Một số tính chất của môđun lọc

Trong luận văn này, dựa vào các tàiliệu tham khảo chúng tôi nghiên cứu lớp môđun thoả mãn tính chất: Mọi hệtham số đều là dãy chính quy lọc.. M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu mọi h

Bộ giáo dục và đào tạo

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN XUÂN TRUNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MễĐUN LỌC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Vinh - 2010

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Vành và môđun địa phương hoá……… 4

1.2 Phổ, giá, độ cao và chiều Krull của môđun……… 5

1.3 Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun………… 7

1.4 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m- adic… 7

1.5 Hệ tham số và hệ tham số thu gọn……… 9

1.6 Dãy chính quy……… 10

1.7 Môđun đối đồng điều địa phương……… 11

1.8 Môđun Cohen-Macaulay……… 11

1.9 Môđun Cohen-Macaulay suy rộng…… 12

Chương 2 Môđun lọc

Mở đầu

Cho (R, m) là vành giao hoán, địa phương, Noether M là một R−

môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M =d Năm 1978, N T Cường, P.Schenzel và N V Trung [5] lần đầu tiên đưa ra khái niệm dãy chính quy lọcđối với môđun như sau: Một dãy các phần tử (x1 , ,x r) của iđêan cực đại m

được gọi là dãy chính quy lọc đối với M (hay còn gọi là f −dãy của M )nếu x i∉ ∀ ∈p, p Ass (M /( x1, ,x i−1) M) \{ }m , với mọi i= 1, ,r Khái niệmnày là một mở rộng trực tiếp của khái niệm dãy chính quy mà ta đã biết từlâu Dãy chính quy lọc ngày càng có nhiều ứng dụng và nó đã chứng tỏ là mộtcông cụ hữu ích trong Đại số giao hoán Trong luận văn này, dựa vào các tàiliệu tham khảo chúng tôi nghiên cứu lớp môđun thoả mãn tính chất: Mọi hệtham số đều là dãy chính quy lọc Lớp môđun này được gọi là môđun lọc haycòn gọi là f −môđun.

Môđun Cohen-Macaulay là lớp môđun quan trọng trong Đại số giaohoán M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu mọi hệ tham số của M

đều là dãy chính quy Nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì M là môđunlọc Thậm chí nếu M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng thì M cũng làmôđun lọc Như vậy lớp các môđun lọc chứa thực sự lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng Tuy nhiên lớp các môđun lọc vẫn có nhiều tính chất tốtgần với môđun Cohen-Macaulay hoặc môđun Cohen-Macaulay suy rộng

Mục đích chính của luận văn này là dựa vào các tài liệu tham khảo màchủ yếu là các tài liệu [8] và [10] để trình bày về các tính chất của môđun lọc

Ngoài phần Mở đầu; Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn đượcchia làm 2 chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày

một số kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán có sử dụng trong luận văn Ngoài

ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có nhằm phục vụ cho các chứngminh ở phần sau

Chương 2: Môđun lọc Chương này là nội dung chính của luận văn.

Trong chương này chúng tôi trình bày định nghĩa, một số tính chất và đặctrưng của môđun lọc, đồng thời xét mối quan hệ giữa lớp môđun lọc và lớpmôđun Cohen-Macaulay suy rộng

Luận văn được hoàn thành vào tháng 11 năm 2010 tại trường Đại họcVinh dưới sự hướng dẫn của cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịpnày tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, người đã hướng dẫn tậntình, chu đáo và nghiêm khắc trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.Cũng nhân dịp này tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trongkhoa Toán và khoa Sau đại học đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập vàhoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn các anh chị, các bạn trong lớp Caohọc khoá 16 - Đại số và Lý thuyết số - Thanh Hoá đã giúp đỡ động viên tácgiả trong suốt quá trình học tập

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi nhữngthiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầygiáo, cô giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 11 năm 2010

Tác giả

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Vành và môđun địa phương hoá

1.1.1 Vành các thương Cho S là tập nhân đóng của vành R Trên tích Đề

các R x S ta xét quan hệ hai ngôi: ( )r s, : (r s,, ,) ⇔ ∃ ∈t S t rs: ( ,−sr,) =0.

