Hình học vi phân của mặt cầu trong e3

Lời Mở Đầu Nói đến hình học vi phân là nói đến hình học vi phân cổ điển, là hình học nghiên cứu các đối tợng quen thuộc trên không gian đơn giản nhất, đó là đờng và mặt trong không gian

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh

Mục lục

Mục lục……….1

Mở đầu……… …….2

Chơng 1: Một số kiến thức chung về đờng và mặt trong E3 4

Đ1 Đờng trên En……… 4

Đ2 Mặt trong E3 ……… 5

Đ3 ánh xạ giữa các mặt……… 6

Chơng 2 hình học vi phân của mặt cầu trong E3 ………

Đ1 Một số yếu tố hình học trên mặt cầu………

Đ2 Một số đờng trên mặt cầu……….

Đ3 Phép biến đổi đẳng cự trên mặt cầu………

Đ4 Siêu cầu trong không gian Ơclit n chiều…………

Kết luận……….

Tài liệu tham khảo………

Lời Mở Đầu

Nói đến hình học vi phân là nói đến hình học vi phân cổ điển, là hình học nghiên cứu các đối tợng quen thuộc trên không gian đơn giản nhất, đó là đờng và mặt trong không gian Euclid hai, ba chiều.

Trên cơ sở các kiến thức chung về đờng trên mặt và mặt (đa tạp Riman hai chiều), đề tài nhằm nghiên cứu tính chất về hình học

và tôpô của mặt cầu; các đờng đặc biệt trên mặt cầu và một số yếu

tố của hình học cầu Với mục đích đó, chúng tôi đã trình bày một cách chi tiết và có hệ thống các kiến thức về một số yếu tố hình học trên mặt cầu, các đờng trên mặt cầu, đồng thời nêu lên các phép biến đổi trên mặt cầu, chúng tôi cũng đa ra một số mở rộng cho siêu cầu trong không gian Ơclit n chiều

Nội dung chính của luận văn đợc trình bày trong hai chơng:

Chơng I: Một số kiến thức chung về đờng và mặt trong E3

Trong chơng này chúng tôi trình bày các khái niệm về đờng, mặt,

ánh xạ giữa các mặt và một số tính chất cơ bản để phục vụ cho việc trình bày chơng sau.

Chơng II: Hình học vi phân của mặt cầu trong E3

Đây là chơng trọng tâm của luận văn với các nội dung sau:

Đ1 Một số yếu tố hình học trên

Đ2 Một số đờng trên mặt

Đ3 Các phép biến đổi trên mặt cầu

Đ4 Một số mở rộng cho siêu cầu trong

không gian Ơclid n chiều

Vì năng lực và thời gian có hạn nên luận văn này không thể tránh khỏi những thiếu sót Rất mong các thầy cô và các bạn vui lòng góp ý.

Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo, Tiến sĩ Phạm Ngọc Bội và Tiến sĩ Nguyễn Duy Bình cùng sự giúp

đỡ, động viên của các thầy, cô trong tổ bộ môn Hình học Tôpô, –

Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau đại học trờng Đại học Vinh cùng các bạn học viên lớp cao học 13 Hình học.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô và các bạn

Vinh, tháng 11 năm 2007

Nguyễn Thị Thu Nga

Chơng i Một số kiến thức chung về đờng và mặt

trong E 3 Đ1 Đờng trên En

1.1 Định nghĩa Γ ⊂S (mặt S⊂ Εn) gọi là cung nếu tồn tại :r J⊂ R → S saocho Γ =r( )J Khi đó r cũng đợc gọi là tham số hoá của cung Γ

Điểm t o∈J sao cho r′( )t o ≠ 0 đợc gọi là điểm chính quy

Nếu r′( )t o = 1, ∀t thì r đợc gọi là tham số hoá tự nhiên

1.2 Định nghĩa Cho cung Γ xác định bởi tham số hoá :r J → S

Trờng vectơ Χ dọc Γ là phép đặt tơng ứng mỗi t ∈J một vectơ Χ( )t ∈ Τr( )t S

) ( )

