Một số tính chất của môđun mở rộng và p mở rộng luận văn thạc sĩ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTHÁI VĂN THÁI MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN MỞ RỘNG VÀ P-MỞ RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... NGHỆ AN – 2012BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI VĂN THÁI MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA M

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÁI VĂN THÁI

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN

MỞ RỘNG VÀ P-MỞ RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN – 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÁI VĂN THÁI

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN

MỞ RỘNG VÀ P-MỞ RỘNG

CHUYÊN NGÀNH:ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS NGÔ SỸ TÙNG

NGHỆ AN – 2012

MỤC LỤC

Trang Bảng ký hiệu………2

Lời nói đầu ……… 3

Chương I Kiến thức cơ sở ……… 5

1.1 Môđun con cốt yếu ……… 5

1.2 Môđun con đóng và phần bù……… 10

Chương II Môđun mở rộng và p-mở rộng……….17

2.1 Môđun mở rộng……… 17

2.2 Môđun p-mở rộng……….24

Kết luận ……….31

Tài liệu tam khảo ………32

M N : M là môđun thương của môđun N.

M N : Hai môđun M và N đẳng cấu với nhau

M N : Tổng trực tiếp của hai môđun M và N

I Mi

 : Tổng trực tiếp của các môđun (M i i I) .

N M : N là môđun con của môđun M

e

N  M : N là môđun con cốt yếu của môđun M

N  M : N là hạng tử trực tiếp của môđun M

dim( )

u M : Chiều đều của môđun M.

□ : Kết thúc một chứng minh

LỜI NÓI ĐẦU

Cùng với sự phát triển của toán học hiện đại nói chung, lý thuyết môđun

đã được các nhà toán học rất quan tâm và đã đạt được nhiều kết quả

Vào năm 1977, Chatters và Hajarnavis đưa ra khái niệm CS-môđun (Extending Module) Khi các lớp CS-môđun ra đời thì lý thuyết môđun đã

phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu

lý thuyết vành Đặc biệt, Đinh Văn Huỳnh, P F Smith, R Wisbauer,

A Harmanci, Nguyễn Việt Dũng, Ngô Sỹ Tùng,…là những người nghiên cứu

và đạt nhiều kết quả nhiều về CS-môđun.

Lớp (1-C 1 )-môđun là mở rộng thực sự của lớp CS-môđun và hiện nay lớp CS-môđun đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước nghiên cứu.

Một môđun M thoả mãn điều kiện (C1) nếu với mọi môđun con của M là cốtyếu trong một hạng tử trực tiếp của M và ta gọi môđun thoả mãn điều kiện(C1) là CS-môđun.

Một môđun M được gọi là p-mở rộng nếu mọi môđun con cyclic của M

là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M Như vậy rõ ràng lớp CS-môđun

là môđun p-mở rộng.

Luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo [5] của M A Kamal and O A

Elmnophy (2005), On P-extending modules, Acta Math, Univ Comenianae,

Vol LXXIV, 2, pp.279-286 làm tài liệu chính để nghiên cứu một số tính chất

của môđun mở rộng và p-mở rộng.

Vì vậy, đề tài của luận văn là: Một số tính chất của môđun mở rộng và

p-mở rộng.

Ngoài lời mở đầu, mục lục, tài liệu tham khảo và kết luận, luận văn đượcchia làm 2 chương :

Chương I Kiến thức cơ sở

Chương II Môđun mở rộng và p-mở rộng.

Luận văn bắt đầu thực hiện từ tháng 3 năm 2012 và hoàn thành tại trườngĐại học Vinh dưới sự hướng dẫn của PGS TS Ngô Sỹ Tùng

Tác giả bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến PGS TS hướng dẫn,thầy đã tận tình dìu dắt, chu đáo, đã giúp tác giả độc lập suy nghĩ, vững tintrong bước đường đầu nghiên cứu khoa học, đã dành cho tác giả những ý kiếnchỉ đạo quý báo và đặc biệt là sự động viên trong suốt quá trình học tập cũngnhư làm luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến quý Thầy Cô khoa Toán trườngĐại học Vinh, Phòng đào tạo sau đại học trường Đại học Vinh, phòng quản líkhoa học và sau đại học trường Đại học Đồng Tháp đã động viên giúp đỡ tácgiả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ban lãnh đạo SGD và Đào tạoĐồng Tháp và đồng nghiệp đã luôn động viên, tạo điều kiện thuận lợi cho tácgiả hoàn thành luận văn theo đúng kế hoạch

