

Tác giả

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

Các vành luôn được giả thiết là vành kết hợp có đơn vị, các môđun trên một vành luôn được hiểu là môđun phải unita (nếu không ghi chú gì thêm)

1.1 MÔĐUN CON CỐT YẾU, MÔĐUN CON ĐÓNG VÀ PHẦN BÙ

1.1.1 Định nghĩa Cho R là vành, M là R-môđun, N là môđun con của M

mọi môđun con K M, K 0 thì K N 0 Ta cũng nói rằng M là mở rộng

cốt yếu của N.

3 Môđun con N được gọi là đóng trong M nếu N không có mở rộng cốt yếu thật sự Nói cách khác, N được gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun

1.1.2 Tính chất Cho M, N, K là các R-môđun phải với K N, N M, ta có:

(i) Bao đóng của một môđun con N trong môđun M luôn tồn tại.

(ii) Nếu K là phần bù trong N, N là phần bù trong M thì K là phần bù trong M.

1.1.3 Mệnh đề Cho M, N, K là các R - môđun phải với N M là K N

Nếu N / K ⊆e M / K thì N⊆e M

Chứng minh Lấy 0 A M Nếu A = K thì A N = K N = K 0, suy ra

N là cốt yếu trong M Nếu A K , do N/ K ⊆e M/ K nên (N/ K) ((A + K)/ K)

0 Vì vậy tồn tại các phần tử n N; a A; k1, k2, k K sao cho n + k1 = a +

k + k2 Từ đó suy ra a = n + k1 – k – k2 N và a 0 Do đó a A N 0

Vậy N là cốt yếu trong M

1.1.4 Mệnh đề Nếu K là môđun con của M và L là phần bù của K thì

(ii) Gọi 0 N M, giả sử N (K L) = 0, suy ra N K = 0 và

N L = 0 Do đó (N L) K = 0 ( vì nếu có n + l = k thì n = k –l, hay n N

và n K L, mà k – l = 0 nên n = 0) Theo tính chất tối đại của L thì

L N = L hay N = 0 Điều này mâu thuẫn với N 0 Vậy N (K L) 0,

hay K L là môđun cốt yếu tromg M

LIÊN TỤC, MÔĐUN U-LIÊN TỤC VÀ MÔĐUN U-TỰA LIÊN TỤC

Cho M là một R - môđun phải Ta xét các điều kiện sau:

(C1) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của

M Nói cách khác, mọi môđun con đóng trong M là hạng tử trực tiếp của M.

tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M.

(C3) Nếu những môđun con A và B là hạng tử trực tiếp của M và

5 Môđun M được gọi là tựa liên tục nếu M là môđun thoả mãn điều

kiện (C1) và điều kiện (C3)

6 Môđun M được gọi là u-tựa liên tục nếu M là môđun tựa liên tục đối với môđun con đều, nghĩa là nếu M có tính chất (U) và thỏa mãn (C3).

1.2.2 Tính chất 1.Môđun M thoả điều kiện (C 2 ) thì cũng thoả điều kiện (C 3 ).

2.Hạng tử trực tiếp của CS-môđun là CS-môđun.

3.Nếu môđun M là CS-môđun thì M cũng là (1-C 1 )-môđun.

1.2.3 Bổ đề Cho môđun M, những phát biểu sau là tương đương:

(i) M thoả mãn điều kiện (C 3 ).

(ii)Với những hạng tử trực tiếp P, Q của M, với P ∩ Q = 0, tồn tại môđun con P ’ của M sao cho M = P ⊕ P ’ và Q ⊆ P ’

Chứng minh (i) suy ra (ii) Cho P, Q là những hạng tử trực tiếp của M,

(ii) suy ra (i) Cho K, L là những hạng tử trực tiếp của M sao cho

M = L ⊕ L ’ với L ’ là môđun con của M Do đó K ’ = L ⊕ (K ’ ∩ L ’), suy ra

M = K ⊕ L ⊕ (K ’ ∩L ’ ) Vậy K ⊕ L là hạng tử trực tiếp của M

1.3 CHIỀU ĐỀU CỦA MÔĐUN

1 Một môđun M trên vành R được gọi là có chiều đều (hay chiều

Uniform) hữu hạn nếu M không chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con

khác không M được gọi là có chiều đều vô hạn trong trường hợp ngược lại.