Khi đó ∼ là quan hệ tương đương trên R x S Với (r,s) ∈ R x S, ký hiệu r/s là lớp tương đương chứa (r,s) và S -1 R là tập thương của R x S theo quan hệ tương

đương ∼: S -1 R = {r/s | r∈ R, s∈ S }.

Trên S -1 R trang bị hai phép toán là phép cộng và phép nhân, khi đó S -1 R

trở thành một vành và gọi là vành các thương của R theo tập nhân đóng S Mỗi iđêan của vành R có dạng S -1 I = {a/s | a∈ I, s∈ S}, trong đó I là iđêan của

R Ta có S -1 I = S -1 R ⇔ ∩ ≠ ∅I S Do đó S -1 I là iđêan thực sự của S -1 R khi và

chỉ khi I∩ = ∅S

Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R Khi đó S R= \ p là một tập

nhân đóng của vành R Vành S -1 R trong trường hợp này là vành địa phương,

ký hiệu là Rp, với iđêan cực đại duy nhất p pR =S− 1p={a s a/ ∈p,s∈ R p\ }

nên được gọi là vành địa phương hoá của vành R tại iđêan nguyên tố p.

1.1.2 Môđun các thương Cho S là tập nhân đóng của vành R Khi đó ta có

vành các thương S -1 R Trên tích Đề các M x S ta xét quan hệ hai ngôi:

(m s, ) : (m s,, ,) ⇔ ∃ ∈t S t ms: ( ,−sm,) =0 Khi đó ∼ là quan hệ tương đương

trên M x S Do đó M x S được chia thành các lớp tương đương, ta ký hiệu tập

thương của M x S theo quan hệ tương đương ∼ là S -1 M và ký hiệu lớp tương

đương chứa (m,s) là m s/ Như vậy S -1 M = { m s/ | m∈ M, s∈ S }.

Trên S -1 M trang bị phép cộng và phép nhân với vô hướng:

S M− được gọi là môđun địa phương hoá của M tại iđêan nguyên tố p, ký

hiệu là Mp Như vậy Mp có thể xem như là Rp-môđun hoặc là R-môđun.

1.2 Phổ, giá, độ cao và chiều Krull của môđun

1.2.1 Phổ của vành Ký hiệu Spec R là tập tất cả các iđêan nguyên tố của

vành R Khi đó Spec R được gọi là phổ của vành R.

Với mỗi iđêan I của R ta ký hiệu V I( )= ∈{p SpecR p⊇I }

1.2.2 Độ cao của iđêan Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R :

0 ⊃ ⊃ ⊃ 1 n

p p p được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n

Cho p∈Spec R, cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố

với p0 =p được gọi là độ cao của p, ký hiệu là ht( )p Nghĩa là:

( )

ht p = sup {độ dài các xích nguyên tố với p0 =p}

Cho I là một iđêan của R, khi đó độ cao của iđêan I được định nghĩa:

ht I =inf ht p p∈Spec , R p⊇I .

1.2.3 Chiều Krull của mô đun Cận trên của tất cả các độ dài của các xích

nguyên tố trong R được gọi là chiều Krull của vành R , ký hiệu là dim R

Cho M là một R−môđun Khi đó dim(R/ AnnR M) được gọi là chiều

Krull của môđun M, ký hiệu là dim M Chú ý rằng dimM =dimM¶ .

1.2.4 Giá của môđun Tập con Supp M= ∈{p SpecR Mp≠0} của Spec R

được gọi là giá của môđun M.

