Một số tính chất về tính ổn định tiệm cận của các phương trình sai phân có trễ

Võ Công Đôngmột số tính chất về tính ổn định tiệm cận của các phơng trình sai phân có trễ... Nh vậy, ta hiểu một hệ thống điều khiển là mộtmô hình hóa toán học đợc mô tả bởi phơng trình

=====  =====

Võ Công Đông

một số tính chất về tính ổn định tiệm cận của các phơng trình sai phân có trễ

Luận văn thạc sĩ toán học

Vinh - 2006

Võ Công Đông

một số tính chất về tính ổn định tiệm cận của các phơng trình sai phân có trễ

Mục lục

Trang

Lời nói đầu 2

Chơng 1 Một số kiến thức cơ bản của lý thuyết ổn định 5

1.1 Tính ổn định của phơng trình vi phân và sai phân theo nghĩa Liapunov 5

1.2 ổn định các hệ tuyến tính 9

1.3 ổn định hệ phi tuyến 16

Chơng 2 Một số tính chất Về tính ổn định tiệm cận của các phơng trình sai phân có trễ 19

2.1 Các khái niệm cơ bản 19

2.2 Điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận 22

2.3 Một số ứng dụng 28

Kết luận 32

Tài liệu tham khảo 33

Lời nói đầu

Trong thực tiễn, nhiều bài toán đề cập các vấn đề kỹ thuật, điều khiển ờng liên quan đến hệ động lực mô tả bằng các phơng trình toán học với thờigian liên tục hay rời rạc dạng:

th-x(t) f (t , x(t), u(t)), t (0.1) 0x(k 1) f (k, x(k),u(k)),k 0,1,2   

trong đó x(.) là biểu thức trạng thái mô tả đối tợng đầu ra, u(.)là biểu thức

điều khiển mô tả đối tợng đầu vào của hệ thống Các đối tợng điều khiển trongcác mô hình điều khiển hệ thống đợc mô tả nh những dữ liệu đầu vào có tác

động quan trọng ở mức độ này hoặc mức độ khác, có thể làm ảnh hởng đến sựvận hành đầu ra của hệ thống Nh vậy, ta hiểu một hệ thống điều khiển là mộtmô hình hóa toán học đợc mô tả bởi phơng trình toán học biểu thị sự liên hệvào ra

u(t) x(t)

(Hệ điều khiển)

một trong những mục đích chính của bài toán điều khiển hệ thống là tìm điềukhiển (đầu vào) sao cho hệ thống (đầu ra) có những tính chất mà ta mongmuốn Thông thờng, việc chuyển một hệ thống có điều khiển từ vị trí này sang

vị trí khác có thể thực hiện bằng nhiều phơng pháp dới tác động bởi các điềukhiển khác nhau Căn cứ vào những mục đích cụ thể của hệ thống đầu ra ngời

ta xác định các bài toán điều khiển khác nhau

Tính ổn định là một trong những tính chất quan trọng của lý thuyết địnhtính các hệ động lực và đợc sử dụng nhiều trong các lĩnh vực cơ học, vật lý,toán, kỹ thuật, kinh tế v.v… Nói một cách hình t Nói một cách hình tợng, một hệ thống đợc gọi là

ổn định tại một trạng thái cân bằng nào đó nếu các nhiễu nhỏ của các dữ kiệnhoặc cấu trúc ban đầu của hệ thống không làm cho hệ thống thay đổi nhiều sovới trạng thái cân bằng đó Bài toán ổn định hệ thống đợc các nhà toán học,

đặc biệt là V.Liapunov nghiên cứu và đến nay đã trở thành một hớng nghiêncứu không thể thiếu trong lý thuyết phơng trình vi phân, lý thuyết hệ thống vàứng dụng

t x u

f

x , ,

Từ những năm 60 của thế kỷ XX, song song với sự phát triển của lýthuyết điều khiển và do nhu cầu nghiên cứu các tính chất định tính của hệthống điều khiển, ngời ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định các hệ điều khiểnhay gọi là tính ổn định hóa của hệ điều khiển Nói một cách giải tích cho một

hệ thống mô tả bởi phơng trình toán học điều khiển, ví dụ dạng (0.1), bàitoán ổn định hóa của hệ là tìm hàm điều khiển (có thể phụ thuộc vào biếntrạng thái mà ngời ta thờng gọi là hàm điều khiển ngợc) u x  h , x sao cho

Trên cơ sở các tài liệu về phơng trình và lý thuyết ổn định, áp dụng mộtphần phơng pháp thứ hai Liapunov, một số bất đẳng thức ma trận, luận văntrình bày một điều kiện đủ về tính ổn định của các phơng trình sai phân có trễ,

đồng thời đa ra một số ứng dụng

Luận văn gồm hai chơng:

Chơng 1 Trình bày một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định gồm

các nội dung sau:

1.1 Tính ổn định của phơng trình vi phân và sai phân theo nghĩa Liapunov.1.2 ổn định các hệ tuyến tính

1.3 ổn định các hệ phi tuyến

Chơng 2 Về tính ổn định tiệm cận của các phơng trình sai phân có trễ là

nội dung chính của luận văn gồm các nội dung sau:

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa toán và khoa

Đào tạo Sau Đại học, đặc biệt là PGS.TS Đinh Huy Hoàng, PGS.TS TạQuang Hải, PGS.TS Trần Văn Ân, PGS.TS Nguyễn Nhụy, PGS.TS Tạ Khắc

C, TS Phạm Ngọc Bội và các thầy cô giáo trong tổ Giải tích, các bạn học viêncao học 12 - Toán, những ngời đã giúp đỡ, động viên, chỉ bảo trong suốt thờigian học cao học.

Vinh, tháng 12 năm 2006

Võ Công Đông

Chơng 1 một số kiến thức cơ bản của lý thuyết ổn định

Chơng này trình bày một số kiến thức cơ bản của lý thuyết ổn định đốivới các hệ phơng trình vi phân và các hệ phơng trình sai phân Các khái niệm

về tính ổn định, ổn định tiệm cận và tính chất cơ bản đối với các hệ vi phân

và sai phân đợc trình bày theo [2]

1.1 Tính ổn định của phơng trình vi phân và sai phân theo nghĩa Liapunov

Xét một hệ thống mô tả bởi phơng trình vi phân

x f (t, x)  , t  0 (1.1)trong đó x ( t )  R n là véctơ trạng thái của hệ, f : R R n  R n là hàm véctơ chotrớc Giả thiết f(t, x) là hàm thỏa mãn các điều kiện sao cho nghiệm của bàitoán Cauchy hệ (1.1) với điều kiện ban đầu x(t0) = x0, t0  0 luôn có nghiệm

duy nhất Khi đó dạng tích phân của nghiệm đợc cho bởi công thức

 

t

t

ds )) s ( x , s ( f x ) t ( x

0

1.1.1 Định nghĩa Nghiệm x(t) của hệ (1.1) đợc gọi là ổn định theo nghĩa

Liapunov (gọi tắt là ổn định) khi t  nếu với mọi số   0, t0  0 tồn tại

Nói cách khác, nghiệm x(t) là ổn định khi mọi nghiệm khác của hệ có giá trị

ban đầu đủ gần với giá trị ban đầu của x(t) thì vẫn đủ gần nó trong suốt thờigian t  t0

1.1.2 Định nghĩa Nghiệm x(t) của hệ (1.1) gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là

ổn định và có một số   0 sao cho với y0  x0   thì

Lim y ( t )  x ( t )  0

Nghĩa là, nghiệm x(t) là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và mọi nghiệm y(t)

khác có giá trị ban đầu y0 gần với giá trị ban đầu x0 sẽ tiến tới gần x(t) khi ttiến tới vô cùng

Nhận xét: Bằng phép biến đổi ( x  y )  z , ( t  t0)   hệ phơng trình(1.1) sẽ đợc đa về dạng quy đổi

Z = F(τ,z) , (1.2)

trong đó F( , 0) = 0, và khi đó sự ổn định của một nghiệm x(t) nào đó của hệ(1.1) sẽ đa về nghiên cứu tính ổn định của nghiệm 0 của hệ (1.2) Để ngắngọn, ta sẽ nói hệ (1.2) là ổn định thay cho nói nghiệm 0 của hệ là ổn định Do

đó từ bây giờ ta xét hệ (1.1) với giả thiết hệ có nghiệm không, tức là f(t,0) = 0,

1.1.4 Ví dụ Xét phơng trình vi phân sau trong R

x ax, t 0  

nghiệm x(t), với x(t0) = x0 cho bởi công thức

x(t) = x0eat, t  0

Khi đó hệ là ổn định (tiệm cận, mũ) nếu a < 0 Nếu a = 0 thì hệ là ổn định.Hơn nữa, hệ sẽ là ổn định đều (hoặc ổn định tiệm cận đều) và số   0 chọn đ-