ρ Nếu các tổng đó có cận trên

với mọi phép chia nh vậy thì nói cung tham số đó có độ dài cung ( còn nói khả trờng ) và độ dài cung đó là cận trên ấy Nói một cách hình học: độ dài cung đó

là cận trên của độ dài mọi đờng gấp khúc nội tiếp cung tham số

1.1.2 Định lý Nếu ρ :[ ]a,b → Εn khả vi lớp C 1 thì có độ dài cung và độ dài

b a

ρ và cũng khi và chỉ khi ρ có đạo hàm hầu khắp nơi ρ′ với

hàm số t ρ ′(t) khả tích Lơbe và khi có độ dài cung là t dt

b a

∫ ρ ′ ( )

b Nếu hai cung tham số ρ :[ ]a,b → Εn, t ρ(t) và r:[ ]a~,b~ → Εn, u  r (u) đều khả vi lớp C1 bởi λ :t u= λ (t), ρ =r λ thì độ dài cung của chúng bằng nhau theo định nghĩa ( hình học ) của độ dài cung nói trên hoặc do công thức đổi biến số của tích phân: do λđồng biến nên

du u r dt t t

r dt t r

dt

t

b a

b a

b a

( )) ( ( )

( ) ( )

Từ đó nếu định nghĩa cung đoạn là cung xác định bởi các cung tham số xác

định trên đoạn thẳng ( đóng, bị chặn trong R ) thì có thể nói đến độ dài của cung đoạn nh thế (luôn giả thiết khả vi lớp Ck ( k ≥ 1)

Đ2 Mặt trong E 3

2.1 Định nghĩa Mặt S⊂ En xác định bởi S = r( )U , r:U ⊂R2 →S,

r đợc gọi là tham số hoá của S

Điểm (u o,v o)∈U:{r u′(u o,v o) (,r v′ u o,v o) } độc lập tuyến tính đợc gọi là điểm chính

quy

S gọi là mặt chính quy nếu mọi (u, v) là điểm chính quy

2.2 Định nghĩa S⊂ En đợc gọi là mảnh hình học nếu nó là ảnh của một dìm,

đồng phôi lên ảnh r:U →S từ một tập mở U ⊂R2 vào S ; r gọi là một tham số hoá của mảnh hình học S

2.3 Định nghĩa Tập con không rỗng S của En gọi là một đa tạp hai chiều trong

En nếu mỗi p ∈ S có lân cận mở là một mảnh hình học; mỗi tham số hoá của mảnh hình học này gọi là một tham số hoá địa phơng của S

2.4 Định nghĩa Một hớng trên đa tạp hai chiều S trong En là việc đặt tơng ứng mỗi điểm p∈S một hớng của không gian vectơ thực hai chiều Τp S sao cho vớimọi p o∈S có tham số hoá địa phơng r:U→S của S, r( )U ∋ p o và với mọi

(u,v)∈U, Τ (u , v)r biến hớng chính tắc của R2 thành hớng của Τr(u,v)S, tức với mọi p∈r( )U , hớng của Τp S xác định bởi cơ sở {R u(p),R v( )p} (tham số hoá này đợc gọi là tơng thích với hớng đó)

S gọi là định hớng đợc khi S có hớng và S gọi là đa tạp (đã) định hớng (hay

S là một mặt trong E3 định hớng bởi trờng vectơ pháp tuyến đơn vị n; {U1,U2}

là trờng mục tiêu tiếp xúc trực chuẩn trên tập mở V trong S; {θ 1 , θ 2} là trờng đốimục tiêu của {U1,U2} Gọi {U1 ,U2 ,U3} là trờng mục tiêu trực chuẩn dọc V tơngứng với S nếu U3 =n V ; ; {θ 1 , θ 2 , θ 3} là trờng đối mục tiêu của {U1 ,U2 ,U3} Các dạng vi phân bậc một l

2 1

1 ω α ω α

D U ( ) ( )U p 3( ) ( ).n p

2 1

1 2

2 ω α ω α

D U ( ) ( )U p 2( ) ( )U2 p

3 1

1 3

3 ∧ θ + ω ∧ θ = ω

3

2

1 3

ánh xạ h:S1 →S2 (S1, S2 là các đa tạp hai chiều trong En) gọi là khả vi nếu

h liên tục và với mọi tham số hoá địa phơng r1 :U1 →S1 , r2 :U2 →S2 (U1,U2 là các tập mở trong R2 mà h(r1(U1)) ⊂r2(U2), ánh xạ