Số hạng tử khác không lớn nhất của tổng trực tiếp các môđun con đều

của M mà cốt yếu trong M là một số bất biến, được gọi là số chiều (hay chiều

Uniform) của M và được kí hiệu là Gdim (M) (hay Udim (M)).

chiều đều trái của R là chiều đều của R R.

1.4 MÔĐUN NỘI XẠ, MÔĐUN TỰA NỘI XẠ VÀ MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ

1.4.1 Định nghĩa Cho R là vành

1 Môđun M được gọi là A-nội xạ (A-injective) nếu với mọi môđun con

X của A, mỗi đồng cấu f: X → M đều có thể mở rộng tới đồng cấu f *: A → M.

2 Môđun M được gọi là tựa nội xạ (quasi-injective) nếu M là M-nội xạ.

M

3 Môđun M được gọi là nội xạ (injective) nếu M là N-nội xạ, với mọi

6 Môđun N được gọi là M-giả nội xạ (M-pseudo injective) nếu mọi

1.4.2 Tính chất (i) Bao nội xạ E (M) luôn tồn tại với mọi R-môđun phải M.

(ii) Theo định nghĩa trên, lớp môđun giả nội xạ là mở rộng thật sự của lớp môđun tựa nội xạ.

1.4.3 Mệnh đề Nếu N là môđun M-giả nội xạ thì mọi đơn cấu f: N → M là chẻ ra.

Chứng minh.

f ′f = f ′(if) = gf = id N Vậy theo tính chất của đồng cấu môđun, f là đơn cấu

1.4.4 Hệ quả Môđun giả nội xạ thì thoả điều kiện (C 2 ).

Chứng minh Giả sử M là môđun giả nội xạ, A, B ⊆ M, A ≅ B và A là hạng tử trực tiếp của M Ta sẽ chứng minh B cũng là hạng tử trực tiếp của M.

1.4.5 Bổ đề Cho môđun M = M 1⊕ M 2 là tổng trực tiếp của hai môđun con M 1

và M 2 Khi đó hai mệnh đề sau đây là tương đương:

M = L ’ ⊕ M2, với L ’ là môđun con nào đó sao cho L ⊆ L ’ Cho π: M → M2là

∀y ∈ K, χ(y) = π {y− ϑ( )y + ϑ( ) }y = ϑ( )y Ta thấy rằng χ nâng lên

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN LIÊN TỤC

VÀ U-LIÊN TỤC2.1 MÔĐUN LIÊN TỤC VÀ TỰA LIÊN TỤC

2.1.1 Bổ đề 1 Nếu A là môđun đóng trong hạng tử trực tiếp của M thì A đóng

trong M.

2 Mọi hạng tử trực tiếp của M đóng trong M.

3 Nếu K ⊆ L là các môđun con của M sao cho K đóng trong L

và L đóng trong M thì K đóng trong M.

Chứng minh 1 Giả sử M =M1 ⊕M2 và A đóng trong M1 Ta chứng

3 Trước hết ta chứng minh: “Nếu môđun con A đóng trong M, mọi

môđun Q⊆e M sao cho A⊆Q thì Q/A⊆e M/A ”.

Thật vậy, giả sử môđun A đóng trong M, bất kì môđun Q⊆M sao cho

Q

đó, (L⊕L′)/K =(L/K) (⊕ K⊕ L′)/K

Do đó (K⊕ K′)⊕ L′ /K=( (K ⊕ K′)/K) (⊕ K⊕ L′)/K⊆e M/K

2.1.2 Hệ quả Hạng tử trực tiếp của (1-C 1 )-môđun là (1-C 1 )-môđun.

Chứng minh Giả sử A là hạng tử trực tiếp của M hay M = A ⊕ B, theo

bổ đề 2.1.1 thì A đóng trong M Ta đi chứng minh A là (1-C1)-môđun Thật vậy, lấy bất kỳ môđun T đóng đều trong A, do A đóng trong M nên T cũng đóng trong M Mà M là (1-C1)-môđun nên T là hạng tử trực tiếp của M, hay M

mãn:

( ) ( )

Chứng minh Giả sử N là môđun con đóng của M và U là môđun con

đóng đều nào đó của N, khi đó theo bổ đề 2.1.1 thì U đóng trong M Vì M là

2.1.4 Bổ đề Giả sử M = ⊕i I∈ M i với M i là đều,∀i∈I Khi đó, mỗi môđun khác không của M chứa một môđun con đều.

Chứng minh Giả sử A ≠ 0 là môđun con bất kì của M Khi đó, tồn tại

( )

2.1.5 Hệ quả Giả sử M = ⊕i I∈ M i với M i là đều, ∀i∈I Nếu M là (1-C 1 )- môđun thì mỗi môđun con đóng khác không của M chứa một môđun con đều là hạng tử trực tiếp của M.

