Một số tính chất của phương trình sai phân và ứng dụng

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại học Vinh ---***--- nguyễn hoàng hiển một số tính chất của phơng trình sai phân và ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2009... mở đầuTrong những năm

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại học Vinh -*** -

nguyễn hoàng hiển

một số tính chất của phơng trình sai phân

và ứng dụng

luận văn thạc sĩ toán học

Vinh - 2009

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại học Vinh -*** -

nguyễn hoàng hiển

một số tính chất của phơng trình sai phân

mở đầu

Trong những năm gần đây do sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết kỹthuật số và ứng dụng của nó trong khoa học và trong đời sống hàng ngày, lýthuyết phơng trình sai phân đợc nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Cáckết quả nghiên cứu theo phơng hớng này đợc áp dụng ngày càng nhiều trongmột số lĩnh vực khác nh: toán kinh tế, kỹ thuật tín hiệu số, lý thuyết hệ độnglực rời rạc và nhiều ngành khoa học khác

Trong khuôn khổ của một Luận văn thạc sĩ, chúng tôi sẽ trình bày một

số khái niệm cơ bản nhất của lý thuyết phơng trình sai phân và cố gắng tìmtòi, khám phá những ứng dụng của nó Để phục vụ cho việc giảng dạy toánhọc ở phổ thông trong phần ứng dụng chúng tôi có giới thiệu một số ứng dụngcủa phơng trình sai phân trong toán sơ cấp Ngoài ra, chúng tôi còn giới thiệuứng dụng của phơng trình sai phân trong mô hình ngoại thơng Do điều kiện

về thời gian và năng lực còn hạn chế nên có những vấn đề không thể đợc nhmong muốn

Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến khoa Sau đại học, trờng Đại họcVinh cũng nh các thầy cô giáo khoa Toán đã giảng dạy, hớng dẫn, giúp đỡ tôitrong quá trình học Đại học cũng nh học Cao học Tôi cũng xin chân thànhcảm ơn PGS.TS Đặng Đình Châu - Trờng Đại học khoa học Tự nhiên - Đạihọc Quốc gia Hà Nội đã tận tình giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Xin chân thành cảm ơn!

Ngày tháng năm 2009

Néi dung chÝnh cña b¶n luËn v¨n nµy bao gåm :

1 HÖ thèng l¹i mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ ph¬ng ph¸p sai ph©n

2 Ph¸t biÓu vµ tr×nh bµy mét sè chøng minh c¸c c«ng thøc gi¶i PTSPcấp 1, cấp 2vµ hÖ PTSP

4 HÖ thèng mét sè bµi tËp øng dông cña ph¬ng tr×nh sai ph©n trongto¸n s¬ cÊp

3 Tr×nh bµy bµi to¸n M« h×nh ngo¹i th“M« h×nh ngo¹i th ¬ng gi÷a hai quèc gia” vµ

ph-¬ng ph¸p ma trËn øng dông trong viÖc nghiªn cøu tÝnh chÊt nghiÖm cña hÖPTSP t¬ng øng

CHƯƠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP CAO

1.1 Không gian các hàm trên thang thời gian (time scale)

1.1.1 Thang thời gian và không gian các hàm số trên thang thời gian

Giả sử R là tập hợp các số thực, khi đó một tập đóng  của R được gọi

là một thang thời gian (xem [5])

Trong khóa luận này chúng ta chỉ xét  là một trong các dạng thang

thời gian sau: N, Z, hZ, R 

1.1.1.1.Định lý.Giả sử  là một thang thời gian nào đó Khi đó ánh xạ f:

R lập thành một không gian tuyến tính.

Chứng minh Ký hiệu: G = {f | f: R}.Khi đó hàm số (t)  0 trên G là

phần tử không thuộc G Với f,gG bất kỳ ta có thể xác định các phép toán:

i) f + g: t  f(t) + g(t),  t  G

ii) f: t  f(t), R.

Khi đó G sẽ trở thành một không gian tuyến tính (thỏa mãn tám tiên đề

của không gian tuyến tính) Trong trường hợp khi  = Z thì có không gian các dãy số thông thường.

