Một số tính chất cơ bản của đại số lie lũy linh và ứng dụng luận văn thạc sỹ toán học

Hiện nay lý thuyết đại số Lie đã được trình bày trong nhiều tải liệu và được viết bởicác nhà toán học nổi tiếng như Serre, Rupert Yu, Helgason, Patrice Tauvel, .... và mộtphần mở đầu đượ

Lòi mở đầu 1

Chương I Đại số Lie I Định nghĩa và tính chất 3

1.1 Định nghĩa đại số Lie 3

1.2 Ví dụ 4

1.3 Đại số Lie con 5

1.4 Iđêan của đại số Lie 6

1.5 Một số tính chất của đại số Lie 7

II Các toán tử của đại số Lie 10

1.6 Đồng cấu Lie 10

1.7 Vi phân trên đại số Lie 12

1.8 Ánh xạ ad 15

Chương II Đại số Lie lũy linh I Đại số Lie lũy linh ug$) 19

2.1 Định nghĩa 19

2.2 Ví dụ 19

2.3 Các tính chất cơ bản 20

2.4 Đại số Lie lũy linh U{$) 25

II Định lý Engel 28

2.5 Định nghĩa chuẩn hóa 28

2.6 Định lý (Định lý cơ bản của đại số Lie lũy linh ) 30

2.7 Hệ quả 31

2.8 Định lý Engel 32

2.9 Một số ứng dụng của định lý Engel 33

Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36

Hiện nay lý thuyết đại số Lie đã được trình bày trong nhiều tải liệu và được viết bởicác nhà toán học nổi tiếng như Serre, Rupert Yu, Helgason, Patrice Tauvel, và mộtphần mở đầu được trình bày trong các bài giảng về đại số Lie và nhóm Lie cho các lớpcao học chuyên ngành Hình học-Tôpô ở các trường đại học.

Nội dung chính của luận văn là trình bày một cách chi tiết và có hệ thống các kiếnthức của đại số Lie lũy linh và một số ứng dụng của nó Luận văn được chia làm haichương:

Chương I Đại số Lie Trong chương này tác giả trình bày các khái niệm, các tính chất của đại số Lie, một số toán tử cơ bản của đại số Lie cùng tính chất của chứng Các tính chất đều được chứng minh một cách chi tiết Nội dung của chương này cơ bản để phục vụ cho việc trình bày chương II

Chương II Đại số Lie lũy linh Trong chương này tác giả trình bày về đại số Lie lũy linh một cách có hệ thống Các mệnh đề, định lý đều được

chứng minh chi tiết bao gồm cả đại số Lie lũy linh ỈẨ($)> định lý Engel Một số ứng

dụng của đại số Lie lũy linh được trình bày ở các

nhận xét 2.3.3.; 2.4.2.; hệ quả 2.7 và dấu hiệu nhận biết một đại số Lie là lũy linh ởmục 2.9

Luận văn được hoàn thành tại khoa Sau đại học - Trường Đại học Vinh, dưới sựhướng dẫn khoa học của thầy giáo PGS TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin bày tỏlòng kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.

Trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu, tác giả đã nhận được sự quan tâm, giúp

đỡ tận tình của các thầy, cô giáo thuộc khoa Toán, khoa Sau đại học của Trường đạihọc Vinh, Ban giám hiệu cùng các thầy cô giáo Trường THPT Nam Đàn I? các bạn bèlớp Cao học KI7 ngành Hình học-Tôpô Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy, các côcùng các bạn

Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc của bản thân đến các thầy giáo trong

tổ Hình học, những người đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn tác giả hoàn thành khóahọc và luận văn này

Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả

Các hệ số cị được gọi là hằng số cấu trúc của đại số Lie G.

ĐẠI SỐ LIE

Trong chương này chúng tôi trình bày các định nghĩa, ví dụ, một số tính chất củađại số Lie, một số toán tử cơ bản của đại số Lie cùng tính chất của chúng

Ta luôn giả thiết rằng K là một trường và G là một không gian véc tơ trên K Như

đã biết, G là một đại số nếu ta trang bị thêm vào G một ánh xạ song tuyến tính:

<p: G x G ^ G (x,y)

h-><p(x,y) (p được gọi là tích trong và thường được ký hiệu là (p{x, ỷ) = x.y.

I ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 1.1 Định nghĩa đại số Lie

Giả sử G là một đại số trên K G được gọi là đại so Lie nếu tích trong

So chiều của đại so Lie chính là số chiều của không gian véc tơ G.

Với G là không gian véc tơ hữu hạn chiều mà dimG = n, cấu trúc của đại số Lie G

có thể được cho bởi móc Lie của từng cặp véc tơ thuộc cơ sở {e15e2, ,e } đã chọntrước trên G như sau:

n

k= l

X A y là tích có hướng thông thường thì G là đại số Lie trên M .

Thật vậy:

• G = M3 là modun với 2 phép toán cộng và nhân thông thường

• Phép toán \x,y\ = X A y là song tuyến tính vì Vx, y, z E M3 ta có:

Đại số Lie này được gọi là đại số Lie tầm thường

c) M (M) = {A I A là ma trận vuông cấp n trên M } với tích Lie:

[A?B] - A.B - B.A là một đại số Lie

Thật vậy:

Với phép cộng, phép nhân thông thường các ma trận và tích trong được định nghĩa ở

trên thì M (M) là một đại số.

Ta kiểm tra điều kiện của đại số Lie:

• VA, Be M (M) thì: [A,B] = A.B -B.A = -(B.A-A.B)= - [B,A].

• VA,B, CeM (M) thì:

[[A,B],C] + [[B,C],A] +[[C,A]3]

= [A.B - B.A,C] +[B.C - C.B,A] +[C.A - A.C,B]

d) Xét H =

= (A.B - B.A).C - C.(A.B - B.A) + (B.c - C.B).A - A (B.c - C.B)

+ (C.A - A.C).B - B.(C.A - A.C)

= ABC - BAC - CAB + CBA + BCA - CBA - ABC + ACB

+ CAB - ACB - BCA + BAC

Xác định tích trong [A? B] = A.B - B.A ,VA,B eH

Khi đó H là đại số Lie

1.3 Đại số Lie con

Với G là đại số Lie trên K Với M, N là các không gian con của G, ta ký hiệu: [M?N]

= ([ wí,«]|ffíeM,«eiVV( [M,N] là không gian con sinh bởi M, N)

Nhận xét: Neu A, B, c là các không gian véc tơ con của G thì:

• [A + B,C]<Z.[A,C\ + [B,C\

[A,B]=[B,Ẩ\ [G,[A,BĨ]<z[A,[B,GĨ] + [B,[G,A]]

1.3.1 Định nghĩa Cho đại số Lie G có N là không gian con N được gọi là đại so Lie

con của G nếu [N,N] cN.

1.3.2 Ví dụ

a Dễ kiểm tra ỊoỊvà G là các đại số Lie con của đại số Lie G

b Xét G = M (R)và H = {A = (a^nl AT = - A } cG

Trong đó A là ma trận chuyển vị của ma trận A; - A là ma trận đối của ma trận A

• H là không gian véc tơ con của G vì với V A, BeH và với V p E M thì:

(aA + PB) T = OCAT + PBT => aA + pB eH.

• VA, B e H, [A,BỴ ={AB-BAf = (AB) T - (.BAf =B T A T - A T B T

= (-B).(-A)-(-A).(-B) = -(AB-BA) = -[A,B]

Suy ra [A,B] eH hay [H,H]cH Vậy H là đại số

Lie con của M (R).

1.4 Iđêan của đại số Lie

1.4.1 Định nghĩa

+) Không gian con N của đại số Lie G được gọi là Iđêan của G nếu [N,G] cN +) Iđêan M của đại số Lie G được gọi là tâm của G nếu M là Iđêan cực đại và

[M?G] = 0

Nhận xét: - {0}> G là các Iđêan của đại số Lie G.

- Mỗi Iđêan của G là một đại số Lie con của G

- Tâm của G là một đại số Lie con giao hoán

1.4.2 Mệnh đề Nếu M, N là hai Iđêan của đại số Lie G thì M D N, M+N,

[M,NJ cũng là các Iđêan của G.