Mặc dù đã rất cố gắng, tuy nhiên do nhiều nguyên nhân, luận văn sẽ khôngtránh khỏi những sai sót, tác giả mong được sự góp ý chân thành của quýThầy Cô và các bạn

Nghệ An, tháng 10 năm 2012 Tác giả

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chương này hệ thống lại một số kiến thức cơ sở cần thiết để phục vụ choviệc chứng minh luận văn trong các chương sau Tất cả các vành trong luậnvăn này đều giả thiết là vành có đơn vị, kí hiệu là 1 và các môđun là các R- môđun phải unita.

1.1 Môđun con cốt yếu

1.1.1 Định nghĩa Cho R là một vành và M là một R-môđun phải Xét A là

môđun con của M

Môđun con A gọi là cốt yếu (essential) trong M nếu với mọi môđun con

B khác không của M thì AB0, kí hiệu Ae M

Nếu A là môđun con cốt yếu của M thì ta nói rằng M là mở rộng cốt yếu (essential extension) của A.

f) Cho f M: ®N là đồng cấu môđun và B£e N thì f- 1 (B)£e M

Nếu X+A/A 0 và N/A e M A/ suy ra X  A / AN / A 0 ,  n A 0 :

Trường hợp 2 ( ) 0, ( )f X  f X N Do Be N nên B f(X) 0

Ta có 1

2( )

0

n i i

1.1.4 Bổ đề Zorn Giả sử ( , ), XX   là một tập sắp thứ tự thoả mãn điều

kiện: Mọi xích của X đều có cận trên thế thì X có phần tử tối đại, nghĩa là tồn tại a X mà a x x , X thì  x a

 e

Chứng minh Gọi S{ /X X M X A ,  0} Dùng Bổ đề Zorn ta có

0 vì 0 S.

S Ta sắp thứ tự theo quan hệ  Lấy một tập con sắp thứ tự

tuyến tính (toàn phần) của S là X1 X2   X n  Khi đó





1

n i i

Ta chứng minh B S Thật vậy, nếu x A B suyra x B   do đó x Xk và

ta có x X k A 0  (Xk S) Vì vậy x 0.

Vậy mọi tập con sắp thứ tự tuyến tính đều có cận trên

Theo Bổ đề Zorn, suy ra S có phần tử tối đại là T suy ra AT=0 và tồn tại

1.1.6 Định nghĩa Cho vành R và U là R-môđun phải Môđun U được gọi là

môđun đều (uniform module) nếu U 0 và AB 0 với mọi môđun con

khác không A, B của U Hay nói cách khác, U là đều nếu U khác không và mọi môđun con khác không là cốt yếu trong U.

1.1.7 Định nghĩa Số tự nhiên n được gọi là số chiều đều của môđun M nếu

tồn tại hữu hạn n môđun con đều U i của M sao cho



1

n e i

i U M, kí hiệu

udim(M) = n .

(Người ta đã chứng minh số tự nhiên n như vậy là bất biến)

Nếu không tồn hữu hạn các môđun con đều thoả mãn điều kiện trên thì tađịnh nghĩa số chiều đều của môđun trên là , kí hiệu là udim (M) =.

Nhận xét: u dim( M ) 0= Û M = 0

1.1.8 Định nghĩa Cho vành R, ta nói R có chiều đều phải (trái) hữu hạn nếu

môđun R R (tương ứng R R ) có chiều đều hữu hạn.

1.2 Môđun con đóng và phần bù

1.2.1 Định nghĩa Cho R là một vành và M là R-môđun phải Xét N là môđun

con của môđun M.

(a) Môđun con N được gọi là đóng (closed) trong M nếu N không có một

mở rộng cốt yếu thực sự trong M Nói cách khác, N được gọi là đóng trong M

nếu với mọi môđun con K 0 của M mà N e K thì K=N.

(b) Một môđun con K của M được gọi là bao đóng (closure) của môđun

N trong M nếu K là môđun tối đại trong M sao cho N cốt yếu trong K.

A, B là các môđun con đóng của M Hay hạng tử trực tiếp là môđun con đóng.