1.1.2 Khái niệm  - đạo hàm (đạo hàm mở rộng)

Trong thời gian gần đây để đáp ứng với yêu cầu ứng dụng của toán họctrong các ngành khoa học khác, người ta đã tìm cách mở rộng lý thuyết giảithích toán học theo chiều hướng khác nhau Trong những phương hướng mới

đó là phương trình động lực trên thang thời gian (Dynamic Equation on time scales) Nhiều khái niệm của giải thích cổ điển đã được khái quát hóa và trình

bày lại dưới dạng tổng quát hơn để có thể ứng dụng đồng thời cho cả hàm liêntục thông thương lẫn hàm rời rạc Sau đây chúng tôi xin giới thiệu lại khái

niệm -đạo hàm (đạo hàm mở rộng trên thang thời gian) (xem [4], [5]).

Giả sử f : R là một hàm số trên thang thời  và t là một giá trị tùy

ý cho trước

1.1.2.1Định nghĩa Hàm số f: R được gọi là  - khả vi nếu với mọi

>0 bất kỳ cho trước luôn luôn tồn tại lân cận U của t (hoặc tồn tại >0 và U

= (t-, t+)) và tồn tại số thực f(t) sao cho với mọi SU ta có:

f ( )A f s( ) f t ( ) ( ) t S   ( )t S

Khi đó ta gọi f(t) là đạo hàm của f tại t trên  ( hoặc chính xác hơn

f(t) là - đạo hàm của f tại t ) Tương tự như đạo hàm thông thường ta

có thể chứng minh được các công thức sau

1.1.2.2Định lý Nếu =R và f: R là khả vi tại t khi đó ta có

Nhận xét Chúng ta nói rằng f: R là - khả vi trên , nếu f: R là

khả vi tại mọi giá trị của t Hoàn toàn tương tự ta có thể định nghĩa đạohàm cấp cao của f và chứng minh một số tính chất tương ứng như tính chất

của hàm số thông thường f: RR (xem [5] trang 7, 8, 9)

1.1.3 Khái niệm tích phân của một hàm trên thang thời gian

Giả sử  là một thang thời gian Để xây dựng khái niệm tích phân và

nghiên cứu các tính chât của chúng ta cần làm quen với một số khái niệm sau

1.1.3.1 Định nghĩa Giả sử t là một giá trị nào đó Nếu t< Sup và

t=(t) thì ta nói t là một điểm trù mật phải Nếu t>inf và t= (t) thì ta nói

t là một điểm trù mật trái Nếu t là một điểm vừa trù mật trái vừa trùn mật phải thì ta nói đó là điểm trù mật Trong trường hợp ngược lại ta có điểm

cô lập.

1.1.3.2 Định nghĩa Giả sử f: R là một hàm số Khi đó ta nói f là một

hàm liên tục phải trên  (rd-continous) nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây:

(i) f: R là liên tục tại tất cả các điểm trừ mặt phải của 

(ii) Tại tất cả các điểm trừ mặt trái của  thì tồn tại giới hạn trái hữu

hạn của f

1.1.3.3 Định nghĩa Hàm F: R được gọi là nguyên hàm (antiderivative)

của hàm f: R nếu: F(t) = f(t) với mọi t.

Ta ký hiệu f ( t ) t=F(t) +C (tích phân không xác định của f(t))

)t(f

(vii) f(t) t 0

a

a

  

(viii) nếu f(t) 0 với mọi atb thì ( ) 0



 

1.2 Một số kiến thức cơ bản về phép tính sai phân hữu hạn

1.2.1 Các khái niệm cơ bản

Xét dãy số xn ; dạng khai triển của nó là

  1n 1, , , , 12 1n 

Có thể xem dãy số là một hàm của đối số nguyên n Kí hiệu x(n) = xn.

Chú ý rằng theo định nghĩa đạo hàm trên thang thời gian sai phân cấp một chính là đạo hàm của dãy số ( hàm x(n) )

1.2.1.1 Định nghĩa Ta gọi hiệu: x n = x n+1 – x n

là sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm số x(n) = x n với n  Z

Thí dụ, Nếu hàm xn cho dưới dạng bảng ạng bảngi d ng b ngảng

Như vậy, sai phân cấp 2 của hàm xn là:

Nói chung, sai phân cấp k của hàm xn là:

kxn = (k-1xn) = k-1xn+1 - k-1xn =   i

k

i k i

C





 0

1 xn+k-i , (a) trong đó C i i!k k! i!