Cho ánh xạ (khả vi) f :S1 →S2 (giữa các đa tạp hai chiều trong En) Với mỗi

p ∈S1 có ánh xạ, kí hiệu là Τp f : Τp S1 → Τf( )p S2 xác định bởi: cho αp∈ Τp S1, coi

( )o

p ρ t

α = ′ , ρ :J →S1 là một cung tham số, thì Τp f( )αp =(f  ρ ) ( ) ′t o Hay còn dùng

kí hiệu f*p thay cho Τp f và khi p đã rõ, đôi khi viết tắt Τf hay f* ánh xạ

f p f p

Τ bảo tồn tích vô hớng (tức là một ánh xạ tuyến tính trực giao), tức ∀ α , β ∈ Τp S1, ta có Τp f( )α , Τp f( )β = α , β

Nếu f là vi phôi và f là ánh xạ đẳng cự thì f đợc gọi là một vi phôi đẳng cự 3.4.2 Tính chất

b a

a f− 1 cũng là vi phôi đẳng cự;

3 Tích các ánh xạ đẳng cự là ánh xạ đẳng cự, tích các vi phôi đẳng cự là vi phôi đẳng cự

Vậy f bảo tồn góc giữa các phơng tiếp xúc

c, Giả sử có cung Γ xác định bởi tham số ρ : Ι =[ ]a,b →S1 , t ρ( )t , độ dài cung

[ ] ( )t dt (f ) ( )t dt

b a

b a

tr-S T S T

h p : p → p

n D

h p α α

α  ( ) = − , gọi là ánh xạ Weingarten tại p

Cụ thể là, lấy cung ρ : J→ S, ρ ′ (t0) = α thì h p( α ) là vectơ buộc tại p mà

) ( ) (

Định thức của tự đồng cấu h pgọi là độ cong Gauss tại p của S;

21 vết h p gọi là độ cong trung bình tại p của S

Khi h p có hai giá trị riêng phân biệt thực, khi đó hai phơng chính tại p hoàn toàn xác định và vuông góc với nhau Gọi hai giá trị riêng đó là 1

~ ) (e k e

cong Gauss tại p là 1 2

~

~ ) (p =k k

Κ , độ cong trung bình tại p là (~ ~ )

2

1 ) (p = k1 +k2

Η

Khi h p có đúng một giá trị riêng kép thực, khi đó mọi phơng là phơng chính Với mọi cơ sở trực chuẩn {e1, e2} của T p S, có 1 1 1

~ ) (e k e

~ ) (p =k

Η Điểm p nh thế gọi là một

điểm rốn của S Khi k~1 =k~2 = 0, p còn gọi là điểm dẹt và khi k~1 =k~2 ≠ 0, p còn

đ-ợc gọi là điểm cầu

3.5.2.2 Ví dụ S là mặt cầu bán kính R, n là trờng vectơ pháp tuyến đơn vị “

h-ớng ra ngoài” của S ; với α ∈ Τp S−{ }0 , viết α = ρ ′( )t o , ρ :J→S, t ρ( )t , thì

3.5.3 Các dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai của mặt

S là mặt có hớng trong E3 ; với mỗi p∈S

Ι , , ΙΙp(α , α)= ΙΙp( )α và khi p thay đổi dùng ký hiệu Ι vàΙΙ

Trong tham số hoá địa phơng ( )u,v  r( )u,v của S, xét các hàm số trên U sau :

r r

Chúng đợc gọi theo thứ tự là biểu thức toạ độ của dạng Ι và ΙΙ

Trong đó E, F, G gọi là các hệ số của biểu thức toạ độ của dạngΙcòn L, M, N gọi là các hệ số của biểu thức toạ độ của dạng ΙΙ

Chú ý khi r tơng thích với hớng của S thì

v u

v u

r r

r r r n

e u v

ψ

ϕ

′ +

r r

r

n

v u

v u

.)