Chứng minh:

M? N là hai Iđêan của đại số Lie G nên [G,M]cM ^G^ỊCÌV [M,JV]C[G,JV]C]V

[ M , N ] = [ N , M ] c [G,M] cM , N] hay [M9 Af] là đại số Lie con của G

[G, [ M , N Ĩ ] < ^ [ M , [ N , G ] ] + [ N , [ G M ]] c= [M, N ] + [ N , M ] = [M, A^] Từ

đó suy ra [M, ] là Iđêan của G

1.5 Một số tính chất của đại số Lie

1.5.1 Định lý

1 Cho G là một đại so Lie, khi đó Vx, y,z e <7 thì:

[ [ x , y ] , z] = [ [ z , y ] , x] + [y, [z, x]].

2 Đại so con, đại so thương của đại so Lie là đại so Lie.

3 Tích trực tiếp của hữu hạn các đại so Lie là đại so Lie.

4 Đại so đối của đại so Lỉe là đại so Lie.

(Ở đây, với đại số Lie G cùng tích Lie (x, x,y\ thì đại số đối của G là G°

với tích Lie (x, y)\-^[y,x]ị Chứng minh:

1 \/x,y,z eG, theo hệ thức Jacobi: +[[_y,z],x^|+[[z,x],_y^| = 0 => [[x,y],z] = -[[.y,z],x]-[[z,x],.y]

Mà ta có [[y, z], x] + [[z,y\, x] = Ịịy, z] + [ z , y \ , x] = [o, x ] = 0

Suy ra [[j:,}']!z]=[[z,}'],)c] + [y,[z,x]],Vj:j,zeG

2 +) Giả sử G là đại số Lie với phép nhân [x,y] và A là một đại số con của G

Khi đó A ổn định với phép nhân [x,y] trên G Vì vậy [x, y \ = — [ y , x \, Vx, y e A và

hệ thức Jacobi thỏa mãn trên A

Vậy A là đại số Lie với phép nhân \ x ^ y \

+) Giả sử G là đại số Lie và G/H - {x + H I xe G} Khi đó G/H là đại số Lie với các phép toán sau:

Vậy hệ thức Jacobi trong G/H thỏa mãn

3 Gọi (ơ.)5 / = 1, n là họ n đại số Lie với tích Lie [x.?ẽy.]

Xét G = - Ịx = (X.) \ x e G J = l,/7 j là tích trực tiếp của (ơ.), i = \,n.

Dễ chứng minh được rằng G là một không gian véc tơ

Định nghĩa tích trong trên G là: [,]: G X G —> G

(x,y)H> [x,y]

Với: [ x , y ] = ([(>,),(>,)]) = { [ xl, yl] , [ x2, y2] , , [ xn, yn] ) ,

trong đóX = (xi, ,x n ),y = (yi, ,y n);Xi,Ỵ i S G i , i = l , n Khi đó:

• G là một đại số với phép nhân ĩ x y ị định nghĩa ở trên.

4 Gọi G là đại số Lie với phép nhân (x,3/) I—> [X*,>"]

-Đại số đối của G là G° với tích trong (x, y } 1-^ x y = [ y , x ị

Ta chứng minh G° cũng là đại số Lie Thật vậy: Vx, y , z E G°

• x.y = [ y , x ] = - [ x , y ] ; y.x= [x,y] ^>x.y = -y.x

• (x.y).z + (y.z).x +(z.x).y = [ z , x.y] + [x, y.z] +[y, z.x]

= [z, [y, X]] + [X, [z, y]] + [y, [x, z]]

= - [[y, x]s z] - [ [ z , y], x] - [[x, z], y]

= 0

Vậy G° là đại số Lie

1.5.2 Mệnh đê G là đại số kết hợp trên trường K Xác định tích trong

[ x , y ] = x y - y x , V x , y e G Khi đó G

là đại so Lỉe.

Vậy hệ thức Jacobi thỏa mãn.

II Các toán tử của đai số Lie.

1.6 Đồng cấu Lie

1.6.1 Định nghĩa Giả sử G và G’ là hai đại số Lie, ánh xạ (p\G —>G' được gọi là một đồng cấu Lie nếu cp là ánh xạ tuyến tính và <^[x,y] = , Vx,yeG

Chú ý :

+ Neu (p là đồng cấu Lie và là song ánh thì (p được gọi là một đẳng cấu Lie.

+ Các đại số Lie G? G’ được gọi là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại một đẳng cấu Lie ( p \ G -»ơ'.

Từ định nghĩa và chú ý ta có một số kết quả sau:

+ Quan hệ đắng cấu giữa các đại so Lỉe là quan hệ tương đương.