4xo = x4 – 4x3 + 6x2 - 4x1 + xo = 6 – 4.7 + 6.4 – 4.3 + 1 = -9,

Từ công thức (a), suy ra một số tính chất của sai phân sau đây

1.2.2.Tính chất của phép tính sai phân

1.2.2.1 Tính chất 1 Sai phân các cấp đều có biểu diễn qua các giá trị của





  i xn+ k + 1 – i + xn+ k + 1 + (-1)k + 1xn =

= i

k k

i

0

) 1

1.2.2.2.Tính chất 2 Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính.

Chứng minh Ta phải chứng minh

i k i

k n

i k k

o

i

y C b

Sử dụng tính chất 4 ta có thể tính giải được một số bài toán tính tổng

hữu hạn sau đây

Thí dụ 1 Tính các tổng

S = 1.1! + 2.2! + … + n.n! = 



n k

k

1 =  2 1  21

1

n n k

k

n k

1 2 1

n k

k k

n k

T3 = 13 + 23 +…+ n3 = 



n k







n n

1.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một

1.3.1 Định nghĩa Phương trình sai phân tuyến tính cấp một có dạng

ax n+1 + bx n =f n , a ≠ 0 , b ≠ 0

Nếu a, b, q, là các hằng số, thì ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp mộtvới hệ số hằng số; nếu a, b, q phụ thuộc n thì ta có phương trình sai phântuyến tính cấp một với hệ số biến thiên; fn là một hàm của n, gọi là vế phải; xn

là ẩn Nếu fn ≡ 0, ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất; nếu fn ≡ 0

ta có phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất

1.3.2 Cấu trúc nghiệm Ta dễ dành thấy rằng nghiệm tổng quát của (1) có

 -bn[Cn+1 – Cn] = -bnCn = fn

 Cn = - n

n

f b .

Lấy tổng hai vế theo k từ 0 đến n – 1, ta được

Cn = Co -

1 0

1 n k b

1 0

1

n

n k

k

f C

1.3.3.2 Phương pháp Grin

Xét phương trình sai phân

axn + bx n+1 = fn

Để tìm nghiệm của phương trình trên, ta dựng hàm Grin Gn

Trưới dạng bảngc h t ta tìm nghi m v i v ph i lết ta tìm nghiệm với vế phải là ệm với vế phải là ới dạng bảng ết ta tìm nghiệm với vế phải là ảng à

f n = n o

 

0, nếu n  0

1, nếu n = 0 n

o

 ký hi u Kronecke Ta c ng dùng ký hi u Kroneckeệm với vế phải là ũng dùng ký hiệu Kronecke ệm với vế phải là

n k

Để giải phương trình aGn + bGn+1 = o n , ta viết nó dưới dạng khai triển

  

  , với n  1 Vậy

n n

Đây là một nghiệm của phương trình sai phân Thêm vào đó nghiệm tốngquát của phương trình thuần nhất tương ứng, ta được nghiệm tổng quát củaphương trình aGn + bGn+1 = o n là

Để Gn bị chặn, ta phải có điều kiện sau:

1 Nếu a

b = 1 thì với mọi giá trị A,Gn đều bị chặn khi n  .

2 Nếu a

b  1, thì Gn không bị chặn khi n  , nếu A  0 Do vậy

trong trường hợp này cần chọn A = 0 để Gn bị chặn, và

n n

n k 0

0,1,



nÕu n knÕu n = kThay chuỗi hội tụ *

x có vô số hạng khác không như nhau khi cố định n Định lý

sau đây đảm bảo cho chuỗi *

n

x hội tụ

Định lý Gỉa sử a

b  1, Gn là nghiệm cơ bản bị chặn và f  F với k

mọi k Khi đó chuỗi

chứng minh hoàn toàn tương tự

Với giả thiết của định lý, mỗi số hạn của chuỗi

trình thuần nhất tương ứng Nghiệm xn phải bị chặn, vì là hiệu của hai~

nghiệm bị chặn Điều này chỉ có thể xảy ra khi A = 0

Thí dụ 2 Tìm nghiệm riêng * X n bằng phương pháp hàm Grin,

của phương trình sai phân

Nhận xét.Ngoài hai phương pháp trên ta còn có thể sử dụng phương pháp hệ

số bất định tức là phương pháp chọn để giải phương trình sai phân cấp 1

1.4 Phương trình sai phương tuyến tính cấp hai

Nhiều bài toán thực tiễn dẫn về việc giải phương trình sai phân tuyến tính

cấp hai Về nguyên tắc, ta có thể đưa phương trình sai phân tuyến tính cấp hai

về phương trình sai phân tuyến tính cấp một, với ẩn là vectơ gồm hai thànhphần, nhưng do đặc thù của nó, người ta thường xét và giải trực tiếp