(

ψ ϕ

ψ ϕ ψ

ϕ

′ +

n , Μ = (n  r) r uv′′ = 0 ,

2 2

)

(

ψ ϕ

ψϕ

′ +′

2

) (

)

(

ψ ϕ ϕ

ψ ϕ ψϕ

ψ

′ +′

L n



Vậy khi ϕ 2+′ 2≡′ 1 (tức xét tham số hoá tự nhiên u ( ϕ (u), 0 , ψ (u))của kinh tuyến trong nửa phẳng toạ độ 0x+y của mặt tròn xoay) thì ta có

1 ))(1(

)()(

)),(( 22 2 u

uu u

uu vur

3.6 ánh xạ bảo giác, vi phôi bảo giác, ánh xạ Gauss

3.6.1 Định nghĩa ánh xạ f :S1 →S2 giữa các mặt trong E3 gọi là ánh xạ bảo giác nếu có hàm số dơng ϕ :S1 →R sao cho với mọi α , β ∈ Τp S,

β α β ϕ β

compact với bờ, xem [1])

3.6.2 Định nghĩa Cho S1 là đa tạp hai chiều định hớng, S2 là một mặt cầu

đơn vị Nếu f :S1 →S2, Μ  Μ ′ sao cho OΜ′ =n( ) Μ thì f gọi là ánh xạ Gauss.3.6.3 Tính chất

a Mọi vi phôi bảo giácvà bảo diện là một vi phôi đẳng cự

tối tiểu.

Chứng minh

a Kí hiệu {Εi,F , i G i} là các hệ số của dạng Ι của mặt S i (i = 1 , 2) Vì

2 1

− Ε

=

−

2 2 2 2

1 1 1

Suy ra ϕ = 1 Vậy f là vi phôi đẳng cự

b Gọi O là tâm của S2 Vì f :S1 →S2 là ánh xạ Gauss nên p( )∈S1  f( )p ∈S2 để

là điểm cầu) hoặc là mặt tối tiểu (Η = 0)

3.6.4 Ví dụ Kí hiệu p là một điểm (gọi là cực bắc) của mặt cầu S trong E3 và

P = E2 là tiếp diện của S tại điểm xuyên tâm đối của p (cực nam của S) và xét phép chiếu nổi

π S\: { } p → P = E2

Ta có π là một vi phôi bảo giác Thật vậy,

Giả sử S = {(x,y,z) ∈R3x2 +y2 +z2 = 1}⊂ Ε 3

F ={(x,y,z)z = − 1}⊂ Ε 3, p=(0 , 0 , 1)∈S

Vậy π song ánh và π , π − 1 liên tục, tức π đồng phôi

Với tham số hoá địa phơng r1: R2 → Ε 3 thì các hàm số

− + Υ + Χ

Υ +

Υ + Χ

Χ

= Υ Χ Υ

Χ

4

8 1

, 4

4 , 4

4 ,

,  r1 2 2 2 2 2 2

là khả vi, do đó

r− r =r− − r =id

2 1 1

2 1

2 2 1

Vậy ta có một hàm f(u,v) thoả mãn  Ε = ( )0 1 

0 1

,v

u f G F F

Vậy π là ánh xạ bảo giác, do đó π là vi phôi bảo giác

Chơng II Hình học vi phân của mặt cầu trong E 3

Đ1 Một số yếu tố hình học trên mặt cầu

1.1 Diện tích miền trên mặt cầu

Cho Κ là một miền compact với bờ trên đa tạp hai chiều S trong En hay Κ làmột đa tạp hai chiều compact với bờ trong En, ϕ : Κ →R là một hàm số liên tục Lát Κ bởi họ r : i C i → Κ (C i là miền compact với bờ trong R2 )

(u,v)  r i(u,v) và định nghĩa tích phân củaϕ trên Κ là biểu thức

i

trong đó Gr((r i) ′u, (r i) ′v) là định thức Gram

v i v i u i v i

v i u i u i u i

r r r

r

r r r

r

) (

) ( ) (

) (

) (

) ( ) (

) (

Biểu thức Κ∫1 ( tức Κ∫dS ) đợc gọi là diện tích miền Κ (tức khi ϕ = 1 )

Nói riêng, khi C là một miền compact với bờ trong R2, f : C→ R là một hàm số

khả vi, Κ là đồ thị của f thì diện tích của Κ là f f dxdy

C

y x

∫∫ + ′ 2 + ′ 2

1

1.2 Định nghĩa Trên mặt cầu bán kính R trong E3, ba điểm ( không cùng thuộc một đờng tròn lớn ) cùng với ba cung tròn lớn ( ngắn ) nối ba điểm đó giới hạn một miền gọi là tam giác cầu