ợc sẽ không phụ thuộc vào thời điểm ban đầu t0

1.1.5 Ví dụ Xét phơng trình vi phân

x(t) a(t)x, t 0,

trong đó a(t): R   R là hàm liên tục, nghiệm x(t) của hệ với điều kiện ban

đầu x(t0) = x0 cho bởi

e x ) t (

t

t a ( ) d Lim

0

Trên đây là định nghĩa tính ổn định cho các hệ với thời gian liên tục.Các định nghĩa đó hoàn toàn đợc định nghĩa tơng tự cho các hệ với thời gianrời rạc

1.1.8.Bổ đề Gronwall Giả sử hàm liên tục dơng u(t) với mọi giá trị t,   (a, b))

trong đó f(t)  C(a, b)) và f(t)  0 với a < t < b).

Khi đó, với a < t 0  t < b) đánh giá hai chiều sau đây đợc thỏa mãn

u(t )e  u(t) u(t )e   .

Trớc khi vào nghiên cứu tính ổn định các hệ phi tuyến, chúng ta sẽ xét tính

ổn định các hệ tuyến tính với thời gian liên tục cũng nh thời gian rời rạc cùngvới sự khác biệt của chúng

1.2 ổn định các hệ tuyến tính

Xét hệ vi phân tuyến tính

x(t) Ax(t)  , t  0 (1.4)trong đó A là n  n ma trận Nghiệm của hệ (1.4) xuất phát từ trạng thái ban

đầu x(t0) cho bởi

x(t) = x0 e A ( t  t 0 ), t  t 0.

Định lý dới đây cho một tiêu chuẩn đầu tiên về tính ổn định của hệ(1.4), thờng gọi là tiêu chuẩn ổn định đại số Liapunov

1.2.1 Định lý Hệ (1.4) là ổn định mũ khi và chỉ khi phần thực của tất cả các

giá trị riêng của A là âm, tức là

0 1 A

vậy giá trị riêng của A là 1,2 -1, -2 Hệ ổn định tiệm cận Nh vậy để xétmột hệ tuyến tính dừng có ổn định hay không ta chỉ cần tìm nghiệm phơngtrình đa thức đặc trng hay giá trị riêng của ma trận A Đôi khi việc tìm các giátrị riêng nếu ma trận A có số chiều lớn là khó (khi đó đa thức đặc trng cũng cóbậc cao) nên việc tìm nghiệm đa thức đặc trng cũng sẽ gặp khó khăn.

Dới đây sẽ giới thiệu một phơng pháp khác của Rơuth - Hurwitz để xác

định tính ổn định của hệ trong nhiều trờng hợp thuận tiện hơn

1.2.3 Định lý Giả sử đa thức đặc trng mà phơng trình vi phân (1.4) đã cho

là

n n

n a z a z

) z (   1  1 

Khi đó nếu định thức con chính của tất cả các ma trận con D k , k =1,2, ,n là dơng thì phần thực của tất cả các nghiệm của f(z) là âm, tức là hệ đã cho là

1 a

a a

det Dk = det , k , , n

a

a

a a

a

a a

a

a a a

k k k k

3 2 0

0 0 0

1

3 2 3

1

2 2 4

2

1 2 5

3 1

1 2

= 16 > 0

det D2 =

9 2 0

4 9 1

0 1 2

= 137 > 0, det D4 =

4 0 0 0

0 1 2 0

0 4 9 1

0 0 1 2

= 76 > 0

Vậy hệ đã cho ổn định tiệm cận

Tính ổn định hệ tuyến tính dừng (1.4) có quan hệ tơng đơng sự tồn tạinghiệm của phơng trình ma trận, thờng gọi là phơng trình Liapunov hay ph-

ơng trình Sylester dạng:

A X XAT  Y (LE)trong đó X, Y là các ma trận n  n và gọi là cặp nghiệm của (LE) Xét hệ(1.4), từ bây giờ ta sẽ nói ma trận A là ổn định nếu phần thực tất cả các giá trịriêng của A là âm Theo Định lý 1.2.1 điều này tơng đơng hệ (1.4) là ổn địnhtiệm cận

Định lý 1.2.5 sau đây là tiêu chuẩn tìm điều kiện để hệ (1.4) ổn địnhtiệm cận

1.2.5 Định lý Ma trận A là ổn định khi và chỉ khi với b)ất kỳ ma trận Y đối

xứng xác định dơng, phơng trình (LE) có nghiệm là ma trận đối xứng, xác

định dơng X.