1.4.1 Định nghĩa.Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai có dạng

ax n+2 + bx n+1 + cx n = f n , a  0, c  0 (1) hay x n+2 = px n+1 + qx n + f n , q  0,

trong đó x n là hàm của đối số nguyên n gọi là ẩn; f n là hàm số của n,

Nếu a, b, c, p, q là các hằng số thì (1) gọi là phương trình sai phân tuyếntính cấp hai với hệ số hằng số

Nếu a, b, c, p, q là các hàm số của n, thì (1) gọi là phương trình sai phântuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên

Nếu fn = 0 thì ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp haitương ứng với (1):

axn+2 + bxn+1 + cxn = 0

Nếu fn  0 thì (1)gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp hai khôngthuần nhất

1.4.2.Nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai.

Tương tự như phương trình sai phân tuyến tính cấp n , nghiệm tổng quátcủa (1) có dạng xn = n + *

n

x , trong đó n là nghiệm của phương trình sai phântuyến tính thuần nhất (2) và *

n

x là một nghiệm riêng tuỳ ý của (1)

a Tìm nghiệm tổng quát n của phương trình thuần nhất

Đặt n

n

x  Thay vào (2) ta có : a2 + b + c = 0 (3)

trong đó A, B là hai hằng số tuỳ ý.

2 Nếu (3) có nghiệm thực kép 1 =2 =  thì

n = (A + Bn)n,trong đó A, B là các hằng số bất kỳ

3 Nếu (3) có nghiệm phức  = x + iy = r (cos + isin),

(với i2 = -1, r =  = x2 y2 ; = arctg y

x ) , thi nghiệm tổng quát n

của (2) có dạng n = rn (Acosn + Bsinn)

a

3 Nếu (3) có nghiệm phức  = r(cos+isin) thì n sẽ là nghiệm (2)

Ta có n=rn (cos+isin)n Theo công thức Moavrơ ta được

n

= rn (cos+isin) Nếu n là nghiệm phức thì phần thực và phần ảo cũng

là nghiệm, nên ta được 2 nghiệm un = cos, vn = sin Hai nghiệm

Giải Phương trình đặc trưng 2 -8 +16 = 0 có ngiệm kép

b Phương pháp tìm nghiệm riêng x n

Phương pháp chọn (còn gọi là phương pháp hệ số bất định).

Xét các trường hợp sau:

1.Trường hợp 1: f n là đa thức bậc k của n: f n = P k (n).

Nếu (3) không có nghiệm  = 1, thì tìm

n

x

= Qk(n)Trong đó Qk(n) là đa thức bậc k của n

Nếu (3) có nghiệm đơn  = 1, thì x n = nQk(n)

Nếu (3) có nghiệm kép  = 1, thì x n= n2Qk(n)

Thí dụ 1 Tìm nghiệm riêng x n của phương trình sai phân

Giải Phương trình đặc trưng 2 + 4 - 5 = 0 có nghiệm  = 1 và  = -5, dovậyx n = n (an + b) Thay vào phương trình sai phân, ta được

(n + 2) [a(n + 2 ) + b] + 4(n + 1) [a(n + 1) + b] – 5n (an + b) = 12n + 8

Cho n = -1  a + b + 5(- a + b) = -4  2a – 3b = 2

Cho n = 0  2(2a + b) + 4(a + b) = 8  4a + 3b = 4

Giải hệ này, ta đựơc a = 1, b = 0 và x n = n2’

Thí dụ 2 Giải phương trình sai phân.

vào phương trình sai phân, ta được

2[a(n + 2)2 + b(n + 2)+c] 5[a(n + 1)2 + b(n + 1 + c] + 2(an2 + bn + c) =

= - n2– 2n + 3

So sánh hệ số của n2, n và hệ số tự e ở 2 vế ta được a = 1, b = c = 0.