1.2.3 Định nghĩa Môđun M được gọi là môđun mở rộng (hay tương ứng n –

mở rộng ) nếu mỗi môđun con đóng A của M ( tương ứng udim( )A n)là một

hạng tử trực tiếp của M Hay nói cách khác, M gọi là mở rộng (hay tương ứng

n –mở rộng ) nếu mỗi môđun con A của M ( tương ứng udim( )A n) là cốt

yếu trong một hạng tử trực tiếp của M.

con EC-đóng của M nếu N là môđun con đóng và có một môđun con cyclic cốt yếu trong N Hay nói cách khác, N được gọi là môđun con EC-đóng của

M nếu N là môđun con đóng và tồn tại x N sao cho xRÎ cốt yếu trong N.

1.2.5 Định nghĩa Giả sử M là R-môđun và A, B là hai môđun con của M.

1) Môđun con B của M được gọi là phần bù cộng tính đối với A trong M nếu B là môđun tối tiểu trong các môđun con của M có tính chất A+B=M.

2) Mơđun con B của M được gọi là phần bù theo giao của A trong M nếu B là mơđun tối đại trong các mơđun con của M cĩ tính chất B A 0.

và chỉ khi B đồng thời là phần bù cộng tính và phần bù theo giao của A trong M.

Chứng minh ( ) Trực tiếp suy ra từ định nghĩa

( ) Giả sử M A B  và C là mơđun con của B cĩ tính chất

A+C=M Theo luật mođunlar ta cĩ

(A B C ) (A C )B M B B   .

phần bù cộng tính đối với A trong M

Bây giờ nếu B E v A E à  0 với mơđun con E của M Khi đĩ theo luậtmođunlar, ta cĩ

(A E )B(A B )E M E E mà    B E nên B=E v A Eà  0

Vậy mơđun con B của M là phần bù theo giao của A trong M □

1.2.7 Mệnh đề Khái niệm đĩng và bù giao là tương đương (tức là nếu K là

mơđun con đĩng thì K là phần bù theo giao trong M và ngược lại).

Chứng minh Giả sử K đĩng, ta chứng minh K là phần bù theo giao trong M

Xét  {X M X K /  0}do 0  0.

Sắp thứ tự theo quan hệ  ta kiểm tra được  thỏa mãn Bổ đề Zorn Suy ra

 cĩ phần tử tối đại, ký hiệu A.Từ đĩ ta chứng minh được K là phần bù theogiao của A trong M

Ngược lại, giả sử K là phần bù theo giao của A trong M Ta chứng minh Kđĩng

Thật vậy , giả sử K e X M Chứng minh X=K.

Do K là phần bù theo giao nên tồn tại A M để A K 0 và K là tối đại cĩtính chất đĩ

Ta có X A=0 V nếu ì X A 0 a X a A a 0 aR X aR A

Điều này mâu thuẫn với tính tối đại của K với tính chất K A 0 

 X K

Vậy K đóng □

1.2.8 Mệnh đề Nếu K là môđun con của M và L là phần bù theo giao của K

trong M Khi đó

1) L là môđun con đóng trong M;

2) L K là môđun con cốt yếu của M

Chứng minh 1) Theo Mệnh đề 1 2 6.

2) Ta cần chứng minh rằng L K e M

Thật vậy, lấy N M N , 0. Nếu N (K L )0 thì NL=0, do đó(N L )K 0 (vì n+ =k thì n=k- hay nl l N và n K Lvà do đó n=0 và

k-l=0) Lúc đó theo tính chất tối đại của L thì N L L  hay N=0 Điều này

mâu thuẫn với giải thiết N 0

Vậy N (K L )0 hay L K e M .

□

1.2.9 Bổ đề Giả sử M là một R-môđun Khi đó

1) Cho A là một môđun con tùy ý của M Nếu A đóng trong hạng tử trực tiếp của M thì A đóng trong M;

2) Mọi hạng tử trực tiếp của M đóng trong M.

Chứng minh 1) Giả sử M M 1M và A đóng trong M1.2 Ta chứng minh Ađóng trong M Thật vậy, xét phép chiếu  : M1M2  M Giả sử

e

A  B M  Ta chứng minh A B Ta có A M suy ra A M 1  2 0 vì

2) Giả sử A là hạng tử trực tiếp của M ta có M  A B.