Với mỗi x M ta ký hiệu∈

Ta có Ann x R và Ann M R (hoặc Ann x và Ann M nếu không để ý đến vành R)

là những iđêan của M Ann M được gọi là linh hoá tử của môđun M Hơn nữa nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì

Supp M V(AnnR M) SpecR AnnR M

Supp M được gọi là catenary nếu với mỗi cặp iđêan p q, ∈SuppR M

mà p q thì luôn tồn tại một dãy nguyên tố bão hoà xuất phát từ q kết thúc⊇

tại p và tất cả các dãy nguyên tố bão hoà như thế đều có chung độ dài

Supp M được gọi là đẳng chiều nếu dim /R p=dimR M với mọi iđêan

cực tiểu p∈Supp ( )R M .

1.2.5 Mệnh đề Các điều kiện sau là tương đương:

(i) Supp R M là catenary;

(ii)ht /(p q) =dim /R q−dim /R p với mọi cặp p q trong Supp⊇ R M ;

(iii) dim /R q=dim /R p+1 với mọi cặp p q trong Supp⊃ R M mà

1.3 Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun

1.3.1 Định nghĩa Cho M là một R−môđun ta gọi iđêan nguyên tố p của

R là một iđêan nguyên tố liên kết của M nếu một trong hai điều kiện tương

đương sau được thoả mãn:

(i) Tồn tại phần tử x M sao cho ∈ Ann x( ) = p;

(ii) M chứa một môđun con đẳng cấu với R/p

Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được ký hiệu là AssR M hoặc

Ass M nếu không để ý đến vành R Như vậy

AssM SpecR Ann , víi x x M

1.3.2 Mệnh đề Ass M ⊆Supp M và mọi phần tử tối tiểu của Supp M đều thuộc Ass M

1.3.3 Mệnh đề Nếu M là R−môđun Noether thì Ass M là tập hợp hữu hạn.

Ký hiệu AsshR M = ∈{p AssR M dimR R/p=dimR M} Khi đó ta có các

Cho (R,m) là một vành địa phương Ta xét R như một vành tôpô với cơ

sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan mt , với t = 0,1,2 Chú ý rằng cơ sở lân

cận của một phần tử tuỳ ý r R∈ gồm các lớp ghép r+mt với t = 0, 1,2 Khi đó vành đầy đủ theo tôpô m adic của R ký hiệu bởi − µR được định nghĩa

bằng cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy như sau: Một dãy Cauchy trong R là một dãy ( )r n các phần tử của R sao cho với mọi t > 0, tồn tại số tự

Hai dãy Cauchy ( )r n và ( )s n được gọi là hai dãy tương đương, ký hiệu

là ( ) ( )r n : s n nếu dãy (r n −s n) là dãy không Khi đó quan hệ ∼ trên tập cácdãy Cauchy là quan hệ tương đương Ta ký hiệu µR là tập các lớp tươngđương của các dãy Cauchy

Chú ý rằng nếu ( )r n và ( )s n là các dãy Cauchy thì các dãy (r n +s n) ,(r s n n) cũng là các dãy Cauchy và lớp tương đương của các dãy (r n+s n) ,(r s n n) là không phụ thuộc vào việc chọn các đại diện của các lớp tương

đương của các dãy ( )r n và ( )s n , tức là nếu ( )r n : ( )r n, và ( )s n : ( )s n, thì

(r n +s n) : (r n, +s n, ) và (r s n n) : ( )r s n n, , Vì thế µR được trang bị hai phép toánhai ngôi + và đồng thời cùng với hai phép toàn này, µR lập thành một vành.Mỗi phần tử r R∈ có thể đồng nhất với lớp tương đương của dãy Cauchy mà

tất cả các phần tử trong dãy đều là r Vì thế ta có một đơn cấu tự nhiên giữa

trong đó ( )r là dãy mà tất cả các phần tử của nó đều là r.

Định nghĩa tương tự cho môđun M với cơ sở lân cận của phần tử 0 là

{mt M} Khi đó ¶M là một µR-môđun với phép nhân vô hướng như sau: cho

= 1, , 2 ∈

a a a R , x =(x x1, , 2 )∈µM Ta có ax=(a x a x1 1, 2 2, )∈M µ

1.5 Hệ tham số và hệ tham số thu gọn

1.5.1 Định nghĩa Cho R là một vành giao hoán, địa phương, Noether vớiiđêan cực đại duy nhất m; M là một R môđun hữu hạn sinh có chiều Krull−

dimM d= >0

(i) Một hệ gồm d phần tử x:=(x1, ,x d) của m được gọi là hệ tham số của

M nếu l M x( /( 1, , x M d ) ) < ∞.