1.3 Mệnh đề Cho ΑΒC là một tam giác cầu trên mặt cầu bán kính R trong

E 3 Khi đó diện tích tam giác cầu ΑΒC là R2(Αˆ + Βˆ +Cˆ− π)

A A

A

r r r

r r r d

d r r Gr

θ ϕ θ

θ ϕ ϕ θ

ϕ

2 2

2

2

) , (

) (

cos ) (

α

2 2

2 0

2 d cos d 4R R

Tại B và C cũng tơng tự

Từ đây cũng suy ra diện tích mặt cầu là 4R2 π

Mỗi hai múi cầu đỉnh A, đỉnh B, đỉnh C đều chứa cả tam giác cầu ABC và tam giác cầu A’B’C’ (xuyên tâm đối ABC ) nên

α + β + γ = S∆+ π

R2

1

(α , β , γ là độ lớn tính bằng radian theo thứ tự các góc của tam giác cầu)

Ta cũng tính đợc diện tích của tứ giác cầu giới hạn bởi bốn cung tròn lớn Giả

sử tính diện tích của tứ giác cầu ABCD

S R D

Lấy (1)+(2) theo vế với vế ta đợc

Α + Β + + = 12SΑΒCD+ 2 π

R D

Vậy diện tích của tứ giác cầu ΑΒCD là SΑΒCD =R2(Α + Β +C+D)− 2 π

Tơng tự đối với các trờng hợp ngũ giác cầu, lục giác cầu…

Tổng quát: Giả sử Α 1 Α 2 Α 3 Αn là đa giác cầu n cạnh Khi đó tổng các góc của

1Α Α Α = Α + Α + Α + ⋅ ⋅⋅ + Α − −

1.4 Định lý S là đa tạp hai chiều liên thông (cung) trong E 3 mà mọi điểm là

điểm rốn thì có độ cong Gauss hằng (không âm)

Chứng minh (Xem [1])

1.5 Bổ đề1 Giả sử trờng mục tiêu trực chuẩn {U1 ,U2 ,U3} tơng thích với đa

điểm của S là phơng chính của S tại điểm đó ( trờng mục tiêu nh thế gọi là

~ ,

~ θ

2

3 2

~ θ

[ ]~ (~ ~) 1 ( 2)

2 1 2 2

1 k k k U

2 1 2 1

~

k

cận điểm p o∈S thoả mãn các điều kiện: k~1(p o) >k~2(p o), 1

~

~

2 1

2 − Κ = − ≥

Η k k ; đó là một hàm số liên tục trên S, nên do S compact

nó đạt cực đại tại p o nào đó của S

Nếu Η 2 (p o) − Κ (p o) = 0 thì với mọi p∈S,

0 ) ( ) ( ) ( )

Vậy theo bổ đề 2, Κ (p o) ≤ 0, mâu thuẫn với Κ > 0 nói trên

1.9 Định lý S là đa tạp hai chiều compact, liên thông có hớng trong E 3 mà

Chứng minh Theo giả thiết ta có k~1+k~2= 2 Η = 2a ( a là hằng số ) nên

~ k

k đạt cực trị trên S

k

p

k~1( ) =~2( ) = tức Κ =a2

Vậy theo định lý Liebmann, S là mặt cầu bán kính a1

1.10 Định lý Nếu các độ cong chính của đa tạp hai chiều liên thông, có

phẳng, mặt cầu hay mặt trụ tròn xoay.

Chứng minh Ta có các trờng hợp sau

[ ]~ (~ ~) 1 ( 1)

2 1 2 1

~

~

0 =dω = − ω ∧ ω =kθ ∧kθ = Κ θ ∧ θ tức Κ = 0.Suy ra chẳng hạn k~1 = 0 ,k~2 ≠ 0 Do đó , 3 ~ 1 0

2 1

1 = U p + n p =

U

Dα ω α ω α , tức U1 là trừng vectơ song song; chứng tỏ cung thẳng qua mỗi điểm của mặt với phơng U1 nằm trên mặt Vậy mặt là mặt trụ