Lấy N£ M sao cho A£e N Khi đóA BÇ £e N BÇ

Từ đó 0£e N BÇ suy ra N BÇ =0 Xét phép chiếu :AB A , ta cóker(p = mà B) 0 N BÇ =0 nên NÇker( ) 0p = nên B p là đơn cấu.Vì thế N

nhúng đơn cấu vào môđun A mà A N£ suy ra A N=

Vậy A đóng trong M □

1) Cho M là một R-môđun phải Ta xét các điều kiện sau:

1

( )C Mỗi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M Nói

cách khác, mọi môđun con đóng của M là hạng tử trực tiếp của M

2

( )C Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và A là hạng tử

trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M

Ta kiểm tra điều kiện ( )C2

Chọn A=2 Ta có φ : Z  2Z,n φ(n)= 2n là một đẳng cấu , nghĩa là

Vậy Z không thỏa mãn điều kiện ( )C2 □

Ta kiểm tra điều kiện ( )C3 Cho ,A B Z A B 0.

Vậy Z thỏa mãn điều kiện ( )C3 □

(b) Xét Z là 2 Z -môđun Cho A là môđun con của Z và 2 A B  Z2

Vậy Z là 2 Z -môđun thỏa mản điều kiện ( )C2 □

-môđun) nếu M thoả mãn điều kiện ( )C1 (tương ứng (1 C1))

(b) Môđun M gọi là liên tục nếu M thoả mãn các điều kiện ( )C1 và ( )C2 .

(c) Môđun M gọi là tựa liên tục nếu M thoả mãn các điều kiện ( )C1 và ( )C3

(e) Môđun M gọi là môđun đếm được  - CS (tương ứng đếm được

(b) Ta có sơ đồ kéo theo sau đây là đúng:

Nội xạ  Tựa nội xạ  liên tục  Tựa liên tục  CS  (1 C1)Chiều ngược lại nói chung không đúng

(c) Nếu M là R-môđun trái nội xạ thì M thỏa mản điều kiện ( )C1 và ( )C2 .

(d) Hạng tử trực tiếp của một môđun thỏa mãn điều kiện C i  i ( 1,2,3)

cũng thỏa mãn điều kiện C i

Ta có  B : B C là đơn cấu Vì   b d f B: B( ) 0b  suy ra f 0 do

đó b d B  A0 suy ra b=0 nên ker( B) 0 , do đó B( )B

Vì M thỏa mãn điều kiện ( )C2 và B  M ( )B  M.

2.1.1 Định nghĩa Môđun M được gọi là môđun mở rộng (extending module)

hay CS-môđun nếu M thoả mãn điều kiện (C 1 ).

2.1.3 Bổ đề Hạng tử trực tiếp của CS-môđun cũng là CS-môđun.

Chứng minh Giả sử M là CS-môđun, N là hạng tử trực tiếp của M Ta chứng minh N là CS-môđun

Thật vậy, xét T là môđun con đóng của N Khi đó, T đóng trong M Vì M là CS-môđun nên T Å N

£ , nghĩa là M = ÅT X, với môđun con X nào đó của

M Theo luật Mođunlar, ta có: N= ÇN M = Ç ÅN (T X)= ÅT (N XÇ ).

Do đó, T Å N

£ , bởi vậy N là CS-môđun □

Chứng minh Giả sử M là CS-môđun, theo định nghĩa CS-môđun mỗi môđun con của M cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M, từ đó dẫn đến M là (1-

C 1 )-môđun (theo 1 2 10).

2.1.5 Bổ đề Giả sử M là môđun nào đó Khi đó, ta có:

i) Cho A là môđun tuỳ ý của M Nếu A đóng trong một hạng tử trực tiếp của

M thì A đóng trong M ;

ii) Hạng tử trực tiếp của M đóng trong M.

Chứng minh i) Giả sử M =M1 ÅM2 và A đóng trong M1 Ta chứng minh A

đóng trong M

Thật vậy, xét phép chiếu p:M1 ÅM2 ®M1 Giả sử A£e B£ M , Ta chứng

minh A=B Ta có A M£ 1 suy ra A MÇ 2=0 vì thế π A là một đơn cấu.