+ £={(p\G — > G \ạ>là tự đắng cấu Lieị cùng phép nhân các ánh xạ là một nhóm .

1.6.2 Ví dụ Với G, G’ là các đại số Lie thì:

0: ơ —» ơ' là một đồng cấu Lie ; idG : G —» G là một đẳng cấu Lie.

1.6.3 Mệnh đê Cho ạ> :G —> G' là một đổng cấu Lie, khi đó:

+ Im (p là đại so Lỉe con của G ’

+ Kercp là Iđêan của G Chứng minh: +) Im (p là đại số Lie con của G’:

• Giả sử ã\ b5 Elmộ9 và a’=ộ9(a) , b’=ộ9(b)

p E K thì aa'+ fib' - aạ>{a) + p(p{ìf) - (p{aa + pb) aa'+ pb' E Imạ> Vậy Im (p là không gian con của G’.

• Do (p là đồng cấuLie nên [a^b’] = [ộ9(a),ộ9(b)] = Ộ9([a,b]) [a^b5] elmq) hay [Im (p ,Im (p ] a Im (p

Vậy Im (p là đại số Lie con của G’.

+ Ker (p là Iđêan của G:

• Vì cp là ánh xạ tuyến tính nên Ker<yỌ là không gian con của G.

• Với a eG, b eKer (p ta có: <^([a,b]) = [ạ>(a),(p(b)]=[(p(a),0] = 0

=^> [a,b] E K QĨỌ ) hay [G,Ker<p] c=

Ker<p Vậy Kerợ? là Iđêan của G

Với V là không gian véc tơ trên trường số thực M Ký hiệu:

EndV = {f: V-»V| f đồng cấu}

1.6.4 Mệnh đê EndV là đại so Lỉe với tích trong [f,g] =f.g — g.f.

Chứng minh:

• Trước hết với f? g eEndV thì [f,g] = f.g - g.f eEndV

• Dễ thấy EndV là một modul trên K

• Ta chứng minh EndV là một đại số:

+) Với mọi f1? f2? g eEndV ta có: [fi+f2, g] = (fi + f2) g - g(fi+f2)

Vậy EndV là một đại số

• Ta chứng minh EndV là một đại số Lie:

Do tích f.g có tính kết hợp nên EndV là một đại số kết hợp Từ định nghĩa tích Lie [f,g] = f.g - g.f và theo mệnh đề 1.5.2 suy ra EndV là một đại số Lie.

1.7 Vi phân trên đại số Lie

1.7.1 Định nghĩa

Ánh xạ D: ơ -^-G được gọi là vi phân trên G nếu nó thỏa mãn đồng thời các a \-^

D(a)

điều kiện sau: a/ D là ánh xạ K tuyến tính

b/ D[a,b] = [D(a),b] + [a,D(b)] , \fa,h eG Vi phân

D trên G còn được gọi là ánh xạ đạo hàm D trên G.

1.7.2 Ví dụ G =M3 là đại số Lie với tích trong [ x , y ] = X A y

Lấy X cố định trong M3 và đặt f : M3 —» M3

y X Ay Khi đó f là vi phân của M3

Thật vậy: a) / là ánh xạ tuyến tính vì f {xỳ} = x / \ ị Ấ ỳ } = Ấ ị x / \ ỳ } = V A y ) - b) X(>,az) = xa(^az) = -(^az)ax theo hệ thức Jacobi: (x Ay ) A z + ( y A z ) A X + ( z A x) A y = 0 => f x ( yA Z) = ( X A y ) A Z + ( Z A X ) A y

= f Á y ) ^z +{ - f Áz) ^ y )

= /Iừ)AZ+J'A/I(z)

1.7.3 Mệnh đê DỊ, D 2 là các vỉ phân trên G thì:

a/ aDị + fiD1; V a, p E K cũng là vi phân trên G.