(ii) Iđêan sinh bởi một hệ tham số gọi là iđêan tham số.

(iii) Nếu x:=( x1, ,x d) là một hệ tham số của môđun M thì hệ các phần tử

1, , i

x x được gọi là một phần của hệ tham số với mọi i = 1,…,d-1.

Sau đây là một số tính chất cơ bản của hệ tham số cần dùng trong luậnvăn

1.5.2 Mệnh đề (i) Mọi hoán vị của một hệ tham số của môđun M cũng là một hệ tham số của M

(ii) Nếu x:=( x1, ,x d) là một hệ tham số của môđun M và n:=(n1, ,n d) là một bộ gồm d số nguyên dương thì ( ) ( 1 )

1 : n, , n d

1.5.3 Định nghĩa Một hệ tham số x:=(x1, ,x d) của M được gọi là hệ tham

số thu gọn nếu với mọi i=1,…,d ta có x i∉ ∀ ∈p p, Ass /M x( 1, ,x i−1)M

mµ dim /R p≥ −d i.

1.6 Dãy chính quy

1.6.1 Định nghĩa Dãy các phần tử x1, , x r ∈ m được gọi là dãy chính quy

hay còn gọi là M−dãy nếu các điều kiện sau được thoã mãn:

(ii) Phần tử x không là ước của 0 trong i M x/( 1, ,x i− 1 )M, ∀ =i 1, ,r ;

(iii) x i∉ ∀ ∈p, p Ass(M /(x1, ,x i−1) M), ∀ =i 1, ,r

Cho I là một iđêan tuỳ ý của R và ( x1, ,x là một r) M −dãy trong I Khi

đó ( x1, ,x được gọi là dãy chính quy cực đại trong I nếu không tồn tại r)

y I∈ sao cho ( x1, , ,x y là dãy chính quy trong r ) M Ta biết rằng mọi dãy

chính quy cực đại trong cùng một iđêan I đều có cùng độ dài Do đó độ dài

của một dãy chính quy cực đại trong iđêan I được gọi là độ sâu của M đối với iđêan I, ký hiệu depth I M Đặc biệt, nếu I m thì depth M= m được gọi

là độ sâu của M và ký hiệu là depth M

Nếu ( x1, ,x là một dãy chính quy của M thì nó cũng là một phần hệ r)

tham số của M Do đó depth M ≤dimM.

1.7 Môđun đối đồng điều địa phương

Cho a là một iđêan của R Khi đó môđun đối đồng điều địa phương( )

(ii) Hmi ( )M là R-môđun Artin với mọi i∈ ¢ Hơn nữa Hmi ( )M =0 với mọi

i t< hoặc i t> Đặc biệt Hmd ( )M luôn là vô hạn sinh khi d > 0.

1.8.3 Mệnh đề Cho M là một R-môđun Cohen-Macaulay khi đó ta có:

(i) dim R/ p =d, ∀ ∈ p AssR M ;

(ii) Nếu (x1, ,x là dãy chính quy của i) M thì M x/( 1, , x M cũng là i )

môđun Cohen-Macaulay;

(iii) Mp là môđun Cohen-Macaulay với mọi p∈Supp M .

1.8.4 Mệnh đề M là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi H Mmi ( ) =0 với

mọi i ≠ d.

Cho x=(x1, ,x d) là một hệ tham số của M Ký hiệu

M

I x =l M xM −e x M thì I M( )x ≥ 0 Đặt I M( ) = supX I M( )x với x chạy

trên tập các hệ tham số của M Khi đó ta có mệnh đề sau

1.8.5 Mệnh đề Các phát biểu sau là tương đương:

(i) M là môđun Cohen-Macaulay;

(ii)Tồn tại một hệ tham số x=(x1 , ,x d) của M để I M( )x = 0;

(iii) Với mọi hệ tham số x=(x1 , ,x d) của M thì I M( )x = 0;

(iv) I M( ) =0.