Do đó A=p( )A £e p( )B £ M1 Vì A đóng trong M1 nên p( )B = £A B cho nên(1- p)( )B £ B suy ra(1- p)B BÇ = mà ta có 0 A£e B suy ra

Chứng minh Giả sử A£Å M hay M = Å , M thoả (1-C A B

1 )-môđun

Ta thấy A đóng trong M, ta chứng minh A là (1-C 1 )-môđun.Thật vậy, lấy bất

kì môđun T đều đóng trong A, do A đóng trong M và sử dụng Bổ đề 2 1 5, ta

có T đóng trong M mà M là (1-C 1 )-môđun nên T£ Å M suy ra M = ÅT K ,

K£ M Mặt khác, M = ÅA B và T £ A suy ra tồn tại C= Ç £A K M thoả

mãn ( A K ) TÇ Ç ={ }0 nên A KÇ +T =A suy ra A ( A K ) T= Ç Å hay

A C T suy ra T= Å £Å A.

Vậy A là (1-C 1 )-môđun.

cũng là (1-C 1 )-môđun.

Chứng minh Giả sử N là môđun con đóng của M và U là môđun con đóng

đều nào đó của M ( do môđun con A đóng trong môđun con B mà môđun Bđóng trong môđun C thì môđun A đóng trong môđun C)

Khi đó U đóng trong M

Vì M là (1-C 1 )-môđun nên U là hạng tử trực tiếp của M, nghĩa là M = ÅU X

với X là môđun con nào đó của M Vì U £ N nên theo luật Mođunlar, ta có

N U ( X N )= Å Ç .

Như vậy U là hạng tử trực tiếp của N hay N là (1-C 1 )-môđun □

của M, trong đó X là hạng tử trực tiếp của M và U là môđun đều Khi đó

X UÅ là hạng tử trực tiếp của M.

Chứng minh Vì A là hạng tử trực tiếp của M ,do đó M = ÅX M 1, với M1 là

môđun con của M

Gọi p : M ®M1 là phép chiếu tự nhiên Giả sử V là mở rộng cốt yếu của

hay X UÅ £p-1 (V ) X V£ Å (*) Ta sẽ chứng minh rằng X UÅ cốt yếutrong X VÅ

Thật vậy, gọi Z=( X U ) VÅ Ç Lấy x u X U , u 0+ Î Å ¹ Theo (*) ta có

x u X V hay x u+ Î Å + = +x' v nênv= -x x' và v 0 n suy ra Z¹ ên ¹ 0 Bởi

vì V đều nên Z£e V Từ đó ta có XÅ £Z e X VÅ màXÅ £Z X UÅ nên

e

X UÅ £ X VÅ Theo giả thiết X UÅ là đóng nên X UÅ =X VÅ Vì

1

M = ÅX M và V là hạng tử trực tiếp của M1 nên M = Å ÅX V M 2, với M2

là môđun con của M1 suy ra X VÅ là hạng tử trực tiếp của M, nghĩa là

X UÅ là hạng tử trực tiếp của M □

2.1.9 Mệnh đề Giả sử M =M 1ÅM 2, với M1, M2 là các (1-C 1 )-môđun Khi

đó M là (1-C 1 )-môđun nếu và chỉ nếu mọi môđun con đóng đều K của M là hạng tử trực tiếp của M, trong đó K MÇ 1= hoặc 0 K MÇ 2=0.

Chứng minh Giả sử M là (1-C 1 )-môđun Khi đó K£ M là môđun con đóngđều thoả mãn K MÇ 1= hoặc 0 K MÇ 2=0 Rõ ràng K là hạng tử trực tiếpcủa M

Ngược lại, nếu mọi môđun con đóng đều K với K MÇ 1=0hay K MÇ 2= là0

hạng tử trực tiếp của M Ta chứng minh M là (1-C 1 )-môđun.

Giả sử L là môđun con đóng đều của M khi đó tồn tại phần bù H trong L saocho 2

e

L MÇ £ H , ta có H đóng đều trong M Theo giả thiết thì H MÇ 1=0nên M = ÅH H ' với H’ là môđun con nào đó của M.

Theo luật Mođunlar ta có L= ÅH ( L H ')Ç Hơn nữa, L H 'Ç đóng trong L,

L đóng trong M nên L H 'Ç đóng trong M

Vì vậy theo giả thiết ( L H ') MÇ Ç 2 = , do đó 0 L HÇ là hạng tử trực tiếp của

H’, nghĩa là H ' ( L H ) X= Ç Å với X là môđun con của H’ Mà M = ÅH H '

suy ra M = ÅH ( L H ') XÇ Å = ÅL M hay L là hạng tử trực tiếp của M.

Vậy M là (1-C 1 )-môđun □