[a,/?D 2 (b)]

= [(«D 1 +/n) 2 Xa),b]+[a,(aD 1 +/?D 2 )(b)]

Vậy f = aD1 + Ị3D2; Va, p e K là vi phân trên G

b) Dễ thấy D = Đ Ỉ D 2 - D2D1 là ánh xạ tuyến tính từơ^G

D [ a , b ] = ( D l D 2 -D2D1)[a,b]

= D1(D2[a,b])-D2(D1[a,b])

= D 1 {[D 2 (a),b] + [a,D 2 (b)]}-D 2 {[D 1 (a),b] + [a,D 1 (b)]}

= Dj [D 2 (a),b] + Dj [a, D 2 (b)] - D 2 [Dj (a),b] - D 2 [a, Dj (b)]

= [DjD 2 (a),b] + [D 2 (a), D, (b)] + [D, (a), D 2 (b)] + [a, D,D 2 (b)] -P 2 D 1 (a),b]-[D 1 (a),D 2 (b)] - [D 2 (a), D, (b)] - [a,

D 2 Dj(b)]

= [(DjD2 - D2Dj )(a),b] + [a,( D;D2 -D2Dj)(b)], \fa,b eG.

Vậy D là một vi phân ừên G

1.7.4 Định lý Với G là đại so trên K thì

íĐerG = {Tập tất cả các ánh xạ vỉ phân của GỊ

là một đại soLỉe.

Chứng minh: Ta chứng minh nếu G là đại số trên K thì

íĐerG = {Tập tất cả các ánh xạ vi phân của G} là một đại số Lie.Ngoài 2 phép toán cộng ánh xạ và nhân ánh xạ với một số thông thường, ta đưa vào phép toán nhân: [f, g] = f.g - g.f, f,g E DerG

= f(xg(y) + yg(x)) - g(xf(y) + yf(x))

= xfg(y) + f(x)g(y) + yfg(x) + f(y)g(x) - xgf(y) - g(x)f(y) - ygf(x) - g(y)f(x)

= x(fg - gf)(y) + y(fg - gf)(x)

= x[f, g](y) + y[f, g](x)

Vậy [f, g] 6 DerG

• !DerG là một đại số

Dễ chứng minh được DerG là một modul vì vậy để chứng minh DerG là một

đại số ta chỉ cần chứng minh tích trong ( f , g ) — > [f,g] là ánh xạ song tuyến tính +)

Vậy DerG là một đại số với tích trong [f, g] = f.g - g.f.

• Ta chứng minh DerG là một đại số Lie

1.8.1 Định nghĩa Giả sử G là một đại số Lie trên trường K Với mỗi X G G, ánh

xạ adỵ là ánh xạ được xác định bởi: ad ỵ : G -^G

y t - ỳ adỵiỳ) = \_x, y\

1.8.2 Định lý ad là ánh xạ đạo hàm.

Chửng minh:

a) ad là ánh xạ tuyến tính vì ad (^y) = [x, ( A y ) ] = >^[x,y] = Ẳad

ừ)-b) ad x\y,z] = [x,\y,z]] = -[\y,z]^\

theo hệ ứiức Jacobi: [ [ x , y ị z ] + [ [ y ,z],x]+[[z,x],y] = 0

=>adx\y,z] = [[x,y],z] + [[z,x],y]

= [[x,y],z] - [y,[z, x]]

= [[x,y],z] - [y, -[x,z]]

= [[x,y],z] + [y, [x,z]]

= [ ad x (y),z] + [y ,ad xự)\

Suy ra ad x\y,z] = [ a d x { y),z] + [y, ác/, (z)]; Vy,zeG.

Vậy ad là ánh xạ đạo hàm.

1.8.3 Định lý Giả sử G là một đại so Lie trên trường K Khi đó:

a) Nếu D E ỈDerG thì adD( ) = [D, ad ], Vx E G b) Ga = {adx\ xe GJ là ỉđêan của ỉDerG.

Vậy có: [D,ad ] = adD(- y

b) Ta chứng minh G là Iđêan của DerG.

Lấy tùy ý D E íĐerG, ad G G

[D, adj = adD(x)

=> [D, a d x ] ( z G a =*

[©erG,ơfl]cơfl

Vậy G là Iđêan của DerG.

G được gọi là đại số liên kết của đại số Lie G.

1.8.4 Mệnh đê Giả sử G là đại so Lỉe và G là đại so liên kết của nó

a

Đặt ánh xạ (p: G —> G Xh> ad Khi đó ta có:

a/ (p là một đong cấu Lie ;

b/ Ker (p là tâm của G;

c/ ad ()=!// qy{x) y/ 1 , với \Ị/ : G —> G là tự đẳng cấu tùy ý.