Chứng minh Giả sử A là môđun đóng khác không của M Theo bổ đề

2.1.4, A chứa môđun con đều khác không U Gọi V là bao đóng của U trong

A.

Vì A đóng trong M nên V là môđun con đóng đều trong M Do M là

(1-C1)-môđun nên V là hạng tử trực tiếp của M Vậy A chứa một môđun con

2.1.6 Mệnh đề Giả sử M là (1-C 1 )-môđun và X ⊕ U là môđun con đóng của

M, trong đó X là hạng tử trực tiếp của M và U là môđun đều Khi đó X ⊕ U là hạng tử trực tiếp của M.

Chứng minh Vì X là hạng tử trực tiếp của M nên M =X ⊕M1, với M1 là

môđun con của M.

2.1.7 Bổ đề Giả sử M là (1-C 1 )-môđun Nếu M có chiều đều hữu hạn thì M là tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun con đều.

Chứng minh Gọi U là môđun con đều tối đại của M, thì U đóng trong

M Do M là (1-C1)-môđun nên U là hạng tử trực tiếp của M, nghĩa là

hạn các môđun con đều

2.1.8 Bổ đề Cho M là (1-C 1 )-môđun Khi đó mọi môđun con N đóng trong M

và có chiều đều hữu hạn là một hạng tử trực tiếp của M.

Chứng minh Gọi U là môđun con đều và đóng trong N Theo bổ đề

2.1.1 thì U đóng trong M Từ giả thiết suy ra U là hạng tử trực tiếp của M,

nghĩa là

U U

( ')

Theo Bổ đề 2.1.7, N được phân tích thành tổng trực tiếp hữu hạn

n

N N

N

*Nhận xét: Ta đã biết, nếu môđun M là CS-môđun thì M cũng là (1-C

1)-môđun Nhưng điều ngược lại chưa chắc đúng Như vậy, một (1-C1)-môđun là

CS-môđun khi thoả điều kiện gì ? Hệ quả sau đây sẽ trả lời câu hỏi này.

2.1.9 Hệ quả Một môđun M với chiều đều hữu hạn là CS-môđun nếu và chỉ

nếu nó là (1-C1)-môđun.

Chứng minh Nếu M là CS-môđun thì hiển nhiên nó là (1-C1)-môđun.

Ngược lại, giả sử M là (1-C1)-môđun và N là một môđun con đóng trong M Theo Bổ đề 2.1.8, suy ra N là hạng tử trực tiếp trong M , hay M là

2.1.10 Hệ quả Giả sử M =M1 ⊕M2, trong đó M 1 và M 2 là những CS-môđun

Khi đó, M là CS-môđun nếu và chỉ nếu mọi môđun K đóng trong M với

1 0

K∩M = hoặc K∩M2 = 0 là một hạng tử trực tiếp của M.

Chứng minh Điều kiện cần được suy ra từ định nghĩa CS-môđun

2

đóng trong L và theo Bổ đề 2.1.1, H bị đóng trong M Điều này dẫn đến

1 0

CS-môđun

2.1.11 Định lý Môđun M là (1-C 1 )-môđun với chiều đều hữu hạn nếu và chỉ nếu:

(i) M là tổng hợp trực tiếp hữu hạn các môđun con đều.

(ii) Mọi hạng tử trực tiếp của M có chiều đều 2 là (1-C1)-môđun.

Chứng minh.

Giả sử M là (1-C1)-môđun với chiều đều hữu hạn khác không Khi đó,

theo Bổ đề 2.1.7 ta có (i) và theo hệ quả 2.1.2 ta có (ii)

sao cho V∩M i = 0 Không mất tính tổng quát, ta cho i = 1 và đặt

Chứng minh Điều kiện cần, giả sử M =M1 ⊕M2 ⊕ ⊕ M n và M là

(1-C1)-môđun

sẽ chứng minh M là (1-C1)-môđun bằng quy nạp đối với n, tức là chỉ cần chứng minh nó đúng với n = 2.