1.9 Môđun Cohen-Macaulay suy rộng

1.9.1 Định nghĩa M được gọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng nếu

( )

I M < ∞.

1.9.2 Mệnh đề M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi

( i ( )) ,

R

l H Mm < ∞ ∀ ≠i d

1.9.3 Mệnh đề Nếu M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng thì với mỗi phần

hệ tham số ( x1, ,x của M ta có r) dim /R p= −d r hoặc p= m, với mọi

2.1.1 Định nghĩa Cho ( x1, ,x là một dãy các phần tử thuộc iđêan cực đại r)

m Khi đó ( x1, ,x được gọi là một dãy chính quy lọc (hay gọi tắt là r) f −

dãy) của M nếu thoả mãn ( x1, ,x i−1) M: M x i ⊆(x1, ,x i−1) M:M< >m , với

mọi i =1, 2, ,r , trong đó

( 1, , −1) : < >= ∈m { mn ⊆( , ,1 −1) , ∈¥}

2.1.2 Nhận xét (i) Cho a là một phần tử của iđêan cực đại m Các điều kiện

sau là tương đương:

(a) a là phần tử lọc trên M Nói cách khác: 0 :M a=0 :M< >m ;

(b) l R(0 :M a) < ∞;

(c) a∉p với mọi p∈AssR( ) { }M \ m ;

(d) 0 :M a H M⊆ 0( )

m .

(ii) (x1, ,x là dãy chính quy lọc của M khi và chỉ khi r)  ÷

2.1.3 Mệnh đề (i) ( x1, ,x là dãy chính quy lọc của M khi và chỉ khi nó r)

là dãy chính quy lọc của môđun thương M H/ 0( )M

(ii) Giả sử ( x1, ,x là một dãy chính quy lọc của M Khi đó với mọi r) n≥1

luôn tồn tại phần tử y∈m sao cho n ( x1, , ,x y là một dãy chính quy lọc của r )

Với r > 0 Nếu dim =0 M thì dim /M x( 1, ,x M r) =sup{dimM r− ;0}

=0 Nếu dimM >0 thì x là phần tử chính quy của 1 M H/ 0( )M

m Khi đó

( ) { }

Ass M H/ 0 M = Ass M \

m m , điều này chỉ ra rằng x không thuộc tất cả1

các iđêan nguyên tố tối tiểu của M Đặt M' :=M x M/ 1 thì dimM'=

dim M −1 và chúng ta dễ dàng quy nạp được kết quả sau:

dim / , , dim '/ , ,sup{dim ' ( 1); 0}=sup{dim ; 0}

2.1.4 Mệnh đề Cho M là một R−môđun Noether, nếu ( x1, ,x là một r)

phần của hệ tham số của M thì tồn tại (y1, ,y là một dãy chính quy lọc r)

của M sao cho ( x1, ,x R r) =( y1, ,y R r)

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo r

Với r = 0 thì hiển nhiên đúng Giả sử r≥1 và ( x1, ,x r−1) R=(y1, y r−1)R ,

với ( y1, ,y r− 1) là dãy chính quy lọc của M Bây giờ chúng ta chọn.

2.1.5 Định nghĩa Một R−môđun hữu hạn sinh M có chiều dương được gọi

là một môđun lọc hay còn gọi là f −môđun nếu mọi hệ tham số của M đều làdãy chính quy lọc trong M

Vành địa phương R được gọi là một vành lọc hay còn gọi là f-vành nếu

R là môđun lọc trên chính nó.

2.2 Một số tính chất và đặc trưng của môđun lọc

Ta biết rằng x:=( x1, ,x d) là một hệ tham số của M khi v chà ỉ khi x

là hệ tham số của M H/ 0( )M

m Vì vậy từ Mệnh đề 2.1.3 ta có ngay hệ quảsau