Giao của mặt trụ này với mặt phẳng thẳng góc với đờng thẳng sinh là cung

Vậy trên miền mà tại đó xác định đợc trờng mục tiêu chính nói trên là mảnh mặt trụ tròn

song song với ρ ′

2.1.2 Mệnh đề Trên mặt cầu S mọi đờng bất kỳ là đờng chính khúc.

Chứng minh Từ ví dụ 3.5.2.2, Đ3, chơngI, suy ra trên mặt cầu mọi phơng đều

là phơng chính Do đó mọi đờng trên mặt cầu đều là đờng chính khúc

2.2 Đờng tiệm cận

2.2.1 Định nghĩa Phơng xác định bởi α ∈ Τp S−{ }0 gọi là một phơng tiệm cận của S tại p nếu độ cong pháp dạng của S theo phơng đó là 0, k~( α ) = 0 Đờng trên S mà phơng tiếp xúc tại mọi điểm là một phơng tiệm cận của S tại điểm đó gọi là một đờng tiệm cận của S

2.2.2 Mệnh đề Mọi đờng trên mặt cầu không phải là đờng tiệm cận.

Chứng minh Mệnh đề này đợc suy trực tiếp từ định nghĩa 2.2.1

2.3 Định nghĩa Cho S là đa tạp hai chiều trong En Một (cấu trúc) mêtric Riman trên S là việc đặt tơng ứng với mỗi p ∈ S một tích vô hớng trên Τp S

sao cho tích vô hớng đó phụ thuộc vào p một cách khả vi, tức là với hai trờng véctơ tiếp xúc khả vi Χ , Υ trên S thì hàm số p Χ( ) ( )p , Υp là hàm số khả vi

S cùng tích vô hớng đó gọi là một đa tạp Riman hai chiều, kí hiệu là (S,<,>).

Khi xét < , >p là tích vô hớng trên Τp S cảm sinh từ tích vô hớng trong En ta

đợc đa tạp Riman hai chiều với mêtric chính tắc mà ta kí hiệu là (S,can)

2.3 Đạo hàm của một trờng vectơ dọc cung tham số

Xét cung tham số ρ: Ι→S, t ρ( )t , Ι là khoảng mở trong R Trờng vectơ

Χ dọc ρ là việc đặt tơng ứng mỗi t∈Ι một vectơ tiếp xúc Χ( )t ∈ Τρ( )t S Ta nói

Χ khả vi tại t o∈ Ι nếu có một khoảng mở J ∋t o,J ⊂ Ι để với mọi hàm số khả vi

ϕ trên tập mở chứa ρ( )J hàm số t  Χ( )t [ ]ϕ khả vi tại t o Χ gọi là khả vi nếu

nó khả vi với mọi t o∈ Ι

Nếu {U1,U2} là một trờng mục tiêu khả vi trên một tập mở chứa ρ( )Ι của Μ

và viết ( )t ψ ( )t U (ρ( )t ) ψ ( )t U2(ρ( )t )

2 1

ờng vectơ dọc ρ, kí hiệu là ∇Χ

dt hay ∇dtΧ và gọi là đạo hàm của Χdọc ρ:Với mỗi t o∈ Ι lấy một trờng mục tiêu trực chuẩn {U1,U2} trong một lân cận của ρ( )t o Viết ( )t ψ ( )t U (ρ( )t ) ψ ( )t U2(ρ( )t )

2 1

t dt

d

t

dt ψ ψ ω ρ  ρ ψ ψ1 ω12ρ 2 ρ

2 1

1 2 2 1

a, [ ]

dt dt dt

Υ

∇ + Χ

∇

= Υ

d dt

Χ

∇ + Χ

= Χ

d

ds

Chứng minh (Xem [1])

2.4 Độ cong trắc địa

2.4.1 Định nghĩa Với mỗi cung chính quy định hớng trên đa tạp Riman hai

chiều có hớng (S,<>) có hàm số dọc cung đó kí hiệu là k g, gọi là độ cong trắc

địa của nó xác định nh sau: Lấy tham số hoá tự nhiên ρ~:J →S, s ρ~( )s với mỗi s ∈ J ta lấy Ν( )s ∈ Τρ~ ( )s S sao cho {Τ( ) ( )s, Νs } là một cơ sở trực chuẩn của

, Định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn tham số hoá ρ ~

Thật vậy, nếu ρ là một tham số hoá tự nhiên của cung định hớng đã cho ρ : I

ds dt

d dt

dt

⇒ ∇ρ′=(k g  λ).(Ν  λ)