Có thể xem chứng minh trong tài liệu [2]

Đối với các hệ tuyến tính không dừng

x(t) = A(t) x(t), t 0 (1.5)thì việc nghiên cứu tính ổn định gặp khó khăn hơn vì nghiệm cơ bản của bàitoán Cauchy lúc đó không tìm đợc dạng hiển qua ma trận A mà phải qua matrận nghiệm cơ bản  ( , s ) của hệ Ta biết rằng hệ (1.5) có nghiệm

0

0 ) x t t ( ) t (

x   ,trong đó ( s t, )là ma trận nghiệm cơ bản của hệ Nếu A là hằng số, hiểnnhiên ta có

) s , (

Chứng minh Bây giờ ta viết phơng trình (1.5) dới dạng

x(t) = A x(t) + C(t) x(t), t  0

do đó nghiệm của hệ với x(t0) = x0 cho bởi

x ( t ) e e C ( s ) x ( s ) ds

t

t

) s t ( A )

t t ( A

 

 



0 0

vì A là ma trận ổn định, theo Định lý 1.2.1, hệ x = Ax là ổn định mũ, do đótheo định nghĩa sẽ có một số   0 ,   0 sao cho

t t

0 3

t

cos )

t ( C

2 2

4 1 4 1

nên hệ là ổn định tiệm cận

1.2.8 Định lý Xét hệ (1.5) trong đó A(t) là ma trận liên tục theo t Giả sử tồn

tại các số  0, 0,K 0 sao cho:

x e

) t ( x

t t

) s t )(

t ( A )

t t )(

t ( A

K x

Ke ) t ( x

t

t

) s t )

t t

x  ( K)(tt )   Nếu chọn

K 2

x   tt )  

trong đó     2 K   0

Do đó hệ ổn định tiệm cận định lý đợc chứng minh Nh vậy, đối với hệkhông dừng ngay cả khi các ma trận A(t) là ổn định với mỗi t cố định, cũngkhông đảm bảo sự ổn định của hệ mà còn đòi hỏi mạnh hơn nữa về tính giớinội đều của A(t) Những kết quả mở rộng hơn, hoặc đối với A(t) là hàm chu

kỳ, A(t) là Lipschitz và tính ổn định của hệ không dừng (1.5), khi ma trận hàmA(t) có giới hạn khi t  

1.2.9 Định lý Giả sử tồn tại giới hạn limA )(t A khi t  và A là ma trận ổn định, khi đó hệ

x k( ) A x k 0.

Vậy để x(k) 0 khi k  , theo định nghĩa ổn định tiệm cận thì hoặc

A  q 1 hoặc A  k 0

và do đó tất cả các giá trị riêng của ma trận A có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1 là

đợc Vậy ta có định lý tơng đơng với Định lý 1.2.3 sau đây

1.2.10 Định lý Hệ rời rạc (1.6) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi một trong

hai điều kiện sau đợc thỏa mãn:

i) Tồn tại số 0 < q < 1, sao cho || A || = q < 1.

ii)   1, với mọi   ( A).

Z k ), k ( x ) k ( x

2 1

2

1 1

3

1 4

1 1

2

1 1

0 2

Đối với hệ rời rạc không dừng ta cũng có các tiêu chuẩn về tính ổn định t

-ơng tự, song chứng minh sẽ đợc dựa trên bất đẳng thức Gronwall cho hệ rờirạc

k i

i k

k x A C ( i ) x ( i ) A

) k (

Dựa vào tính ổn định của A, ta có đánh giá sau:

) i ( x a q x

q ) k ( x

k i

i k k

sử dụng bất đẳng thức Gronwall dạng rời rạc với

q

a ) k ( a , x C , ) k ( x q ) k (

k (

q

a 1

1 - k

0 i

- Phơng pháp thứ nhất: nội dung chính của phơng pháp này là nghiên cứutính ổn định thông qua số mũ Liapunov hoặc thông thờng hơn dựa trên hệ xấp

xỉ tuyến tính Nếu vế phải đủ tốt ví dụ là hàm khả vi liên tục để có thể xấp xỉ

hệ đã cho bằng hệ tuyến tính tơng ứng, thì tính ổn định khi đó sẽ đợc rút ra từtính ổn định hệ xấp xỉ tuyến tính

- Phơng pháp thứ hai thờng đợc gọi là phơng pháp trực tiếp thứ 2: phơngpháp này dựa vào sự tồn tại của một lớp hàm trơn đặc biệt gọi là hàmLiapunov mà tính ổn định của hệ đợc thử trực tiếp qua dấu của đạo hàm theohàm vế phải của hệ đã cho

Mục này sẽ giới thiệu các định lý cơ bản về tính ổn định cho các hệ phituyến bằng hai phơng pháp nói trên

Xét hệ phơng trình vi phân

x(t) f (t, x(t)),  t 0 (1.7)

trong đó f(t,x):R+ Rn  Rn là hàm phi tuyến cho trớc, f(t, 0) = 0, với mọi

0 )  x , t  t

(

Định lý sau đây cho điều kiện đủ để hệ (1.7) là ổn định tiệm cận khi hàm

vế phải f(t, x) đợc phân tích thành tổng của một ma trận hằng và một nhiễuphi tuyến đủ nhỏ Ví dụ trờng hợp hàm f(t, x) khả vi liên tục tại x = 0 (khôngphụ thuộc vào x) thì theo khai triển Taylor bậc một tại x = 0 ta có

f(x) = A + g(x)

trong đó

(0) , ( ) 0( ).

0 1

g(t,x) =

1

x sin t2

vì A là ma trận ổn định và

)) x ( ) x , ( g , x x

x ( t sin )

x , (

2

1 2

2 4 1

L Sup

R t

Chơng 2 một số tính chất Về tính ổn định tiệm cận của các phơng trình sai phân có trễ

Trong chơng này sử dụng phơng pháp thứ 2 của Liapunov, chúng ta thiếtlập điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận của phơng trình sai phân có trễ.Chúng ta sẽ thu đợc các điều kiện ổn định mới nhờ hệ thống những bất đẳngthức ma trận áp dụng cho một số lớp những sai phân có trễ Chẳng hạn nh ph-

ơng trình đặc biệt, phơng trình có nhiễu, những hệ điều khiển và những hệmạch có trễ

Ta xét một lớp quan trọng những hệ sai phân gồm có những phơng trìnhsai phân có trễ, trong đó việc chậm trễ thờng xuất hiện trong những hệ ditruyền, những hệ Volka - Volterra, những hệ liên quan đến sự phát triển kinh

tế toàn cầu

Các hệ đó thờng đợc mô tả bởi một hệ các phơng trình có thời gian gián

đoạn đợc cho bởi

x(k + 1) = f(x(k), x(k – h1), x(k – h2), , x(k - hp)), k = 0,1,2, (2.1)x(k) (k), k   h p,0 , 

trong đó x ( k )  R n, 0 h 1   h , hp i Z, p 1, (k)  là dữ liệu bắt đầu đa ra,

n ) p ( n

Nếu xTQx > 0 (xTQx < 0, tơng ứng) với mọi x0 thì Q đợc gọi là ma

trận dơng và kí hiệu là Q > 0 (Q < 0 tơng ứng)

Dễ dàng nhận thấy rằng Q > 0 (Q < 0 tơng ứng) khi và chỉ khi:

n

T Qx x , x R x

Xét hàm số V = V(x,t) liên tục theo biến t và theo từng biến x1, x2, , xn

trong miền Z0, trong đó

Z0 = {a < t < +}  {x(x1, x2, , xn)  Rn : ||x|| < h}

2.1.1.1 Định nghĩa Hàm thực V(x) đợc gọi là hàm xác định dơng nếu

i) V(0) = 0;

ii) V(x) > 0, với mọi x  0

2.1.1.2 Định nghĩa Hàm V(t, x) đợc gọi là hàm xác định dơng theo nghĩa

Liapunov (hay hàm Liapunov), nếu thỏa mãn các điều kiện sau

i) V(t, 0) = 0;

ii) Tồn tại hàm W(x) xác định dơng và V(t, x)  W(x), với mọi xthuộc lân cận ||x || < h

2.1.1.3 Định nghĩa Hàm V(t, x) đợc gọi là hàm xác định âm theo nghĩa

Liapunov (hay hàm Liapunov), nếu thỏa mãn các điều kiện sau

2.1.2 Bổ đề.([4]) Nghiệm không của hệ sai phân phi tuyến (2.2) là ổn định

tiệm cận nếu tồn tại hàm xác định dơng 

 R R : x (