Vậy x n = n2 và xn = n + x n = A.22 + B 1

2n + n2.Với xo = 1 = A + B, x1 = 3 = 2A + 1

2B + 1  A = 1, B = 0 và xn = 22 + n2.

2 Trường hợp2: f n = p k (n)  n , trong đó p k (n) là đa thức bậc k của n.

Nếu phương trình đặc trưng (3) không có nghiệm  =  thì tìm

n

x

= Q k (n)  n Nếu (3) có nghiệm đơn  =  thì

x n

= n.Q k (n) n

Nếu (3) có nghiệm kép

x n = n 2 Q k (n)  n

trong đó Qk(n) là đa thức bậc k của n.

Thí dụ 1 Tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân

vào phương trình đặc trưng và nhóm các số hạng đồng dạng,

ta được 35an + 51a + 35b = 35n + 51

Nếu  = cosisin, là nghiệm của phương trình đặc trưng thì tìm x n

dưới dạng

x n

= nTk(n)cosn + n Rk(n)sinn trong đó Tk(n) và Rk(n) là các đa thức bậc k của n

Thí dụ 2 Tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân

Thay vào phương trình đang xet và đồng nhất hệ số ta có:

CHƯƠNG 2

HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

2.1 Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất:

u(n+1) = A(n) u(n) n > n0 (2.1.1)

ở đây: u(n) = (u1(n), u2(n), um(n))T IRmvà trong toàn bộ luận vănnày, ta luôn giả thiết A(n) = (aij(n))m x m là ma trận không suy biến

* Bài toán Cô-si:

Xét bài toán: n>n0 (2.1.1)

(2.1.1a)Bằng phương pháp truy hồi, chúng ta dễ dàng thấy rằng bài toán Cô-siluôn có nghiệm và nghiệm của bài toán Cô-si được cho bởi:

u(n) = A(n-1) A(n-2) A(n0 + 1).A(n0).u0 với mọi n > n0 (2.1.2)

* Họ toán tử tiến hoá sinh bởi ma trận không suy biến:

2.1.1.Định nghĩa Với mỗi s > n0 ký hiệu:

W(n,s) = A(n-1).A(n-2) A(s+1) A(s) (nếu n>s) (2.1.4)

I (nếu n=s) (2.1.4a)Khi đó, họ W(n,s)nso được gọi là họ toán tử tiến hoá sinh

bởi ma trận hàm không suy biến A(n)

* Ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc (hay ma trận Cô-si):

2.1.2.Định nghĩa Giả sử họ W ( n , s )nsnolà họ toán tử tiến hoá sinh bởi

ma trận hàm không suy biến A(n) Khi đó W(n, n0) được gọi là ma trậnnghiệm cơ bản chuẩn tắc của hệ (1.1.1)

Nhận xét 2.1.1 Từ định nghĩa của ma trận Cô-si và họ toán tử tiến hoá ta

thấy, với mỗi s > n0 thì

1 W(n,s) =W(n, k) W(k,s) với mọi n > k > s (2.1.5a)Đặc biệt:W(n,n ) = W(n,k) W(k,n ) với mọi n > k > n (2.1.5b)

u(n+1) = A(n).u(n) u(n

0) = u

0

1 o k

1) k).b(k W(n,

).v n W(n, v(n) (2.1.10)

Chứng minh Ta tìm nghiệm v(n) của (1.1.9) dưới dạng: v(n) = W(n,n0).C(n)(1.1.11) sao cho v(n0) = v0 bằng phương pháp biến thiên hằng số

Vì v(n0) = W(n0, n0) C(n0) = C(n0) suy ra: C(n0) = v0

Từ v(n) = W(n, n0) C(n)  v(n+1) = W(n+1, n0) C(n+1) (2.1.12)Mà: v(n+1) = A(n) v(n) + b(n) = A(n) W(n, n0)C(n) + b(n)

= W(n+1, n0) C(n) + b(n) (2.1.13) Kết hợp (1.1.12) và (1.1.13) ta được: W(n+1,n0) C(n+1) = W(n+1,n0) C(n) + b(n)suy ra W(n+1, n0) C(n) = b(n) hay C(n) = W-1(n+1, n0) b(n)

Do đó ΔC(k)C(k) W (k 1, no)b(k)

1 n

n k

1 n

n k