Theo Bổ đề Zorn, tồn tại môđun con tối đại L của K sao cho:

Dễ thấy, L đóng trong K, mà K đóng trong M nên L đóng trong M.

Không mất tính tổng quát, giả sử '

2.1.13 Hệ quả Nếu môđun M liên tục thì nó là tựa liên tục.

Chứng minh Dựa vào tính chất 1.2.2, một môđun thoả mãn điều kiện

(C2) thì cũng thoả mãn điều kiện (C3), hay M liên tục thì nó là tựa liên tục

□

* Nhận xét: Điều ngược lại của hệ quả trên là không đúng Nghĩa là, một

môđun tựa liên tục thì chưa chắc liên tục Để minh hoạ, ta xét ví dụ sau.

Ví dụ Z- môđun Z là tựa liên tục nhưng không liên tục

Z thỏa mãn điều kiện (C1) Thật vậy, gọi A là môđun con bất kỳ của Z,

e

= ⊕

tục

2.1.14 Bổ đề Một môđun M giả nội xạ và CS-môđun thì nó liên tục.

Chứng minh Do M là CS-môđun nên thoả điều kiện (C1) Mặt khác M

là môđun giả nội xạ nên theo hệ quả 1.4.4, M thoả điều kiện (C2) Vậy M là

M = ⊕ là tổng trực tiếp của hai môđun con M1, M2 thì M2 là M1-nội xạ.

Chứng minh Giả sử M là tựa liên tục và M = M 1⊕ M 2 Cho N ⊆M với

2.1.16 Định lý Cho môđun M =M1 ⊕M2 ⊕ ⊕ M n là tổng trực tiếp hữu hạn của những môđun nội xạ lẫn nhau M i(1 ≤ ≤i n) Khi đó, M là CS-môđun nếu và

chỉ nếu M i là CS-môđun với 1 i n≤ ≤ .

Chứng minh Giả sử M là CS-môđun và M =M1 ⊕M2 ⊕ ⊕M n Theo

CS-môđun bằng cách quy nạp theo n Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh với

n = 2 Giả sử M =M1 ⊕M2 và K là phần bù trong M Theo bổ đề Zorn, tồn tại

hạng tử trực tiếp của M Vậy M là CS-môđun.

2.1.17 Bổ đề Cho môđun M =M1 ⊕M2 là tổng trực tiếp của các môđun con

nội xạ lẫn nhau M 1 , M 2 sao cho M 2 là tựa liên tục Cho K, L là hạng tử trực tiếp của M sao cho K∩ =L 0 Nếu K∩M1 = 0 thì K⊕L là hạng tử trực tiếp của M.

Chứng minh Theo Bổ đề 1.4.5, không mất tính tổng quát giả sử rằng

2.1.18 Mệnh đề Hạng tử trực tiếp của một môđun liên tục (hay tựa liên tục)

là môđun liên tục (hay tựa liên tục).

Chứng minh Giả sử A là hạng tử trực tiếp của M, hay M = ⊕A D , với D

là môđun con nào đó của M Ta đi chứng minh A liên tục Thật vậy, gọi B là môđun con đóng trong A, theo Bổ đề 2.1.1 thì B đóng trong M Mà M là liên

tử trực tiếp của A Suy ra A thoả điều kiện (C1) (1)

Suy ra T là hạng tử trực tiếp của A, hay A thoả điều kiện (C2) (2)

Gọi T, K là hai hạng trực tiếp của A sao cho T∩ =K 0 Ta có A T= ⊕N

thoả điều kiện (C3) (3)

2.1.19 Định lý Cho M =M1 ⊕ ⊕ M n là tổng trực tiếp hữu hạn của những môđun con M i(1 ≤ ≤i n) Khi đó M là tựa liên tục nếu và chỉ nếu M 1 M n là

những môđun tựa liên tục và nội xạ lẫn nhau.

Chứng minh Điều kiện cần, giả sử M =M1 ⊕ ⊕ M n và M là tựa liên

Theo Mệnh đề 2.1.18, M1, , Mn là những môđun tựa liên tục.

Theo Định lý 2.1.16 suy ra M là CS-môđun Cho K, L là những hạng tử trực