Chửng minh:

a/ +) (p là ánh xạ tuyến tính vì:

= [ax + Py, zị = a [x,z] + p [y,z]

= a ad (z) + p ad (z)

= (a ad + p ctd )(z)

= (a Ộ5(x) + p cp(y) )(z), Vz 6 G

=> 9Wao = a < p ( x ) + P < p ( y )

+) Ta chứng minh Va, h E G thì Ộ9 [a,b] = [ Ộ9 (a), (p (b)]

Ta có: ữfi?[ab](x) = [[a,b],x]

= - [[b,x],a] - [[x,a],b]

= [[x,b],a] - [b,[a,x]]

= [a,[b,x]] - [b,[a,x]]

= (ad a ,adb )(x) - (ad b ,ada )(x)

= (ad ,adh - ad aclb)ội)

= [ad ,aclb](x),VxeG => ạ>[a,b] = ứíi[ab] =

[ a dữ, a db] = [ẹ(si\ẹ(b)\,\/a,b eG b/ Ta chứng minh: Kerỹ) = T r; (TG là tâm của G) Lấy X 6 Ker <p (p (x) = 0 ad = 0 ( ánh xạ 0 )

<=> adx(ỳ) = 0, VyeG

Vậy: W0(p{ x )oV~ l = aê

wự)-1.8.5 Hệ quả Anh xạ f : G —> Z)erG là một đổng cấu đại soLie.

f ( x ) = a d

CHƯƠNG II ĐẠI

SỐ LIE LŨY LINH •

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm và một số tính chất cơ bảncủa đại số Lie lũy linh Trong suốt chương này, ta luôn giả thiết G là một đại số Liehữu hạn chiều trên trường K có đặc số 0

I ĐẠI SỐ LIE LŨY LINH U($)

Cho đại số Lie G Ta ký hiệu:

= {0} (do G là đại số Lie giao hoán)

b) G là đại số Lie có chiều bằng 3 với cơ sở là cùng với phép nhân:

+ y2 Z d e 2> e ĩì + + ^ 2 ^ 2 ] + y3 Z 3[ e 3> e 3Ỉ

= (> ’l Z 2-> ’2 Z l ) e 3

G, Vy 6 Aị <=> [x,y] 6 A,.+1, Vx 6 G,Vy 6 Aj <=> [G,Al]cAl+1;i=l,2, ,n.

2.3.2 Định lý Với G là một đại so Lỉe thì các phát biếu sau là tương đương:

a) G là đại so Lỉe lũy linh

b) Tồn tại n để [Xị, [ x 2 [ x , X ]Ề Ề Ề ] = 0 , ề Vx 1, x 2, X E G

c) Ton tại một dãy các Iđêan hữu hạn Ẩl,

nằm trong tâm của G/ A +1.

<=> [xp[x2,y2]] = 0 , VXpX2 6 G,Vy2 6 Cn_2 Cứ tiếp tục như

thế ta được [x l7[x27[ 7[x _ Ỉ 7 X ] ] = 0, Vx1,x2, X E G

• (a)=>(c):

G là lũy linh <^> có dãy (C ) và có n e N để c =0 Lấy A =

c■ => G Z) A1 Z) A2 z> Z) A =0

Với xeG,yeC ,i = l và tích Lie trong đại số thương G/A.+1 ta có: [y + C1+1? x+

C1+1] = [[x+y] + C1+1], [x+y] E C1+1 = [Ci+1] = [0] tức là có Af/Af+1 cz T(G/A +1 )■ (Ở đây T(G/A.+1) là tâm của G/A/+1)

• (c)=>(a):

Giả sử có dãy Iđêan thỏa mãn (c), ta chứng minh c cA ; i = l,n và A =0

Dùng bổ đề 1.3.1 ta chứng minh c cA.; i = 1, n bằng quy nạp + Với i = lcóCi = G

= Ai ^>C1cA1 + Giả sử C1_1 c: A1_1 đứng ứiì có C1 = [G,CM] = [G,AM] d AịTheo nguyên lý quy nạp ta được c cA.; i = 1, n

Mà An = 0 =^> Cn = 0 Vậy G lũy linh

2.3.3 Nhận xét Đại soLỉe Heỉsenberg trên M là lũy lỉnh.

Đại số Lie Heisenberg trên M là đại số Lie mà các phần tử của nó là các ma trận có dạng: